RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.

Na potrzeby kolejnych twierdze /dowodów/itd.

wprowadzam nast puj ce oznaczenie: I , J - dowolne przedziały.

f : I → R

F : I → R

Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f , je li ∀ F′

∈

=

x I

( x) f ( x) Obserwacja

F – funkcja pierwotna funkcji f I

F ∈ D( I ) Obserwacja

Zało enie

F 0 - funkcja pierwotna funkcji f .

Teza

F - funkcja pierwotna funkcji f ⇔ F = F

C ∈

0 + C , C - stała, R

Dowód

(⇐)

( F 0)′ = f

F = F 0 + C

F ′ F ′

= 0 = f

czyli funkcja F jest funkcj pierwotn funkcji f .

( )

F′ = f

F′ = F′

0

0

F F ′

− 0 =

F − F 0 = const F = F 0 +

F′

(

)

C

0 = f

Nie zawsze istnieje funkcja pierwotna.

Przykładem tego jest funkcja:

x ≠ 0

f ( )

,

0

x = ,1 x = 0

1

Stawiamy hipotez , e istnieje funkcja pierwotna F, czyli: F C

∈

F′ = f

F′ = ,

0 x ≠ 0

F = const = a, x ≠ 0

F(0) = a

∀ ∈ ≡

′ ≡ 0 ≡

x R F

const

F

f

co nie jest prawd bo nie zawsze funkcja f przyjmuje warto 0.

Wynika z tego, e nasza hipoteza nie jest prawdziwa.

Całk nieoznaczon (całk w sensie Newtona) funkcji f nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f i oznaczamy f ( x) dx .

f ( x) dx = F( x)+ C

Twierdzenie (o liniowo ci całki nieoznaczonej)

∃ f ( x) dx

∃ α f + β g x dx

α f + β g x dx = α f x dx + β g x dx

∃ g( x) dx

(

)( ) oraz (

)( )

( )

( )

2