Prosta na p laszczyźnie. Krzywe sto żkowe Przygotowa la Izabela Wardach
Zadania do samodzielnego rozwi¸
azania:
1) Napisz równanie prostej przechodz¸
acej przez punkt P0(1, 3) i prostopad lej do wektora
~
N = [2, −5].
odp.: 2x − 5y + 13 = 0
2) Narysuj prost¸
a 2x − 3y + 6 = 0
3) Napisz równanie prostej przechodz¸
acej przez punkt P0(1, 5) i równoleg lej do wektora
~
W = [3, 7].
odp.: 7x − 3y + 8 = 0
4) Oblicz odleg lość punktu P0(2, −7) od prostej l przechodz¸acej przez punkty A(7, −2) i B(3, 5)
odp.: 55
√65
5) Znajdź równania dwusiecznych k¸
atów mi¸
edzy prostymi l : x+2y+7 = 0, k : 2x−11y+2 = 0.
odp.: x + 7y + 11 = 0 lub 7x − y + 37 = 0
√
6) Znajdź odleg lość mi¸
edzy prostymi 3x − 2y = 0, 4y − 6x + 2 = 0.
odp.
13/13
7) Przez punk przeci¸
ecia prostych x − 1 = 0 x + y − 2 = 0 poprowadź prost¸
a:
a) równoleg l¸
a do osi OX
odp.: y = 1,
b) równoleg l¸
a do osi OY
odp.: x = 1,
c) równoleg l¸
a do prostej 2x − y + 50 = 0
odp.: 2x − y − 1 = 0,
d) prostopad l¸
a do prostej −2x + y − 1 = 0
odp.: x + 3y − 3 = 0,
√
e) ograniczaj¸
ac¸
a wraz z osiami OX, OY trójkc{at o polu S = 1
odp.: (1 −
3)x + (1 +
√
√
√
3)y − 2 = 0 lub (1 +
3)x + (1 −
3)y − 2 = 0.
8) Oblicz k¸
at ostry pomi[¸edzy prostymi x + 3y − 5 = 0 i x − 2y + 3 = 0.
odp.: 45o
9) Oblicz pole trójk¸
ata ograniczonego prost¸
a 4x − 3y − 12 = 0
odp.: S = 6
10) Znajdź punkt symetryczny do A(1, 2) wzgl¸
edem prostej x + y + 3 = 0.
odp.: A0(−5, −4)
11) Narysuj krzywe:
a) x2 + y2 − 10x + 2y + 26 = 0
odp.: okr¸
ag S(5, −1), r = 1
√
b) x2 + y2 − 4y − 1 = 0
odp.: okr¸
ag S(0, 2), r =
5
c) 4x2 + y2 − 4 = 0
odp.: elipsa S(0, 0), a = 1, b = 2
d) 4x2 + 9y2 − 8x + 18y − 23 = 0
odp.: elipsa S(1, −1), a = 1, b = 2
e) 9x2 − y2 − 9 = 0
odp.: hiperbola S(0, 0), a = 1, b = 3
√
√
f) 3y2 − 2x2 + 1 = 0
odp.: hiperbola S(0, 0), a =
3, b =
2
12) Oblicz promień okr¸
egu, którego leży na prostej 2x − 3y − 12 = 0, przechodz¸
acego przez
punkty A(6, 2), B(8, 2). odp.: r = 5/3
13) Znajdź punkt symetryczny do punktu P (1, 2) wzgl¸
edwm prostej x + y + 3 = 0.
odp.:
1
14) Napisz równania stycznych do okr¸
egu x2 + y2 − 6x = 0 i prostopad lych do prostej
√
√
2x − y + 3 = 0.
odp.: x + 2y − 3 − 3 5 = 0 i x + 2y − 3 + 3 5 = 0.
√
√
15) Znajdź wspó lrz¸
edne ognisk krzywej x2 + 9y2 = 36 odp.: F1(−4 2, 0), F2(4 2, 0).
16) Oblicz pole kwadratu wpisanego w elips¸
e 9x2 + y2 = 36.
odp.: S = 3, 6
17) Znajdź punkty na krzywej 16x2 + 25y2 = 400, których odleg lość od prawego ogniska jest r’owna 7. odp.: P (0, −4), R(0, 4).
18) Znajdź równania stycznych do krzywej 4x2 + y2 − 4 = 0 i równoleg lych do prostej
√
2x − y − 5 = 0.
2x − y ± 2 2 = 0
19) Znajdź wspó lrz¸
edne ognisk krzywej 9x2 − 16y2 = 144 odp.: F1(−5, 0), F2(5, 0).
20) Znajdź równania asymptot hiperboli 16x2 − 9y2 = 144 odp.: 4x − 3y = 0, 4x + 3y = 0.
21) Napisz równanie elipsy, której wierzcho lki leż¸
a w ogniskach hiperboli 5x2 − 3y2 = 15, natomiast ogniska tej elipsy leż¸
a w wierzcho lkach danej hiperboli.
od.: 5x2 + 8y2 = 40
2