Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Egzamin podstawowy z analizy matematycznej 2.3 A 1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw A
1. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = 2x2−y2 na obszarze D ograniczonym nierównościami x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0.
2. Obliczyć
Z Z
(x2 + y2) dx dy,
D
gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, 2y ≤ x2 + y2 ≤ 2x}.
3. Obliczyć
Z Z Z
z dx dy dz,
U
gdzie obszar U określony jest nierównościami: x2 + y2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, z ≥ 0.
4. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n
sin
.
2n2 + 3
n=1
5. Funkcję f (x) = e2x rozwinąć w szereg Fouriera sinusów na przedziale [0, π].
6. Wyznaczyć funkcję, której transformata Fouriera ma postać 1
.
(4 + ω2)(9 + ω2)
Wskazówka: Dla f (t) = e−a|t| (a > 0) zachodzi ˆ
f (t) =
2a
.
a2+ω2
Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Egzamin podstawowy z analizy matematycznej 2.3 A 1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw B
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = e−2x(x − y2).
2. Obliczyć
Z Z
ex2+y2 dx dy,
D
gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≥ −x, x2 + y2 ≤ 1}.
3. Obliczyć pole części sfery S określonej równaniem x2 + y2 + z2 = 9 leżącej
√ p
wewnątrz stożka z ≥
3
x2 + y2.
4. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu
∞
X
3n + 1
(−1)n
.
n2 + 1
n=1
5. Obliczyć sumę szeregu
∞
X n2 .
3n
n=3
6. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji f (t) = t2e−t.
Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Egzamin podstawowy z analizy matematycznej 2.3 A 1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw C
1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 8
x
f (x, y) =
+
+ y.
x
y
2. Obliczyć
Z Z
(x + y)2 dx dy,
x2 + y2
D
gdzie D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2y ≤ 0, x ≥ 0}.
3. Obliczyć całkę potrójną
Z Z Z
dx dy dz
,
px2 + y2 + z2 + 1
U
gdzie U jest obszarem ograniczonym sferami x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 9.
4. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
1
.
n ln(n2)
n=2
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n
(x − 2)n.
n2 + 1
n=1
6. Wyznaczyć transfomatę Fouriera funkcji
t + 1 dla |t| ≤ 1
f (t) =
0
dla |t| > 1.
Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Egzamin podstawowy z analizy matematycznej 2.3 A 1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw D
1. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = xy(4 − x − y) na trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 1, y + x = 6.
2. Obliczyć
Z Z
y dx dy,
D
gdzie obszar D określony jest nierównością x2 + y2 ≤ 4y.
3. Obliczyć objetość bryły U ograniczonej powierzchniami: z = 10 − x2 − y2, z = 1.
4. Zbadać zbieżność szeregu
∞
n2
2
X
n
.
n + 1
n=2
5. Na przedziale [−π, π] wyznaczyć szereg Fouriera funkcji f (x) = π − |x|.
6. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji f (t) = cos(3t).