2010-10-15 10:30:00
Podstawy systemów informacyjnych – ćwiczenia
Ćw.2. Przepustowość informacyjna analogowego kanału pasmowego Zagadnienia: szerokość pasma, SNR, przepustowość, wzór Shannona-Hartleya (Średni) stosunek sygnału do szumu (ang. s ignal to noise ratio) 2
2
SNR = σ
σ
s
z
gdzie
2
S = σ s - średnia moc sygnału
2
N = σ z - średnia moc szumu (zakłócenia)
W praktyce
SNR
[dB]
dB = 10 log
( 2
2
σ σ )
10
s
z
Szerokość pasma kanału
B = Fmax – Fmin [Hz]
gdzie
Fmin – minimalna częstotliwość „przenoszona” przez kanał
Fmin – maksymalna częstotliwość „przenoszona” przez kanał
F symb – szybkość symbolowa, liczba symboli transmitowanych przez kanał na sekundę; w praktyce F symb ≤ 2 B
Widmowa gęstość mocy szumu
n 0 = N B
Wzór Shannona-Hartleya. Przepustowość informacyjna analogowego kanału pasmowego C = B log 1
( + SNR) = B log 1
(
2
2
+ σ σ )
2
2
s
z
Przepustowość graniczna kanału analogowego
S
C∞ = lim { B log
+
≈
b s
2 (1
SNR )} 1.44
[ / ]
B→∞
n 0
S = const
n = const
0
Logarytm przy podstawie 2
y = log 2 x ==> x = 2y
Obliczanie w oparciu o logarytm naturalny
log 2 x = ln x / ln 2; ln 2 = log e 2 ≈ 0.6931
1 / ln 2 ≈ 1.4427
Zad. 1. Dla „rozmównego” kanału telefonicznego uzupełnić poniższą tabelę zakładając, że szybkość symbolowa F symb odpowiada podwojonej szerokości pasma kanału.
SNR [dB]
C [kbps]
C/F symb [bit/symbol]
2
15
10
40
54.8
60
Zad. 2. Zakładając w kanale SNR = −5dB określić wymaganą minimalną szerokość pasma kanału B min zapewniającą przepustowość C ≥ 10kbit/s. Wyznacz graniczną przepustowość (dla B → ∞) tego kanału przy założeniu, że moc sygnału nie ulega zmianie (SNR = −5dB w pasmie o szerokości
2010-10-15 10:30:00
B min) a szum w kanale jest szumem białym. Dla tych samych założeń wyznacz wymaganą szerokość pasma kanału zapewniającą przepustowości kanału wynoszącą 10% oraz 90%
przepustowości granicznej. Określ SNR w kanale dla wyznaczonych szerokości pasma.
Zad. 3. Pasmo kanału dla modemu ADSL (asymetryczna cyfrowa linia abonencka) podzielone jest na dwa podzakresy: zakres 26 - 272 kHz, to tzw. upstream, wykorzystywany do przesyłania danych w kierunku od użytkownika do sieci; zakres 272 kHz - 1,1 MHz stanowi tzw. downstream, przeznaczony do transmisji w kierunku odwrotnym. Wyznacz przepustowość tych podkanałów przy założeniu, że w całym kanale SNR = 30 dB, szum w kanale jest szumem białym, a moce sygnałów w obydwu podkanałach są proporcjonalne do ich szerokości.
Zad. 4. Maksymalna szybkość transmisji modemu ADSL w dół wynosi 8 Mb/s a w górę 1Mb/s (osiągana tylko na krótkich liniach telefonicznych, nie przekraczających 2.7 km od centrali do abonenta). Wyznacz minimalny SNR wymagany w tych podkanałach by osiągnąć taką przepustowość oraz liczbę bitów przypadających na jeden symbol przy założeniu, że szybkość symbolowa pokrywa się z szerokością pasma kanału. Na linii o długości 5.5 km co stanowi teoretyczny maksymalny zasięg modemu ADSL można uzyskać w podkanale w dół już tylko 2
Mb/s. O ile pogorszył się SNR w tym podkanale? Jak zmieni się przepustowość podkanału w górę jeżeli w tym podkanale SNR pogorszy się w takim samym stopniu jak w podkanale w górę?
Zad. 5. Mamy 16 użytkowników pracujących w podkanałach o szerokości 10kHz z taką mocą, że uzyskujemy SNR = 20dB. Oblicz
a) przepustowość kanału dla jednego użytkownika,
b) sumaryczną przepustowość jaką uzyskają wszyscy użytkownicy, c) przepustowość pojedynczego użytkownika pracującego w całym kanale z mocą taką jak pojedynczy użytkownik,
d) przepustowość pojedynczego użytkownika pracującego w całym kanale z mocą odpowiadającą sumarycznej mocy wszystkich użytkowników,
e) przepustowość pojedynczego użytkownika pracującego w całym kanale z mocą taką jak pojedynczy użytkownik, gdy wszyscy użytkownicy pracują w tym samym pasmie (niezależnie pracujące stacje) <= sygnały z pozostałych stacji należy traktować jako niezależne zakłócenie, f) jak w (e) tylko przy założeniu, że pracuje jedynie połowa użytkowników.