MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

1

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

Z1/1.1. Kratownica numer 1

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.1 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/1.1. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.2.

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

10

12

13

14

Rys. Z1/1.2. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 24, liczba węzłów kratownicy wynosi 14. Podpora

przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają
razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać

2

⋅

14

=

24



2



1



1

.

(Z1/1.1)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Jak widać na rysunkach Z1/1.1 i Z1/1.2 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z1/1.3 przedstawia
zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z1/1.2. Na rysunku Z1/1.3 oznaczymy go jako A. Tarcze sztywne są
podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/1.2)

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz
sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

2

1

A

I

II

2

3

4

Rys. Z1/1.3. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer I jest podparta do podłoża trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których

kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności. Tarcza numer I jest więc geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla tarczy
numer II. Przedstawia to rysunek Z1/1.4.

A

II

4

Rys. Z1/1.4. Zastępcza tarcza sztywna numer II

Tarcza sztywna numer II podparta jest do podłoża przegubem rzeczywistym A i prętem podporowym

numer 4. Przegub A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności. Tarcza numer II jest więc także geometrycznie niezmienna.

Możemy więc stwierdzić, że zastępczy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie

niezmiennym. Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla
kratownicy płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.

Z1/1.2. Kratownica numer 2

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.5 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/1.5. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.6.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

3

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

10

12

Rys. Z1/1.6. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 20, liczba węzłów kratownicy wynosi 12. Podpora

przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają
razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać

2

⋅12=20211

.

(Z1/1.3)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

1

A

I

II

2

3

4

Rys. Z1/1.7. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunkach Z1/1.5 i Z1/1.6 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z1/1.7 przedstawia
zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z1/1.6. Na rysunku Z1/1.7 oznaczymy go jako A. Tarcze sztywne są
podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/1.4)

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz
sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Tarcza numer I jest podparta do podłoża trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których

kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności. Tarcza numer I jest więc geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla tarczy
numer II. Przedstawia to rysunek Z1/1.8.

Tarcza sztywna numer II podparta jest do podłoża przegubem rzeczywistym A i prętem podporowym

numer 4. Przegub A leży jednak na kierunku pręta podporowego. Nie został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza numer II jest więc geometrycznie zmienna.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

4

A

II

4

Rys. Z1/1.8. Zastępcza tarcza sztywna numer II

Możemy więc stwierdzić, że zastępczy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie zmiennym.

Nie został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej.
Kratownica ta jest więc układem geometrycznie zmiennym.

Z1/1.3. Kratownica numer 3

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.9 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/1.9. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.10.

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

2

3

4

5

7

8

9

11

10

12

13

14

6

Rys. Z1/1.10. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 24, liczba węzłów kratownicy wynosi 14. Podpora

przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają
razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać

2

⋅14=24211

.

(Z1/1.5)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

5

1

B

I

II

2

3

4

A

C

∞

Rys. Z1/1.11. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunkach Z1/1.9 i Z1/1.10 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z1/1.11 przedstawia
zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z1/1.10. Na rysunku Z1/1.11 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są
podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/1.6)

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz
sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym

z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem fikcyjnym w nieskończoności C
powstałym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby nie leżą na jednej prostej. Został
więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz sztywnych jest
więc geometrycznie niezmienny.

Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy

płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/1.4. Kratownica numer 4

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.12 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/1.12. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.13.

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 20, liczba węzłów kratownicy wynosi 12. Podpora

przegubowo-nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody. Dwie podpory przegubowo-przesuwne odbierają
razem także dwa stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

6

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

7

8

9

11

10

12

6

Rys. Z1/1.13. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

2

⋅12=20211

.

(Z1/1.7)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

1

B

I

II

2

3

4

C

∞

A

Rys. Z1/1.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunkach Z1/1.12 i Z1/1.13 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z1/1.14 przedstawia
zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 8 na rysunku Z1/1.13. Na rysunku Z1/1.14 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są
podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/1.8)

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz
sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym

z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem fikcyjnym w nieskończoności C
powstałym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby jadnak leżą na jednej prostej.
Nie został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz
sztywnych jest więc geometrycznie zmienny.

Nie został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy

płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie zmiennym.

Z1/.1.5. Kratownica numer 5

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.15 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

7

Rys. Z1/1.15. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.16.

1

2

3

4

5

7

8

9

11

10

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Rys. Z1/1.16. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 18, liczba węzłów kratownicy wynosi 11. Podpory

przegubowo-nieprzesuwne odbierają po dwa stopnie swobody każda. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności ma postać

2

⋅11=182⋅2

.

(Z1/1.9)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Jak widać na rysunkach Z1/1.15 i Z1/1.16 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Możemy więc zastąpić ją dwiema tarczami sztywnymi. Rysunek Z1/1.17 przedstawia
zastępczy układ tarcz sztywnych. Układ ten składa się z dwóch tarcz połączonych między sobą przegubem.
Jest to przegub numer 6 na rysunku Z1/1.16. Na rysunku Z1/1.17 oznaczymy go jako B. Tarcze sztywne są
podparte 4 prętami podporowymi i 1 przegubem rzeczywistym. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności dla zastępczego układu tarcz sztywnych ma postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/1.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

8

2

3

1

4

A

B

C

I

II

Rys. Z1/1.17. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępczy układ tarcz
sztywnych może być geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.

Zastępczy układ tarcz sztywnych tworzy układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A powstałym

z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B, przegubem fikcyjnym C powstałym z
prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie te trzy przeguby nie leżą na jednej prostej. Został więc
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Zastępczy układ tarcz sztywnych jest więc
geometrycznie niezmienny.

Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy

płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/1.6. Kratownica numer 6

Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z1/1.18 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/1.18. Kratownica płaska

W pierwszej kolejności ponumerujmy wszystkie pręty i węzły kratownicy. Przedstawia to rysunek

Z1/1.19.

Jak widać liczba prętów kratownicy wynosi 14, liczba węzłów kratownicy wynosi 9. Podpory

przegubowo-nieprzesuwne odbierają po dwa stopnie swobody każda. Warunek konieczny geometrycznej
niezmienności ma postać

2

⋅9=142⋅2

.

(Z1/1.11)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 1

9

1

3

2

5

4

6

9

7

8

1

2

3

4

7

5

6

8

9

10

11

12

13

14

Rys. Z1/1.19. Ponumerowane pręty i węzły kratownicy płaskiej

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy płaskiej został więc spełniony.
Kratownica może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

1

2

3

I

Rys. Z1/1.20. Zastępcza tarcza sztywna

Jak widać na rysunkach Z1/1.18 i Z1/1.19 kratownica jest zbudowana z trójkątów i jest kratownicą o

strukturze prostej. Jednak nie cała kratownica tworzy tarczę sztywną. Pręt kratownicy numer 1 musimy
traktować jako pręt podporowy numer 1. Rysunek Z1/1.20 przedstawia zastępczą tarczę sztywną. Tarcza
sztywna jest podparta trzema prętami podporowymi. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma
postać

3

⋅1=3⋅1

.

(Z1/1.12)

Jak widać warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Zastępcza tarcza sztywna
może być geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.

Zastępcza tarcza sztywna jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki

nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności. Zastępcza tarcza sztywna jest więc geometrycznie niezmienna.

Został więc spełniony także warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla kratownicy

płaskiej. Kratownica ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni