II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

JEDNOCZYNNIKOWY MODEL SHARPE’A

1. Wstęp

Model Sharpe’a został stworzony by ułatwić obliczenia związane z poszukiwaniem portfeli o najkorzystniejszej relacji między oczekiwaną stopą zwrotu a odchyleniem standardowym. Znalezienie portfela efektywnego składającego się ze stu akcji wyma-gało dotychczas (zanim William Sharpe opracował swój model w 1961 r.) oszacowania 5150 parametrów, co kosztowało 165 $. Metoda Sharpe’a radykalnie zmniejszyła ilość parametrów niezbędnych do oszacowania obniżając koszt znalezienia rozwiązania do 2½ $. Nawet dzisiaj, gdy analitycy dysponują komputerami o mocy oblicze-niowej nieporównanie większej niż w latach sześćdziesiątych XX w. model ten oddaje znaczne usługi.

2. Opis modelu

założenia

Model Sharpe’a został skonstruowany w oparciu o dwa podstawowe założenia: a) źródłem powodującym występowanie zależności między stopami zwrotu z akcji różnych spółek są wyłącznie zmiany pewnego indeksu,

b) relacja pomiędzy zmianami stopy zwrotu z danej akcji a zmianami stopy zwrotu z indeksu jest liniowa.

Przyjęto, że wspólnym indeksem wpływającym na stopy zwrotu jest indeks rynkowy.

podstawowe równanie modelu

R = α + β R + ξ

i

i

i

m

i

gdzie:

Ri – stopa zwrotu z i-tej akcji (i = 1, 2, ..., N)

Rm – stopa zwrotu z indeksu rynkowego

αi, βi – parametry modelu

ξi – składnik losowy (zaburzenie losowe)

Oznaczenia:

Ri - wartość oczekiwana stopy zwrotu z i-tej akcji

2

σ i - wariancja stopy zwrotu z i-tej akcji

2

σ ei - wariancja składnika losowego i-tej akcji

R - wartość oczekiwana stopy zwrotu z indeksu rynkowego

m

2

σ m - wariancja stopy zwrotu z indeksu rynkowego

- 1 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

własności modelu

E(ξ i ) = 0

składnik losowy ma wartość przeciętną równą 0

(

cov ξ , R

i

m ) = 0

składnik losowy jest nieskorelowany ze stopą zwrotu z rynku –

reprezentuje on wpływ zdarzeń dotyczących wyłącznie danej

spółki

cov(ξ ,ξ

i

j ) = 0

składniki losowe różnych akcji są nieskorelowane – zależność

dla i ≠ j

między stopami zwrotu wynika wyłącznie ze zmian indeksu

rynkowego

charakterystyki stóp zwrotu

R = α + β R

i

i

i

m

wartość oczekiwana stopy zwrotu z i-tej akcji

2

2

2

2

σ = β σ + σ

i

i

m

ei

wariancja stopy zwrotu z i-tej akcji

cov( R R = β β σ

i

j )

2

,

i

j

m

kowariancja między stopami zwrotu z i-tej oraz

j-tej akcji

2

cor(

β β σ

R , R =

i

j )

i

j

m

σ σ

współczynnik korelacji między stopami zwrotu z i-tej

i

j

oraz j-tej akcji

Security Characteristic Line – linia charakterystyczna papieru wartościowego odzwierciedlająca relację między stopą zwrotu z indeksu rynkowego a przeciętną stopą zwrotu z akcji; dana równaniem: R = α + β R

i

i

i

m

- 2 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

interpretacja parametrów

Beta jest miarą wrażliwości – mówi o ile punktów procentowych zmieni się stopa zwrotu z akcji, jeżeli stopa zwrotu z indeksu rynkowego wzrośnie o 1 punkt procentowy; miara ryzyka związanego ze zmianami indeksu rynkowego

β > 1 – akcje agresywne, stopa zwrotu silnie reaguje na zmiany indeksu rynkowego β = 1 – stopa zwrotu zmienia się w takim samym stopniu jak stopa zwrotu z rynku (w szczególności sam portfel rynkowy ma β = 1)

0 < β < 1 – akcje defensywne, stopa zwrotu reaguje słabo na zmiany indeksu rynkowego

β = 0 – stopa zwrotu nie reaguje na zmiany stopy zwrotu z indeksu rynkowego (w szczególności instrumenty wolne od ryzyka mają β = 0)

β < 0 − stopa zwrotu reaguje odwrotnie niż rynek; akcje rzadko spotykane Alfa wskazuje przeciętną stopę zwrotu jaką można osiągnąć z danej akcji, jeżeli stopa zwrotu z indeksu rynkowego wynosi 0%

ryzyko całkowite, systematyczne, niesystematyczne

Ryzyko całkowite związane z inwestowaniem w akcję wyraża się odchyleniem standardowym stopy zwrotu (wariancją). Wariancję stopy zwrotu z akcji można zdekom-ponować na:

składnik odzwierciedlający wpływ zmian stopy zwrotu z indeksu rynkowego

składnik odzwierciedlający wpływ zdarzeń dotyczących wyłącznie danej spółki.

2

2

2

2

σ = β σ + σ

miara ryzyka całkowitego

i

i

m

ei

miara ryzyka systematycznego

miara ryzyka niesystematycznego

Ryzyko systematyczne (rynkowe, niedywersyfikowalne) – ryzyko wynikające z po-wiązania stopy zwrotu z akcji ze stopą zwrotu z rynku; zależy od zmienności stopy zwrotu z rynku (wariancji,

2

σ ) oraz współczynnika beta (dlatego beta akcji traktowa-

m

na jest jako miara ryzyka rynkowego); niemożliwe do wyeliminowania

Ryzyko niesystematyczne (specyficzne, dywersyfikowalne) – ryzyko związane ze zda-rzeniami dotyczącymi wyłącznie danej spółki; zależy od zmienności składnika losowego (wariancji 2

σ ); możliwe do wyeliminowania poprzez dywersyfikację portfela

ei

Dywersyfikacja – rozpraszanie ryzyka przez tworzenie portfela z aktywów zróżnico-wanych rodzajowo; umożliwia wyeliminowanie ryzyka niesystematycznego

- 3 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

parametry portfela aktywów

Parametry beta oraz alfa portfela aktywów można uzyskać dysponując wartościami parametrów dla poszczególnych aktywów. W tym celu należy obliczyć średnią ważo-ną parametrów dla aktywów wchodzących w skład portfela; wagami są wartościowe udziały aktywów w ogólnej kapitalizacji portfela.

k

β = ∑ w β

i

i

i =1

k

α = ∑ w α

i

i

i =1

gdzie:

β – współczynnik beta portfela aktywów

α – współczynnik alfa portfela aktywów

k – ilość aktywów w portfelu

w1, w2, ..., wk – wartościowe udziały aktywów w portfelu

β1, β2, ..., βk – współczynniki beta poszczególnych aktywów

α1, α2, ..., αk – współczynniki alfa poszczególnych aktywów

3. Metody szacowania parametrów modelu

na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa

Jeżeli dysponujemy rozkładami prawdopodobieństwa stopy zwrotu z akcji oraz stopy zwrotu z rynku, wówczas parametry modelu można oszacować jako:

cov( R , R

σ

i

m )

i

β =

= ρ

i

2

i , m

σ

σ

m

m

- 4 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

α = R − β R

i

i

i

m

Metoda ta jest rzadko stosowana, bowiem rozkłady stóp zwrotu na ogół nie są znane.

na podstawie danych historycznych – Metoda Najmniejszych Kwadratów

Dysponując danymi historycznymi można oszacować parametry modelu wykorzystując np. Metodę Najmniejszych Kwadratów.

n

∑( R − R R

R

it

i )(

−

mt

m )

t =

=

1

ˆ

β i

n

∑(

2

R

− R

mt

m )

t =1

α = R

βˆ

ˆ

−

R

i

i

i

m

gdzie:

βˆ - oszacowanie bety i-tej akcji

i

αˆ - oszacowanie alfy i-tej akcji

i

Rit – stopa zwrotu z i-tej akcji w t-tym okresie

Rmt – stopa zwrotu z rynku w t-tym okresie

R - średnia stopa zwrotu z i-tej akcji

i

R - średnia stopa zwrotu z indeksu rynkowego

m

na podstawie danych historycznych – metoda Blume’a

Oszacowanie parametru beta uzyskane na podstawie danych historycznych jest obar-czone błędem szacunku. Aby zminimalizować ten błąd powstało wiele metod –

m.in. metoda opracowana przez Marshalla Blume’a. Pokazał on, że rzeczywista wartość bety ( β ) jest bliższa 1 (czyli becie rynku) niż uzyskane w drodze obliczeń oszacowanie ( βˆ ). Aby skorygować błąd obliczał bety portfeli akcji dla różnych okresów.

- 5 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

Następnie szacował zależność między parametrami beta dla kolejnych dwóch okresów. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność między betami oszacowanymi dla okresu 07.1947 –06.1954 (T) oraz okresu 07.1954 –06.1961 (T+1).

Metoda Blume’a polega na:

oszacowaniu parametrów beta dla poszczególnych aktywów w dwóch kolejnych okresach (np. wykorzystując Metodę Najmniejszych Kwadratów)

znalezieniu zależności liniowej pomiędzy współczynnikami beta dla dwóch okresów (np. przy pomocy MNK)

obliczeniu przewidywanego współczynnika beta dla kolejnego okresu poprzez podstawienie do wzoru wartości parametru beta dla okresu bieżącego

na podstawie danych historycznych – metoda Vasicka

Metoda stworzona przez Oldricha Vasicka powstała w celu znalezienia bardziej do-kładnych oszacowań parametru beta. Wykorzystuje ona m.in. twierdzenie Bayesa o prawdopodobieństwie warunkowym. Vasicek sugeruje uzależnienie wielkości korekty m.in. od błędu oszacowania (podczas gdy w metodzie Blume’a wielkość korekty była od błędu niezależna).

Metoda Vasicka polega na:

oszacowaniu parametrów beta dla poszczególnych aktywów w pewnym okresie (np. wykorzystując Metodę Najmniejszych Kwadratów) - βˆ i

2

obliczeniu kwadratu średniego błędu szacunku bety dla każdej akcji - s ˆβ

i

obliczeniu przeciętnej wartości oszacowanych parametrów beta (wszystkich akcji) - β

2

obliczeniu wariancji oszacowanych parametrów beta (wszystkich akcji) - sβ

- 6 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

Wtedy beta szacowana metodą Vasicka dla i-tej akcji wyraża się wzorem:

2

2

s

s ˆ

ˆ

ˆ

β

β i

β = β

+ β

Vi

i

2

2

2

2

s + s

s + s

ˆ

ˆ

β

β

β

β

i

i

gdzie:

βˆ - beta Vasicka i-tej akcji

Vi

- 7 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

JEDNOCZYNNIKOWY MODEL SHARPE’A - ZADANIA

Zad.1.

Oczekiwana stopa zwrotu z akcji PKO BP wynosi 9%, zaś jej odchylenie standardowe 35%.

Oczekiwana stopa zwrotu z indeksu WIG wynosi 5%, a jej odchylenie standardowe 20%.

Współczynnik korelacji między stopą zwrotu z akcji PKO BP a stopą zwrotu z WIG-u oszacowano na 0,80. Oblicz:

a) parametry α i β akcji PKO BP,

b) odchylenie standardowe składnika losowego,

c) jaki procent ryzyka całkowitego stanowi ryzyko specyficzne, a jaki systematyczne, d) jaka będzie stopa zwrotu z akcji PKO BP gdy stopa zwrotu z WIG-u wyniesie 10%.

Akcje PKO BP należy zaliczyć do akcji agresywnych czy defensywnych?

Zad.2.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji General Electric wynosi 30%, zaś odchylenie standardowe stopy zwrotu z indeksu S&P500 20%. Ponadto współczynnik korelacji między stopą zwrotu z akcji tej spółki a stopą zwrotu z indeksu oszacowano na 0,60. Oceń, czy akcje General Electric są agresywne czy defensywne.

Zad.3.

Współczynnik beta akcji US Steel oszacowano na 0,70 a akcji Apple na 1,40. Odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi w przypadku: indeksu S&P500 20%, akcji US Steel 32% a akcji Apple 49%. Oblicz współczynnik korelacji między stopami zwrotu z w/w akcji i go zin-terpretuj.

Zad.4.

Oblicz parametry alfa i beta portfela składającego się z 3 akcji.

Spółka

Wartość akcji

Beta

Alfa

ING

5.000 zł

1,20

2%

PKN Orlen

3.000 zł

1,40

4%

PZU

2.000 zł

0,80

1%

Zad.5.

Wykorzystując metodę Blume’a oszacowano, że związek między betą akcji w roku T a betą tej samej akcji w roku T+1 można zapisać wzorem:

βˆ

=

3

,

0 + ,

0 ⋅ βˆ

7

T 1

+

T

Oszacuj wartość współczynnika beta pewnej akcji w roku 2012, jeżeli w 2011 wyniósł on: a) 1,50,

b) 0,60.

Zad.6.

Analizując ceny papierów wartościowych ustalono, że w odniesieniu do pewnej grupy akcji: a) przeciętna wartość parametru beta wyniosła 1,00,

b) wariancja parametru beta wyniosła 0,16.

Oszacuj metodą Vasicka wartość współczynnika beta pewnej akcji, wiedząc, że: a) wykorzystanie metody najmniejszych kwadratów daje betę tej akcji równą 1,30, b) kwadrat średniego błędu szacunku wynosi 0,09.

- 8 -

 by Rafał Buła

II MODELE INWESTYCYJNE

___________________________________________________________________________

JEDNOCZYNNIKOWY MODEL SHARPE’A – ZADANIA DOMOWE

Zad.7.

Wiedząc, że współczynniki beta pewnych spółek w dwóch okresach wyniosły:

Spółka

β

β 2011

β

β 2012

PKO BP

0,70

0,82

Lotos

1,20

1,12

znajdź zależność pomiędzy współczynnikiem beta w roku 2011 oraz w roku 2012. Jaki współczynnik beta w 2012 roku winna mieć spółka, której współczynnik beta w roku 2011

wyniósł 0,9?

Zad.8.

Na podstawie danych z tabeli oszacuj współczynniki beta oraz alfa.

Okres

Stopa zwrotu

Stopa zwrotu

z WIG

z PeKaO SA

2006

-10,6%

-9,0%

2007

3,1%

7,5%

2008

12,2%

16,2%

2009

17,8%

23,9%

2010

-8,1%

-7,8%

Zad.9.

Oszacuj współczynniki beta oraz alfa dla podanych poniżej spółek w okresie 01.01.2000 –

31.12.2010. Wykorzystaj dzienne arytmetyczne stopy zwrotu z poszczególnych akcji oraz indeksu WIG (kursy zamknięcia). Niezbędne dane znajdziesz na www.stooq.pl. Wykorzystaj klasyczną metodę najmniejszych kwadratów.

Spółka

ACP

BRE

BZW

CEZ

KGH

PEO

PKN

TPS

- 10 -

 by Rafał Buła