dr inż. Marek Blok

2010-10-05 19:12:00

Podstawy systemów informacyjnych – ćwiczenia

Ćw.1. Przypomnienie podstawowych zagadnień rachunku

prawdopodobieństwa

Zagadnienia: prawdopodobieństwo łączne, brzegowe oraz warunkowe, tw. Bayesa

(ew. dodatkowo kombinatoryka)

Prawdopodobieństwo warunkowe

P( X = x , Y = y )

i

j

P( X = x | Y = y ) =

; P( X = x , Y = y ) = P( X = x | Y = y ) P( Y = y ) i

j

i

j

i

j

j

P( Y = y )

j

Tw. Bayesa

P( X = x ) P( Y = y | X = x ) i

j

i

P( X = x | Y = y ) =

i

j

P( Y = y )

j

Zad. 1. Nadajnik nadaje ciąg wiadomości „0” oraz „1” z szybkością 100 symboli na sekundę.

Symbol „0” jest sygnalizowany na wyjściu nadajnika napięciem –1.2V, a symbol „1” napięciem

+1.0V. W wyniku przejścia przez kanał nadawany sygnał ulega zakłóceniu oraz zniekształceniu (patrz rys.). W odbiorniku 100 razy na sekundę na podstawie obserwacji napięcia podejmowana jest decyzja o nadanej wiadomości. Jeżeli w chwili podejmowania decyzji napięcie na wejściu odbiornika wynosi przynajmniej 0.2V podejmujemy decyzję, że nadano poziom +1, przy napięciu poniżej

–0.2V podejmujemy decyzję, że nadano –1. W pozostałych przypadkach podejmujemy decyzję 0, oznaczającą, że nie można określić co nadano. Na podstawie obserwacji tak skonstruowanego systemu określono prawdopodobieństwa łączne zdarzenia, że nadano informację xi i jednocześnie w odbiorniku podjęto decyzję yj. Pomierzone prawdopodobieństwa PXY( xi, yj) podano w poniższej tabeli.

yj

–1

0

+1

xi

„0”

0.81

0.08

?

„1”

0.02

0.03

0.05

(można na przyszłość też wariant, gdzie podane są w tabeli wszystkie wartości, ale w postaci liczby obserwacji poszczególnych przypadków w przeciągu 10s dla szybkości np. 1440 symboli/s)

a) wyznaczyć brakujące prawdopodobieństwo łączne: PXY(„0”, +1)

b) wyznaczyć prawdopodobieństwa brzegowe: PX( x) oraz PY( y)

c) obliczyć średnie napięcie sygnału na wyjściu nadajnika oraz średnie napięcie sygnału po jego rekonstrukcji w odbiorniku (decyzja 0 – napięcie 0V)

d) określić czy zmienne losowe opisujące nadajnik oraz odbiornik są niezależne

e) wyznaczyć prawdopodobieństwo podjęcia prawidłowej decyzji w odbiorniku, w przypadku gdy nadano „0” oraz w przypadku gdy nadano „1”

dr inż. Marek Blok

2010-10-05 19:12:00

f) wyznaczyć prawdopodobieństwo podjęcia błędnej decyzji w odbiorniku, w przypadku gdy nadano „0” oraz w przypadku gdy nadano „1”

g) na podstawie prawdopodobieństw brzegowych wyznaczonych w p. (b) oraz prawdopodobieństw warunkowych obliczonych w p. (e) i (f) wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że podjęliśmy prawidłową decyzję jeżeli odebraliśmy odpowiednio –1 oraz +1.

h) wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że podjęto prawidłową decyzję w odbiorniku.

Zad. 2. Stacja kosmiczna komunikuje się z sondą poprzez kanał binarny symetryczny charakteryzujący się BER=0.1 (BER – bitowa stopa błędu, ang. bit error rate), posługując się 3-bitowymi słowami kodowymi.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że odebrano ciąg 010 jeżeli nadano ciąg 010,

b) Oblicz prawdopodobieństwo, że nadano ciąg 010 jeżeli odebrano ciąg 010, załóżmy, że

b1) P( Xe = 0) = 0.5,

b2) P( Xe = 0) = 0.1,

c) Oblicz jakie wartości przyjmą prawdopodobieństwa z p. a i b, jeżeli założymy, że po stronie nadawczej dopuszczone jest nadawanie jedynie ciągów kodowych 010 oraz 101 i, że prawdopodobieństwa nadania każdego z tych ciągów są jednakowe,

d) Powtórz obliczenia dla przypadków z p. a-c dla przypadku odebrania ciągu 000

e) Oblicz prawdopodobieństwo, że odebrano ciąg różniący się nie więcej niż jednym bitem od ciągu nadanego.

f) Oblicz prawdopodobieństwo, że odebrano ciąg różniący się dwoma bitami od ciągu nadanego.

g) Dla przypadku nadawania jedynie dwóch ciągów kodowych, 010 oraz 101, oblicz prawdopodobieństwo prawidłowej decyzji w odbiorniku, tj. że w odbiorniku odebrane będą ciągi 010 oraz 101 oraz ciągi różniące się od nich tylko pojedynczym bitem