Geometria analityczna cd.
Równanie paraboli
Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów równoodległych od pro-stej i od stałego punktu. Prostą nazywamy kierownicą, a punkt ogniskiem paraboli.
Wyprowadzimy równanie paraboli w przypadku gdy kierownica dana jest wzorem x = −1p dla p > 0, a ognisko jest położone w punkcie F (1p, 0) (to 2
2
nam gwarantuje, że parabola będzie miała wierzchołek w początku układu współrzędnych. Niech P (x, y) będzie punktem leżącym na paraboli. Wtedy odległość tego punktu od kierownicy wynosi x + 1 p, a odległość od F wynosi 2
q(x − 1p)2 + y2. Z określenia paraboli mamy:
2
s
1
1
x +
p =
(x − p)2 + y2
2
2
podnosząc do kwadratu mamy:
1
1
x2 + xp +
p2 = x2 − xp + p2 + y2
4
4
stąd otrzymujemy równanie paraboli:
y2 = 2px
Styczna do paraboli y2 = 2px w punkcie P (x0, y0) leżącym na niej ma równanie y0y = p(x + x0).
Podział linii stopnia drugiego
Każdą linię przedstawioną równaniem:
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
(1)
gdzie a, b, c, d, e, f ∈ R nazywamy linią stopnia drugiego.
Każde równanie stopnia drugiego przedstawia: elipsę, hiperbolę, parabolę, dwie proste lub zbiór pusty.
Oznaczmy:
a b
d
W = b
c
e
d e f
i
a b
w =
b c
1
Twierdzenie 1 Gdy W 6= 0 to równanie (1) przedstawia: (i) elipsę gdy w > 0,
(ii) hiperbolę gdy w < 0,
(iii) parabolę gdy w = 0
Gdy W = 0 to równanie (1) przedstawia:
(iv) dwie przecinające się proste gdy w < 0,
(v) zbiór pusty (dwie proste urojone) gdy w > 0,
(vi) dwie proste równoległe (lub równe) gdy w = 0.
Dowód Dowód można znaleźć w książce F. Leja ”Geometria analityczna”
wyd. dziesiąte, PWN Warszawa 1966.
Przykład Zbadajmy, jaką linię przedstawia równanie ax2 +y2 −4x+6y +7 =
0, dla różnych wartości a. Nasze wyróżniki są równe:
a
0 −2
a 0
W = 0
1
3 = −2(a + 2), w =
= a
0 1
−2 3
7
(1) Niech w 6= 0 tzn a 6= 0 wtedy mamy:
4
2
4
a(x2 − x) + (y2 + 6y) + 7 = a(x − )2 + (y + 3)2 −
− 9 + 7 = 0
a
a
a
stąd:
2
4
2(2 + a)
a(x − )2 + (y + 3)2 =
+ 2 =
a
a
a
Krzywe stopnia drugiego nazywamy też krzywymi stożkowymi gdyż powstają one z przecięcia stożka trójwymiarowego różnymi płaszczyznami.
Geometria analityczna w przestrzeni
3
R
Podobnie jak w przypadku geometrii na płaszczyźnie będziemy mówić o układzie współrzędnych. Układ taki powstaje przez obranie punktu 0 i wybranie trzech osi wzajemnie prostopadłych 0x, 0y, 0z. Istnieją dwie klasy układów współrzędnych różniące się skrętnością.
W przestrzeni trójwymiarowej, każdy punkt P może być przedstawiony za pomocą trzech współrzędych (x, y, z). Jeśli dane są dwa punkty P1(x1, y1, z1) i P2(x2, y2, z3) to ich odległość wyraża się następująco:
q
|P1P2| =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów (P1, P2) i oznaczamy go
−−−−−→
przez P1P − 2. Punkt P1 nazywamy początkiem wektora, a punkt P2 końcem.
−−→
Odległość P1 od P2 nazywamy długością wektora i oznaczamy przez |P1P2|.
2
Podobnie jak na płaszczyźnie będziemy mówić o wektorach swobodnych. W
tym przypadku utożsamiamy wektory, które mają ten sam kierunek, ten sam zwrot i tą samą długość, a więc w przypadku wektorów swobodnych punkt zaczepienia nie ma znaczenia, ważne są tylko jego długość, zwrot i kieru-
−−→
nek. Jeśli wektor swobodny P1P2 jest określony przez punkty P1(x1, y1, z1) i P2(x2, y2, z2) to wektor ten ma współrzędne:
−−→
P1P2 = [x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2]
Wektory możemy, więc utożsamiać z trójkami liczb rzeczywistych. Wektory swobodne można dodawać i mnożyć przez liczby rzeczywiste (skalary). Dodawanie wektorów zdefiniowane jest dokładnie tak samo jak na płaszczyźnie, podobnie definiujemy mnożenie przez skalary. Działania te można również zdefiniować dla trójek liczb rzeczywistych:
[x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2]
α[x1, y1, z1] = [αx1, αy1, αz1]
Struktura (R, +) jest grupą abelową (podobnie jak struktura wektorów swobodnych wraz z dodawaniem). Mnożenie skalarów przez wektory ma nastę-
pujące własności: dla każdego a, b ∈ 3
R , α, β ∈ R:
(i) α(a + b) = αa + αb,
(ii) (α + β)a = αa + βa,
(iii) (αβ)a = α(βa),
(iv) 1a = a.
Długość wektora
Jeśli wektor a ma współrzędne [xa, ya, za] to jego długość jest wyrażona wzorem:
q
|a| =
x2 + y2 + z2
a
a
a
Własności długości wektorów są podobne jak własności długości wektorów na płaszczyźnie:
(i) |a + b| ¬ |a| + |b|,
(ii) |αa| = |α||a|.
Wektor a nazywa się wersorem jeśli |a| = 1. Wersory, który są położone na osiach nazywamy wersorami osi i oznaczamy je i dla osi 0x, j dla osi 0y, k dla osi 0z. Jak łatwo zauważy wersory osi mają współrzędne: i = [1, 0, 0], j =
[0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. Jeśli a, b, c są trzema wektorami, a α, β, γ skalarami to αa + βb + γc nazywamy liniową kombinacją wektorów a, b, c.
Każdy wektor da się jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wersorów i, j, k. Rzeczywiście jeśli wektor a ma współrzędne xa, ya, za to a = xai + yaj + zak.
3
Rzeczywiście a = [xa, ya, za] = xa[1, 0, 0] + ya[0, 1, 0] + za[0, 0, 1] = xai + yaj +
zak.
Wektory a, b, c nazywamy komplanarnymi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje płaszczyzna do której te wektory są równoległe. Inaczej mówiąc wektory a, b, c są komplanarne wtedy i tylko wtedy gdy jeden z nich jest liniową kombinacją pozostałych wektorów, np. a = βb + γc.
Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym wektorów a = [x1, y1, z1] i b = [x2, y2, z2] nazywamy liczbę rzeczywistą x1x2 + y1y2 + z1z2i oznaczamy ją przez a ◦ b.
Własności iloczynu skalarnego
Niech a, b, c będą trzema wektorami, i niech α będzie skalarem, wtedy iloczyn skalarny ma następujące własności:
(i) (a + b) ◦ c = a ◦ c + b ◦ c,
(ii) a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ b,
(iii) (αa) ◦ b = α(a ◦ b),
(iv) a ◦ b = b ◦ a,
(v) a ◦ b = b ◦ a,
(vi) a ◦ a 0 i a ◦ a = 0 ⇐⇒ a = 0.
√
Ponadto można zauważyć, że |a| =
a ◦ a.
Kątem między wektorami a i b nazywamy mniejszy z kątów, wyznaczonych przez przecinające się proste wyznaczone przez te wektory. Kąt między wektorami a i b wyznaczony jest wzorem:
a ◦ b
cos(^(a, b)) = |a||b|
Wektory a, b nazywamy ortogonalnymi wtedy i tylko wtedy gdy a ◦ b = 0
(inaczej mówiąc wektory są ortogonalne gdy kąt między nimi jest równy π ).
2
Zadanie Wyznaczyć kąt między wektorami a = [2, 0, −1] i b = [1, 3, 0].
√
√
√
Rozwiązanie Obliczamy: a ◦ b = 2, |a| =
22 + 12 =
5, |b| =
12 + 32 =
√10 i otrzymujemy:
a ◦ b
2
cos(^(a, b)) =
= √ √
|a||b|
5 10
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym wektorów a = [xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] nazywamy wektor, który ma następujące współrzędne:
[yazb − ybza, xbza − xazb, xayb − xbya]
i oznaczamy go przez a × b.
4
Sposób obliczania iloczynu wektorowego. Iloczyn wektorowy wektorów a =
[xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] można wyrazić przez wyznacznik: i
j
k
a × b = x
a
ya za
x
b
yb zb
gdzie i, j, k są wersorami osi. Wyznacznik ten formalnie nie ma sensu (pierw-szy wiersz składa się z wektorów) ale pozwala łatwo zapamiętać sposób obliczania iloczynu wektorowego.
Można zauważyć, że:
(i) |a × b| = |a||b| sin(^(a, b)),
(ii) wektor a × b jest ortogonalny do wektora a i b,
(iii) zwrot wektora a × b jest określony przez tzw. regułę śruby prawoskrętnej lub trzech palców lewej dłoni.
Dzięki iloczynowi wektorowemu można określić skrętność układu. Układ jest prawoskrętny jeśli i × j = k, gdzie i, j, k są wersorami osi.
Inne własności iloczynu wektorowego:
(iv) a × b = 0 wtedy i tylko wtedy gdy a i b są wektorami kolinearnymi, (v) a × b = −b × a,
(vi) (a + b) × c = a × c + b × c,
(vii) (αa) × b = α(a × b).
Z punktu (iv) łatwo wynika, że wektory a = [xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] są kolinearne wtedy i tylko wtedy gdy:
xa
ya
za
=
=
xb
yb
zb
Zadanie Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach P1(1, 2, 3), P2(0, −1, −1), P3(1, 0, 1).
−−→ −−→
Rozwiązanie Jeśli wyznaczymy wektory P1P2 i P1P3 to pole trójkąta jest
−−→ −−→
−−→
−−→
równe P4 = 1|P
P
P
|P
P
2
1P2||P1P3| sin(^( 1P2,
1P3)), zatem P4 = 1
2
1P2 ×
1P3|.
Obliczmy
i
j
k
−−→
−−→
P
1P2 × P1P3 =
−1 −3 −4 = [−2, −2, 2]
0
−2 −2
i
−−→
−−→
q
√
√
|P1P2 × P1P3| =
(−2)2 + (−2)2 + 22 =
12 = 2 3
więc
1 √
√
P4 = 2 3 =
3.
2
Iloczyn mieszany
5
Niech a = [xa, ya, za], b = [xb, yb, zb], c = [xc, yc, zc] będą trzema wektorami, wtedy liczbę (a × b) ◦ c nazywamy iloczynem mieszanym wektorów a, b i c. Iloczyn mieszany można wyznaczyć w następujący sposób:
xa ya za
(a × b) ◦ c = x
b
yb zb
x
c
yc zc
Moduł iloczynu mieszanego wektorów a, b i c wyraża objętość równoległo-
ścianu zbudowanego na tych wektorach.
Powyższe stwierdzenie oznacza również, że wektory a, b i c są komplanarne wtedy i tylko wtedy gdy równoległościan zbudowany na tych wektorach ma objętość równą zero. Zatem wektory a, b i c są komplanarne wtedy i tylko wtedy gdy (a × b) ◦ c = 0.
6