s [
h m( L − x)]
sh( mx)
Θ = Θ
+ Θ
0
sh( mL)
L sh( mL)
Rozwiązując następujące całki:
δ
2
∫
1
δ
cos µ ⋅ x ⋅ dx =
sin µ ⋅
k
k
µ
2
0
k
δ
δ
sin µ ⋅δ
2
+
k
;
µ = µ
∫cosµ ⋅ x ⋅cosµ ⋅ x ⋅ dx = 4
4µ
k
i
k
i
k
0
0
; µ ≠ µ
k
i
δ
sin µ ⋅
1
δ
δ
k
γ ⋅
sin µ ⋅
= A
2
+
0
µ
k
k
2
4
4µ
k
k
1
δ
δ
sin µ ⋅
k
sin µ ⋅
µ
k
2
A = γ
k
4
= γ
2
4
k
0 δµ
sin µ ⋅δ
0
+
k
k
µ δ
sin µ δ
k
k
+
µ
µ
k
k
δ
µ
∞
sin
⋅
i
2
γ = 4γ ⋅
2
cos µ
µ τ
0
∑
⋅
⋅ x ⋅ e− a⋅ ⋅ i
µ δ
µ δ
=
sin
1
+
⋅
i
i
i
2
δ 2
− a ⋅ µ ⋅τ ⋅
⋅
i
2
−
2
2
a ⋅τ
δ
δ
=
⋅ µ ⋅
= − µ ⋅ ⋅ F − liczba
Fouriera
2
2
i
i
o
δ
δ
2
2
2
2
x
δ
X =
⇒ x = X ⋅
δ
2
2
}
p
δ
δ
µ ⋅
⋅ tgµ ⋅
= Bi
δ
i
i
2
2
µ
δ 2
3
2
1
∞
sin i
µ
F
i
o
δ
γ
p
= 4γ ⋅
2
cosµ
x e
0
∑
−
⋅ ⋅
2
⋅
⋅
⋅ ⋅
i
µ δ
µ δ
i
sin
2
1
⋅ +
=
i
{
i
3
2
1
3
2
1
2 p
2
p
p
37
Jeżeli liczba Fouriera jest Fo>0,2 to wystarczy jeden wyraz do dokładnego policzenia.
δ
sin µ ⋅
δ 2
1
− µ ⋅ ⋅ F
1
o
δ
γ = 4γ ⋅
2
⋅ cos µ ⋅
⋅ x ⋅ e 2
o
µ ⋅δ + sin µ ⋅
1
δ
2
1
1
γ
δ 2
ln
=
− µ ⋅
⋅ F + C
1
o
γ
2
Dla wartości bliskich 1 nie określone
o
γ
γ o
1 Bi Fo
KONWEKCJA
Przekazywanie ciepła w wyniku ruchu substancji, Unoszenie ciepła. Aby określić konwekcje w płynach musimy rozważyć:
• Równanie wynikające z zasady zachowania energii;
• Równanie wynikające z zasady zachowania pędu i krętu (rów. Naviore-Stokesa);
• Równanie wynikające z zasady zachowania substancji (rów. ciągłości); α - współczynnik przejmowania ciepła
Konwekcja dzieli się na:
• Konwekcję bez zmiany fazy
• Konwekcję ze zmianą fazy
Skraplanie
Wrzenie
- ruch wymuszony: turbulentny, przejściowy, laminarny
- ruch swobodny (naturalny)
38
w
γ
w = 0 t’ to δgr
q = α γ
( − t)
γ − t'
λ
γ − t'
q =
⇒ α =
⋅
α = f(w, c
δ
p, ζ, λ, ν, L)
gr
δ
γ − t
gr
λ c
w – prędkość
cp – ciepło właściwe
L – rozmiar ciała
ν - współczynnik lepkości
Funkcję rozwijamy w szereg potęgowy:
α = ∑ C ⋅ ai
w ⋅
bi
c
⋅ ci
ς ⋅ di
λ ⋅ ei
ν ⋅ fi
L
i
p
i
m
kg ⋅
⋅ m
s 2
[α ] =
= kg ⋅ s −3 ⋅ K −1
m 2 ⋅ K ⋅ s
[ w] = m ⋅ s −1
J
[ c ] =
= m 2 ⋅ s −2 ⋅ K −1
:1 =
+
p
kg
c
d
kg ⋅ K
i
i
m : 0 = a + b
2
− c
3
+ d + 2 e + f
[ς ] = kg ⋅ m 3
i
i
i
i
i
i
s : −3 = − a − b
2
− d
3
− e
W
i
i
i
i
[λ] =
= kg ⋅ m ⋅ s −3 ⋅ K −1
K : −1 = b
−
− d
m ⋅ K
i
i
[ν ] = m 2 ⋅ s −1
[ L] = m
Zmienne ai, bi uważamy za niezależne.
39
w
1
1
i ⋅
b
c i ⋅ bi
ς ⋅ − bi
λ
⋅ − a + b
i
i
ν
⋅ a −
L i
i
p
c = b
i
i
i
b
d = 1 − b
a
c ⋅ς ⋅ν i
i
i
i
w ⋅ L
p
e = − a + b
α ⋅ L
ν
λ
i
i
i
= ∑ C
⋅
i
f = a − 1
λ
Re
P
i
i
i
r
Nu
Nu – liczba Nursena
ν
ν
Pr – liczba Prantla P =
=
r
a
λ
c ⋅ ς
p
N =
i
i
C Re
P
u
∑ ⋅ a ⋅ b
i
r
i
εL, εT, ε - wartości poprawkowe
a, b, c – wyznaczamy doświadczalnie
W liczbie Nusselt’a λ jest dla płynów ( nie dla ciał stałych ).
0 1
, 4
η
C = ,
0 027
η s
0,25
P
C =
r
Prśś
η - dynamiczny współczynnik lepkości w temperaturze płynu ηś – dynamiczny współczynnik lepkości w temperaturze ścianki Jeżeli przepływ jest burzliwy i izotermiczny µ = idem.
γśr
tp
tp
γśr
rozkład temp. przy grzaniu rozkład temp. przy chłodzeniu ścianki ścianki 40
P
r
ε =
przy
grzaniu
T
Prs
0 1
, 9
P
r
ε =
przy
chlodzeniu
T
P
rs
Uwzględniamy średnice przy rurach, a przy innych przekrojach średnicę hydrauliczną (4
4 A
przekroje przez obwód) d =
.
h
O
Przykład.
d D
π ⋅ D 2 π ⋅ d 2
4
−
4
4
d =
h
µ ⋅ D + n ⋅π ⋅ d
Jeżeli rury są omywane to bierzemy średnicę zewnętrzną rury. Jeżeli omywany jest początek rury poprzecznie to prędkość liczona jest w najmniejszym przekroju.
wmax
Własności czynnika zależą od temperatury. Własności określamy dla średniej arytmetycznej temperatury płynu.
N = (
a
C'+ C ⋅ Re
⋅ P = C'⋅Re ⋅ Pr + C ⋅ Re ⋅ Pr u
) b
a
b
a
b
r
41
Do wzoru obliczamy poprawkowe:
εϕ - z wykresu, gdy rury są omywane pod pewnym kątem εL =1+F(d/L)
εR =1+3,54( ν/R) – gdy rura jest w kształcie spirali Gdy rury są ożebrowane
0,5
0,33
N = Re
⋅ Pr
u
A
Rozmiar Zp = 2L ; Z = 2
OŻ - zastępczy wymiar liniowy
p
2
a
0,33− zostalo
przyję rz
N = C ⋅ Re ⋅ Pr
u
α ⋅ L
N
α
λ
Liczba Stantona : St
u
=
=
=
R ⋅
e Pr
w ⋅ L ν
ς ⋅ c ⋅ w
⋅
ν
a
StPr
Nu
= St = C ⋅ Re a 1
− ⋅ Pr0,33 1
−
Re⋅ Pr
a<1
St ⋅ Pr 0,67 = C ⋅ Re a 1
−
= f (Re)
Re
Dla gazów liczba Prandtla do potęgi jest bliska jedności i wstawiamy ją pod stałą C: n
N = C ⋅ Re
u
N = C
a
b
⋅ Re ⋅ Pr
u
a
b
α ⋅ d
w ⋅ d ν
= C ⋅
⋅
λ
ν
a
λ
α = C ⋅
⋅ w 2 ⋅ d a−1
− a
b
⋅ν
⋅ν ⋅ a − b = C
b− a
⋅ λ ⋅ν
⋅ a − b ⋅ wa ⋅ d a−1
1 4
4 2
4
4 3
d
f ( t )
0,8
a
a−1
w
w ⋅ d
= d 0,2
w 0,8
α = f t
( ) ⋅
−
wzory
Schokca
d 0,2
42
Przepływ wewnątrz przewodów – laminarny Re < 2100.
d
d
Re⋅ Pr⋅
<
5
,
4
N =
5
,
0 Re⋅ Pr⋅
L
u
L
0 1
, 4
1
3
d
η
d
Re⋅ Pr⋅
> 13
N = 8
,
1 6
⋅ Re⋅ Pr⋅
u
L
η S
L
Nu
ln
4,5 13 ln RePr(d/L) KONWEKCJA NATURALNA (swobodna) w przestrzeniach otwartych Gdy ruch płynu wywołany jest pod wpływem rozszerzalności termicznej i siłami grawitacji –
nie ma wpływu Re.
w Nu = f (Pr, Gr)
tśr
t
t∝
Jeżeli nie ma ruchu wymuszonego to w∞ = 0. Ze względu na siły lepkości prędkość przy ściance równa jest zeru.
t 8
7
6∆
α = f ((γ − t ,
) β , g, c ,ς , λ,ν , L)
p
Dla konwekcji naturalnej γ-t, β, g mają decydujący wpływ na wielkości współczynnika α.
43
Przy obliczeniu postępujemy analogicznie jak dla konwekcji wymuszonej: N = C G
( r
i
⋅ Pr)
u
α ⋅ L
g ⋅ β ⋅ t
∆ ⋅ l 3
ν
N =
Gr =
Pr =
− stala
materialowa
u
2
λ
ν
a
γ + t
t
=
− dla
ś redniej
temperatury
okreś kreś
wlasnoś la
plynu
ś r
2
β - współczynnik rozszerzalności termicznej dla ciecz – z tablic, 1
1
dla gazów - β =
=
T
t
+ 273
ś r
ś r
Lmin( h1, h2 ) < 0,bm
ν przyjmuje wartości:
i < 0,25 i = 0,25 i > 0,33
x1 x2 GrPr 107(105) 109(107)
Konwekcja naturalna w przestrzeniach zamkniętych
λ
m ⋅ G
( r
n
⋅ Pr)
r = 1+
λ
Gr ⋅ Pr⋅ n
Konwekcja mieszana – wpływ Re i Gr.
44
γ < tn
temp. ścianki < temp. nasycenia
1. Kropelkowe (perliste)- gdy krople nie zwilżają powierzchni 2. Błonowe – rozpływają się tworząc błonę
WRZENIE BŁONOWE
tn
γ
δ
Właściwości skropliny decydują o współczynniku przekazywania ciepła.
α = f ( t
∆ , c, g, λ ,ν , L)
c
c
Nu = C ⋅ ( Ga ⋅ Pr ⋅ K )0,25
c
c
ν
Pr = c
c
ac
3
g ⋅ l
Ga =
c
2
ν c
r
r
K =
=
c ⋅ ∆ t
c ⋅ ( t − γ )
c
c
n
r + c
⋅ t
(
− t )
Dla pary przegrzanej : K
pp
p
' =
1
c ⋅ t
∆
c
0,725 ⋅ n1/4 – dla n-rur umieszczonych jedna nad drugą 45