BELKI GERBERA
Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem ns = 0).
Przykładowy schemat:
A
B
C
D
MA
HA
VA
VB
V
V
C
D
Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu:
ns = R – P – 3
gdzie:
- R – liczba reakcji,
- P – liczba przegubów,
- 3 – liczba równań równowagi na płaszczyźnie.
Dla powyższego schematu: R = 6; P = 3 zatem
ns = 6 – 3 – 3 = 0.
Sposób obliczania:
Aby policzyć Belkę Gerbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach A
E
F
G
C
D
B
uzyskując pojedyncze belki
A
E
B
F
G
C
D
Aby móc policzyć konstrukcję belki powstałe po podziale muszą być statycznie wyznaczalne i geometrycznie niezmienne, zatem muszą opierać się na dwóch podporach przegubowych lub skrajne mogą być utwierdzone. Zatem w powstałych po podziale belkach dokładamy fikcyjne podpory w przegubach tak, aby stały się one geometrycznie niezmienne.
Najniżej znajdują się belki, które bezpośrednio po podziale są statycznie wyznaczalne i nie potrzebują dodatkowych podpór (utwierdzenie lub belka oparta na dwóch podporach).
Najwyżej umiejscawiamy belkę, która po podziale nie ma żadnego podparcia i potrzebuje dwóch podpór fikcyjnych (schemat 1.) lub skrajna belka, która po podziale opiera się na jednej podporze, jeżeli w danym układzie nie ma części nie podpartej żadną podporą zawierającej się między dwoma przegubami (schemat 2.). Pozostałe belki umiejscawiamy schodkowo od tej położonej najwyżej do tej położonej najniżej. Jeżeli wyżej ulokowana belka ma w danym przegubie fikcyjną podporę to druga musi mieć w tym miejscu swobodny koniec.
mgr inż. Hanna Weber
Schemat 1.:
A
B
C
D
MA
HA
VA
VB
V
V
C
D
Krok 1.: Dokonujemy podziału belki gerbera w przegubach.
A
E
F
G
C
D
B
Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysokości:
A
E
F
G
C
D
B
HF
HG
VF
VG
HE
HF
HG
VF
VG
VE
VB
VC
VD
MA
HA
VE
VA
- fikcyjna podpora
Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynając od tej położonej najwyżej i schodzimy stopniowo w dół obciążając belki niżej położone wyliczonymi wcześniej reakcjami.
W schemacie 1. najpierw liczymy część FG ( część ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby policzyć reakcje poziome, należy wyznaczyć HG z sumy rzutów na oś x dla części GD), później części EF lub GD, na końcu zaś AE.
mgr inż. Hanna Weber
Schemat 2.:
A
B
C
D
E
F
G
MA
HA
VA
VC
V
V
E
G
A
B
C
D
E
F
G
HF
V
VG
F
H
HF
D
VF
VD
VE
H
H
B
D
VD
VB
VC
MA
H
H
A
B
VB
VA
W schemacie 2. najpierw liczymy część FG, później DF, następnie BD, na końcu zaś AB.
Obciążenie w przegubie:
Jeżeli zdarzy się siła skupiona przyłożona w przegubie to po rozbiciu układu w przegubach przykładamy ją na belce dolnej ( tylko i wyłącznie!!! – nie wolno jej przyłożyć na obie belki ponieważ zwiększymy jej wartość dwukrotnie!). Moment zawsze znajduje się po jednej stronie przegubu (lewa lub prawa), po rozbiciu układu przykładamy go na tej belce, na której się znajdował przed podziałem bez względu czy jest to belka położona niżej czy wyżej.
mgr inż. Hanna Weber
Schemat 3.:
A
B
C
D
E
F
G
HG
VB
V
V
D
G
VF
E
A
B
C
D
F
G
M
P
HC
VB
VC
M
H
HE
C
VE
VC
VD
P
H
HG
E
VE
V
VG
F
Wykresy:
Wykresy można rysować dla każdej belki osobno i później złożyć je w całość.
mgr inż. Hanna Weber
Przykład 1.
Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema.
q1=6kN/m
P=15kN
q2=4kN/m
A
B
C
M=4kNm
F
G
60
D
E
4
2
3
6
2
1
1
2
q2=4kN/m
x2=3,0
H =
D
7,5kN
H =
E
7,5kN
x=2,0
q1=6kN/m
V =
D
12kN
V E= 12kN
P=15kN
Psin60=12,99kN
M=4kNm
H =
B
7,5kN
H =
D
7,5kN
H =
E
7,5kN Pcos60=7,5kN 60
V =
D
12kN
V
V =
G
5,505kN
E= 12kN
V B= 2,5kN
M =
A
10kNm
V =
C
3,5kN
V F= 30,495kN
H =
B
7,5kN
H =
A
7,5kN
V B= 2,5kN
V A= 2,5kN
18,495
12
+
+
5,505
T [kN]
-
-
-
2,5
6
e
e2
12
24
12
9
5
5,505
M [kNm]
10
18
7,5
7,5
+
N [kN]
Wyznaczenie reakcji:
Część DE:
∑FX= -HD+HE=0
∑MD= q2·6·3-VE·6=0 → VE=3q2=3·4=12kN
∑ME= -q2·6·3+VD·6=0 → VD=3q2=3·4=12kN
Sprawdzenie:
∑FY= VD + VE – q2·6 = 12 + 12 - 4·6 = 0
Część EG:
∑FX= -HE + Pcos60°=0 → HE = Pcos60°=7,5kN → HD= 7,5kN
∑MF= - VE·2+Psin60°·1 +VG·2=0 → VG=0,5(2 VE - Psin60°·1) = 0,5(2·12 – 12,99·1)=5,505kN
∑MG= - VE·4-Psin60°·1 +VF·2=0 → VF=0,5(2 VE + Psin60°·1) =0,5(2·12 + 12,99·1)=30,495kN
Sprawdzenie:
∑FY= VF - VE – VG - Psin60° = 30,495 – 12 - 5,505 - 12,99= 0
Część BD:
mgr inż. Hanna Weber
∑FX= -HB+ HD= 0 → HB = HD =7,5kN
∑MB= VC·2 - M – q1·3·3,5 +VD·5=0 → VC=0,5·(M + q1·3·3,5 - VD·5) = 0,5(4 + 6·3·3,5 - 12·5)=3,5kN
∑MC= -VB·2 - M – q1·3·1,5 +VD·3=0 → VB=0,5·(-M - q1·3·1,5 + VD·3) = 0,5(-4 - 6·3·1,5 + 12·3)=2,5kN
Sprawdzenie:
∑FY= -VB – VC – VD + q1·3= - 2,5 – 3,5 - 12 + 6·3= 0
Część AB:
∑FX= -HA+ HB= 0 → HA = HB =7,5kN
∑MA= -VB·4 + MA=0 → MA=4VB = 4·2,5 =10kNm
∑FY= VA - VB =0 → VA= VB =2,5kN
Sprawdzenie:
∑MB= -VA·4 + MA = - 2,5·4 + 10 = 0
Wyznaczenie ekstremum:
T[x]= VD - q1x = 0 → x = VD/q1 = 12/6 = 2m
M[x] = VD ·x – q1·x2/2
M[x = 2] = 12·2 - 6·22/2 = 12kNm
T[x2] = VD – q2x2= 0 → x2 = VD/q2 = 12/4 = 3m
M[x
2
2] = VD ·x2 – q2·x2 /2
M[x2= 2] = 12·3 - 4·32/2 = 18kNm
Przykład 2.
Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema.
P2=15kN
P1=12kN
q=6kN/m
A
C
B
M=9kNm
D
E
F
G
60
2
2
3
3
4
2
3
1
x=1,33
q=6kN/m
H =
F
0kN
F
V =
G
V = 8kN
16kN
V =
D
7kN
H =
D
0kN
H =
F
0kN
V F= 8kN
V E= 27kN
M=9kNm
P1=12kN
H =
B
0kN
H =
D
0kN
V =
D
7kN
P2=15kN
V B= 2kN
Psin60=12,99kN
V =
C
7kN
M =
A
17,98kNm
H =
A
7,5kN
60
H =
B
0kN
Pcos60=7,5kN
V B= 2kN
V =
A
10,99kN
20
10,99
10,99
8
6
5
5
+
+
+
+
-
T [kN]
2
2
-
-
7
7
e
10
28
17,98
15
6
3
M [kNm]
4
5,33
N [kN]
-
mgr inż. Hanna Weber
Wyznaczenie reakcji:
Część FG:
∑FX= HF=0
∑MF= q·4·2-VG·3=0 → VG=1/3(8q)=8/3·6=16kN
∑MG= -q·4·1+VF·3=0 → VF=4/3q=4/3·6=8kN
Sprawdzenie:
∑FY= VF + VG – q·4 = 8 + 16 - 4·6 = 0
Część DF:
∑FX= -HF + HD =0 → HD = HF =0kN
∑MD= - VE·4+q·2·5 +VF·6=0 → VE=0,25(6VF + 10q) = 0,25(6·8 – 10·6)=27kN
∑ME= - VD·4 + q·2·1 +VF·2=0 → VD=0,25(2VF + 2q) =0,25(2·8 + 2·6)=7kN
Sprawdzenie:
∑FY= -VF – 2q + VE – VD = - 8 – 2·6 +27 - 7= 0
Część BD:
∑FX= HB- HD= 0 → HB = HD =0kN
∑MB= -VC·3 - M +P1·6 - VD·6=0 → VC=1/3·(-M + 6P1 - 6VD) = 1/3·(- 9 + 6·12 - 6·7)=7kN
∑MC= -VB·3 - M + P1·3 -VD·3=0 → VB=1/3·(-M + 3P1 - 3VD) = 1/3·(- 9 + 3·12 - 3·7)=2kN
Sprawdzenie:
∑FY= -VB + VC + VD - P1= - 2 + 7 + 7 – 12 = 0
Część AB:
∑FX= HA- HB – P2cos60°= 0 → HA = P2cos60° + H B =7,5 +0 = 7,5kN
∑MA= -VB·4 - MA +2·P2sin60°=0 → MA=- 4VB + 2·P2sin60° = - 4 ·2 + 12,99·2 =17,98kNm
∑FY= VA + VB - P2sin60° =0 → VA= P2sin60° - V B = 12,99 – 2 = 10,99kN
Sprawdzenie:
∑MB= VA·4 - MA - 2·P2sin60° = 4 ·10,99 – 17,98 - 2·12,99 = 0
Wyznaczenie ekstremum:
T[x]= VF - qx = 0 → x = VF/q = 8/6 = 1,33m
M[x] = VF ·x – q·x2/2
M[x = 1,33] = 8·1,33 - 6·1,332/2 = 5,33kNm
Przykład 3.
Wyznacz reakcje w poniższej belce. Narysuj wykresy sił wewnętrznych. Policz ewentualne ekstrema.
Wyznaczenie reakcji:
Część BC:
∑FX= -HB + HC + P1cos45° =0 → HB = HC + P1cos45°
∑MB= -VC·4 + P1sin45°·2=0 → VC=0,25·( 2P1sin45°)=0,25 ·2·12,02=6,01kN
∑MC= VB·4 - P1sin45°·2=0 = → VB=0,25·( 2P1sin45°)=0,25 ·2·12,02=6,01kN
Sprawdzenie:
∑FY= VB + VC – P1sin45° = 6,01 + 6,01 - 12,02 = 0
Część CE:
∑FX= -HC + HE =0 → HC = HE
∑MD= q·5·1 + VE·2 – VC·3=0 → VE=0,5(3VC - 5q) = 0,5(3·6,01 – 5·6)=1,515kN
∑ME= - VD·2 + q·5·2,5 –VC·5=0 → VD=0,5(-5VC + 12,5q) =0,5(- 5·6,01 + 12,5·6)=22,475kN
Sprawdzenie:
∑FY= -VC + 5q – VD – VE = - 6,01 + 5·12 – 22,475 – 1,515 = 0
Część EG:
∑FX= - HE= 0 → HE = 0kN → HC = 0kN → HB = 0 + P1cos45° = 0 + 12,02 = 12,02kN
mgr inż. Hanna Weber
∑MF= -VG·1 + M2 + VE·1 =0 → VG= M2 + 1VE = 8 + 1·1,515 = 9,515kN
∑MG= -VF·1 + M2 + VE·2 =0 → VF= M2 + 2VE = 8 + 2·1,515 = 11,03kN
Sprawdzenie:
∑FY= -VF + VE + VG = - 11,03 + 1,515 + 9,515 = 0
Część AB:
∑FX= - HA + HB = 0 → HA = HB = 12,02kN
∑MA= VB·4 - MA – M1 =0 → MA= 4VB – M1 = 4·6,01 - 4 =20,04kNm
∑FY= VA - VB =0 → VA= VB = 6,01kN
Sprawdzenie:
∑MB= VA·4 - MA - M1 = 4·6,01 – 20,04 - 4 = 0
Wyznaczenie ekstremum:
T[x]= -VC + qx = 0 → x = VC/q = 6,01/6 = 1m
M[x] = -VC ·x + q·x2/2
M[x = 1] = -6,01·1 + 6·12/2 = 3,01kNm
T[x2]= VE – qx2 = 0 → x2 = VE/q = 1,515/6 = 0,25m
M[x
2
2] = -VE ·x2 + q·x2 /2
M[x = 0,998] = -1,515·0,25 + 6·0,252/2 = 0,19kNm
P1=17kN
q=6kN/m
A
C
M 1=4kNm
D
E
M 2=8kNm
45
F
G
4
2
2
3
2
1
1
1
P1=17kN
Psin45=12,02kN
H =
H =
C
0kN
B
12,02kN
45
x2=0,25
Pcos45=12,02kN
V B= 6,01kN
V =
C
6,01kN
q=6kN/m
M =
A
20,04kNm
M 1=4kNm
x=1
H =
A
12,02kN
H =
B
12,02kN
H =
E
0kN
H =
C
0kN
V B= 6,01kN
V
V =
C
6,01kN
V E= 1,515kN
A= 6,01kN
V =
D
22,475kN
M 2=8kNm
H =
E
0kN
V
V =
G
9,515kN
E= 1,515kN
V F= 11,03kN
11,99
6,01
6,01
+
+
1,515
+
T [kN]
-
-
-
6,01
6,01
e
e
10,485
2
9,515
20,04
8
3,01
0,19
M [kNm]
1,515
4
8,97
12,02
12,02
12,02
+
N [kN]
mgr inż. Hanna Weber