1. Zagadnienie optymalizacyjne Dany jest prostokąt o bokach ܽ, ܾ i obwodzie ܱܾݓó݀ = ݌. Jaki prostokąt ma największe pole?

ܱܾ = ݌ = 2ܽ + 2ܾ

1

2ܾ = ݌ − 2ܽ/ 2 ⇔ ܾ = 2(݌ − 2ܽ)

ܲ = ܵ → max.

ܵ(ܽ, ܾ) = ܽ ∗ ܾ

1

ܵ(ܽ) = ܽ ∗ 2(݌ − 2ܽ)

1

ܵ(ܽ) = 2ܽ݌ − ܽଶ

1

ܵᇱ(ܽ) = 2݌ − 2ܽ

1

1

1

2 ݌ − 2ܽ = 0 ⇔ 2ܽ = 2 ݌ ⇔ ܽ = 4 ݌

1

1

1

ܾ = 2൬݌ − 2 ∗ 4݌൰ = 4݌

Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej i boku podstawy ܽ i wysokości ℎ, oraz o ܲ௖ = ݏ.

Kiedy objętość będzie największa?

ܲ௖ = ݏ = 4ܲ௕ + 2ܲ௣

ܲ௖ = ݏ = 4 ∗ ܽ ∗ ℎ + 2ܽଶ

ܲܿ = ݏ = 2ܽ(2ℎ + ܽ)

ݏ

ݏ

ݏ

ܽ

2ℎ + ܽ = 2ܽ ⇔ 2ℎ = 2ܽ − ܽ ⇔ ℎ = 4ܽ − 2

ܸ(ܽ, ℎ) = ܽଶℎ

ݏ

ܽ

ݏܽଶ ܽଷ

ݏܽ ܽଷ

ܸ(ܽ) = ܽଶ ∗ ቀ4ܽ − 2ቁ ⇔ 4ܽ − 2 ⇔ 4 − 2

ݏ 3ܽଶ

ܸᇱ(ܽ) = 4 − 2

ݏ 3ܽଶ

3ܽଶ ݏ

4 − 2 = 0 ⇔ 2 = 4

6ܽଶ = ݏ

ݏ

ܽଶ = 6

ݏ

ܽ = ට6

2ݏ

ݏ

ݏ = 2ܽଶ + 4ܽℎ ⇔ ݏ = 6 + 4ට6 ∗ ܪ

ݏ

ݏ

ݏ − 3 = 4ට6∗ ܪ

2ݏ

ݏ

3 = 4ට6 ∗ ܪ

1

ݏ

6 ݏ = ට6 ∗ ܪ

1

ݏ

36 ݏଶ = 6 ∗ ܪ

6 ݏଶ 1

ܪ = 36 ݏ = 6ݏ

ݏ ݏ

ݏ

ܸ = 6 ∗ 6 = 36

2. Wartość najmniejsza i największa funkcji ݂ w przedziale < ܽ, ܾ > Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji ݂(ݔ) = ݔଷ − 3ݔ w ݔ ∈< −2; 2 >

݂(−2) = −8 + 6 = −2

݂(2) = 8 − 6 = 2

݂ᇱ(ݔ) = 3ݔଶ − 3

3ݔଶ − 3 = 0 ⇔ 3ݔଶ = 3 ⇔ ݔଶ = 1 ⇔ ݔ = 1 ∨ ݔ = −1

݂(1) = 1 − 3 = −2

݂(−1) = −1 + 3 = 2

݂(ݔ) = ݔ(ݔଶ − 3)

3. Różniczka funkcji

݂(ݔ

݂ᇱ(ݔ

଴ + Δݔ) − ݂(ݔ଴)

଴) = lim

୼௫→଴

Δݔ

݂݀(ݔ଴) = ܣ ∗ Δݔ, ܣ ∈ ܴ

Δݔ ∗ ݂(ݔ଴) = ݂(ݔ଴ + Δݔ) − −݂(ݔ଴)

݂(ݔ଴ + Δݔ) = ݂ᇱ(ݔ଴) ∗ Δݔ + ݂(ݔ଴)

Oblicz przybliżoną wartość logarytmu naturalnego ln 1.1

ln 1.1 = ln(1 + 0.1)

ݔ଴ = 1, Δݔ = 0.1

1

݂(1 + 0.1) = 1 ∗ 0.1+ 0 = 0.1

݁଴.ଶ =?

݂(0) = 1, ݂ᇱ(0) = 1

݁଴.ଶ = 1 ∗ 0.2 + 1 = 1.2