Kazimierz Cegiełka Katedra Nauk Ścisłych
Przykładowe zadania egzaminacyjne dla ZSZ C2
8 6
−1 6
1. Rozwiązać gr ę o sumie zerowej i macierz wypłat : a)
, b)
,
4 3
7 5
4 −4
2
8
2
5
10
2
6 16
1 −2 4
1
3 −4
c)
, d)
, e)
, f)
,
9 −2
5 −6
2 12
2
5 6
3 −1
2
6
4 12
1
−1
3
5 −2
7 −2
2
4
3
4
3
0
g)
, h)
, i) −4
5
−2
2
−1
5
6 −1
3 −1
4 −3
1 −2
−2
4
8
2. Rozwiązać gr ę o sumie zerowej i macierzy wypłat: a) −1
5
2 ,
−4 −7 −4
2 2 2 2
−2 −5
4
2 1 2 2
b) −3
1 −3 , c)
.
2 3 1 4
−2
4
6
2 2 4 1
−2 4
3
0 −3 4
3. Rozwiązać gr ę o sumie zerowej i macierzy wypłat: a)
2 3
7 , b) 4
3 2 ,
5 2 −3
2
1 7
5 −3 4
3
3 −4
3 −3 −4
1
2 −4
c) 4
3 2 , d) −5 −2
5 , e) −5 −2
5 , f) −1
3
2 .
2
5 7
9 −8
1
−9
8 −1
2 −8
1
4. Dwaj gracze wybierają jedną z liczb spośród liczb ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}. Jeśli pierwszy z nich wybrał liczb ę x, a drugi liczb ę y, to pierwszy gracz otrzymuje x − y zł, gdy x ≥ y, a płaci x + y zł, gdy x < y. Rozwiązać t ę gr ę.
5. Gracz A pisze na kartce jedną z liczb od 1 do 10. Nast ępnie mówi graczowi B jaką napisał liczb ę,z tym, że może kłamać. Gracz B sprawdza, czy gracz A powiedział prawd ę, czy fałsz. Jeśli gracz B powiedział Prawda i gracz A podał liczb ę napisaną (powiedział
Prawda), to gracz B wygrywa 10 gr. Jeśli gracz B powiedział Prawda, a gracz A powiedział
Fałsz, to gracz A wygrywa 50 gr. Jeśli gracz B wybrał Fałsz i gracz A powiedział Fałsz, to gracz B wygrywa 1 zł. Jeśli gracz B powiedział Fałsz i gracz A powiedział Prawda, to gracz A wygrywa 50 gr. Rozwiązać gr ę.
6.
Rozwiązać gr ę „partyzanci kontra policjanci", gdy są dwa magazyny oraz jest: a) 4 partyzantów i 4 policjantów, b) 4 partyzantów i 5 policjantów, c) 5 partyzantów i 5 policjantów.
7.
Rozwiązać gr ę „partyzanci kontra policjanci", gdy są trzy magazyny oraz jest: a) 2 partyzantów i 3 policjantów, b) 3 partyzantów i 4 policjantów.
8. Decydent może wybrać jedno z trzech urządzeń A, B lub C do uzdatniania wody, przy czym wydajność tych urządzeń jest uzależniona od jej zanieczyszczenia powstałego w wyniku czterech sytuacji: I, II, III lub IV, które mogą pojawić si ę w zależności od pogody (opadów deszczu). Wydajność urządzeń jest przedstawiona w tabeli
II
III
IV
A
21
15
32
16
B
28
20
10
20
C
13
27
25
15
Stosując różne kryteria, wyznaczyć wybór urządzenia do uzdatniania wody.
9. Trzy typy aparatów powietrznych do oddychania: A, B i C poddano próbom w trzech warunkach zagrażających życiu ludzkiemu: I, II i III. Procent pomyślnych prób podaje tabela
Aparaty \Warunki
I
II
III
A
85,0
75,0
95,0
B
85,0
90,0
75,5
C
85,0
65,0
92,0
Wybrać do użytku jeden z tych aparatów powietrznych za pomocą: a) kryterium Laplace’a,
b) kryterium Hurwicza (α = 0, 5), c) kryterium Savage’a.
10. Wyznaczyć równowagi Nasha w strategiach czystych i mieszanych nast ępujących gier:
(−2, 7) (2, −1)
(2, 2) (0, 3)
(5, 7) (6, 6)
(1, 4)
(2, 6)
a)
, b)
, c)
, d)
,
(3, 5) (−1, 6)
(3, 0) (1, 1)
(6, 4) (4, 5)
(0, 8) (10, 7)
(4, 7) (0, 1)
(6, 5) (4, 3)
(17, 16)
(2, 4)
(12, 9)
(1, 2)
e)
, f)
, g)
, h)
.
(2, 2) (3, 9)
(7, 2) (8, 1)
(6, 3)
(9, 11)
(3, 4)
(10, 17)
Odpowiedzi.
1. a) Gra punkt siodłowy, X =
1 0 , Y =
0 1 ; wartość gry jest równa 6.
47
b) X =
2
7
, Y =
1
8
; wartość gry jest równa
.
9
9
9
9
9
11
3
1
1
7
c) X =
, Y =
, wartość gry jest równa
.
14
14
2
2
2
3
14
15
2
62
d) X =
0
0
, Y =
0
0
, wartość gry jest równa
(Uwaga.
17
17
17
17
17
Usunąć strategie zdominowane.)
e) Gra ma punkt siodłowy, X =
0 1 , Y =
1 0 0 ; wartość gry jest równa 2.
f) X =
3
7
, Y =
0
3
2
; wartość gry jest równa 1 .
10
10
5
5
5
g) X =
1
7
0 0 , Y =
3
1
; wartość gry jest równa 13 .
8
8
4
4
4
h) X =
2
0
3
0 , Y =
7
8
, wartość gry jest równa 11 .
5
5
15
15
5
i) X =
0
7
0
2
0 , Y =
5
4
; wartość gry jest równa 26 .
9
9
9
9
9
2. Gry mają punkt siodłowy.
3
1
1
3
11
3. a) .X =
0
, Y =
0 , wartość gry jest równa
.
4
4
4
4
4
6
1
5
2
19
b). X =
0
, Y =
0
,wartość gry jest równa
.
7
7
7
7
7
1
37
15
34
9
10
183
c) X =
, Y =
, wartość gry jest równa
.
53
53
53
53
53
53
53
73
119
21
37
47
59
16
d)X =
, Y =
, wartość gry jest równa
.
143
286
286
143
143
143
143
73
71
39
3
21
19
67
e). X =
, Y =
,wartość gry jest równa −
(Uwaga:
128
256
256
8
64
64
64
wartość gry jest ujemna).
13
51
23
13
4
19
21
f) .X =
, Y =
, wartość gry jest równa
.
50
100
100
20
25
100
100
4. Gra ma punkt siodłowy.
2
5. Obaj gracze powinni z prawdopodobieństwem mówić Prawda. Gracz A oczekuje
7
1
wygranej równej 7
gr.
7
6. a) Macierzą wypłat jest macierz policjanci
4 − 0
3 − 1
2 − 2
1
partyzanci
4 − 0
1
1
2
1
3 − 1
1
1
2
2 − 2
1
1
0
2
2
1
2
2
1
Partyzanci podejmują strategi ę
, policjanci podejmują strategi ę
,
5
5
5
5
5
5
4
partyzanci oczekują dobycia
magazynu.
5
b) Macierzą wypłat jest macierz policjanci
5 − 0
4 − 1
3 − 2
1
1
partyzanci
4 − 0
1
2
2
.
1
1
3 − 1
1
2
2
2 − 2
1
1
0
2
1
1
1
1
Partyzanci podejmują strategi ę 0
, partyzanci podejmują strategi ę
,
3
3
3
3
3
2
partyzanci oczekują zdobycie
magazynu.
3
c) Macierzą wypłat jest macierz policjanci
5 − 0
4 − 1
3 − 2
1
partyzanci
5 − 0
1
1
2
.
1
4 − 1
1
1
2
1
3 − 2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
Partyzanci podejmują strategi ę
, policjanci podejmują strategi ę
,
3
3
3
3
3
3
5
partyzanci oczekują zdobycie
magazynu.
6
7. a) Macierzą wypłat jest macierz policjanci
3 − 0 − 0
2 − 1 − 0
1−1 − 1
2
2
partyzanci
2 − 0 − 0
1
3
3
2
1 − 1 − 0
1
0
3
Gra ma punkt siodłowy: partyzanci atakują całym oddziałem jeden z magazynów, polic-2
janci bronią magazynów rozkładem 210. Wartość gry jest równa (paryzanci oczekują
3
2
zdobycie
magazynu).
3
b) macierzą wypłat jest macierz 3
4 − 0 − 0
3 − 1 − 0
2−2 − 0
2 − 1 − 1
2
2
partyzanci
3 − 0 − 0
1
1
3
3
.
5
2
2
2 − 1 − 0
1
6
3
3
1 − 1 − 1
1
1
1
0
1
2
2
1
Partyzanci podejmują strategi ę 0 , policjanci podejmują decyzj ę 0
0
,
3
3
3
3
7
partyzanci oczekują zdobycie
magazynu.
9
8. Należy wybrać urządzenie A.
9.
Kryterium Laplace’a, Hurwicza i Savege’a daje aparat A, kryterium Walda daje aparat B.
10. a) Nie ma równowagi w strategiach czystych; równowaga w strategiach mieszanych:
1
8
3
5
1 47
X =
, Y =
, wartość wypłat
,
.
9
9
8
8
2 9
b) Równowaga w strategiach czystych: (A2, B2); nie ma równowagi w strategiach mieszanych.
c) Gra nie ma równowagi w strategiach czystych; równowaga w strategiach mieszanych
1
1
2
1
16 11
X =
, Y =
, wypłaty:
,
.
2
2
3
3
3
2
d) Gra nie równowagi w strategiach czystych; równowaga w strategiach mieszanych: X =
1
2
8
1
10 20
=
, Y =
, wypłaty
,
.
3
3
9
9
9
3
e) Równowagi w strategiach czystych: (A1, B1) i (A2, B2); równowaga w strategiach
7
6
3
2
12 61
mieszanych: X =
, Y =
, wypłaty
,
.
13
13
5
5
5 13
f) Równowaga w strategiach czystych (A2, B1); nie ma równowagi w strategiach mieszanych.
g) Równowagi w strategiach czystych: (A1, B1) oraz (A2, B2); równowaga w strategiach
2
3
7
11
47 41
mieszanych: X =
, Y =
, wypłaty:
,
.
5
5
18
18
6
5
h) Równowagi w strategiach czystych: (A1, B1) i (A2, B2); równowaga w strategiach
13
7
1
1
13 29
mieszanych: X =
, Y =
, wypłaty
,
.
20
20
2
2
2
4
4