14. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ (6 stron)

Ciałem sztywnym nazywamy taki układ, w którym wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie. Wymiary takiego ciała nie zmieniają się w trakcie ruchu.

Ruch ciała sztywnego można przedstawić jako sumę ruchu postępowego i ruchu obrotowego.

• Ruch postępowy to taki, w którym wszystkie punkty ciała mają takie same prędkości i przyspieszenia, a ich tory mają ten sam kształt.

• Ruch obrotowy to taki, w którym wszystkie punkty zataczają okręgi wokół prostej zwanej osią obrotu. Prędkości kątowe i przyspieszenia kątowe wszystkich punktów są takie same, natomiast pr

ędkości liniowe v = ω × r zależą od odległości od osi obrotu. Oś i

i

obrotu może być osią chwilową.

Pojęcie ciała sztywnego, w którym nie zmieniają się odległości między punktami jest pewnym modelem matematycznym zaniedbującym odkształcenia, jakim ulegają ciała rzeczywiste pod wpływem działających sił.

Stopnie swobody ciała sztywnego w ruchu swobodnym.

Ilość stopni swobody f to ilość możliwych niezależnych ruchów, czyli ilość współrzędnych potrzebnych do opisania ruchu.

z

Dowolny, pojedynczy punkt ciała m1 – ma 3 stopnie

swobody. Jeżeli ustalimy położenie tego punktu w

m1

r12

obranym układzie odniesienia, to dowolny inny punkt

r

m2 musi być w stałej odległości od m1, ma więc 2

m2

stopnie swobody (może poruszać się po powierzchni

sferycznej o środku w punkcie m1). Trzeci punkt ma

y

1 stopień swobody – może poruszać się tylko po

okręgu dookoła osi przechodzącej przez m1 i m2. Cała

bryła ma f stopni swobody

x

r 12 = const

f = 3 + 2 + 1 = 6

Jeżeli na ruch ciała nałożymy pewne ograniczenia, czyli tak zwane więzy – to ruch jego będzie ruchem nieswobodnym a liczba stopni swobody:

f = 6 – p

gdzie p jest liczbą niezależnych od siebie i niesprzecznych równań więzów.

Przykład: Ciało, które może się tylko obracać wokół stałej osi ma jeden stopień swobody.

Istnienie więzów prowadzi do pojawienia się sił reakcji działających na ciało sztywne np.

reakcja łożysk.

Równoważne układy sił

Dwa układy sił nazywamy równoważnymi, jeżeli wypadkowa siła oraz wypadkowy moment siły są jednakowe względem pewnego punktu.

→

→

F = ∑ F oraz M = ∑ M

i

i

i

i

→

→

→

Jeżeli F = 0 to M ( )

A = M ( B)

dla dowolnych dwóch punktów.

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych znika, to wówczas momenty całkowite są równe względem wszystkich punktów.

14/ 1

Para sił

Najprostszym przykładem takiego układu jest tzw. para sił – stanowią ją dwie siły o tej samej wartości, przeciwnie skierowane i nie leżące na jednej prostej.

Moment pary sił

F

M = r × F = r⊥ × F

r

gdzie r - ramie pary

− F

Ruch postępowy

Równania ruchu dla ciała sztywnego są takie same jak dla układu punktów materialnych.

Ciało sztywne jest szczególnym przypadkiem takiego układu. Ruch układu punktów materialnych określaliśmy posługując się środkiem masy

∑ m r

R

∑ m = M

S =

i i

∑ m

i

i

i

Dla ciągłego rozkładu masy

∫ rd

m

RS = ∫ dm

gdzie dm jest elementem masy, czyli masą takiego kawałka ciała, który jest na tyle mały, że można określić jednakowy dla całego kawałka wektor położenia i stałą gęstość.

dm = ρ dV

gdzie dV jest elementem objętości (we współrzędnych kartezjańskich dV = dxdydz) ρ

dm

jest gęstością ciała ρ( r ) = dV

∫ rρ dV

a położenie środka masy RS = ∫ ρ dV

m

∫ r dV

Dla ciała jednorodnego, ρ =

= const , środek masy jest R =

V

S

V

Środek masy porusza się tak, jakby cała masa była w nim skupiona i wszystkie siły do niego przyłożone

Równanie ruchu postępowego

2

d R

F = m

S

2

dt

lub

dP

S = F

dt

14/ 2

Ruch obrotowy

Rozważmy ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez ustalony punkt np. początek układu: współrzędnych 0.

Moment pędu i – tego punktu

J = r × p

i

i

i

Moment pędu punktu bryły

J = ∑ J = ∑ m r × v

i

i i

i

i

vi

podstawiamy v

ω

= ω × r

i

i

mi

J = ∑ m r

r

i i × (ω × i )

r i

oraz tożsamość wektorową

A×(B×C) = B(AC)-C(AB)

0

J = ∑ m ω r r

r r ω

i [

( i i )− i ( i )]

i

J

d

Równanie ruchu obrotowego

= M gdzie M = ∑ M

dt

i

Ruch ciała sztywnego względem inercjalnego układu współrzędnych możemy opisać przy pomocy 2 równań: równania ruchu środka masy i równania opisującego zmianę momentu pędu ciała.

Przykład 1 :

Obrót wokół stałej osi symetrii

ω ⊥ r i

Je

żeli ω ⊥ r to drugi składnik w wyrażeniu na J jest równy zeru ( r

.

i ω

= 0 )

i

z

J = ∑ m R R

i ω ( i

i )

ω

i

J = ∑ m R

2

I

i

i ω =

ω

i

R

y

gdzie I = ∑ m R 2

i

i

x

i

a Ri jest odległością mi od osi obrotu

Moment pędu jest wówczas proporcjonalny do prędkości kątowej ω . Współczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I

I = ∑ m R 2

I = R 2 dm

=

i

i

lub

∫

gdzie dm

ρ dV

i

Moment bezwładności jest wielkością zależną od rozkładu masy w ciele i charakteryzuje jego bezwładność w ruchu obrotowym względem danej osi obrotu.

14/ 3

•

gdy całkowity moment sił jest różny od zera, M ≠ 0 , to moment pędu układu zmienia się

dJ

zgodnie z równaniem

= M

dt

dJ

dω

W przypadku stałego momentu bezwładno

ści (dla I = const )

= I

= Iε

dt

dt

M = Iε

gdzie ε - przyspieszenie kątowe

Energia kinetyczna

Energia kinetyczna jednego punktu

1

2

E

= m v v

Ki

i = ω x Ri = ω Ri

2

i

i

1

2

2

E

= m R

K i

i

i ω

2

1

1

1

2

2

2

2

E

= ∑ E = ∑ m R

=

E

=

I

K

ω

K

K i

i

i ω

ω

I

2

i

i

2

2

Twierdzenie Steinera

Zbadajmy jak zmieni się moment bezwładności przy zmianie osi obrotu.

y

y’

Niech O i S punkty przecięcia dwóch osi

równoległych do siebie i prostopadłych do

płaszczyzny

rysunku

z

płaszczyzną

mi

przechodząca przez środek masy

r i

yi

r

S – środek masy

is

O

h

S xi

x’

2

Twierdzenie Steinera : I = I

+ mh

s

Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała i momentu bezwładności środka masy względem badanej osi.

14/ 4

Przykład 2 :

Rozważmy obrót cienkiej obręczy o promieniu r nachylonej pod kątem α do nieruchomej osi obrotu

J

ω = ω ⊥ + ω

ω

F

ω

0

J ⊥

α

r

ω⊥

J

= I ω

ω

F

0

J

J = I ω

⊥

⊥

⊥

Momenty bezwładności względem różnych osi mogą być różne, tutaj

•

I⊥ = mr2

• I = mr2/2

J = J ⊥ + J

2

J ⊥

I ⊥ ω ⊥

mr

ω ⊥

ω ⊥

=

=

=

J

I ω

2

1

2

ω

mr

ω

2

Wektor momentu pędu J ma inny kierunek niż wektor prędkości kątowej ω !

Kiedy obręcz się obraca, obraca się również wektor J wokół wektora ω . Jeżeli moment pędu nie jest stały to na układ musi działać jakiś moment siły.

W układzie obracającym się wraz z obręczą działają siły odśrodkowe bezwładności chcące ustawić obręcz w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Przeciwdziała temu moment sił

pochodzący od reakcji w łożyskach. To właśnie moment sił reakcji powoduje zmianę kierunku wektora momentu pędu.

14/ 5

Tensor momentu bezwładności:

Ogólny związek między J i ω można opisać przy pomocy tensora momentu bezwładności I

 J

I

I

I

x =

xx ω x +

xy ω y +

xz ω



z

ˆ

 J

I

I

I

y =

yx ω x +

yy ω y +

yz ω

J = Iω

czyli

z

 J I

I

I

z =

zx ω x +

zy ω y +

zz ω z

 I

I

I 

 xx

xy

xz 

Iˆ =  I

I

I



yx

yy

yz

tensor momentu bezwładności ciała względem punktu 0





 I

I

I

zx

zy

zz 

Elementy tensora momentu bezwładności (wyprowadzenie w uzupełnieniu) są:

 I

m ( r 2

x 2 )

m R 2

xx = ∑

i

i

− i = ∑ i i

 I

m x y

xy = −∑



i

i

i

 I

m x z

xz = −∑

i

i

i

- Elementy tensora momentu, nazywane w skrócie momentami bezwładności, zależą od chwilowej orientacji ciała względem układu współrzędnych, czyli zależą od czasu

- W ogólnym przypadku moment pędu nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej

- Dla zerowego wypadkowego momentu sił moment pędu jest stały (również co do kierunku) a wektor prędkości kątowej porusza się dookoła niego ruchem precesyjnym.

Macierz tego tensora jest macierzą symetryczną (można ją zdiagonalizować). Dla każdego ciała sztywnego można znaleźć takie kierunki x’, y’, z’, że wyrazy poza diagonalne, zwane momentami dewiacji znikną.

 I

0

0 

 x'



ˆ

I ' =  0

I

0

Osie te nazywamy osiami głównymi bezwładności ciała.

y '







 0

0

I z' 

Składowe wektora momentu pędu w układzie osi głównych są:

J

= I ω

J

= I ω

J

= I ω

x'

x'

x'

y '

y '

y '

z '

z '

z '

Jeżeli ciało ma symetrię sferyczną

I

= I = I

x'

y '

z '

Jeżeli ciało ma symetrię obrotową

I

≠ I = I

x'

y '

z '

Dla I

≠ I ≠ I wektor momentu pędu J jest równoległy do wektora prędkości kątowej ω

x'

y '

z '

tylko wtedy, gdy obrót zachodzi dookoła jednej z osi głównych .

I’ jest niezależne od czasu, ponieważ układ osi głównych jest związany z ciałem.

14/ 6