.::ZestaW IV ::.

1. Niech
   jest iniekcją. Pokazać, że
   definiuje metrykę w R
   

2. Oznaczmy przez
   , gdzie
   i
   są różnymi elementami ni należącymi do R
   Niech
   
   
   
   a) pokazać, że f - bijekcja
   b) uzasadnić, że
   jest metryką w
   
   c) wyznaczyć K(0,1/2), oraz
   
   Uwaga: (
   ,d) nazywa się rozszerzoną prostą rzeczywistą

3. Niech
   ;
   dla
   
   a) sprawdzić, czy d określa metrykę w X
   b) znaleźć K(2,
   )
   c) sprawdzić, czy ciąg
   jest zbieżny do
   w tej przestrzeni
   d) pokazać, że N jest Ograniczony w (X,d)
   

4. Dana jest przestrzeń metryczna
   ,
   - odległość euklidesowa,
   . Wyznaczyć domknięcie, punkty skupienia i brzeg zbioru A, jeżeli:
   a)
   
   b)
   
   c)
   , gdzie
   
   

5. Pokazać, że przestrzeń (X,d) z zadania 3 nie jest zupełna
   

6. Niech
   
   
   Wyznaczyć
   oraz
   i
   
   

7. Niech
   - dowolne zbiory, oraz
   
   - rodzina podzbiorów zbioru X
   
   - rodzina podzbiorów zbioru Y
   Pokazać, że:
   a)
   
   b)
   
   c)
   
   d)
   
   

8. Niech
   będą dowolnymi funkcjami ograniczonymi. Pokazać, że:
   a)
   
   b)
   
   

9. Niech B(X,R) - oznacza zbiór funkcji ograniczonych, określonych na X o wartościach wartościach w R. Niech
   
   
   a) pokazać, że d_c określa metrykę w B(X,R)
   b) obliczyć d_c(f,g), jeżeli:
   oraz
   g(x) = 1
   c) niech
   oraz f_o(x) = 0
   sprawdzić, czy f_n jest zbieżny do f_o w (B(A,R),d_c) jeżeli:
   1^o A = [-1,1]
   2^o A = [1,2]
   Uwaga:
   dc - nazywamy metrykę Czebyszewa, zaś zbieżność zbieżność sensie tej metryki nazywamy zbieżnością jednostajną o oznaczamy:
   

---