Ewa Łazuka
Wykład I
Podstawowe struktury algebraiczne
Iloczyn kartezjański zbiorów
Działanie wewnętrzne w zbiorze
— Niech A i B będą zbiorami.
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
— Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy każde odwzorowanie h : A×A → A, tzn. każde odwzorowanie spełniające warunek
^
h(a, b) ∈ A.
a,b∈A
— Element c nazywamy wynikiem działania h na elementach a i b, jeżeli h(a, b) = c.
Działanie łączne, działanie przemienne
— Działanie wewnętrzne ∗ określone w zbiorze A nazywamy działaniem łącznym, jeżeli
^
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
a,b,c∈A
— Działanie wewnętrzne ∗ określone w zbiorze A nazywamy działaniem przemiennym, jeżeli
^
a ∗ b = b ∗ a.
a,b∈A
Element neutralny, element symetryczny
— Element e ∈ A nazywamy elementem neutralnym działania ∗, jeżeli
^ a ∗ e = e ∗ a = a.
a∈A
— Jeżeli w zbiorze A istnieje element neutralny e działania ∗, to każdy element b ∈ A taki, że a ∗ b = b ∗ a = e
nazywamy elementem symetrycznym do elementu a względem działania ∗.
Rozdzielność działania ◦ względem działania ∗
Jeżeli w zbiorze A określone są dwa działania ∗ oraz ◦ spełniające warunki
^
—
a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c)
a,b,c∈A
^
—
(a ∗ b) ◦ c = (a ◦ c) ∗ (b ◦ c),
a,b,c∈A
to działanie ◦ nazywamy rozdzielnym względem działania ∗.
1
Działanie zewnętrzne w zbiorze
Struktura algebraiczna
— Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy każde odwzorowanie g : F × A → A, tzn. każde odwzorowanie spełniające warunek
^
^ g(α, a) ∈ A.
α∈F a∈A
— Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A nazywamy ciąg (A, F1, . . . , Fm, h1, . . . , hn, g1, . . . , gm) złożony
— ze zbiorów A, F1, . . . , Fm,
— z pewnej liczby działań wewnętrznych h1 : A × A → A, . . . , hn : A × A → A,
— z pewnej liczby działań zewnętrznych g1 : F1 × A → A, . . . , gm : Fm × A → A.
Podstawowe struktury algebraiczne
— półgrupa
— grupa, grupa abelowa
— pierścień, pierścień przemienny, pierścień z jednością
— ciało, ciało przemienne
Półgrupa, grupa, grupa abelowa
— Półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną (A, ∗), w której działanie ∗ jest wewnętrzne i łączne.
— Grupą nazywamy strukturę algebraiczną (A, ∗) spełniającą warunki
— działanie ∗ jest wewnętrzne,
— działanie ∗ jest łączne,
— w zbiorze A istnieje element neutralny działania ∗,
— do każdego elementu zbioru A istnieje element symetryczny.
— Jeśli ponadto działanie ∗ jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Izomorfizm grup
— Dwie grupy (A, ∗) i (B, •) nazywamy izomorficznymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wzajemnie jednoz-naczne odwzorowanie f : A −→ B takie, że dla dowolnych a1, a2 ∈ A zachodzi warunek f (a1 ∗ a2) = f (a1) • f (a2).
— Mówimy wówczas, że odwzorowanie f zachowuje działanie.
Pierścień, pierścień przemienny,
pierścień z jednością
— Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczną (A, ∗, ◦) spełniającą warunki
— (A, ∗) jest grupą abelową,
— działanie ◦ jest wewnętrzne,
— działanie ◦ jest łączne,
— działanie ◦ jest rozdzielne względem działania ∗.
— Jeśli w pierścieniu (A, ∗, ◦) działanie ◦ jest przemienne, to taki pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym.
— Jeśli (A, ∗, ◦) jest pierścieniem, a ponadto w zbiorze A istnieje element neutralny działania ◦, to pierścień (A, ∗, ◦) nazywamy pierścieniem z jednością.
Ciało, ciało przemienne
— Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (A, ∗, ◦) spełniającą warunki
— (A, ∗) jest grupą abelową,
— (A \ {e∗}, ◦) jest grupą
(e∗ jest elementem neutralnym działania ∗),
— działanie ◦ jest rozdzielne względem działania ∗.
— Jeśli ponadto działanie ◦ jest przemienne, to takie ciało nazywamy ciałem przemiennym.
2
— Jeżeli (A, ∗, ◦) jest ciałem, to |A| > 2, gdyż istnieją różne między sobą elementy neutralne e∗ i e◦ działań ∗ i ◦.
— Jeżeli (A, ∗, ◦) jest ciałem, to działanie ∗ nazywamy działaniem addytywnym, element neutralny e∗ nazywamy zerem, a element symetryczny do elementu a względem działania ∗ nazywamy elementem przeciwnym do a i oznaczamy symbolem −a.
— Jeżeli (A, ∗, ◦) jest ciałem, to działanie ◦ nazywamy działaniem multiplikatywnym, element neutralny e◦ nazywamy jednością, a element symetryczny do elementu a względem działania ◦ nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy symbolem a−1.
Przykłady
N - zbiór liczb naturalnych
Z - zbiór liczb całkowitych
Q - zbiór liczb wymiernych
R - zbiór liczb rzeczywistych
— Struktury algebraiczne (N, +) oraz (N, ·) są półgrupami, ale nie są grupami.
— Struktura (Z, +) jest grupą abelową, ale (Z, ·) jest tylko półgrupą.
— Struktura algebraiczna (Z, +, ·) jest pierścieniem przemiennym z jednością, ale nie jest ciałem.
— Struktura algebraiczna (Q, +, ·) jest ciałem przemiennym; jest to najmniejsze ciało liczbowe.
— Struktura algebraiczna (R, +, ·) jest ciałem przemiennym.
Pierścienie reszt
— Niech Zp = {0, 1, 2, . . . , p − 1} będzie zbiorem liczb całkowitych od 0 do p − 1 włącznie.
— W zbiorze tym określamy działania ⊕p i p następująco:
— m ⊕p n = reszta z dzielenia m + n przez p
— m p n = reszta z dzielenia mn przez p
— Działania te nazywamy działaniami modulo p.
— TWIERDZENIE
Trójka (Zp, ⊕p, p) jest pierścieniem. Pierścień ten jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
3