Wektory i skalary.
r
b
B
r
r
r
a + b = c
A
Wlasnosci dodawania wektorów
1) a + b = b + a
r
a
2) (d + e) + f = d + (e + f)
3) a – b =a + (-b)
1)
-b
2)
3)
b
e
a
a
a + b
e + f
f
a - b
d
d + e
b + a
a
b
d + e + f
Skladanie i rozkladanie wektorów. Metoda analityczna.
Wektor a na plaszczyznie x,y y
r
r
a = a cos
a = a
x
ϕ
cos
x
ϕ
r
r
a = a sin
a = a sin
y
ϕ
y
ϕ
r
a y
a = a 2 + a 2 , tgϕ =
x
y
ax
ay
r
r
r
r
r
r
r
a
a = i a + ja
b = i b + jb
x
y
(
x
y )
?
f
r
r
r
r
c = a + b , c = a + b c = a + b
j
x
x
x
y
y
y
r
a
x
i
x
Mnozenie wektorów
Iloczyn k·a jest nowym wektorem, r
r
r
ka = ak = a'
kierunek
r c
kciuka
Iloczyn skalarny
r
r
a ⋅ b = ab cos ϕ = a b + a b x
x
y
y
r
Iloczynem wektorowym
b
r
r
r
kierunek
c = a × b = a ⋅ b sin ϕ
f
r
r
r
r
palców
a × b = − b × a r
a
1
Kinematyka punktu materialnego Predkoscia srednia vsr
x − x 0
∆ x
v
=
=
sr
t − t
∆ t
0
Predkosc chwilowa
x
∆
dx
v = lim
=
∆ t →0
t
∆
dt
Droga jako funkcja czasu
dx = vdt
x
t
dx= v dt
wtedy
∫
∫
x
t
0
0
x − x
(
)
0
0 = v t − t
gdy
t
0
0 =
x = x 0 + vt
W ruchu jednostajnym droga przebyta w czasie t jest proporcjonalna do czasu, a wspólczynnikiem proporcjonalnosci jest predkosc.
Ruchu zmienny – przyspieszenie srednie v − v 0
v
∆
a
=
=
sr
t − t
t
∆
0
Znajac przyspieszenie a = a(t) ruchu jako funkcje czasu, mozna znalezc predkosc tego ruchu ze zwiazku:
dv
a =
⇒ v = adt, v − v (
)
0 = a t − t 0
dt
gdy
t
0
0 =
wtedy v = v 0 + at
Predkosc w ruchu jednostajnie zmiennym jest liniowo zalezna od czasu v
ruch przysp. |a| rosnie
ruch jednostajnie przysp.
v
tg α = a
a=const
ruch przysp. |a| maleje
at
a
ruch jednostajny
v0
v0
ruch opóz. |a| maleje
t
ruch jednostajnie opóz.
ruch opóz. |a| rosnie
a=const
t
2
Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym dx = vdt i v = v + at 0
dx = ( v + at) dt 0
x
t
t
dx = v dt + at dt
∫
∫
∫
0
x
0
0
0
2
at
x − x = v t +
0
0
2
czyli
2
at
x = x + v t +
0
0
2
Uklad trójwymiarowy – wektor wodzacy r punktu przestrzeni gdzie
i,j,k – sa wektorami
jednostkowymi
z
(wersorami)
r
k
odpowiednich osi
x
wspólrzednych.
y
i
j
r
r
r
r
2
2
2
r =
r
xi + j
y + zk
przy czym
r = r = x + y + z 1. Predkosc poruszajacego sie punktu jest wtedy zdefiniowana wzorem: r
r
r
d
r
r
r
dx r
dy r
dz r
v =
= v i + v j + v k =
i +
j +
k
dt
x
y
z
dt
dt
dt
a bezwzgledna wartosc predkosci wynosi 2
2
2
v = r v = v + v + v x
y
z
2. Przyspieszenie poruszajacego sie punktu jest definiowane wzorem: r
r
2
r
v
d
d r
a =
=
2
dt
dt
2
2
2
r
r
r
r
d x r
d y r
d z r
a = a i + a j + a k =
i +
j +
k
x
y
z
2
2
2
dt
dt
dt
ana log icznie
r
2
2
2
a = a = a
+ a + a
x
y
z
3. W ruchu prostoliniowym – predkosc i przyspieszenie mozna wyrazic w nastepujacy sposób:
2
ds
dv
d s
v =
,
a =
=
gdzie s - oznacza odcinek przebytej drogi 2
dt
dt
dt
3
a) ruch prostoliniowy jednostajny v = const
= ds
v
⇒ s = vdt ⇒ s = vdt = vt + s i
= dv
a
= ,
0
∫
0
dt
dt
gdzie s0 – jest odcinkiem drogi przebytym do chwili poczatkowej t=0
b) ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony (a>0) i opózniony (a<0) –
charakteryzuje sie stalym przyspieszeniem, mamy wiec a = const
v = ∫ adt = at + v 0
s = ∫ vdt = ∫ ( at + v ) dt = 1 2
at
v t
s
0
+ 0 + 0
2
gdzie v0 – oznacza tzw. predkosc poczatkowa tj. wartosc predkosci w chwili poczatkowej t=0
? Szczególne przypadki ruchu jednostajnie przyspieszonego: 1. SPADEK SWOBODNY
1
2
a = g
v = 0
v = gt
s =
gt
0
2
2. RZUT PIONOWY W DÓL
1
2
a = g
v ≠ 0
v = v + gt
s = v t +
gt
0
0
0
2
3. RZUT PIONOWY W GÓRE
1
2
a = − g
v ≠ 0
v = v − gt
s = v t −
gt
0
0
0
2
4. RZUT POZIOMY
1
2
2 y
h
2
x = v t
y =
gt
⇒ x = v
gdy
y = h
x = v
0
2
0
g
0
g
5. RZUT UKOSNY - okreslamy jako ruch punktu materialnego, charakteryzuje on sie stalym przyspieszeniem a=g, lecz w ruchu tym przyspieszenie g i predkosc v0, w odróznieniu od ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego, nie leza na tej samej prostej, dv
dv
a
x
=
= 0
a
y
=
= − g
x
y
dt
dt
dx
dy
v =
= v = v cos
=
= − +
= − +
0
α
v
gt
v
gt
v sin
0
0
α
x
ox
y
y
dt
dt
Y
1
x = v t cos α
y = v t sin α −
gt 2
0
0
2
v 2 sin
parabola
0
α
2
gdy
y = 0
x =
g
v sin
0
α = voy v0
a
v = v
ox
α
cos
0
X
4