Logistyka, inżynieria bezpieczeństwa
Matematyka II (analiza matematyczna)
3 lista zadań. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania 1. Określenie pochodnej funkcji w punkcie.
2
Wyznaczy
2
ć z definicji pochodną w punkcie x
+
0 funkcji: a) f(x) = x − 3x, b) f(x) =
x
1 .
2. Podstawowe wzory dotyczące obliczania pochodnych znanych funkcji elementarnych. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej (przeliczyć różne prostsze przypadki).
−x
3. Wyznaczy
2
ć pochodne funkcji: y = x⋅sinx, y = x3⋅cos2x, y = x4⋅e
, y = x⋅e1/x, y = 2x − 3x ,
lnx
1 − x
2
1
y =
, y =
2
2
, y = ln(x +
x + 1) , y = ln
, y = sin (3x - 2), y = arctg x + 1 , x
1 + x
1 + x
3
1
− x
cosx
y = x ln(2x) , y = arcsin
, y = x
, y = x
. Obliczyć pochodne również innych wybranych x
funkcji.
4. Wyznaczyć pochodną rzędu n-tego funkcji: y = x6 y = lnx, y = sinx, y = ax y = e2x y = x ⋅ ex
,
,
,
.
5. Wyznaczyć pochodną rzędu czwartego funkcji y = sin2x w punkcie x = 0 oraz pochodną rzędu trzeciego funkcji y = arcsinx w punkcie x = 0.
6. Określenie różniczki funkcji. Kiedy można zastąpić przyrost ∆f funkcji jej różniczką df ?
Obliczyć przyrosty i różniczki funkcji f(x) = x2 jeżeli x0 = 1 oraz ∆x jest równy kolejno: 5, 1, 0.1, 0.01.
Wykorzystuj
-0,02
ąc różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażeń:
.
4 02 , e
, l
n( .
1 05
) .
7. Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji a) y = x3–2x2+1 w punkcie (2, 1), b)
lnx
y =
w punkcie ( e, f ( e)) .
x
8. Znaleźć kąt przecięcia krzywych: y = 2x2 – x + 1 i y = x2 + 4x - 3.
9. Wykazać, że styczna do hiperboli xy = 1 ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o stałym polu.
10. Stosując twierdzenie de l’Hospitala obliczyć poniższe granice: x
e − 1
tg x − sin x
ln
2 x
x
e
− 1
1
1
lim
, lim
, lim
, lim
, lim ( x ⋅ ln x) , lim (
−
) ,
x→0 sin 2 x
x→0 x − sin x
x→ 1
3
1 −
x→0
x
ln 1
( + 2 x)
x→0
x→0 sin x
x
1
1
x
x
x
lim
−
lim
−
( e
ln x), lim x , lim
+
(
),
(1
2
x ) e .
x
x→0 x
−
e
1
x→∞
x→0
x→-∞
11. Znaleźć wzór Taylora dla następujących funkcji: x
2
a
) y = e
, x = 0
; b
) y = sinx , x = 0
; c
) y = ln(1+ x) , x = .
0
o
o
o
12. Określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji: 2
x
1 / x
lnx
x
a
) y =
; b
) y =
;
c
) y = x e−
⋅
;
d
) y =
;
1 − x
lnx
x
1
−
+
2
1
∈<
π >
e
) y = arctg(x)
ln 1
(
x
;
) f
) y = cos(x) +
cos(2 x)
, x
0; 2
.
2
2
13. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale: a
) y =
1 − 4x
, x ∈< −
0
;
2
;
>
4
2
b
) y = x e x
, x ∈<
4
;
1
;
>
x2 + 2x + 4
c
) y =
, x ∈< − 1
;
1
> .
x + 2
14. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia krzywych: 1
x
2
5
4
3
x
a
) y = ln(x - 4)
;
b
) y = 3x - 10x - 30x - 2x
; c
) y = xe
;
d
) y =
;
2
4 - x
x
e) y =
; f) y = ln2x + lnx .
lnx
15. Przeprowadzić badanie następujących funkcji: 2x2
3
x2 −3
2
2 -x
a
) y = −x + 9x
; b
) y =
;
c
) y =
;
d
) y = x 1 − x
;
e
) y = x e
−
x−2
x 1
1
−
lnx
2
x
x
f
) y = xe
;
g
) y =
;
h
) y = (x − )
3 e
;
i
) y = ln(x + x2 + 1 .
)
x
a
16. a) Spośród wszystkich prostokątów, które można wpisać w trójkąt równoboczny o boku wybrać ten, który ma największe pole.
b) Liczbę 36 rozłożyć na dwa czynniki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
J. Szymczak