Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
Imi i Nazwisko: . Grupa: Zad. 1. Obowi zuje zasada oprocentowania prostego. Wyznacz warto procentu nale nego od kwoty 10 000
zł za okres od 28 lipca do 3 pa dziernika, je eli stopa procentowa wynosi 10%, a czas liczony jest zgodnie z reguł dokładn .
a) 178,08
b) 180,56
c) 183,56
d) 186,11
Zad. 2. Kredyt w wysoko ci 18 000 zł jest spłacany w półrocznych stałych ł cznych ratach. Jaka jest warto zadłu enia po spłacie 8 raty, je eli ustalono j na wysoko ci 2 500 zł, a i (2) = 15%.
a) 5 951,67
b) 5 986,67
c) 5 999,67
d) adna z powy szych
Zad. 3. Dla wskazanego projektu znajd MIRR, je eli rynkowa stopa procentowa wynosi 4%
Rok
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Projekt A
- 9
- 2
- 2
- 2
- 2
5
5
5
5
5
5
a) MIRR < 7 %
b) MIRR ∈ (7 %; 8 %)
c) MIRR ∈ (8 %; 9 %)
d) MIRR > 9 %
Zad. 4. Jakie jest maksymalne oprocentowanie kredytów, przy którym kupiec zapłaci za towar gotówk , je eli termin płatno ci przypada za 45 dni, a oferowane przez hurtownika skonto (rabat) w przypadku natychmiastowego uregulowania nale no ci wynosi 1%. Rok ma 365 dni.
a) 8 %
b) 10 %
c) 14 %
d) 18 %
Zad. 5. Dane s : akcje spółki A o E(RA) = 13% i A = 18% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15% i B = 20%.
Wyznacz struktur portfela składaj cego si z akcji spółek A i B, który charakteryzuje si oczekiwan stop zwrotu na poziomie 15%, je eli AB = -1.
a) wA < 0,3
b) wA = 0,5
c) wA > 0,7
d) adna z powy szych
Zad. 6. Kredyt w wysoko ci 29 000 zł ma zosta spłacony w 31 miesi cznych stałych ratach kapitałowych.
Wyznacz wysoko odsetek płaconych w 29 racie, je eli i (12) = 18 %.
a) 40,00
b) 41,21
c) 42,10
d) adna z powy szych
Zad. 7. Jak kwot otrzyma posiadacz 4 miesi cznego weksla o sumie wekslowej w wysoko ci 10 000 zł, je eli przedstawi go do dyskonta na 2 miesi ce przed terminem wykupu, a stopa dyskontowa wynosi 8%?
a) 9 866,67
b) 9 900,00
c) 9 925,00
d) adna z powy szych
Zad. 8. Dane s : akcje spółki A o E(RA) = 13% i A = 18% oraz akcje spółki B o E(RB) = 15% i B = 20%.
Wyznacz struktur portfela składaj cego si z akcji spółek A i B, który charakteryzuje si zerowym ryzykiem mierzonym odchyleniem standardowym, je eli AB = -1.
a) wA < 0,40
b) wA = 0,50
c) wA > 0,85
d) adna z powy szych
Zad. 9. Bank nabył na przetargu 28-dniowy bon pieni ny płac c za niego 9 940 zł, Jak stop zwrotu osi gn ł
bank, je eli sprzedał ten bon po 17 dniach przy rentowno ci na poziomie 12%? Rok ma 360 dni.
a) 4,83 %
b) 5,00 %
c) 5,25 %
d) adna z powy szych
Zad. 10. Wyznacz redni roczn stop dyskontow , je eli kapitał przez pierwsze 6 lat był oprocentowany stop kapitalizowan miesi cznie w wysoko ci 14%, przez kolejne 5 lat stop dyskontow kapitalizowan w okresie pi cioletnim w wysoko ci 9%, a przez ostatnie 3 lata intensywno ci oprocentowania w wysoko ci 10%.
a) 11,22%
b) 11,64%
c) 11,99%
d) adna z powy szych
Zad. 11. Wyznacz efektywn 12 miesi czn stop procentow , je eli 11 miesi czna bazowa stopa procentowa kapitalizowana w okresie 10 miesi cznym wynosi 10%.
a) 11,01 %
b) 11,48 %
c) 11,86 %
d) adna z powy szych
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
Zad. 12. Wyznacz nominaln stop procentow kapitalizowan w okresie kwartału, dla której realna stopa procentowa wynosi 9%, przy inflacji równej 6%.
a) 14,31 %
b) 14,53 %
c) 14,71 %
d) adna z powy szych
Zad. 13. Dany jest portfel składaj cy si w 62% z akcji spółki A i w 38% z akcji spółki B. Je eli E(RA) = 8%, A = 11%, E(RB) = 15%, B = 23%, a AB = -0,55, to E(RP) i P wynosz : a) E(RP) = 10% P = 8%
b) E(RP) = 11% P = 10%
c) E(RP) = 11% P = 8%
d) E(RP) = 10% P = 10%
Zad. 14. Wyznacz warto akcji spółki Beta, je eli w poprzednim roku wypłaciła 3 zł dywidendy na akcj , a oczekiwana przez inwestora stopa zwrotu wynosi 9%. Tempo rozwoju spółki pozwala oczekiwa , e dywidenda b dzie rosła o 4% rocznie.
a) 61
b) 62
c) 63
d) adna z powy szych
Zad. 15. Wska prawidłow odpowied , je eli i = 7%.
Rok
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Projekt A
- 13
0
0
0
0
3
3
3
3
3
3
Projekt B
- 9
0
0
0
3
3
3
3
3
3
3
a) NPVA > NPVB
b) NPVA > -1,50
c) NPVB > 2,10
d) adna z powy szych
Zad. 16. Dla jakiej nominalnej stopy dyskontowej kapitalizowanej w okresie sze cioletnim warto kapitału wzro nie siedmiokrotnie w okresie czternastu lat.
a) 9,43 %
b) 9,79 %
c) 10,26 %
d) adna z powy szych
Zad. 17. Dana jest 5-letnia obligacja o nominale 1 000 zł, kuponie płatnym rocznie w wysoko ci 6%. Je eli rentowno jest na poziomie 5%, a do wykupu pozostały 4 lata, to ryzyko mierzone czasem trwania D
(Duration) wynosi:
a) 3,55
b) 3,61
c) 3,68
d) adna z powy szych
Zad. 18. Dla wskazanego projektu oszacuj IRR:
Rok
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Projekt A
- 10
- 2
- 2
- 2
- 2
5
5
5
5
5
5
a) IRR < 5 %
b) IRR ∈ (7 %; 9 %)
c) IRR ∈ (9 %; 11 %)
d) IRR > 11 %
Zad. 19. Obowi zuje zasada oprocentowania prostego. Dane s trzy kapitały KA = 24 000 dany na 1-1-2006, KB = 17 000 dany na 1-1-2002 oraz KC = 19 000 dany na 1-1-2004. Porównaj kapitały na dzie 1-1-2000 i zaznacz prawidłow odpowied , je eli i = 10 %.
a) KA > KC > KB
b) KA > KB > KC
c) KB > KA > KC
d) adna z powy szych
Zad. 20. Przez ile lat na pocz tku ka dego półrocza mo esz pobiera z funduszu o warto ci pocz tkowej w wysoko ci 190 000 zł kwot 15 000 zł, je eli i (4) = 9%? Obliczenia przeprowad dla modelu wykładniczego.
a) 8,33
b) 8,71
c) 9,00
d) adna z powy szych
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
Rozwi zania zada
1. Warto procentu prostego, zgodnie z reguł dokładn , wyznaczamy jako 67
10000 ⋅ 1
,
0 ⋅
≈183 5
, 6.
365
2. Warto zadłu enia Pj po spłacie j-tej raty wyra a si wzorem j
+
−
1
(
)
1
P = P ⋅ 1 +
− ⋅
j
( i) j
i
R
i
gdzie:
i – oprocentowanie kredytu,
R – warto stałej ł cznej raty,
P – wysoko zaci gni tego kredytu.
St d
8
1
,
0 5
+
−
8
1
1
1
,
0 5
2
P = 18000 ⋅ 1 +
− 2500 ⋅
≈ 598 ,
6 6 .
7
8
2
1
,
0 5
2
3. Stop MIRR wyznaczamy z równania
4
−
6
1− 1
( + 0
,
0
)
4
1
( + 0
,
0
)
4 −1
1
9 + 2⋅
= 5⋅
⋅
10
0
,
0 4
0
,
0 4
1
( + MIR )
R
otrzymuj c
,
1
( 0 )
4 6 −1
5 ⋅
,
0 04
MIRR =
−1 ≈ 7 3
, 9%
10
1 −
0
,
1
(
4)−4
9 + 2 ⋅
0
,
0 4
4. Wyznaczamy stop oprocentowania kredytów i k, przy której dla kupca oboj tne jest, czy zapłaci za towar natychmiast gotówk (pochodz c z kredytu) i jednocze nie skorzysta ze skonta, czy nie skorzysta ze skonta i zapłaci dopiero w terminie płatno ci przypadaj cym za t dni.
Wykorzystuj c zale no
t
1 = 1
( − s) ⋅ 1+ i
,
k ⋅ 365
gdzie:
s – wysoko oferowanego skonta w %,
ik – stopa oprocentowania kredytów,
t – okres kredytowania w dniach,
mamy
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
45
1 = 1
( − 0
,
0
)
1 ⋅ 1 + i
k ⋅
,
365
sk d i k 8,19 %, i tym samym maksymalne oprocentowanie kredytów spo ród podanych, przy którym kupiec zaci gnie kredyt i skorzysta ze skonta wynosi 8%.
5. Z przedstawionych w zadaniu danych wynika natychmiast, e portfel składaj cy si tylko z akcji spółki B
(a wi c wA=0) czyni zado wymaganemu warunkowi.
6. Warto odsetek O j płaconych w j-tej racie, w przypadku kredytu spłacanego w równych ratach kapitałowych, wyra a si wzorem
j − 1
O
j = i ⋅ P ⋅ 1 −
,
n
gdzie:
i – oprocentowanie kredytu,
n – liczba wszystkich rat, w których kredyt ma zosta spłacony,
P – wysoko zaci gni tego kredytu.
Zatem
1
,
0 8
29 −1
O
=
⋅ 29000 ⋅ 1−
≈ 42 1
, .
29
12
31
7. Posiadacz weksla otrzyma kwot w wysoko ci
2
10000 ⋅ 1 − 0
,
0 8 ⋅
≈ 986 ,
6 6 .
7
12
8. Rozwi zuj c układ równa
2
σ
w σ
w σ
w w σ σ ρ
P = (
A
A )2 + (
B
B )2 + 2
,
A
B
A
B
AB
w
w
A +
B = 1
z danymi σP =0%, σA=18%, σB =20%, ρAB = −1, otrzymujemy
w
w
A ≈
5
,
0
,
3
B ≈
,
0 4 .
7
9. Roczna stopa zwrotu i z wynosi
W − 9940 360
i =
B
z
⋅
,
9940
17
gdzie liczba W B, oznaczaj ca cen po której bank sprzedał bon na rynku wtórnym, jest równa
10000
W
B =
≈ 996 ,34 .
7
11
1 + 1
,
0 2 ⋅ 360
St d i z ≈ 5%.
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
10. redni roczn stop dyskontow d sr wyznaczamy z równania 5
12 6
⋅
−
1
,
0 4
5
⋅
−
1 +
⋅ 1− ,
0 09 ⋅ 5
0 1
, 3
⋅ e
= (1− d
sr ) 14 ,
12
otrzymuj c d sr ≈ 11,64 %.
11. Efektywn 12 miesi czn stop procentow i wyznaczamy z równania
12
10
10
1 + i = 1 + 1
,
0 ⋅
11
otrzymuj c i ≈ 11,01%.
12. Wykorzystuj c zale no ci
4
( 4)
1 + i
i
1+ i =
,
1
r
+ i = 1 +
1 + i
4
i
mamy
4
( 4)
i
1 + 4
1 + 0,09 =
1 + 0,06
sk d i(4) ≈ 14,71%.
13. Podstawiaj c do równa
E( R
= w E R + w E R
P )
A
( A) B ( ),
B
σ = w σ 2 + w σ 2 + 2 w w σ σ ρ
P
( A A) ( B B )
A
B
A
B
AB
dane wynikaj ce z warunków zadania (wA = 0,62, wB = 0,38, E(RA) = 8%, E(RB) = 15%, A = 11%, B =
23%, AB = -0,55), otrzymujemy
E(R
≈
P) ≈ 11%, σP 8%.
14. Warto akcji W A wyznaczamy z formuły Gordona
D ⋅ (1 + g)
W =
.
A
r − g
Uwzgl dniaj c dane D = 3, r = 9%, g = 4% otrzymujemy W ≈
A 62.
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
15. W przypadku badanego rozkładu płatno ci NPV wyra a si jako 1 − 1
( + i) − n
1
NPV = I + R ⋅
⋅
,
i
1
( + i) t− n
gdzie:
I – wydatki inicjuj ce,
R – przepływy generowane przez projekt w kolejnych latach,
n – liczba przepływów o stałej warto ci,
t – liczba lat przez które projekt jest realizowany.
Zatem
1 −
0
,
1
(
7) 6
−
1
NPVA = −13 + 3 ⋅
⋅
≈ − 0
,
2
,
9
,
0 07
0
,
1
(
7) 4
1 −
0
,
1
(
7)−7
1
NPVB = −9 + 3 ⋅
⋅
≈ ,
4 2 .
0
0
,
0 7
,
1
( 07)3
16. Stop d(6) wyznaczamy z równania
−14
6
7 = 1 − 6 ⋅ d
,
(6)
otrzymuj c d(6) ≈ 9,43%.
17. Duration D wyra a si wzorem
n
c ⋅ t
n ⋅ M
+
t
n
+
+
t 1
1
(
i )
(1 i)
D = =
,
W O
gdzie:
c – kupon płatny co roku,
n – liczba lat do wykupu obligacji,
M – nominał obligacji,
Wo – warto obligacji,
i – rynkowa stopa procentowa.
Z kolei
1− 1
( + i)− n
M
W = c ⋅
+
O
i
( + i) .
1
n
Zatem
1 − 1
( +
−4
0
,
0
)
5
1000
W = 60
1035,46
O
⋅
+
≈
4
0
,
0 5
0
,
1 5
i ostatecznie
Zastosowania matematyki w finansach i bankowo ci Zestaw IV
1⋅ 60
2 ⋅ 60
3 ⋅ 60
4 ⋅ 60
4 ⋅1000
+
+
+
+
,
1 05
,
1 052
,
1 053
,
1 054
,
1 054
D ≈
≈ ,
3 68.
103 ,
5 46
18. IRR to wewn trzna stopa zwrotu jednoznacznie okre lona przez równanie NPV( IRR)=0, gdzie
1 − 1
( + i) 4
−
1 − 1
( + i) 6
−
1
NPV ( i) = −10 − 2 ⋅
+ 5⋅
⋅
.
i
i
1
( + i)4
Poniewa NPV(7%) > 0 oraz NPV(9%) < 0, wi c z własno ci Darboux funkcji NPV wnosimy, e 7% < IRR
< 9%.
19. Zaktualizowane warto ci kapitałów K A, K B, K C na dzie 01.01.2000 wynosz odpowiednio
24000⋅(1+6⋅0,1)-1 =15000,
17000⋅(1+2⋅0,1)-1 ≈ 14167,
19000⋅(1+4⋅0,1) –1 ≈ 13571.
20. Stop i(2) wyznaczamy z równania
2
4
(2)
,
0 09
1 + i
= 1+
,
2
4
otrzymuj c w przybli eniu 0,0910125.
Wzór
− + i − n t⋅
(0)
1
1
(
)
R
= R ⋅
⋅ (1+ i),
i
gdzie n oznacza liczb płatno ci w ci gu roku, za t liczb lat dokonywania płatno ci, daje równanie 2
− t
(2)
i
1 − 1 + 2
(2)
i
190000 = 15000 ⋅
⋅ 1+
,
(2)
i
2
2
z którego wyznaczamy ostatecznie t ≈ 9 lat.