Zdzisław Paciorek, dr inż.
Politechnika Świętokrzyska
TECHNIKA WYSOKICH NAPIĘĆ
Materiały pomocnicze do wykładów
Część 2. Zadania z przebiegów falowych w liniach długich Zadanie 7.
Samotna prostokątna fala przepięciowa trafia na zwarty koniec linii Z1. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punkcie węzłowym A oraz w punkcie B znajdującym się 600 m przed punktem A.
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = 0 Ω, v1 = 300 m/µs, Tf = 10 µs, U'1 = 1000 kV, odległość AB wynosi 600 m.
U'1
kV
'
1000
1
U
t
B
A
10
µs
Z1
Z
2 = 0
Rys. 7.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii Rozwiązanie.
Obliczamy współczynniki: przepuszczania i odbicia 2Z
0Ω
Z − Z
0Ω − 500Ω
− 500
2
α =
=
= 0 ,
2
1
β =
=
=
=− 1.
Z + Z
0Ω + 500Ω
Z + Z
0Ω + 500Ω
500
2
1
2
1
Wartości szczytowe fali przepuszczonej i odbitej wynoszą: U ' =α U '
⋅ = 0 1⋅ 000kV = 0kV , U " =β U '
⋅ =− 1⋅ 1000kV =− 1000kV
2
1
1
1
Droga przebiegu fali w linii Z1 w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs: lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m Czas przebiegu przez falę odległości [AB] = 600m: AB
600 m
t =
=
= 2µ s
v
m
1
300µ s
Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
t = 3µs
t = 6µs
kV u
kV u
U'
U'
1
1
1000
1000
500
500
d
0
d
0
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
"
U
-500
"
U
-500
1
1
-1000
-1000
Rys. 7.2. Rozkłady napięcia wzdłuż linii dla chwil czasowych 3 i 6 µs – rozwiązanie zadania 7
punkt A
punkt B
kV u
kV u
1000
1000
U'
U'
1
1
"
U' + U = 0
U ' +
"
U = 0
1
1
1
1
500
500
t
t
0 0
5
10
15
µs
-5
0
5
10
15
µs
-500
-500
"
"
U
U
1
1
-1000
-1000
Rys. 7.3. Przebiegi napięcia w punktach A i B – rozwiązanie zadania 7
Zadanie 8.
Samotna prostokątna fala przepięciowa trafia na rozwarty koniec linii Z1. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punkcie węzłowym A oraz w punkcie B znajdującym się 600 m przed punktem A.
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = ∞, v1 = 300 m/µs, Tf = 10 µs, U'1 = 1000 kV, odległość AB wynosi 600 m.
'
U1
kV
'
1000
1
U
t
B
A
10
µs
Z1
Z
2 =∞
Rys. 8.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii Rozwiązanie.
Obliczamy współczynniki: przepuszczania i odbicia
Z
500Ω
1
1
−
1−
2Z
2
2
Z − Z
Z
∞
2
α =
=
=
= 2 ,
2
1
2
β =
=
=
= 1 .
Z + Z
Z
500
Z + Z
Z
500Ω
2
1
1
1
+
1+
2
1
1
1
+
1+
Z
∞
Z
∞
2
2
Wartości szczytowe fali przepuszczonej i odbitej wynoszą: U ' =α U '
⋅ = 2⋅ 1000kV = 2000kV , U " =β U '
⋅ = 1⋅ 1000kV = 1000kV
2
1
1
1
Droga przebiegu fali w linii Z1 w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs: lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m Czas przebiegu przez falę odległości [AB] = 600m: AB
600 m
t =
=
= 2µ s
v
m
1
300µ s
Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
t = 3µs
t = 6µs
kV u
kV u
2000
2000
"
U
1500
U'1
1500
1
1000
1000
U '1
500
"
U
500
1
d
0
d
0
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
Rys. 8.2. Rozkłady napięcia wzdłuż linii dla chwil czasowych 3 i 6 µs – rozwiązanie zadania 8
punkt A
punkt B
kV u
kV u
2000
2000
"
"
1500
U
U = U'
1
1
1500
"
U = U'
1
1
1
U = 2 U'
U = U '
"
+ U
A
1
B
1
1
1000
1000
500
U'1
500
"
U'
U1
1
t
t
0
5
10
15
µs
-5
0
5
10
15
µs
Rys. 8.3. Przebiegi napięcia w punktach A i B – rozwiązanie zadania 8
Zadanie 9.
Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, przechodzi z linii o impedancji Z1 na linię o impedancji Z2. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punkcie węzłowym A oraz w punktach B i C
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = 50 Ω, v1 = 300 m/µs, v2 = 150 m/µs, Tf = 10 µs, U'1max = 1000 kV, odległość AB i AC wynosi 600 m.
'1
U
kV
'
1000
1
U
t
B
A
C
10
µs
Z1
Z2
Rys. 9.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii Rozwiązanie.
Obliczamy współczynniki: przepuszczania i odbicia 2Z
2⋅ 50Ω
100
2
α =
=
=
= 0 1,81818181 .
8 .. ≈ 0 1
, 8 ,
Z + Z
50Ω + 500Ω
550
2
1
Z − Z
50Ω − 500Ω
− 450
2
1
β =
=
=
= 0
− 8
, 1818181 .
8 .. ≈ − 0 8
, 2
Z + Z
50Ω + 500Ω
550
2
1
Wartości szczytowe fali przepuszczonej i odbitej wynoszą: U ' =α U '
⋅
= 0 1,8⋅ 1000kV = 180kV , U " =β U '
⋅
= 0
− 8
, 2⋅ 1000kV =− 820kV
2
1 max
1
1 max
Droga przebiegu fali w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs:
- w linii Z1
lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m
- w linii Z2
lt1 = v2 ⋅ t1 = 150m/µ s⋅ 3µ s = 450m, lt2 = v2 ⋅ t2 = 150m/µ s⋅ 6µ s = 900m Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
u
u
t = 3 µs
kV
t = 6 µs
kV
1000
1000
700
u1
u =
= u1
u'1 +
+ u1
u "
1
u1= u1' + u1"
400
500
500
400
400
180
180
126
u1'
u2'
u1'
u2'
72
x
x
2400 1800 1200
600
A
600
m
2400
1800 1200
600
A
600
m
Z1
Z1
-328
u1" -420
u1"
-500
-500
-574
-656
-820
-820
-1000
-1000
Rys. 9.2. Rozkłady napięcia wzdłuż linii dla chwil czasowych 3 i 6 µs – rozwiązanie zadania 9
kV u
kV u
kV u
punkt A
punkt B
punkt C
1000
1000
1000
u
600
A = u1' + u1" = u2'
uB= u1' + u1"
500
500
500
u1'
u1'
180
uC = u2'
180
u2'
180
180
t
t
t
0
2
4
6
8
10
µs
-2
0
2
4
6
8
10
µs
0
2
4
6
8
10
12
µs
-220
-328
u1"
u1"
-500
-500
-500
-820
-1000
-1000
Rys. 9.3. Przebiegi napięcia w punktach A, B i C – rozwiązanie zadania 9
Zadanie 10.
Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, przechodzi z linii o impedancji Z1 na linię o impedancji Z2. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punkcie węzłowym A oraz w punktach B i C
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = 50 Ω, v1 = 300 m/µs, v2 = 150 m/µs, Tf = 10 µs, U'1max = ± 1000 kV, odległość AB i AC wynosi 600 m.
'
kV
1
U
1000
'
1
U
A
C
t
10
B
5
µs
Z1
Z2
Rys. 10.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii Rozwiązanie.
Obliczamy współczynniki: przepuszczania i odbicia
2Z
2 ⋅ 50Ω
100
2
α =
=
=
= 0 1,8181 .
8 .. ≈ 0 1
, 8 ,
Z + Z
50Ω + 500Ω
550
2
1
Z − Z
50Ω − 500Ω
− 450
2
1
β =
=
=
= − 0 8
, 1818 .
1 .. ≈ − 0 8
, 2
Z + Z
50Ω + 500Ω
550
2
1
Wartości szczytowe fali przepuszczonej i odbitej wynoszą: U ' = α ⋅ U '
= 0 1,8 ⋅ ± 1000kV = ± 180kV , U" = β ⋅ U '
= 0
− 8
, 2 ⋅ ± 1000kV
m
= 820kV
2
1 max
1
1 max
Droga przebiegu fali w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs:
- w linii Z1
lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m
- w linii Z2
lt1 = v2 ⋅ t1 = 150m/µ s⋅ 3µ s = 450m, lt2 = v2 ⋅ t2 = 150m/µ s⋅ 6µ s = 900m Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
kV u
t = 3µs
1000
U'1
500
'
d
U
0
2
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
300
600
900
m
"
U1
-500
-1000
Rys. 10.2. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 3 µs kV u
t = 6µs
1000
500
d
'
A
U2
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
0
m
300
300
600
900
"
U
-500
1
U'1
-1000
Rys. 10.3. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 6 µs
kV u
punkt A
kV u
punkt B
kV u
punkt C
1000
1000
U'1
1000
U
'
= U = U' +
"
U
'
A
2
1
1
U
U = U' +
"
U
= U
U'
C
2
B
1
1
1
500
500
500
"
"
U
U
'
1
1
U2
t
t
t
0
0
0
5
10
15
µs
0
-5
0
5
10
15
µs
5
10
15
µs
0
-500
"
U1
U'
-500
-500
1
-1000
-1000
-100
0 0
Rys. 10.4. Przebiegi napięcia w punktach A, B i C – przebieg wypadkowy zakreskowany Zadanie 11.
Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, przechodzi z linii o impedancji Z1 na linię o impedancji Z2 przez Rezystor R. Wykonać obliczenia wiedząc, że fala przepuszczona U’2 = 200kV oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punktach węzłowych A i B oraz w punkcie C
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = 500 Ω, v1 = 300 m/µs, v2 = 300 m/µs, Tf = 10 µs, U'1max = 1000 kV, U'2max = 200 kV, R = ?, odległość CA wynosi 600 m.
'
1
U
kV
'
1000
1
U
C
A
t
B
10
µs
Z1
R
Z2
Rys. 11.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii W
Z1
I
R
2'
A
B
UR
2U1'
U1
U2'
Z2
Rys. 11..2. Schemat zastępczy Petersena dla
przypadku z zadania 11
Rozwiązanie.
Obliczenia przeprowadzamy korzystając ze schematu zastępczego Petersena. Fala przepuszczona napięcia wynosi:
'
U
2
'
'
U = I ⋅ Z , ponieważ '
1
I =
2
2
2
2
Z + R + Z
1
2
U
2 '
zatem U '
1
=
⋅ Z = 200 kV .
2
Z + R + Z
2
1
2
Możemy obliczyć R oraz I’2:
U '
R = 2Z
1
⋅
− Z − Z = 2 ⋅ 500 ⋅
−
−
=
,
2
'
1
2
Ω 1000kV 500Ω 500Ω 4000Ω
U
200kV
2
U
2 '
⋅
'
2 1000kV
I
1
=
=
= 0 4
, k .
A
2
Z + R + Z
500Ω + 4000Ω + 500Ω
1
2
Dla schematu zastępczego z rysunku 11.2 obowiązuje relacja dla napięć
'
U = U + U .
1
R
2
Ponieważ
'
"
U = U + U , możemy po obliczeniu U
1
1
1
R obliczyć falę odbitą napięcia U”1.
U = I ' ⋅ R = 0 4
, kA ⋅ 4000Ω = 1600kV , U = U + U ' = 1600kV + 200kV = 1800kV , R
2
1
R
2
U " = U − U ' = 1800kV − 1000kV = 800kV .
1
1
1
W przypadku występowania w układzie linii szeregowych elementów skupionych mamy do czynienia z dwoma punktami węzłowymi i obliczenia z wykorzystaniem współczynników α i β wymagają zdefiniowania impedancji Z1 i Z2 dla każdego węzła.
Droga przebiegu fali w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs w liniach Z1 i Z2: lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m Czas przebiegu przez falę odległości [AC] = 600m: C
A
600 m
t =
=
= 2 µ s
v
m
1
300µ s
Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
kV u
t = 3µs
1500
"
U1
U =1600 kV
1000
R
00
U'1
500
'
U2
d
0
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
AB
300
600
900
m
-500
Rys. 11.3. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 3 µs
kV u
t = 6µs
1500
U'1
U =1600 kV
1000
R
00
500
'
"
U
U
2
1
d
0
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
AB
300
600
900
1200
1500
1800
m
-500
Rys. 11.4. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 6 µs kV u
kV u
punkt A
punkt B
punkt C
"
1500
U1
1500
kV u
U = U' +
"
U
1000
1000
1000
C
1
1
"
U = U' + U
U'1
A
1
1
U =
'
U
B
2
U'
"
U
500
1
500
500
1
'
U2
t
t
t
0
0
0
0
5
10
15
µs
0
5
10
15
µs
-5
0
5
10
15
µs
-500
-500
-500
Rys. 11.5. Przebiegi napięcia w punktach A, B i C – przebieg wypadkowy zakreskowany Zadanie 12.
Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, przechodzi z linii o impedancji Z1 na linię o impedancji Z2 . W punkcie węzłowym A znajduje się rezystor R. Wykonać obliczenia wiedząc, że fala przepuszczona U’2 = 200kV oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej t = 3 µs oraz t = 6 µs
- przebiegów napięcia w punkcie węzłowym A oraz w punktach B i C
Dane: Z1= 500 Ω, Z2 = 500 Ω, v1 = 300 m/µs, v2 = 300 m/µs, Tf = 10 µs, U'1max = 1000 kV, U'2max = 200 kV, R = ?, odległość AB i AC wynosi 600 m.
'
'
U
1
U
kV
1
B
A
C
1000
1
Z
2
Z
t
R
10 µs
Rys. 12.1. Przebieg czasowy fali napięcia i schemat układu linii
W
i
Z1
Z2
2'
A
U2'
2U1'
R
Rys. 12..2. Schemat zastępczy Petersena dla
przypadku z zadania 12
Rozwiązanie.
Obliczenia przeprowadzamy korzystając ze schematu zastępczego Petersena. Fala przepuszczona napięcia wynosi:
Z R
U ' = I '
2
⋅
= 200kV .
2
2
Z + R
2
U
2 '
Ponieważ ze schematu Petersena mamy I '
1
=
,
2
Z R
Z
2
+
1
Z + R
2
U
2 '
Z R
zatem U '
1
2
=
⋅
= 200 kV .
2
Z R
+
2
Z
R
Z
2
+
1
Z + R
2
Obliczamy R oraz I’2
U ' Z Z
200kV ⋅ 500
⋅
2
1
2
Ω 500Ω
R =
=
=
Z
−
−
⋅ ⋅
−
−
⋅
2 ( U
2 '
U '
1
2 )
62 5
, Ω
U ' Z
500
2
1
Ω ( 2 1000kV 200kV ) 200kV 500Ω
U
2 '
⋅
'
2 1000kV
I
1
=
=
= 3 6,k .
A
2
R ⋅ Z
62 5
, Ω ⋅ 500Ω
Z
2
+
500Ω +
1
R + Z
62 5
, Ω + 500Ω
2
Dla układu linii z jednym punktem węzłowym obowiązuje relacja dla napięć
'
'
"
U = U + U .
2
1
1
Fala odbita wynosi:
U " = U ' − U ' = 200kV − 1000kV = − 800kV
1
2
1
Obliczenia napięć można dokonać także posługując się współczynnikami przepuszczania i odbicia.
U '
200kV
2
α =
=
= 0 2
, , β = α − 1 = 0 2
, − 1 = − 0 8
, ,
U '
1000kV
1
natomiast rezystancję R można obliczyć wykorzystując współczynnik α lub β, np. wykorzystując wzór: R ⋅ Z 2
2 R + Z2
α =
R ⋅ Z2
Z +
1
R + Z 2
Droga przebiegu fali w czasie t1 = 3µs i t2 = 6µs w liniach Z1 i Z2: lt1 = v1 ⋅ t1 = 300m/µ s⋅ 3µ s = 900m, lt2 = v1 ⋅ t2 = 300m/µ s⋅ 6µ s = 1800m Czas przebiegu przez falę odległości [AC] i [AB] równej 600m: C
A
600 m
t =
=
= 2 µ s
v
m
1
300µ s
Za chwilę czasową t = 0 przyjmujemy moment dojścia czoła fali do punktu A.
t = 3µs
kV u
U'1
1000
500
'
d
0
U2
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
300
600
900
1200 m
"
U
-500
1
Rys. 12.3. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 3 µs t = 6µs
kV u
1000
U'1
500
'
U2
d
0
d
m 2100
1800
1500
1200
900
600
300
A
300
600
900
1200
1500
m
1800
"
U
-500
1
Rys. 12.4. Rozkład napięcia wzdłuż linii dla chwili czasowej 3 µs punkt A
punkt B
punkt C
kV u
kV u
kV u
U'
1000
1
1000
1000
U'1
500
500
500
'
'
U
U2
2
t
t
t
0
0
0
0
5
10
15
µs
-5
0
5
10
15
µs
0
5
10
15
µs
-500
-500
"
U1
"
U1
Rys. 12.5. Przebiegi napięcia w punktach A, B i C – przebieg wypadkowy zakreskowany