Wydział Chemiczny - Biotechnologia, sem.I.
dr Anita Tlałka
Liczby zespolone
Zad.1
Wykonaj działania i przedstaw wynik w postaci a + bi: 3 + 2 i
1 + 2 i
4 i
a1) (5 − 2 i)2(1 + 7 i) ; a2)
;
a3)
+
;
1 − 3 i
− 3 i
1 + i
(2 + 3 i)2(1 − i)
(1 + 2 i)(3 + i)
a4)
;
a5)
;
a6) (1 + 2 i)3(3 − i) ; 5 + 2 i
(1 − 2 i)2
a7) i 122 ;
a8) ( i 19 − i 7) i 17 ; a9) (¯ i)29 ;
√
√
√
√
√
q
a10)
− 12 ;
a11)
− 2 ( 2 +
− 8) ;
a12)
− 36 ·
− 1 .
16
Zad.2
Wyznacz:
3 − 2 i
b1) Re[(2 + i)2 + 3 i(7 − 5 i)] ; b2) Re[(1 − i) i − 1] ; b3) Im
;
2 + 3 i
(1 + i) i − i
5 + i
b4) Im
;
b5) |(1 − 2 i)2 | ; b6) (
) .
i
(2 + i)2(1 − 3 i) Zad.3
Przedstaw w postaci trygonometrycznej: c1) 5 ;
c2) 5 i ;
c3) − 5 ;
c4) − 5 i ;
c5) 5 + 5 i ;
c6) − 5 − 5 i ;
√
√
√
c7)
3 − i ;
c8) − 1 +
3 i ;
c9) 4 + 4 3 i ;
√
√
√
c10)
3 − i ;
c11)
2 +
6 i ;
c12) (1 − i)4 ;
1 − i
1 + i
1 − i
c13)
;
c14)
;
c15)
;
i
i
1 + i
√
√
7 − 3 i
9 3 − 9 i
c16) (1 +
3 i) i ;
c17)
;
c18)
;
5 + 2 i
4 i√
3
1
4 + 4 3 i
c19)
;
c20)
;
c21)
√
.
2 + 2 i
(1 − i)2
3 − i
Zad.4
Oblicz:
√
√
d1) (1 −
3 i)4 ;
d2) (5 + 5 i)20 ;
d3) ( − 3 + 3 3 i)6 ;
6
6
√
√ 10
d4) ( − 1 + i)4 ;
d5)
√
;
d6) (1 + i 3)(1 − i 3
;
3 + i
√
√
d7)
3 + 4 i ;
d8)
2 i ;
d9)
− 16 + 30 i ;
√
d10) 3 − 1 oraz zaznacz wyznaczone pierwiastki na okręgu jednostkowym;
√
d11) 3 1 oraz zaznacz wyznaczone pierwiastki na okręgu jednostkowym;
√
√
q √
d12) 4 −i;
d13) 4 i ;
d14) 3
3 − i ;
√
v
√
√
s
u
3
4
1
3
4
u
1
3
d15) 3 8 ;
d16)
− +
i ;
d17) t
+
i
;
2
2
2
2
s
s
1
q
√
1 − i
d18) 3
;
d19) 4 2 3 − 2 i ;
20) 3
;
(1 − i)2
1 + i
s
2 i 3
d21) 3
.
(1 − i)2
Zad.5
Narysuj, o ile istnieje, zbiór punktów spełniający warunek: e1) |z + i| = 3 , e2) |z + 2 | ¬ 4 , e3) z ¯
z = 9 ,
e4) z ¯
z = − 9 ,
e5) z ¯
z > 9 ,
e6) Re( z ¯
z) ¬ 9 ,
e7) Re( z + ¯
z − i) = 2 ,
e8) 1 ¬ |z + i| < 2 .
Zad.6
Rozwiąż równanie:
f1) z 2 + 4 z + 5 = 0 , f2) z 4 + 3 z 2 − 4 = 0 , f3) z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 = 0 , f4) 2 z 2 − 2(1 + i) z + 2 + i = 0 , f5) z 2 − (4 + 3 i) z + 1 + 5 i = 0 , f6) z 2 + ( i − 2) z + (3 − i) = 0 , f7) z 2 − 3 z + 3 + i = 0 , f8) −z 4 − 3 z 2 + 4 = 0 , f9) z 4 + 11 z 2 + 18 = 0 .
Zad.7
Wykaż, że:
g1) z 1 + z 2 = ¯
z 1 + ¯
z 2 ,
g2) |z| = |¯
z| ,
g3) z ¯
z = |z| 2 ,
g4) z 1 z 2 = ¯
z 1 ¯
z 2 ,
g5) Re( iz) = i 2Im( z) , g6) Arg( z ¯
z) = 0 ,
z + ¯
z
z − ¯
z
g7) jeżeli z = x + iy, to x =
oraz y =
,
2
2 i
ez .
Zad.8
Oblicz:
h1) eπi ,
h2) e 1+ πi
2
,
h3) e− 1+ 5 πi
4
.
ODPOWIEDZI
Zad.1
√
a7) − 1 , a8) 0 , a9) −i , a10) ± 2 3 i , a11) 4 ± 2 i , a12) ± 3 .
2
Zad.3
√
c14)
2(cos 7 π + i sin 7 π) .
4
4
Zad.4
√
√
√
√
d20) i ,
3 − 2 i , − 3 − 1 i , d21) 1 , − 1 + 3 i , − 1 − 3 i .
2
2
2
2
2
2
2
2
Zad.6
f1) − 2 − i , − 2 + i , f2) − 1 , 1 , − 2 i , 2 i , f3) 2 , 1 − i , 1 + i , f4) 1 − 1 i , 1 − 3 i , f5) 2
2
2
2
1 + i , 3 + 2 i , f6) 1 − 2 i , 1 + i , f7) 2 − i , 1 + i , f8) − 1 , 1 , − 2 i , 2 i , f9) − 3 i , 3 i ,
√
√
− 2 i ,
2 i .
Zad.8
h1) − 1 , h2) ei .