Roboty Przemysłowe

3. Parametry i charakterystyki robotów Charakterystyka przestrzeni roboczej – zasady wyznaczania orientacji chwytaka w przestrzeni roboczej przy wykorzystaniu przekształcenia jednorodnego – kąty Eulera RPY

1. Podstawy teoretyczne

z

w

v

P

y

O

u

x

Rys. 1. Wzajemne położenie i orientacja układów współrzędnych odniesienia Oxyz i lokalnego Puvw

𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝑤𝑥 𝑥𝑝

𝚤̂

𝑢

𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝑤𝑥

𝑥 ∘ 𝚤̂𝑢

𝚤̂𝑥 ∘ 𝚥̂𝑣

𝚤̂𝑥 ∘ 𝑘�𝑤

𝐴 = � 𝑦 𝑣𝑦 𝑤𝑦 𝑦𝑝

𝑢

� 𝑅 = �𝑢𝑦 𝑣𝑦 𝑤𝑦� = �𝚥̂

�

𝑧

𝑣𝑧 𝑤𝑧 𝑧𝑝

𝑦 ∘ 𝚤̂𝑢

𝚥̂𝑦 ∘ 𝚥̂𝑣 𝚥̂𝑦 ∘ 𝑘�𝑤

𝑢

0

0

0

1

𝑧

𝑣𝑧 𝑤𝑧

𝑘�𝑧 ∘ 𝚤̂𝑢 𝑘�𝑧 ∘ 𝚥̂𝑣 𝑘�𝑧 ∘ 𝑘�𝑤

Macierz przekształcenia jednorodnego A opisuje położenie i orientacje układu lokalnego Puvw w układzie odniesienia Oxyz. Macierz R jest tzw. macierzą rotacji i opisuje orientację układu lokalnego Puvw w układzie odniesienia Oxyz. Wektory: i, j, k oznaczają wersory układów współrzędnych Oxyz i Puvw.

Macierz przekształcenia jednorodnego odpowiadająca obrotom o kąty RPY: przechylania (ang. Roll) - φ, pochylenia (ang. Pitch) - θ i skręcenia (ang. Yaw) - ψ jest postaci: RPY(φ,θ ,ψ ) = Rot(z,φ)Rot( y,θ )Rot(x,ψ ) =

C C

φ θ − S C

φ ψ + C S

φ S

θ ψ

S S

φ ψ + C S

φ C

θ ψ



0





S C

φ θ

C C

φ ψ + S S

φ S

θ ψ

− C S

φ ψ + S S

φ C

θ ψ 0

= 



 − Sθ

C S

θ ψ

C C

θ ψ



0





 0

0

0



1

1

Porównanie wyrazów tej macierzy z ogólną postacią macierzy przekształcenia jednorodnego A:

 N

O

A

P

x

x

x

x 





A =  N

O

A

P

y

y

y

y 



N

O

A

P 

 z

z

z

z 

 0

0

0

1 

pozwala znaleźć wartości kątów Eulera RPY wg wzoru: N y

φ = arctg Nx

− N z

θ = arctg

− N 2

1

z

Oz

ψ = arctg Az

poza przypadkiem gdy: N

=0), wtedy występują 2 możliwości: x=0 i Ny=0 (oraz Oz=0, Az o

θ = 90

o

θ = 90

−

sin(ψ − φ ) = O

− sin(ψ + φ ) = O

x

x

cos(ψ − φ ) = O

cos(ψ + φ ) = O

y

y

O

− O

x

ψ −φ = arctg

x

ψ + φ = arctg

O

O

y

y

Wykonanie obrotów układu odniesienia względem jego osi kolejno o kąty: ψ, θ, φ pozwala wskazać orientacje osi układu reprezentowanego przez przekształcenie RPY(φ, θ, ψ) w układzie odniesienia.

2

2. Zadania do wykonania W czasie zajęć należy wykonać 3 zadania. Tematy zadań 1 i 2 są wydawane przez prowadzącego, a temat zadania 3 jest opisany poniżej.

Zadanie 3

Dla przykładu manipulatora robota przemysłowego rozważanego w ćwiczeniu nr 2 i wyznaczonej orientacji efektora zawartej w macierzy T0en dla założonych wartości współrzędnych złączowych należy wyznaczyć wartości kątów orientacji φ, θ, ψ z wykorzystaniem przedstawionych wzorów.

W obliczeniach numerycznych należy wykorzystać funkcje ‘atan2’ np.: psi=atan2(T0en(3,2),T0en(3,3))

.....

3. Uwagi do sporządzenia sprawozdania W sprawozdaniu z wykonania zadania nr 2 należy zamieścić narysowany układ końcowy z translacją i rotacją oraz na osobnej kartce narysowane kolejne przekształcenia układu odniesienia.

W sprawozdaniu z wykonania zadania nr 3 należy przedstawić na rysunku 3 kolejne obroty zaczynające się od układu odniesienia prowadzące do poszukiwanej orientacji lokalnego układu współrzędnych związanego z chwytakiem manipulatora względem układu odniesienia.

3