a analityczn ¾
a A - MAP 1140
Algebra z geometri ¾
a analityczn ¾
a B - MAP 1141
Lista zadań na rok akademicki 2009/2010
Opracowa÷
: Zbigniew Skoczylas
Wyra·
zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Studenci wydzia÷
ów W2, W4 oraz W7 opracowuj ¾
a ten materia÷samodzielnie.
1. Obliczyć lub uprościć wyra·
zenia:
(a2b3)4
a) 35 34 ;
b) 125 ; c)
;
d) x 2y4z 3 :
38
44 36
(a4b2)3
x3y 5z3
2. Obliczyć:
q
q
q
a)
7 1 ;
b) 3 2 10 ;
c) 4 5 1 :
9
27
16
3. Podane wyra·
zenia zapisać w postaci pot ¾
egi 2:
p
p p
q
4
p
a) 4 5 8;
b)
2 3 2;
c)
2 ; d) 3 32
p :
16
2
4. Wy÷¾
aczyć czynnik spod znaku pierwiastka:
p
p
p
p
p
p
a)
72;
b)
3 250; c) 4 162;
d)
3x4; e) 3 16a9; f) 4 4a4b8:
5. Wykonać wskazane dzia÷
ania:
a) (u + v)2
(u
v)2 ;
b)
x2+y2
2x : (x2
y2) ;
y
h
i
c)
a3 b3
(a + b)
a + 1 ; d)
a c
a3 b3 :
a2 b2
b
a2+ac+c2
a2b bc2
6. Podane u÷
amki uwolnić od niewymierności w mianowniku:
p
p
a)
2
p ; b)
6 ; c) 11p ; d) 3
2
p
p ;
e)
5
:
3
4
p2
5
3
3+ 2
3
p2+1
7. Wskazać wi ¾
eksz ¾
a z liczb wśród podanych par:
p
p
p
p
a) 213; 47;
b)
12
11;
13
12;
c) 920; 2713:
8. Uprościć wyra·
zenia:
a) x3 8 ;
b) a3+27b3 ;
c) x4+2x2y2+y4 ;
d) x2 1
p ;
e) (a b)5 :
x2 4
a5+243b5
x6+y6
1
x
(b a)3
9. Za pomoc ¾
a indukcji matematycznej uzasadnić, ·
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n zachodz ¾
a to·
zsamości:
a) 1 + 3 + : : : + (2n
1) = n2;
b)
1 + 1 + : : : +
1
= n ;
1 2
2 3
n(n+1)
n+1
c) 1 + 3 + : : : + 3n 1 = 1 (3n
1) ;
2
h
i2
d) 13 + 23 + : : : + n3 = n(n+1)
:
2
10. Metod ¾
a indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:
a) 2n > n2 dla n > 5;
b)
1 + 1 + : : : + 1 6 2
1 dla n 2 N;
12
22
n2
n
c) n! > 2n dla n > 4;
d) (1 + x)n > 1 + nx dla x > 1 oraz n 2 N (nierówność Bernoulliego); n
e) n! < n
dla n > 6:
2
1
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n liczba:
a) n5
n jest podzielna przez 5;
b) 8n + 6 jest podzielna przez 7:
12. *Uzasadnić, ·
ze n prostych mo·
ze podzielić p÷
aszczyzn ¾
e na maksymalnie n(n+1) + 1 obszarów.
2
13. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyra·
zeń:
5
p
p
a) (2x + y)4 ;
b) (c
1)7 ;
c) x + 1
;
d) ( u + 4 v)8:
x3
14. Korzystaj ¾
ac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n
P
n
P
n
P
a)
n ; b)
n 2k; c)
n
( 1)k :
k
k
k
k=0
k=0
k=0
15
15. a) W rozwini ¾
eciu dwumianowym wyra·
zenia a3 + 1
znaleźć wspó÷
czynnik stoj ¾
acy przy a5;
a2
p
7
p
b) W rozwini ¾
eciu dwumianowym wyra·
zenia
4 x5
3
znaleźć wspó÷
czynnik stoj ¾
acy przy 4 x:
x3
Geometria analityczna na p÷
aszczyźnie. Krzywe sto·
zkowe
Studenci wydzia÷
ów W2, W4 oraz W7 opracowuj ¾
a ten materia÷samodzielnie.
16. Niech ~
a = ( 2; 3) ; ~
b = (1; 4) : Wyznaczyć wektor ~
u = 3~
a
2~
b:
17. Trójk ¾
at jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a;~
b: Wyrazić środkowe tego trójk ¾
ata przez wektory ~
a; ~
b:
18. Niech ~
a;~
b b ¾
ed ¾
a wektorami wodz ¾
acymi odpowiednio punktów A; B oraz niech punkt P dzieli
odcinek AB w stosunku 2 : 3: Znaleźć wektor wodz ¾
acy punktu P:
19. Za pomoc ¾
a rachunku wektorowego pokazać, ·
ze środki boków dowolnego czworok ¾
ata tworz ¾
a wierz-
cho÷
ki równoleg÷
oboku.
20. Wyznaczyć k ¾
at, jaki tworz ¾
a wektory ~
u = (1;
2) ; ~
v = (6; 3).
21. Równoleg÷
obok jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a = ( 3; 4) ;~
b = (1; 2). Wyznaczyć k ¾
at ostry mi ¾
edzy
przek ¾
atnymi tego równoleg÷
oboku.
22. D÷
ugości wektorów ~
a;~
b wynosz ¾
a odpowiednio 3; 5: Ponadto znamy ich iloczyn skalarny ~
a ~
b =
Obliczyć ~
p
~
q; gdzie ~
p = ~
a
~
b; ~
q = 2~
a + 3~
b:
23. Pokazać, ·
ze czworok ¾
at o wierzcho÷
kach A = (0; 0) ; B = (5; 2) ; C = (3; 7) ; D = ( 2; 5) jest
kwadratem.
24. Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (1; 3) i tworzy k ¾
at 120o z dodatni ¾
a
cz ¾
eści ¾
a osi Ox:
25. Napisać równanie prostej przechodz ¾
acej przez punkty P1 = (2; 3) ; P2 = ( 3; 7) :
26. Znaleźć miejsca przeci ¾
ecia prostej
x = 4
2t;
gdzie t 2 R;
y =
6 + t;
z osiami uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych. Czy punkt P = (4; 7) nale·
zy do tej prostej?
2
27. Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 2) i jest a) równoleg÷
a do prostej 3x
y + 2 = 0;
b) prostopad÷
a do prostej x + y = 0:
28. Dla jakiej wartości parametru m; odleg÷
ość punktów P = (1; 0) i Q = (m + 3;
2) jest równa 4?
29. Wyznaczyć odleg÷
ość punktu P0 = ( 4; 1) od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0: 30. Znaleźć odleg÷
ość prostych równoleg÷
ych l1; l2 o równaniach odpowiednio x
2y = 0;
3x + 6y
15 = 0:
31. Obliczyć wysokość trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0) ; B = ( 1; 3) ; C = (2; 5) opuszczon ¾
a z
wierzcho÷
ka C:
32. *Znaleźć równania dwusiecznych k ¾
atów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y
2 =
0; 4x
3y + 5 = 0:
33. Napisać równanie okr ¾
egu, którego średnic ¾
a jest odcinek o końcach A = ( 1; 3), B = (5; 7) :
34. Wyznaczyć wspó÷
rz ¾
edne środka i promień okr ¾
egu x2
4x + y2 + 6y + 2 = 0:
35. Znaleźć równanie okr ¾
egu opisanego na trójk ¾
acie ABC o wierzcho÷
kach A = (0; 0), B = (8; 0),
C = (0; 6).
36. Znaleźć równanie okr ¾
egu, który przechodzi przez punkty P = (3; 4), Q = (5; 2) i ma środek na osi Ox.
37. Wyznaczyć równanie okr ¾
egu, który jest styczny do obu osi uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych oraz przechodzi
przez punkt A = (5; 8): Ile rozwi ¾
azań ma zadanie?
38. Znaleźć równanie stycznej okr ¾
egu x2 + y2 = 25:
a) w punkcie ( 3; 4);
b) przechodz ¾
acej przez punkt ( 5; 10);
c) równoleg÷
ej do prostej x
y
4 = 0;
d) prostopad÷
ej do prostej x + 2y = 0:
39. Wyznaczyć osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz mimośród elipsy
x2
y2
+
= 1:
16
9
40. Punkty F1 = ( 5; 0) ; F2 = (5; 0) s ¾
a ogniskami elipsy. Znaleźć równanie tej elipsy, je·
zeli widomo,
·
ze jednym z jej wierzcho÷
ków jest punkt W = (0;
3)
41. Naszkicować elips ¾
e o równaniu 4x2
8x + 9y2 + 36y + 4 = 0:
42. Wyznaczyć osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli
x2
y2 = 1:
144
25
43. Narysować hiperbol ¾
e wraz z jej asymptot ¾
a
(y + 5)2
(x
2)2 = 1:
16
9
3
rz ¾
edne ogniska, wierzcho÷
ka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równa-
niu: a) y2 = 12x;
b) y = x2 + 6x:
45. Napisać równanie paraboli, której:
a) kierownic ¾
a jest prosta y =
2; a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho÷
kiem;
b) kierownic ¾
a jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho÷
kiem.
Macierze
46. Dla podanych par macierzy A; B wykonać (jeśli to jest mo·
zliwe) wskazane dzia÷
ania 3A
1 B; AT ;
2
AB; BA; A2:
1
4
0
6
a)
A =
; B =
;
2 0
8
2
b)
A = 1
3 2 ; B = 2
4 0 ;
2 3
1
607
c)
A = 6 7
435 ; B =
2 1 0 5 ;
0
2
3
2
3
1
0
1
2 0
d)
A = 4 2
1
45 ;
B = 4 4
15 :
3 0
2
0
3
47. Rozwi ¾
azać równanie macierzowe
02
3
1
2
3
1
0
4
3
3 @4 3 35
XA = X+ 4 0
65 :
2
5
1 2
48. Znaleźć niewiadome x; y; z spe÷
niaj ¾
ace równanie
T
x + 2 y + 3
3 6
2
=
:
3
0
y z
49. Podać przyk÷
ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷
niaj ¾
a podane warunki:
a)
AB 6= BA;
b)
AB = 0; ale A 6= 0; B 6= 0;
c)
A2 = 0; ale A 6= 0:
50. Uzasadnić, ·
ze iloczyn:
a) macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz ¾
a diagonaln ¾
a;
b) iloczyn macierzy trójk ¾
atnych dolnych tego samego stopnia jest macierz ¾
a trójk ¾
atn ¾
a doln ¾
a.
51. Pokazać, ·
ze ka·
zd ¾
a macierz kwadratow ¾
a mo·
zna przedstawić jednoznacznie jako sum ¾
e macierzy
symetrycznej AT = A i antysymetrycznej AT =
A . Napisać to przedstawienie dla macierzy
2
3
0
1
4
2
6 3 5 2
8 7
B = 6
7
4 2
4
3
45 :
6
0
0
1
52. Macierze kwadratowe A; B s ¾
a przemienne, tzn. spe÷
niaj ¾
a równość AB = BA: Pokazać, to·
zsamości:
a)
(A
B) (A + B) = A2
B2;
b) (BA)2 = A2B2;
c) A2B3 = B3A2:
4
53. Dla podanych macierzy A obliczyć An dla kilka pocz ¾
atkowych wartości n; nast ¾
epnie wysun ¾
ać
hipotez ¾
e o postaci tych pot ¾
eg i uzasadnić j ¾
a za pomoc ¾
a indukcji matematycznej:
2
3
2
3
2
3
1
0
0
2 0 2
1 1 0
a)
A = 40
2 05 ;
b)
A = 40 2 05 ;
c*)
A = 40 1 15 :
0
0
3
2 0 2
0 0 1
54. W zbiorze macierzy rzeczywistych znaleźć wszystkie rozwi ¾
azania podanych równań:
4 0
0 0
0 1
a)
X2 =
;
b)
X2 =
c) X2 =
:
0 9
0 0
1 0
Wyznaczniki
55. Napisać rozwini ¾
ecia Laplace’a podanych wyznaczników wg wskazanych kolum lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwini ¾
eciach):
1
4
3
7
1 4
3
2 4
2
0
a)
3 1
0 ; trzecia kolumna;
b)
;
czwarty wiersz.
5
4
1
6
2
5
2
2
0
0
3
56. Obliczyć podane wyznaczniki:
2
0
0
0
1
1
2
2
5
3
3 5
7
a)
;
b)
3
2
4 ;
c)
:
3
7
4
0
1
4
2
2
1
5
0
2
2
57. Korzystaj ¾
ac z w÷
asności wyznaczników uzasadnić, ·
ze podane macierze s ¾
a osobliwe:
2
3
2
3
2
3
1 5 2
2
2
4
4
1 2 3
67 5 2
57
a) 4 1
2
2 5 ;
b) 44 4 45 ;
c) 6
7
45 7 4
45 :
3
5
6
3 2 1
3 3 0
3
58. Jakie s ¾
a mo·
zliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷
niaj ¾
acej podane
warunki:
a) A3 = 4A
dla n = 3; 4;
b) AT =
A2
dla n = 3; 4 ?
59. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy:
2
3
2
3
2
3
1 2 3 4 5
2
1
0
0
0
5 3 0 : : : 0
6
7
6
7
62 5 3 : : : 07
62 2 3 4 57
6 0
2
1
0
0 7
6
7
6
7
a) 6
7
6
7
0 2 5 : : : 0
63 3 3 4 57 ; b) 6 0
0
2
1
0 7 ; c) 6
7 :
4
6 . . .
7
4 4 4 4 55
4 0
0
0
2
15
4 .
.
.
.. ..
. . 35
5 5 5 5 5
1
0
0
0
2
0 0 0 : : : 5
60. *Uzasadnić, ·
ze niezale·
znie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest równy 0
? ?
?
? ?
? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ? :
? 0 0 0 ?
? ?
?
? ?
Macierz odwrotna i uk÷
ady równań liniowych
5
ac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do podanych:
2
3
2
3
0 1 0 0
1
0
0
2 5
62 0 0 07
a) A =
;
b)
A = 43
1
0 5 ;
c)
6
7
3 8
40 0 0 35 :
2
5
1
0 0 4 0
62. Korzystaj ¾
ac z metody do÷¾
aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do podanych: 2
3
2
3
1
0
1 0
1
4
12
1
2
64 1
0
07
a) A =
;
b) A = 40
2
0 5 ;
c)
A = 6
7
3
1
40
2
1
35 :
0
2
6
0
0
0
1
63. Znaleźć rozwi ¾
azania podanych równań macierzowych:
3 5
0
3
1
a)
X =
;
1 2
4
2 0
2
3
2
3
1 2
0
3
b) 41 1
1 5 X = 4 1 5 ;
2 6
1
4
2
3
2
3
2 0 3
0 0 1
c)
X 4 1
1 15 = 40 1 25 ;
3 0 4
1 2 3
2 1
3
2
2 8
d)
X
=
:
3 2
5
3
0 5
64. Korzystaj ¾
ac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazan ¾
a niewiadom ¾
a z podanych uk÷
adów równań
liniowych:
2x
y
= 0
a)
; niewiadoma y;
3x + 2y = 5
8
< x + y + 2z =
1
b)
2x
y + 2z =
4 ; niewiadoma x;
: 4x + y + 4z =
2
8
>
> 2x + 3y + 11z + 5t =
2
< x + y + 5z + 2t = 1
c)
; niewiadoma z:
>
> 2x + y + 3z + 2t =
3
: x + y + 3z + 4t =
3
65. Metod ¾
a eliminacji Gaussa rozwi ¾
azać podane uk÷
ady równań:
2x
y
= 0
a)
;
3x + 2y = 5
8
< x + y + 2z =
1
b)
2x
y + 2z =
4 ;
: 4x + y + 4z =
2
8
>
> 3x
2y
5z +
t
=
3
< 2x
3y +
z
+ 5t =
3
c)
:
>
> x + 2y
4t =
3
: x
y
4z + 9t =
22
66. a) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkty (1; 4) ; (2; 3) : b) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; 2) ; (0; 1) ; (2; 4) : 6
czynniki a; b; c funkcji y = a2x+b3x+c4x; która w punktach
1; 0; 1 przyjmuje
odpowiednio wartości 3 ; 1; 1:
4
d) Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spe÷
nia równanie ró·
zniczkowe y00
6y0 + 13y = 25 sin 2x:
Wyznaczyć wspó÷
czynniki A; B:
67. a) Dla jakich wartości parametru m; podany uk÷
ad jednorodny ma niezerowe rozwi ¾
azanie
8
< mx + y + 2z = 0
2x
y + mz = 0 ?
: mx + y + 4z = 0
b) Dla jakich wartości parametrów a; b; c; d; podany uk÷
ad równań liniowych jest sprzeczny
8
>
> x + y
= a
<
z + t = b ?
>
> x
+ z
= c
:
y
+ t = d
c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p; dla których podany uk÷
ad równań liniowych ma tylko
jedno rozwi ¾
azanie
8
< x + 2y
3z =
1
2x
py +
z
=
3
:
: 2x + y
pz =
5
8 1
2
<
+
3
=
1
x
y
z
68. a*) Rozwi ¾
azać uk÷
ad równań
3
+
4
+
6
=
7
:
: x
y
z
1
8
3
=
4
x
y
z
8
< xy2z3 = 2
b*) Znaleźć dodatnie rozwi ¾
azania uk÷
adu równań
x2y3z4 = 4 :
: x2yz = 2
Geometria analityczna w R3
69. a) Dla jakich wartości parametrów p; q wektory ~
a = (1
p; 3;
1) ;
~
b = ( 2; 4
q; 2) s ¾
a
równoleg÷
e?
b) Dla jakich wartości parametru s wektory ~
p = (s; 2; 1
s) ; ~
q = (s; 1;
2) s ¾
a prostopad÷
e?
70. Obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ~
a = (1;
2; 5) ; ~
b = (2;
3;
1) :
71. Znaleźć wersor, który jest prostopad÷
y do wektorów ~
u = (1; 1; 0) ; ~
v = (0; 1; 1) :
72. Wyznaczyć cosinus k ¾
ata mi ¾
edzy wektorami ~
p = (0; 3; 4) ; ~
q = (2; 1;
2) :
73. a) Obliczyć pole równoleg÷
oboku rozpi ¾
etego na wektorach ~
u = ( 1; 2; 5) ; ~
v = (0; 3; 2) :
b) Obliczyć pole trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0; 1) ; B = (3; 0; 0) ; C = (0;
5; 0) :
74. a) Obliczyć obj ¾
etość równoleg÷
ościanu rozpi ¾
etego na wektorach: ~
a = (1; 2; 3) ; ~
b = (0; 4; 1) ; ~
c =
( 1; 0; 2) :
b) Obliczyć obj ¾
etość czworościanu o wierzcho÷
kach: A = (1; 1; 1) ; B = (1; 2; 3) ; C = (0; 4; 1) ; D =
(2; 2; 2) :
75. Znaleźć równania normalne i parametryczne p÷
aszczyzny przechodz ¾
acej przez punkty:
P = (1;
1; 0) ; Q = (2; 5; 7) ; R = (0; 0; 1) :
7
aszczyzn ¾
e
: x + 2y
z
3 = 0 zapisać w postaci parametrycznej.
8
< x =
1 + s + t;
b) P÷
aszczyzn ¾
e
:
y =
2
s
2t; przekszta÷
cić do postaci normalnej.
: z = 3 + 3s t
77. Znaleźć równanie parametryczne i kraw¾
edziowe prostej:
a) przechodz ¾
acej przez punkty A = ( 3; 4; 1) ; B = (0; 2; 1) :
b) przechodz ¾
acej przez punkt P = (3;
1; 2) i przecinaj ¾
acej prostopade oś Oy:
x + y
3
= 0
78. a) Prost ¾
a l :
zapisać w postaci parametrycznej.
y + z
1 = 0
b) Prost ¾
a l : x = 3; y = 2
2t; z = t zapisać w postaci kraw¾
edziowej.
79. Wyznaczyć punkt przeci ¾
ecia:
a) prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t oraz p÷
aszczyny
: 3x
y
2z
5 = 0;
b) p÷
aszczyzn 1 : x + 2y
z
5 = 0;
2 : x + 2y + 2 = 0;
3 : x + y + z = 0;
c) prostych l1 : x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 2
5s:
80. Obliczyć odleg÷
ość:
a) punktu P = (0; 1;
2) od p÷
aszczyzny
: 3x
4y + 12z
1 = 0;
b) p÷
aszczyzn równoleg÷
ych 1 : x
2y + 2z
3 = 0; 2 :
2x + 4y
4z + 18 = 0;
c) punktu P = (2;
5; 1) od prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t;
d) prostych równoleg÷
ych
x + y + z
3
= 0
x + y + z
3
= 0
l1 :
; l
;
x
2y
z
1 = 0
2 :
x
2y
z + 4 = 0
e) prostych skośnych l1 : x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 1
5s:
81. Wyznaczyć rzut prostopad÷
y punktu P = (1;
2; 0) na:
a) p÷
aszczyzn ¾
e
: x + y + 3z
5 = 0;
b) prost ¾
a l : x = 1
t; y = 2t; z = 3t:
82. Obliczyć k ¾
at mi ¾
edzy:
a) p÷
aszczyznami 1 : x
y + 3z = 0; 2 :
2x + y
z + 5 = 0;
x + y + z
3
= 0
b) prost ¾
a l :
i p÷
aszczyzn ¾
a
: x + y = 0;
x
2y
z
1 = 0
c) prostymi l1 : x =
t; y = 1 + 2t; z =
3; l2 : x = 0; y =
2s; z = 2 + s:
Liczby zespolone
83. Obliczyć:
p
a) (2
5i) + 3 + i 2 ;
b) (7 + 6i)
(8
3i) ; c)
(4
i) (3 + 4i) ;
d)
1+i ; e) i11; f) ( 1 + 2i); g) ( 3i);
h) (3 + 4i)2 ;
i)
(2 + i)3 :
6 5i
84. Porównuj ¾
ac cz ¾
eści rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań znaleźć ich rozwi ¾
azania:
a) z = (2
i)z; b) z2 + 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2
5i) z = 2i
3; d*) z3 = 1:
8
aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷
ni ¾
acych podane warunki:
a) Re (z + 1) = Im (2z
4i) ; b) Re (z2) = 0;
c) Im (z2) 6 8; d) Re 1 > Im (iz) :
z
86. Uzasadnić to·
zsamości:
a) jzj = jzj ; b) z z = jzj2 ; c) jznj = jzjn ; gdzie z 2 C oraz n 2 N: 87. Obliczyć modu÷
y podanych liczb zespolonych:
p
p
a)
3;
b) 5
12i;
c)
11 + i 5; d)
3+4i ; e) (1 + 2i) (i
3) ; f ) (1 + 2i)8;
4 3i
g) (sin 4
i cos 4 ) ; gdzie
2 R; h) (ctg
+ i) ; gdzie
6= n ; n 2 N:
88. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej modu÷
u ró·
znicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować
zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a) jz
2 + 3ij < 4; b) jz + 5ij > 3; c) jz
1j = j1 + 5i
zj ; d) jz + 3ij < jz
1
4ij ;
e)
jiz + 5
2ij < j1 + ij ; f)
z 3i
> 1; g)
z2+4
6 1; h) jz2 + 2iz 1j < 9:
z
z 2i
89. Wyznaczyć argumenty g÷
ówne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalku-lator):
p
p
p
a) 55;
b)
;
c)
2 i; d) 1i; e) 3 + 3 3i; f)
2 + 2i;
g) 1 + 3i;
h) 2
2 3i:
2
3
90. Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej: p
p
p
p
a)
2;
b) 10 + 10i;
c)
1 + i 3;
d)
i;
e)
7
i 7;
f )
3
i 27:
2
2
91. Na p÷
aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a)
arg (z) = ;
b)
< arg (z
i) 6 ;
c)
< arg (iz) < ;
6
3
2
d) arg ( z) = ;
e)
0 < arg (z) 6 2 ; f) 3 6 arg 1 6 3 :
4
3
4
z
2
92. Korzystaj ¾
ac ze wzoru de Moivre’a obliczyć:
p
8
p
9
p
p 10
a)
(1
i)11 ;
b)
1 + i 3
;
c)
2i
12
;
d)
5 2
i 5 2
:
2
2
93. Wyznaczyć i narysować na p÷
aszczyźnie zespolonej elementy podanych pierwiastków:
p
p
p
p
a)
4
16;
b)
3
8i;
c)
3
2
2i;
d) 6 1:
94. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾
azać podane równania:
a)
z2
2z + 10 = 0;
b) z2 + 3iz + 4 = 0;
c) z4 + 5z2 + 4 = 0;
d)
z2 + (1
3i) z
2
i = 0;
e)
z6 = (1
i)6 ;
f )
(z
i)4 = (z + 1)4 :
Wielomiany
95. Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P
Q; P Q; P 2:
a) P (x) = x2
3x + 2;
Q (x) = x4
1;
b) P (z) = z2
1 + 4i;
Q (z) = z3 + (1
i) z2 + 5:
96. Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać reszt ¾
e z tego dzielenia, je·
zeli:
a) P (x) = x4
3x3
2x2 + 11x
15; Q (x) = x3
2x + 5;
b) P (x) = x4 + x + 16; Q (x) = x2
3x + 4;
c) P (z) = z3 + iz + 1; Q (z) = z2
i:
97. Znaleźć wszystkie pierwiastki ca÷
kowite podanych wielomianów:
a) x3 + 3x2
4;
b)
x4
2x3 + x2
8x
12;
c) x4
x2
98. Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a)
6x3
5x2
2x + 1;
b)
3x3
2x2 + 3x
2;
c) 6x4 + 7x2 + 2:
99. Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomianów: a) (x
1) (x + 2)3 ;
b)
(2x + 6)2 (1
4x)5 ;
c)
(z2
1) (z2 + 1)3 (z2 + 9)4 :
100. Nie wykonuj ¾
ac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je·
zeli:
a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4; Q (x) = x2
1;
b) P (x) = x2007 + 3x + 2008; Q (x) = x2 + 1;
c*) P (x) = x2006 + x1002
1; Q (x) = x4 + 1;
d*) P (x) = x444 + x111 + x
1; Q (x) = (x2 + 1)2 :
101. Pokazać, ·
ze je·
zeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z1
tak·
ze jest pierwiastkiem wielomianu P .
Korzystaj ¾
ac z tego faktu znaleźć pozosta÷
e pierwiastki
zespolone wielomianu P (x) = x4
4x3 +12x2
16x+15 wiedz ¾
ac, ·
ze jednym z nich jest x1 = 1+2i:
102. Podane wielomiany roz÷
o·
zyć na nierozk÷
adalne czynniki rzeczywiste:
a) x3
27;
b) x4 + 16;
c) x4 + x2 + 4;
d*) x6 + 1:
103. Podane funkcje wymierne roz÷
o·
zyć na rzeczywiste u÷
amki proste:
a) 2x+5 ;
b)
x+9
;
c)
3x2+4x+3 ;
d) x3 2x2 7x+6 :
x2 x 2
x(x+3)2
x3 x2+4x 4
x4+10x2+9
Przestrzeń liniowa Rn
Materia÷przenaczony tylko dla studentów wydzia÷
ów W2, W4 oraz W7
104. Niech ~
a = (1;
1;
2; 3) ; ~
b = (5; 4; 2; 0) b ¾
ed ¾
a wektorami w przestrzeni liniowej R4:
Wyznaczyć wektory ~
x oraz ~
y; je·
zeli:
a) ~
x = 2~
a
~
b;
b) ~
a
~
x = ~
b + 2~
x;
~
x
~
y
= ~
a;
c)
3~
x + 2~
y = ~
b:
105. Sprawdzić, czy podane zbiory s ¾
a podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni Rn :
a) A = (x; y) 2 R2 : xy > 0 ; R2;
b) B = (x; y; z) 2 R3 : x + y
z = 0 ; R3;
c) C = (x1; x2; x3; x4) 2 R4 : x1 = 2x2 = 3x3 = 4x4 ; R4;
d) D = (x1; x2; x3; x4; x5) 2 R4 : x1 = 0; x2 = x3; x5 = 0 ; R5; e) E = (x; y; z) 2 R2 : x
2y = 0; y
3z = 0; z
4x = 0 ; R3:
106. We wskazanej przestrzeni liniowej zbadać liniow ¾
a niezale·
zność podanych uk÷
adów wektorów:
a) R3; ~a1 = (2; 3; 0) ; ~a2 = ( 1; 0; 1) ; ~a3 = (0; 1; 4) ; b) R3; ~b1 = (1; 2; 3) ; ~b2 = (3; 2; 1) ; ~b3 = (1; 1; 1) ;
c) R4; ~c1 = (1; 0; 0; 0) ; ~c2 = ( 1; 1; 0; 0) ; ~c3 = (1; 1; 1; 0) ; ~c4 = ( 1; 1; 1; 1) ; d) R5; ~
d1 = (1; 2; 3; 4; 5) ; ~
d2 = (5; 4; 3; 2; 1) ; ~
d3 = (1; 0; 1; 0; 1) ;
e) Rn; ~
e1 = (1; 0; 0; : : : ; 0) ; ~
e2 = (0; 2; 0; : : : ; 0) ; ~
e3 = (0; 0; 3; : : : ; 0) ; : : : ; ~
en = (0; 0; 0; : : : ; n) :
10
ze je·
zeli wektory ~
a;~
b; ~
c s ¾
a liniowo niezale·
zne w przestrzeni liniowej Rn; to wektory
2~
a; ~
a + ~
b; ~
b
5~
c tak·
ze s ¾
a liniowo niezale·
zne. Czy wektory ~
a
~
b; ~
b
~
c; ~
c
~
a s ¾
a liniowo
niezale·
zne?
b) Wektory ~
u; ~
v; ~
w s ¾
a liniowo zale·
zne w przestrzeni liniowej Rn: Czy wektory ~
u
~
v; ~
u; ~
w
~
v
tak·
ze s ¾
a liniowo zale·
zne?
c) Wektory ~
a; ~
a + ~
b; ~
a + ~
b + ~
c s ¾
a liniowo niezale·
zne w przestrzeni liniowej Rn: Pokazać, ·
ze
wektory ~
a;~
b; ~
c s ¾
a tak·
ze liniowo niezale·
zne.
108. Pokazać, ·
ze uk÷
ad wektorów w przestrzeni liniowej Rn; który zawiera:
a) wektor zerowy,
b) dwa jednakowe wektory,
c) wektory ~
a; ~
b oraz ~
a
~
b;
jest liniowo zale·
zny.
109. Podać interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni:
a) linf( 1; 3)g w R2;
b) linf(1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)g w R3;
c) linf(1; 1; 2) ; (4; 1; 1) ; (2; 3; 5)g w R3;
d*) linf(1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1)g w R4; e*) lin (1; 0; 0; : : : ; 0) ; (0;
1; 0; : : : ; 1) ; (0; 0; 1; : : : ; 0) ; : : : ; 0; 0; 0; : : : ; ( 1)n+1
w Rn:
110. Czy w przestrzeni R4 zachodzi równość
lin f(1; 2; 3; 5) ; (2; 3; 4; 6) ; (1; 4; 1; 1)g = lin f(0; 0; 3; 4) ; (2; 5; 0; 0) ; ( 1; 1; 1; 1)g ?
111. Zbadać, czy podane uk÷
ady wektorów s ¾
a bazami wskazanych przestrzeni liniowych Rn:
a) f(1; 2; 0) ; ( 1; 0; 3) ; (0; 2; 3)g ; R3;
b) f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R4; c) f(1; 1; 0; 2) ; (1; 0; 3; 0) ; (0; 1; 3; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R4; d) f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 2; 2; 0; 0) ; (0; 0; 3; 3; 0) ; (0; 0; 0; 4; 4)g ; R5; e) f(0; 1; 0; 1; 0) ; ( 1; 0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 0; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1)g ; R5: 112. Podane uk÷
ady wektorów uzupe÷
nić do baz wskazanych przestrzeni:
a) f(1; 2; 4) ; (2; 0; 1)g ; R3;
b) f(1; 2; 3; 4) ; (1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 0)g ; R4;
c) f(0; 1; 0; 2) ; (4; 1; 1; 3)g ; R4;
d) f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 3; 3) ; (0; 2; 2; 0; 0)g ; R5; e) f(1; 0; 0; 0; 1) ; (0; 0; 0; 0; 4) ; (0; 1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g ; R5: 113. Pokazać, ·
ze je·
zeli wektory ~
b1;~b2;~b3;~b4 tworz ¾
a baz ¾
e przestrzeni R4; to wektory
~
u1 = ~b1 + ~b2; ~
u2 = ~b1 + ~b3; ~
u3 = ~b1 + ~b4; ~
u4 = ~b3 + ~b4
tak·
ze tworz ¾
a baz ¾
e tej przestrzeni.
11
114. Znaleźć bazy i wymiary podanych podprzestrzeni: a)
A = (x; y; z) 2 R3 : 3x + 2y
z = 0 ;
b)
B = (x; y; z; t) 2 R4 : x = 2y = t ;
c)
C = (u; v; x; y; z) 2 R5 : u + v = 0; x + y + x = 0 ;
d)
D = (u; v; w; x; y; z) 2 R6 : u + v = 0; x + y + z = 0; x
u + y
v + z = 0 :
115. Wyznaczyć wspó÷
rz ¾
edne podanych wektorów we wskazanych bazach:
a) ~
a = (2; 3) ; B = f( 1; 1) ; (0; 1)g
R2;
b) ~
b = (1; 2; 3) ; B = f(1; 1; 1) ; (2; 2; 0) ; (3; 0; 0)g
R3;
c) ~
c = (1; 0; 2; 0) ; B = f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1) ; ( 1; 0; 1; 0) ; (1; 2; 3; 4)g R4;
d) ~
d = (5; 4; 3; 2; 1) ;
B = f(1; 1; 1; 1; 1) ; ( 1; 1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 0; 0) ; ( 1; 1; 0; 0; 0) ; (1; 0; 0; 0; 0)g R5:
116. Wyznaczyć rz ¾
edy podanych macierzy (wskazać niezerowy minor najwi ¾
ekszego stopnia):
2
3
2
3
1 1
6
2
4
2
1 3
6
a) A =
;
b) B = 42 25 ;
c)
C = 4 3
1
2 5 :
4
2 6
12
3 3
12 4
8
117. Doprowadzaj ¾
ac podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rz ¾
edy:
2
3
2
3
2
1
11
2
10 11 12
6 1
0
4
17
a) A = 421 22 235 ;
b) B = 6
7
411
2
56
5 5 ;
32 33 34
2
1
5
6
2
3
1 0 0
1
4
6
7
60 1 0 2
5 7
c) C = 6
7
60 0 1 2
6 7 :
41 2 3 14 325
4 5 6 32 77
118. Zbadać rz ¾
edy podanych macierzy w zale·
zności o parametru p :
p 8
p 4
1 2
a) A =
;
b) B =
;
2 p
1 3
p 1
2
3
2
3
p
1
1
1
p
1 2
c) C = 42 2p
2 5 ;
d)
D = 42
1
p
55 :
3
3
3p
1
10
6 1
119. a) Podać przyk÷
ad uk÷
adu 2 równań liniowych z 5 niewiadomymi, który nie ma rozwi ¾
azań.
b) Podać przyk÷
ad uk÷
adu 5 równań liniowych z 3 niewiadomymi, który na tylko jedno rozwi ¾
azanie.
c) Podać przyk÷
ad uk÷
adu 3 równań liniowych z 4 niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwi ¾
azań zale·
znych od 2 parametrów.
d) Podać przyk÷
ad uk÷
adu 4 równań z 2 niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwi ¾
azań
zale·
znych od 2 parametrów.
120. Niech n oznacza liczb ¾
e niewiadomych w uk÷
adzie równań liniowych Ax = b: Podać liczb ¾
e rozwi ¾
azań
oraz liczb ¾
e parametrów, je·
zeli:
a) n = 5; rz(A) = 3; rz(Ajb) = 3;
b) n = 2; rz(A) = 1; rz(Ajb) = 2;
c) n = 4; rz(A) = 4; rz(Ajb) = 4;
d) n = 3; rz(A) = 0; rz(Ajb) = 0:
12
ac z twierdzenia Kroneckera-Capellego ustalić liczb ¾
e rozwi ¾
azań oraz liczb ¾
e parametrów
dla podanych uk÷
adów równań liniowych:
8
< x
3y + 2z =
1
a)
5x
7y
=
1
;
: 3x
y
4z =
3
8
>
> x
+
y
+
z
= 1
< 2x + 2y + 2z = 2
b)
;
>
>
x + 3y +
7z
= 0
: 2x
6y
14z = 0
8
< x + 2y + z + 3t = 4
c)
3x +
6y
+ 5z + 10t =
0
;
: 5x + 10y + 7z + 17t = 23
8
< x1
2x2 + 3x3
= 3
d)
2x
:
:
1
4x2 + 7x3
2x4 + 3x5 = 4
x3
+ 2x4
3x5 = 2
Uwaga. Nie rozwi ¾
azywać tych uk÷
adów.
122. a) Podać interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a rozwi ¾
azań uk÷
adu dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi w zale·
zności od rz ¾
edu macierzy g÷
ównej i rozszerzonej.
b) Podać interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a rozwi ¾
azań uk÷
adu trzech równań liniowych z trzema
niewiadomymi w zale·
zności od rz ¾
edu macierzy g÷
ównej i rozszerzonej.
123. Wyznaczyć przestrzenie rozwi ¾
azań podanych uk÷
adów równań liniowych jednorodnych:
x
+
y
+ 0z = 0
a)
;
5x + 5y + 0z = 0
8
< x1
2x2 +
3x3
= 0
b)
3x
:
:
1
6x2 + 11x3
4x4 + 6x5 = 0
x3
+ 2x4
3x5 = 0
Przekszta÷
cenia liniowe F : Rn ! Rm
Materia÷przenaczony tylko dla studentów wydzia÷
ów W2, W4 oraz W7
124. Zbadać, czy podane przekszta÷
cenia s ¾
a liniowe:
a) F : R2 ! R1; F (x1;x2) = x1
3x2;
b) F : R2 ! R2; F (x; y) = (jx + yj ; jx
yj) ;
c) F : R3 ! R3; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) F : R1 ! R4; F (x) = (0; x; 0; 3x) ;
e) F : R4 ! R2; F (x1; x2; x3; x4) = (x1x2; x3x4) ;
f ) F : R3 ! R5; F (u; v; w) = (u; 4v; u + 2v; w; u
3w) :
125. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej podanych przekszta÷
ceń liniowych znaleźć ich j ¾
adra i
obrazy:
a) L : R2 ! R2; obrót o k ¾
at
=
wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu.
3
b) L : R2 ! R2; rzut prostok ¾
atny na prost ¾
a x + y = 0:
c) L : R3 ! R3; symetria wzgl¾
edem p÷
aszczyzny y = z:
d) L : R3 ! R3; obrót wokó÷osi Oy o k ¾
at
:
2
13
adra i obrazy podanych przekszta÷
ceń liniowych:
a) F : R2 ! R1; F (x1;x2) = x1
3x2;
b) F : R2 ! R2; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c) F : R3 ! R3; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) F : R1 ! R4; F (x) = (0; x; 0; x) :
127. Znaleźć macierze podanych przekszta÷
ceń liniowych F : Rn ! Rm we wskazanych bazach
B0 oraz B00 odpowiednio przestrzeni Rn oraz Rm :
a) F (x; y) = (x; y; x
y) ; B0 = f(1; 0) ; (1; 1)g ; B00 = f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1)g ; b) F (x; y) = (y; 0; x; 0) ; B0 = f(1; 1) ; (0; 2)g ; B00 = f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; c) F (x; y; z) = x + y
3z; B0 = f(1; 0; 2) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g ; B00-standardowa; d) F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y
t; z
x) ; B0-standardowa, B00-standardowa.
128. a) Uzasadnić, ·
ze obrót na p÷
aszczyźnie R2 wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych o kat ' jest
przekszta÷
ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
b) Pokazać, ·
ze obrót w przestrzeni R3 wokó÷osi Ox uk÷adu wspó÷rz¾
ednych o kat
jest przeksz-
ta÷
ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
129. Korzystaj ¾
ac z de…nicji wyznaczyć wektory i wartości w÷
asne podanych przekszta÷
ceń liniowych:
a) Symetria wzgledem osi Ox w przestrzeni R2;
b) Obrót wokó÷osi Oy o k ¾
at
w przestrzeni R3;
6
c) Symetria wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny xOz w przestrzeni R3;
d) Rzut prostok ¾
atny na oś Oz w przestrzeni R3:
130. Wyznaczyć wektory i wartości w÷
asne podanych macierzy:
2
3
4
5 2
1 2
a) A =
;
b) B = 45
7 35 ;
1 2
6
9 4
2
3
2
3
1 0 0 0
3
1 0
0
60 0 0 07
61 1 0 0 7
c) C = 6
7
6
7
40 0 0 05 ; d) D = 43
0
5
35 :
1 0 0 1
4
1 3
1
131. Sprawdzić, ·
ze podane macierze spe÷
niaj ¾
a swoje równania charakterystyczne:
2
3
1 0 1
1
0
a) A =
;
b) B = 40 1 05 :
0
3
1 0 1
14