WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY
SZTYWNEJ WZGLĘDEM DOWOLNEJ OSI OBROTU
Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA
44.1 Opis teoretyczny
W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego również twierdzeniem o osiach równoległych, należy wyznaczyć położenie środka masy danej bryły sztywnej.
Dla układu dyskretnego składającego się z N mas o różnych wartościach m środek jego masy i
wyznaczamy następująco (masa całego układu M jest sumą mas składowych m ): i
Obieramy dowolny punkt w przestrzeni, który będziemy traktować jako punkt odniesienia r
względem, którego określimy położenie środka masy. Wektory r = x , y , z opiszą wówczas
i
[ i i i ]
położenia poszczególnych mas składowych m względem punktu odniesienia. Odległość środka i
r
masy od punktu odniesienia określona wektorem r = x , y , z wyznacza się z definicyjnej
C
[ C C C ]
zależności:
N
r
1
r
r
r m
(44.1)
C =
∑ i i
M i=1
którą można rozłożyć na trzy następujące wyrażenia:
N
1
x
x m
(44.1a)
C =
∑ i i
M i=1
N
1
y
y m
(44.1b)
C =
∑ i i
M i=1
N
1
z
z m
(44.1c)
C =
∑ i i
M i=1
W przypadku ciała rozciągłego aby wyznaczyć jego środek masy należy rozłożyć go na nieskończenie wiele małych mas dm , których położenia względem punktu odniesienia są określone r
wektorem r = [ x , y , z ] . Wówczas w powyższych wzorach sumy przyjmują postać całek : r
1
r
(44.2)
C =
∫ r dm
M
to znaczy
1
x
(44.2a)
C =
∫ x dm
M
1
y
(44.2b)
C =
∫ y dm
M
1
z
(44.2c)
C =
∫ z dm
M
Przy czym całkowanie musi się odbyć po wszystkich elementach dm to znaczy po całej objętości ciała sztywnego. Należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek gdy punkt odniesienia pokrywa się ze środkiem masy. Wówczas
r
r
tzn. ∫ x dm = 0 ; ∫ y dm = 0 ;∫ z dm = 0
(44.3)
C = [0 , 0 , 0 ]
Wielkość fizyczna zwana momentem bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego, gdy wykonuje ono ruch obrotowy. Została ona dokładnie opisana w części teoretycznej w ćwiczeniu nr 36. Wartość momentu bezwładności zależy od osi, wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znamy moment bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to możemy za pomocą twierdzenia Steinera obliczyć momentem bezwładności tego ciała względem innej osi równoległej do niej.
Z*
Z
dm
Y
x1
y1
X
Y*
d
xC x2
yC
X*
y2
Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera
Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy (jest to oś Z) wyraża się całką: J
( 2
2 )
(44.4)
Z =
∫ x 1 + y dm
1
Wyrażenie
2
2
x + y określa odległość elementu dm od osi Z
1
1
Analogicznie możemy napisać wyrażenie na moment bezwładności względem osi obrotu Z*
równoległej do osi Z i oddalonej od niej o
2
2
d =
x + y , gdzie współrzędne x
i y określają
C
C
C
C
położenie środka masy rozpatrywanego ciała w nowym gwiazdkowanym układzie współrzędnych: J *
( 2
2 )
(44.5)
Z =
∫ x 2 + y dm
2
Wyrażenie
2
2
x + y określa odległość elementu dm od nowej osi Z* przy czym: 2
2
x = x + x
;
y = y + y
(44.6)
2
C
1
2
C
1
Podstawiając wyrażenia 44.6 do 44.5 otrzymujemy:
J *
2
2
2
2
2
2
2
2
(44.7)
Z =
∫ ([ xC + x 1) + ( yC + y 1) ] dm = ∫( xC + x x C
1 + x 1 + yC +
y y
C
1 + y 1 ) dm
dalej grupując wyrażenia
J *
2
2
2
2
2
2
Z =
∫( x 1 + y 1 ) dm + ( xC + yC )∫ dm + xC ∫ x dm 1
+ yC ∫ y dm
1
Pierwsza całka (zgodnie z 44.4) odpowiada wyjściowemu momentowi bezwładności JZ .
Ponieważ jak zaznaczyliśmy wyżej
2
2
2
x + y = d i ∫ dm = M druga całka przyjmuje postać: C
C
( x 2 + y 2
2
∫
=
C
C ) dm
d M
Dwie ostatnie całki zerują się, gdyż spełniony jest warunek 44.3 tzn. położenie środka masy w r
pierwotnym układzie odniesienia określa wektor zerowy r
.
C = [0 , 0 , 0 ]
Reasumując równanie (44.7) przyjmuje postać:
*
2
J = J + M d
(44.8)
Z
Z
I to jest właśnie twierdzenie Steinera opisujące związek między momentami bezwładności J * i J
Z
Z
44.2 Metoda pomiaru.
W ćwiczeniu wyznaczamy momenty bezwładności okrągłej tarczy metalowej o promieniu R = 15 cm. Posiada ona 5 otworów rozmieszczonych co 3 cm. Umożliwia to równoległe przesuwanie osi jej obrotu o znaną wartość d. Tarczę mocuje się na balansowym sprężynowym mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z położenia równowagi o nieduży kąt i puszczona swobodnie wykonuje drgania harmoniczne jak wahadło torsyjne (pa Sugerowałtrz
ż
ś
ćw
bym iczen
wyra ie nr
ne 40).
okre lenie celu
ćwiczenia.
Okres drgań tarczy wyraża się tym samym wzorem:
Wyznaczamy moment bezwładności tarczy gdy
a) oś obrotu przechodzi przez środek tarczy, (z
J
T = 2
bezpośredniego pomiaru w eksperymencie, na
π
(44.9)
D
podtawie wykresu T=f(d2), z obliczenia
teoretycznego )
gdzie: J – moment bezwładności tarczy względem z
b) adanej
przez osi obr
brzeg otu.
tarczy (z obliczenia
D – stała zwana modułem skręcenia lub momentem kierując
teoretycznego, y
z m zależna od b
aproksymacji ud
z owy
wykresu).
mechanizmu torsyjnego . W ćwiczeniu wynosi ona 0,0255 Nm
W ten sposób mierząc okres drgań T wyznacza się moment bezwładności J. Stanowisko wyposażone jest w fotokomórkę, za pomocą której można automatycznie zmierzyć połowę okresu drgań czyli T/2 .
Kolejność pomiarów jest następująca:
1. Zapoznać się z budową zestawu pomiarowego.
2. Umocować tarczę na centralnym otworze.
3. Włączyć fotokomórkę.
4. Obrócić tarczę o kąt 90o, nacisnąć na fotokomórce przycisk SET i puścić tarczę. Po wykonaniu przez układ pełnego drgania, odczytać na wyświetlaczu czas T/2. Czynność powtórzyć dziesięciokrotnie, obracając tarczę po 5 razy w prawo i lewo.
5. Umocowywać tarczę na kolejnych otworach i powtarzając punkt 4 mierzyć kolejne okresy drgań.
44.4 Opracowanie wyników pomiarów.
1. Obliczyć średnie arytmetyczne wyznaczonych okresów drgań i ich średnie błędy kwadratowe 2. Na podstawie zależności (44.9) obliczyć momenty bezwładności J dla 5 serii pomiarowych oraz błędy pomiarów.
3. Wykonać wykres J = f ( 2
d ) .W eksperymencie d przyjmuje kolejno wartości: 0, 3, 6,9, 12
[cm]. Nanieść punkty pomiarowe wraz z błędami i poprowadzić przez nie optymalną prostą najlepiej stosując metodę najmniejszych kwadratów Gaussa. Reprezentuje ona twierdzenie Steinera (wzór (44.8)). Wyciągnąć odpowiednie wnioski.
1
4. Z teoretycznego wzoru
2
J =
MR obliczyć moment bezwładności tarczy (R = 15 cm, 2
M = 0,4 kg) i porównać go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem przecięcia prostej z punktu 3 z osią rzędnych). Wyciągnąć odpowiednie wnioski.
5. Obliczyć moment bezwładności tarczy względem osi stycznej i prostopadłej do niej.
44.5. Pytania kontrolne
1. Wyjaśnić pojęcie środka masy ciała.
2. Zdefiniować moment bezwładności bryły. Od czego on zależy?.
3. Wyprowadzić wzór na moment bezwładności walca o promieniu R względem osi obrotu.
4. Wyprowadzić wzór na okres wahadła torsyjnego.
L i t e r a t u r a
[1] Leyko J. :. :Mechanika ogólna . PWN W-wa 1995-r
[2] Kittel.C. , Knight W.D. , Ruderman M.A. : Mechanika. PWN W-wa 1973r.