Wyk̷lady z funkcji zespolonych

III semestr 2009/10

oprac. Janina Kotus

1

Spis tre´

sci

1. Poj

,

ecia podstawowe

str. 5

1.1 Rzut stereograficzny

str. 5

1.2 Metryki w ℂ i ¯

ℂ

str. 6

2. Funkcje zespolone

str. 8

2.1 Granica i ci

,

ag̷lo´s´

c

str. 9

2.2 Pochodna

str. 9

2.3 Pochodne formalne

str. 13

2.4 Pochodna kierunkowa funkcji

str. 14

2.5 Funkcje holomorficzne

str. 15

3. Funkcje elementarne

str. 16

3.1 Funkcja wyk̷ladnicza

str. 16

3.2 Funkcje trygonometryczne

str. 18

3.3 Funkcje hiperboliczne

str. 21

3.4 Funkcja logarytmiczna

str. 22

3.5 Funkcja pot

,

egowa

str. 22

3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowarto´sciowych

str. 23

4. Szeregi funkcyjne

str. 23

4.1 Szeregi liczbowe

str. 23

4.2 Rodzaje zbie˙zno´sci szereg´

ow funkcyjnych

str. 25

4.3 Szeregi pot

,

egowe

str. 26

4.5 Funkcje analityczne

str. 30

5. Odwzorowania konforemne

str. 32

5.1 Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej

str. 32

5.2 Interpretacja geometryczna r´

owna´

n Cauchy’ego-Riemanna

str. 34

5.3 Odwzorowania konforemne

str. 35

2

6. Ca̷lka z funkcji zespolonej

str. 40

6.1 Ca̷lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

str. 40

6.2 Ca̷lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

str. 42

7. Twierdzenia i wzory ca̷lkowe Cauchy’ego

str. 50

8. Funkcje holomorficzne w ℂ

str. 59

9. Zera funkcji holomorficznej

str. 60

10. Szeregi Laurenta

str. 61

11. Punkty osobliwe

str. 65

11.1 Punkty osobliwe izolowane

str. 65

11.2 Zachowanie si

,

e funkcji holomorficznej w punkcie ∞

str. 70

11.3 Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl

,

edu na ich punkty osobliwe

str. 72

12. Obliczanie ca̷lek za pomoc

,

a residu´

ow

str. 73

13. Geometryczna teoria funkcji

str. 81

14. Przed̷lu˙zenia analityczne

str. 86

15. Rodziny normalne funkcji

str. 90

16. Funkcje harmoniczne

str. 97

3

.

4

1

Poj

,

ecia podstawowe

Zbi´

or liczb zespolonych ℂ = {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} mo˙zna uto˙zsamia´c z p̷laszczyzn

,

a

dwuwymiarow

,

a, kt´

or

,

a b

,

edziemy oznacza´

c symbolem ℂ i nazywa´c p̷laszczyzn

,

a zespolon

,

a

otwart

,

a.

Aby zdefiniowa´

c jej domkni

,

ecie podamy najpierw definicj

,

e przekszta̷lcenia zwanego rzutem

stereograficznym.

1.1

Rzut stereograficzny

W przestrzeni ℝ

3

definiujemy sfer

,

e 𝑥

2

+ 𝑦

2

+

(𝑧 −

1
2

)

2

=

1
4

o ´srodku w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

, 𝑧

0

) =

(0, 0,

1
2

) i promieniu 𝑟 =

1
2

, styczn

,

a do p̷laszczyzny uk̷ladu OXY w pocz

,

atku uk̷ladu wsp´

o̷lrz

,

ednych.

Punkt 𝑁 = (0, 0, 1) ∈ 𝑆

2

nazywa´

c b

,

edziemy biegunem p´

o̷lnocnym sfery.

Konstrukcja rzutu stereograficznego

Ka˙zdemu punktowi 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ przyporz

,

adkujemy punkt 𝑍(𝜉, 𝜂, 𝜁) ∈ 𝑆

2

∖ {𝑁 } b

,

ed

,

acy

punktem przeci

,

ecia odcinka ̷l

,

acz

,

acego punkt 𝑧 ∈ ℂ z punktem 𝑁 .

Definicja 1.1
Odwzorowanie

𝑃 : ℂ 𝑧 =⇒ 𝑍 ∈ 𝑆

2

∖ {𝑁 },

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 =⇒ 𝑍 = (𝜉, 𝜂, 𝜁),

gdzie

𝜉 =

𝑥

1 + ∣𝑧

2

∣

,

𝜂 =

𝑦

1 + ∣𝑧

2

∣

,

𝜁 =

∣𝑧∣

2

1 + ∣𝑧

2

∣

,

nazywamy rzutem stereograficznym.

Uwaga 1.1
Rzut stereograficzny posiada przekszta̷lcenie odwrotne

𝑃

−1

: 𝑆

2

∖ {𝑁 } =⇒ ℂ,

𝑍 = (𝜉, 𝜂, 𝜁) =⇒ 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,

zdefiniowane wzorem 𝑥 =

𝜉

1−𝜁

,

𝑦 =

𝜂

1−𝜁

.

Zatem rzut stereograficzny jest bijekcj

,

a mi

,

edzy p̷laszczyzn

,

a otwart

,

a ℂ i sfer

,

a bez bieguna

p´

o̷lnocnego, kt´

oremu nie odpowiada ˙zaden punkt na p̷laszczy´

znie.

5

Uwaga 1.2
Um´

owimy si

,

e, ˙ze punktowi 𝑁 odpowiada punkt w niesko´

nczono´sci (ozn. ∞).

Definicja 1.2
P̷laszczyzn

,

a domnki

,

et

,

a, kt´

ora oznaczamy symbolem ¯

ℂ nazywamy sum

,

e ℂ∪{∞} i uto˙zsamiamy

j

,

a z dwywymiarow

,

a sfer

,

a zwan

,

a sfer

,

a Riemanna.

1.2

Metryki w ℂ i ¯

ℂ

W p̷laszczy´

znie otwartej ℂ wprowadzamy metryk

,

e euklidesow

,

a

𝑑(𝑧

1

, 𝑧

2

) :=

√

(Re𝑧

1

− Re𝑧

2

)

2

+ (Im𝑧

1

− Im𝑧

2

)

2

= ∣𝑧

1

− 𝑧

2

∣.

W p̷laszczy´

znie domkni

,

etej ¯

ℂ wprowadzamy metryk

,

e sferyczn

,

a, w kt´

orej odleg̷lo´s´

c mi

,

edzy

punktami 𝑧

1

, 𝑧

2

rozumiemy odleg̷lo´s´

c euklidesow

,

a mi

,

edzy ich obrazami przy rzucie stere-

ograficznym na sferze tzn.

𝜌(𝑧

1

, 𝑧

2

) := 𝑑(𝑃 (𝑧

1

), 𝑃 (𝑧

2

)) =

∣𝑧

1

− 𝑧

2

∣

√1 + ∣𝑧

1

∣

2

√1 + ∣𝑧

2

∣

2

𝑧

1

∕= 𝑧

2

∈ ℂ,

𝜌(𝑧, ∞) :=

1

√1 + ∣𝑧∣

2

,

𝑧 ∕= ∞.

Uwaga 1.3
Aby otrzyma´

c drugi wz´

or z pierwszego nale˙zy za 𝑧

1

podstawi´

c 𝑧 i podzieli´

c licznik oraz

mianownik przez 𝑧

2

.

𝜌(𝑧, 𝑧

2

) =

∣𝑧 − 𝑧

2

∣

√1 + ∣𝑧∣

2

√1 + ∣𝑧

2

∣

2

=

∣

𝑧

𝑧

2

− 1∣

√1 + ∣𝑧∣

2

√

1+∣𝑧

2

∣

2

∣𝑧

2

∣

2

→

1

√1 + ∣𝑧∣

2

jesli 𝑧

2

→ ∞.

Uwaga 1.4
∀𝑧

1

, 𝑧

2

∈ ¯

ℂ,

0 ≤ 𝜌(𝑧

1

, 𝑧

2

) ≤ 1.

Uwaga 1.5
P̷laszczyzna domkni

,

eta ¯

ℂ z metryk

,

a sferyczn

,

a jest przestrzeni

,

a metryczn

,

a zwart

,

a.

Uwaga 1.6
Na zbiorach ograniczonych, zawartych w ℂ obie metryki euklidesowa i sferyczna s

,

a r´

ownowa˙zne

tzn. je´sli 𝐴 ⊂ {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 𝑅}, (𝑅 < ∞), to

∣𝑧

1

− 𝑧

2

∣

1 + 𝑅

2

≤ 𝜌(𝑧

1

, 𝑧

2

) ≤ ∣𝑧

1

− 𝑧

2

∣

∀𝑧

1

, 𝑧

2

∈ 𝐴.

6

Definicja 1.3
Zbi´

or 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) = ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜖} nazywamy 𝜖-otoczeniem punktu 𝑧

0

∈ ℂ w

p̷laszczy´

znie ℂ (otwartej).

Definicja 1.4
Zbi´

or 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) = {𝑧 ∈ ¯

ℂ : 𝜌(𝑧, 𝑧

0

) < 𝜖} nazywamy 𝜖-otoczeniem punktu 𝑧

0

∈ ¯

ℂ w p̷laszczy´

znie

¯

ℂ (domkni

,

etej). Zatem:

𝑈 (∞, 𝜖) = {𝑧 ∈ ¯

ℂ : 𝜌(𝑧, ∞) < 𝜖} = {𝑧 ∈

¯

ℂ :

1

√1 + ∣𝑧∣

2

< 𝜖} =

{𝑧 ∈ ¯

ℂ : ∣𝑧∣ >

√

1

𝜖

2

− 1},

𝜖 − ma̷le.

Otoczeniem punktu w ∞ w p̷laszczy´

znie ¯

ℂ jest dope̷lnienie domkni

,

etego ko̷la o ´

srodku w zerze.

Definicja 1.5

- Otoczeniem nak̷lutym punktu 𝑧

0

∈ ℂ w p̷laszczy´znie ℂ nazywamy zbi´or 𝑈(𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

} =

{𝑧 ∈ ℂ : 0 < ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜖}.

- Otoczeniem nak̷lutym punktu 𝑧

0

∈ ¯

ℂ w p̷laszczy´

znie ¯

ℂ nazywamy zbi´

or 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

} =

{𝑧 ∈ ℂ : 0 < 𝜌(𝑧, 𝑧

0

) < 𝜖}.

Definicja 1.6
Obszarem 𝐷 nazywamy zbi´

or punkt´

ow p̷laszczyzny ¯

ℂ spe̷lniaj

,

acy warunki:

- (otwarto´

s´

c) ∀𝑎 ∈ 𝐷

∃ 𝑈 (𝑎, 𝜖)-otoczenie takie, ˙ze 𝑈 (𝑎, 𝜖) ⊂ 𝐷,

- (̷lukowa sp´

ojno´

s´

c) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 istnieje droga o ko´

ncach a,b zawarta w 𝐷.

Drog

,

a o ko´

ncach 𝑎, 𝑏 nazywamy funkcj

,

e ci

,

ag̷l

,

a 𝛾 : [𝑡

0

, 𝑡

1

] → ¯

ℂ tak

,

a, ˙ze 𝛾(𝑡

0

) = 𝑎, 𝛾(𝑡

1

) = 𝑏.

Stwierdzenie 1.1
Dla zbior´

ow otwartych zawartych w ℂ (odpow. w ¯

ℂ) ̷lukowa sp´

ojno´

s´

c pokrywa si

,

e ze spo-

jno´

sci

,

a zbior´

ow.

Definicja 1.7*
Obszar 𝐷 ⊂ ℂ (odpow. 𝐷 ⊂ ¯

ℂ) nazywamy jednosp´

ojnym, je´

sli jego brzeg jest zbiorem

sp´

ojnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielosp´

ojnym.

(*) P´

o´

zniej podamy inn

,

a definicj

,

e jednosp´

ojno´sci.

7

2

Funkcje zespolone

Definicja 2.1
Odwzorowanie

𝑓 : 𝐷 ⇒ ¯

ℂ,

𝐷 ⊂ ℂ

𝑧 ⇒ 𝑤 = 𝑓 (𝑧)

nazywamy funkcj

,

e zespolon

,

a zmiennej zespolonej.

Argument 𝑧 funkcji 𝑓 i jej warto´s´

c 𝑤 = 𝑓 (𝑧) rozk̷ladamy na cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a i urojon

,

a tzn.

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣. Otrzymujemy w ten spos´

ob rozk̷lad funkcji

𝑤 = 𝑓 (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

na cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a Re𝑓 (𝑧) := 𝑢(𝑥, 𝑦) i cz

,

e´s´

c urojon

,

a Im𝑓 (𝑧) := 𝑣(𝑥, 𝑦).

Cz

,

e´s´

c rzeczywista i urojona funkcji zespolonej 𝑓 jest funkcj

,

a rzeczywist

,

a dw´

och zmiennych

𝑥, 𝑦.

Przyk̷lad 2.1
Znale´

z´

c cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a i urojon

,

a funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧

2

.

𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧

2

= 𝑖(𝑥 + 𝑖𝑦)

2

= 𝑖(𝑥

2

+ 2𝑖𝑥𝑦 − 𝑦

2

) = 𝑖𝑥

2

− 2𝑥𝑦 − 𝑖𝑦

2

= −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥

2

− 𝑦

2

).

Zatem

Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = −2𝑥𝑦,

Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

− 𝑦

2

.

Przyk̷lad 2.2
Dane s

,

a cz

,

e´s´

c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 i urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 funkcji zespolonej 𝑓 .

Przedstawi´

c funkcj

,

e 𝑓 jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej 𝑧.

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,

¯

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

⇒

𝑥 =

𝑧 + ¯

𝑧

2

,

𝑦 =

𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

.

Podstawiamy

𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦) + 𝑖4𝑥𝑦 =

( 𝑧 + ¯

𝑧

2

)

−

( 𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

)

+ 𝑖4

( 𝑧 + ¯

𝑧

2

) ( 𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

)

= 𝑧

( 1

2

−

1

2𝑖

)

+ ¯

𝑧

( 1

2

+

1

2𝑖

)

− (𝑧

2

− ¯

𝑧

2

) = 𝑧

( 1

2

+ 𝑖

1

2

)

+ ¯

𝑧

( 1

2

− 𝑖

1

2

)

+ 𝑧

2

− ¯

𝑧

2

.

8

2.1

Granica i ci

,

ag̷lo´

s´

c

Definicja 2.2

lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑔 ⇔ ∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∀𝑧 ∈ 𝐷

0 < 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑧), 𝑔) < 𝜖.

Stwierdzenie 2.1

lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑔 ⇔

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥

0

,𝑦

0

)

𝑢(𝑥, 𝑦) = Re𝑔

i

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥

0

,𝑦

0

)

𝑣(𝑥, 𝑦) = Im𝑔.

Definicja 2.3
Funkcja 𝑓 jest ci

,

ag̷la w 𝑧

0

⇔ lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧

0

).

Twierdzenie 2.1
Funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) jest ci

,

ag̷la w 𝑧

0

⇔ funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a ciag̷le w (𝑥

0

, 𝑦

0

).

Definicja 2.4
Funkcja 𝑓 jest ci

,

ag̷la w ∞, je´

sli funkcja 𝑓 (

1
𝑧

) jest ci

,

ag̷la w zerze.

2.2

Pochodna

Definicja 2.5
Granic

,

e w̷la´

sciw

,

a ilorazu r´

o˙znicowego

lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧)

Δ𝑧

nazywamy pochodn

,

a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧 i oznaczamy 𝑓

′

(𝑧).

𝑓

′

(𝑧) := lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧 + Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧)

Δ𝑧

,

𝑓

′

(𝑧

0

) := lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

.

Je˙zeli funkcje 𝑓 i 𝑔 maj

,

a pochodn

,

a w punkcie 𝑧, to

1. (𝑓 ± 𝑔)

′

(𝑧) = 𝑓

′

(𝑧) ± 𝑔

′

(𝑧).

2. (𝑓 𝑔)

′

(𝑧) = 𝑓

′

(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓 (𝑧)𝑔

′

(𝑧).

3.

(

𝑓

𝑔

)

′

(𝑧) =

𝑓

′

(𝑧)𝑔(𝑧)−𝑓 (𝑧)𝑔

′

(𝑧)

[𝑔(𝑧)]

2

dla

𝑧 /

∈ 𝑔

−1

(0).

9

Je˙zeli funkcja 𝑓 ma pochodn

,

a w punkcie 𝑔(𝑧) i 𝑔 ma pochodn

,

a w punkcie 𝑧, to

(𝑓 ∘ 𝑔)

′

(𝑧) = 𝑓

′

(𝑔(𝑧))𝑔

′

(𝑧).

Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)
Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ma w punkcie 𝑧

0

= 𝑥

0

+ 𝑖𝑦

0

pochodn

,

a 𝑓

′

(𝑧

0

), to istniej

,

a

w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) pochodne cz

,

astkowe

∂𝑢
∂𝑥

,

∂𝑢
∂𝑦

,

∂𝑣
∂𝑥

,

∂𝑣
∂𝑦

i spe̷lniaj

,

a w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) warunki:

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

),

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

),

zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.

Dow´

od. Zak̷ladamy, ˙ze istnieje

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧

0

+ Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

Δ𝑧

.

Niech Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

(1) Δ𝑦 = 0 ⇒ Δ𝑧 = Δ𝑥

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑥→0

𝑢(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) + 𝑖𝑣(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→0

[ 𝑢(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

+ 𝑖

𝑣(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

]

=

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

(2) Δ𝑥 = 0 ⇒ Δ𝑧 = 𝑖Δ𝑦

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑦→0

𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑖Δ𝑦

= lim

Δ𝑦→0

[ 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑖Δ𝑦

+

𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

]

= −𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Zatem

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

10

St

,

ad

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

oraz

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Wniosek 2.1
Je˙zeli istnieje pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧

0

, to:

𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

=

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Wniosek 2.2
Pochodne cz

,

astkowe funkcji 𝑓 wyra˙zaj

,

a si

,

e wzorami

∂𝑓

∂𝑥

(𝑥, 𝑦) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥, 𝑦) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥, 𝑦)

∂𝑓

∂𝑦

(𝑥, 𝑦) =

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥, 𝑦) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥, 𝑦).

St

,

ad i z wniosku 2.1 otrzymamy nast

,

epuj

,

ace wzory na pochodn

,

a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧

0

.

𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑓

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −𝑖

∂𝑓

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)
Je˙zeli funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) s

,

a r´

ozniczkowalne w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) i spe̷lniaj

,

a w tym punkcie

warunki Cauchy’ego Riemanna, to funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ma pochodn

,

a 𝑓

′

(𝑧

0

).

Dow´

od. Funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a r´

o˙zniczkowalne w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

), wi

,

ec

(1)

Δ𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦 + 𝑜

1

(∣Δ𝑧∣),

gdzie ∣Δ𝑧∣ =

√(Δ𝑥)

2

+ (Δ𝑦)

2

, 𝑜

1

jest wielko´sci

,

a ma̷lego rz

,

edu tzn. lim

Δ𝑧→0

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

= 0.

Analogicznie

(2)

Δ𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦 + 𝑜

2

(∣Δ𝑧∣),

𝑜

2

jest wielko´sci

,

a ma̷lego rz

,

edu tzn. lim

Δ𝑧→0

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

= 0.

Δ𝑓 (𝑧

0

) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

).

11

(3)

Δ𝑓 (𝑧

0

) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

) = Δ𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖Δ𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Podstawiaj

,

ac (1) i (2) do (3) otrzymamy:

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) =

Δ𝑢

Δ𝑧

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

Δ𝑣

Δ𝑧

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

Δ𝑧

+

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

Δ𝑧

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

( ∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

Δ𝑧

+

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

Δ𝑧

)

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

=

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) Δ𝑥

Δ𝑧

+

( ∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) Δ𝑦

Δ𝑧

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

Korzystaj

,

ac z za̷lo˙zenia, ˙ze funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) spe̷lniaj

,

a warunki Cauchy’ego-Riemanna

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

i

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

otrzymamy, ˙ze

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) =

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) ( Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

Δ𝑧

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

Zatem

lim

Δ𝑧→0

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑧→0

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

St

,

ad wynika, ˙ze istnieje granica w̷la´sciwa ilorazu r´

o˙znicowego w punkcie 𝑧

0

, czyli istnieje

pochodna 𝑓

′

(𝑧

0

).

Przyk̷lad 2.3
Dla jakich punkt´

ow 𝑧 ∈ ℂ funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑧¯

𝑧 = ∣𝑧∣

2

= 𝑥

2

+ 𝑦

2

ma pochodn

,

a?

Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

+ 𝑦

2

, Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) ≡ 0. Funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a r´

o˙zniczkowalne dla

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

. Sprawdzamy warunki C-R.

𝑢

′
𝑥

= 2𝑥,

𝑢

′
𝑦

= 2𝑦,

𝑣

′

𝑥

= 𝑣

′

𝑦

= 0.

St

,

ad

𝑢

′
𝑥

= 𝑣

′

𝑦

⇔ 𝑥 = 0,

𝑢

′
𝑦

= −𝑣

′

𝑥

⇔ 𝑦 = 0.

Zatem warunki Cauche’go Riemanna s

,

a spe̷lnione tylko w punkcie 𝑧

0

= 0. Z Twierdzenia

2.2 wynika, ˙ze tylko w tym punkcie spe̷lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z
twierdzenia 2.3 za´s wynika, ˙ze w punkcie 𝑧

0

= 0 spe̷lnione sa r´

ownie˙z warunki dostateczne

istnienia pochodnej funkcji 𝑓 . Pochodn

,

a funkcji policzymy z definicji.

𝑓

′

(0) = lim

𝑧→0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (0)

𝑧 − 0

= lim

𝑧→0

𝑧 ¯

𝑧

𝑧

= lim

𝑧→0

¯

𝑧 = 0.

12

2.3

Pochodne formalne

Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Za̷l´

o˙zmy, ˙ze funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) s

,

a r´

o˙zniczkowalne w

punkcie 𝑧

0

= (𝑥

0

, 𝑦

0

). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne 𝑓 (𝑧).

𝑑𝑓 = 𝑑𝑢 + 𝑖𝑑𝑣 =(𝑢

′
𝑥

𝑑𝑥 + 𝑢

′
𝑦

𝑑𝑦) + 𝑖(𝑣

′

𝑥

𝑑𝑥 + 𝑣

′

𝑦

𝑑𝑦)

=(𝑢

′
𝑥

𝑑𝑥 + 𝑖𝑣

′

𝑥

𝑑𝑥) + (𝑢

′
𝑦

𝑑𝑦 + 𝑖𝑣

′

𝑦

𝑑𝑦)

=

∂𝑓

∂𝑥

𝑑𝑥 +

∂𝑓

∂𝑦

𝑑𝑦.

(2.1)

Poniewa˙z 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦 i 𝑑¯

𝑧 = 𝑑𝑥 − 𝑖𝑑𝑦, to

𝑑𝑥 =

1

2

(𝑑𝑧 + 𝑑¯

𝑧),

𝑑𝑦 =

1

2𝑖

(𝑑𝑧 − 𝑑¯

𝑧).

(2.2)

Wstawiaj

,

ac (2.2) do (2.1) otrzymamy

𝑑𝑓 =

∂𝑓

∂𝑥

1

2

(𝑑𝑧 + 𝑑¯

𝑧) +

∂𝑓

∂𝑦

1

2𝑖

(𝑑𝑧 − 𝑑¯

𝑧)

=

1

2

( ∂𝑓

∂𝑥

− 𝑖

∂𝑓

∂𝑦

)

𝑑𝑧 +

1

2

( ∂𝑓

∂𝑥

+ 𝑖

∂𝑓

∂𝑦

)

𝑑¯

𝑧

=

∂𝑓

∂𝑧

𝑑𝑧 +

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

𝑑¯

𝑧.

(2.3)

Definicja 2.6.
Pochodne formalne funkcji 𝑓 (𝑧) definiujemy nast

,

epuj

,

aco:

∂𝑓

∂𝑧

:=

1

2

( ∂𝑓

∂𝑥

− 𝑖

∂𝑓

∂𝑦

)

,

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

:=

1

2

( ∂𝑓

∂𝑥

+ 𝑖

∂𝑓

∂𝑦

)

.

Twierdzenie 2.4 (warunek r´

o ˙zniczkowalno´

sci funkcji w postaci zespolonej)

Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Zak̷ladamy, ˙ze funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) s

,

a r´

o˙zniczkowalne w

punkcie 𝑧

0

= (𝑥

0

, 𝑦

0

). Wtedy funkcja 𝑓 (𝑧) ma pochodn

,

a w punkcie 𝑧

0

= 𝑥

0

+ 𝑖𝑦

0

wtedy i tylko

wtedy gdy

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) = 0.

Dow´

od Korzystaj

,

ac z definicji pochodnej formalnej mamy, ˙ze

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

=

1

2

( ∂𝑓

∂𝑥

+ 𝑖

∂𝑓

∂𝑦

)

=

1

2

(𝑢

′
𝑥

+ 𝑖𝑣

′

𝑥

+ 𝑖(𝑢

′
𝑦

+ 𝑖𝑣

′

𝑦

)

) =

1

2

(𝑢

′
𝑥

− 𝑣

′

𝑦

+ 𝑖(𝑢

′
𝑥

+ 𝑖𝑣

′

𝑦

)

) .

Zauwa˙zmy, ˙ze warunek

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy 𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

i 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

), czyli gdy spe̷lnione s

,

a warunki Cauchy’ego-Riemanna w punkcie

𝑧

0

.

13

Uwaga 2.1 𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

)

Dow´

od

Z wniosku 2.1 wynika, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑢
∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣
∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

). Natomiast

∂𝑓

∂𝑧

=

1
2

(

∂𝑓
∂𝑥

− 𝑖

∂𝑓
∂𝑦

)

=

1
2

(𝑢

′
𝑥

+ 𝑖𝑣

′

𝑥

− 𝑖(𝑢

′
𝑦

+ 𝑖𝑣

′

𝑦

)

) =

1
2

((𝑢

′
𝑥

+ 𝑣

′

𝑦

) + 𝑖(𝑣

′

𝑥

− 𝑢

′
𝑦

)

) . Korzystaj

,

ac z faktu, ˙ze je´sli istnieje

𝑓

′

(𝑧

0

) to 𝑓 spe̷lnia w punkcie 𝑧

0

warunki Cauchy’ego-Riemanna otrzymamy, ˙ze

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

) =

1

2

[𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖(𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

))

]

=

1

2

[2𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖2𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)] = 𝑓

′

(𝑧

0

)

2.4

Pochodna kierunkowa funkcji

Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑓 : 𝐷 → ℂ, 𝑧

0

∈ 𝐷. Wtedy

Δ𝑓 = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

),

Δ𝑧 = 𝑧 − 𝑧

0

,

Δ¯

𝑧 = ¯

𝑧 − ¯

𝑧

0

.

Zatem

Δ𝑓 =

∂𝑓

∂𝑧

Δ𝑧 +

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

Δ¯

𝑧 + 𝑜(Δ𝑧),

gdzie 𝑜(Δ𝑧) oznacza ma̷l

,

a wy˙zszego rz

,

edu wzgl

,

edem Δ tzn. lim

Δ𝑧→0

𝑜(Δ𝑧)

Δ𝑧

= 0. Zapiszemy

Δ𝑧 = ∣Δ𝑧∣𝑒

𝑖𝜃

, wtedy Δ¯

𝑧 = ∣Δ𝑧∣𝑒

−𝑖𝜃

.

Δ𝑓

Δ𝑧

=

∂𝑓

∂𝑧

+

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

𝑒

−2𝑖𝜃

+ 𝜂(Δ𝑧),

gdzie 𝜂(Δ𝑧) =

𝑜(Δ𝑧)

Δ𝑧

→ dla Δ𝑧 → 0.

Do istnienia granicy ilorazu

Δ𝑓

Δ𝑧

dla Δ𝑧 → 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d

,

a˙zeniu Δ𝑧 → 0

k

,

at 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(Δ𝑧) d

,

a˙zy̷l do pewnej granicy 𝜙. Granic

,

a ilorazu

Δ𝑓

Δ𝑧

gdy 𝑎𝑟𝑔(Δ𝑧) d

,

a˙zy do k

,

ata 𝜙

nazywamy pochodn

,

a funkcji 𝑓 w kierunku k

,

ata 𝜙 w punkcie 𝑧

0

i oznaczamy symbolem

∂𝑓

∂𝑧

𝜙

.

∂𝑓

∂𝑧

𝜙

=

∂𝑓

∂𝑧

+

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

𝑒

−2𝑖𝜙

.

Uwaga 2.2
Je˙zeli

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) ∕= 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zale˙z

,

a od od kierunku.

14

Uwaga 2.3
Funkcja ma pochodn

,

a w punkcie 𝑧

0

⇔

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) = 0 ⇔ gdy pochodna funkcji 𝑓 nie zale˙zy od

od kierunku 𝜙 w punkcie 𝑧

0

.

2.5

Funkcje holomorficzne

Definicja 2.7
Funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) nazywamy holomorficzn

,

a (r´

o˙zniczkowaln

,

a w sensie zespolonym) w obszarze 𝐷

je´

sli w ka˙zdym punkcie 𝑧 ∈ 𝐷 istnieje pochodna 𝑓

′

(𝑧).

Ozn. f ∈ H(D).

Definicja 2.8
Funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) nazywamy holomorficzn

,

a (r´

o˙zniczkowaln

,

a w sensie zespolonym) w punkcie

𝑧

0

∈ 𝐷 je´sli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.

Przyk̷lad 2.4
Zbada´

c holomorficzno´s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣

2

= 𝑧 ¯

𝑧.

Wiadomomo, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) = 0. Policzymy

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧) = 𝑧.

St

,

ad

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧) = 0 ⇔ 𝑧 = 0. Zatem 𝑓 ma pochodn

,

a tylko w 𝑧

0

= 0. Policzymy j

,

a z definicji

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

𝑧→0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

= lim

𝑧→0

𝑧 ¯

𝑧 − 0

𝑧 − 0

= lim

𝑧→0

¯

𝑧 = 0.

- 𝑓 ma pochodn

,

a tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie 𝑧

0

= 0, ani w

ca̷lej p̷laszczy´

znie ℂ.

Przyk̷lad 2.5
Zbada´

c holomorficzno´s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑧

2

¯

𝑧.

Policzymy

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧) = 𝑧

2

. St

,

ad

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧) = 0 ⇔ 𝑧 = 0. Zatem 𝑓 ma pochodn

,

a tylko w 𝑧

0

= 0.

Policzymy j

,

a z definicji

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

𝑧→0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

= lim

𝑧→0

𝑧

2

¯

𝑧 − 0

𝑧 − 0

= lim

𝑧→0

𝑧 ¯

𝑧 = 0

- 𝑓 ma pochodn

,

a tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie 𝑧

0

= 0, ani w

ca̷lej p̷laszczy´

znie ℂ. Jest to kolejny przyk̷lad funkcji, kt´ora ma pochodn

,

a w punkcie ale nie

jest w nim holomorficzna.

15

W̷lasno´sci funkcji holomorficznych:

1. Je´sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to (𝑓 ± 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷) oraz 𝑓 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷).

2. Je´sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to

𝑓

𝑔

∈ 𝐻(𝐷 ∖ (𝑔

−1

(0)).

3. Je´sli 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∈ 𝐻(𝑓 (𝐷)), to (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷).

3

Funkcje elementarne

3.1

Funkcja wyk̷ladnicza

Funkcj

,

e wyk̷ladnicz

,

a w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej

tzn.

𝑒𝑥𝑝(𝑧) := lim

𝑛→∞

(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

.

Wyka˙zemy istnienie tej granicy dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

1. Najpierw poka˙zemy zbie˙zno´s´

c modu̷l´

ow tzn.

lim

𝑛→∞





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





= 𝑒

𝑥

.

(3.1)

Skorzystamy z w̷lasno´sci, ˙ze ∣𝑧

𝑛

∣ = ∣𝑧∣

𝑛

. Zatem





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





=

[

(

1 +

𝑥

𝑛

)

2

+

𝑦

2

𝑛

2

]

𝑛/2

=

[

1 +

2𝑥

𝑛

+

𝑥

2

+ 𝑦

2

𝑛

2

]

𝑛/2

.

Przechodz

,

ac do granicy otrzymamy, ˙ze

lim

𝑛→∞





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





= 𝑒

𝑥

,

czyli zachodzi (3.1).

2. Niech 𝐴𝑟𝑔𝑧 oznacza argument g̷l´

owny liczby 𝑧. Poka˙zemy, ˙ze

lim

𝑛→∞

𝐴𝑟𝑔

(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

= 𝑦.

(3.2)

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze

𝐴𝑟𝑔

(

1 +

𝑧

𝑛

)

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

.

Poniewa˙z 𝐴𝑟𝑔(𝑧

𝑛

) = 𝑛𝐴𝑟𝑔(𝑧), to

𝐴𝑟𝑔

(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

= 𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

(

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

)

.

16

Przechodz

,

ac do granicy otrzymamy, ˙ze

lim

𝑛→∞

(

𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

(

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

))

= 𝑦,

czyli zachodzi (3.2).

Z jednoznaczno´sci zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, ˙ze modu̷l
liczby 𝑒

𝑧

czyli ∣𝑒

𝑧

∣ = lim

𝑛→∞




(1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛




= 𝑒

𝑥

, za´s 𝐴𝑟𝑔(𝑒

𝑧

) = lim

𝑛→∞

𝐴𝑟𝑔

(1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

= 𝑦. St

,

ad

𝑒𝑥𝑝(𝑧) = 𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥+𝑖𝑦

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦).

(3.3)

Podstawiaj

,

ac za 𝑧 = 0 + 𝑖𝑦 otrzymamy wz´

or Eulera tzn.

∀𝑦 ∈ 𝐼𝑅

𝑒

𝑖𝑦

= 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦

(3.4)

Wracaj

,

ac do definicji funkcji wyk̷ladniczej 𝑒

𝑧

(znowu korzystaj

,

ac z jednoznaczno´sci zapisu

liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, ˙ze

𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥+𝑖𝑦

= 𝑒

𝑥

𝑒

𝑖𝑦

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦).

W̷lasno´sci

a) Cz

,

e´s´

c rzeczywista i urojona funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

wynosz

,

a odpowiednio

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦.

b) ∣𝑒

𝑧

∣ = 𝑒

𝑥

.

c) funkcja 𝑒

𝑧

jest holomorficzna w ℂ oraz (𝑒

𝑧

)

′

= 𝑒

𝑧

.

Jest oczywiste, ˙ze cz

,

e´s´

c rzeczywista i urojona funkcji s

,

a klasy 𝐶

1

(ℝ

2

). Poka˙zemy, ˙ze

spe̷lniaj

,

a r´

ownania Cauchy’ego-Riemanna:

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = −𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦),

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = −𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦).

𝑓

′

(𝑧) =

∂𝑓

∂𝑧

= 𝑢

′
𝑥

+ 𝑖𝑣

′

𝑥

= 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 𝑒

𝑧

.

d) ∀𝑧

1

, 𝑧

2

∈ ℂ,

𝑒

𝑧

1

+𝑧

2

= 𝑒

𝑧

1

𝑒

𝑧

2

.

𝑒

𝑧

1

𝑒

𝑧

2

= 𝑒

𝑥

1

(𝑐𝑜𝑠𝑦

1

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦

1

)𝑒

𝑥

2

(𝑐𝑜𝑠𝑦

2

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦

2

) = 𝑒

𝑥

1

+𝑥

2

(𝑐𝑜𝑠(𝑦

1

+ 𝑦

2

) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑦

1

+ 𝑦

2

)) .

= 𝑒

(𝑥

1

+𝑥

2

)+𝑖(𝑦

1

+𝑦

2

)

= 𝑒

𝑧

1

+𝑧

2

.

17

e) ∀𝑧 ∈ ℂ,

𝑒

𝑧

∕= 0.

Przypu´s´

cmy, ˙ze

𝑒

𝑧

= 0 ⇐⇒ 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 0 ⇐⇒ 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 ∧ 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0.

Poniewa˙z 𝑒

𝑥

∕= 0 to 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 i 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0. Pierwsza r´

owno´s´

c zachodzi dla 𝑦 =

𝜋

2

+ 𝑘𝜋,

druga za´s dla 𝑦 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 ∈ ℤ. Poniewa˙z obie r´owno´sci nie mog

,

a zachodzi´

c

jednocze´snie, otrzymana sprzeczno´s´

c dowodzi, ˙ze 𝑒

𝑧

∕= 0 dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

f) funkcja 𝑒

𝑧

jest okresowa o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

Dla 𝑘 ∈ ℤ korzystaj

,

ac z okresowo´sci funkcji trygonometrycznych 𝑠𝑖𝑛𝑥 i 𝑐𝑜𝑠𝑥 mamy

𝑒

𝑧+2𝑘𝜋𝑖

= 𝑒

𝑧

𝑒

2𝑘𝜋𝑖

= 𝑒

𝑧

(𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝜋)) = 𝑒

𝑧

(1 + 𝑖0) = 𝑒

𝑧

.

g) funkcja 𝑒

𝑧

jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk̷ladniczej 𝑒

𝑥

.

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ ℝ. Wtedy 𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 𝑒

𝑥

(1 + 𝑖0) = 𝑒

𝑥

.

Uwaga 3.1
Zostanie p´

o´

zniej udowodnione, ˙ze funkcja wyk̷ladnicza 𝑒

𝑧

rozwinie si

,

e w szereg Maclaurina

tzn.

𝑒

𝑧

=

∞

∑

𝑘=1

𝑧

𝑘

𝑘!

dla ka˙zdego

𝑧 ∈ ℂ.

3.2

Funkcje trygonometryczne

Funkcje 𝑐𝑜𝑠𝑧 i 𝑠𝑖𝑛𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy nast

,

epuj

,

aco:

𝑐𝑜𝑠𝑧 :=

𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

2

,

𝑠𝑖𝑛𝑧 :=

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

,

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑐𝑜𝑠𝑧

=

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

𝑖(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

)

,

𝑐𝑡𝑔𝑧 =

𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧

=

𝑖(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

)

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

)

.

W̷lasno´sci

a) S

,

a to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 dla 𝑧 ∈ ℂ,

𝑡𝑔𝑧 dla 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∕= 𝑘𝜋 +

𝜋

2

,

𝑘 ∈ ℤ}, 𝑐𝑡𝑔𝑧 dla 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∕= 𝑘𝜋,

𝑘 ∈ ℤ}.

18

Korzystamy z faktu, ˙ze funkcja wyk̷ladnicza 𝑒

𝑧

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a oraz z w̷lasno´sci

dzia̷la´

n na tych funkcjach. St

,

ad mo˙zna wyprowadzi´

c wzory na pochodn

,

a:

(𝑐𝑜𝑠𝑧)

′

=

1

2

(𝑖𝑒

𝑖𝑧

− 𝑖𝑒

−𝑖𝑧

) =

𝑖

2

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

) = −

1

2𝑖

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

) = −𝑠𝑖𝑛𝑧.

(𝑠𝑖𝑛𝑧)

′

=

1

2𝑖

(𝑖𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑖𝑒

−𝑖𝑧

) =

𝑖

2𝑖

(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

) =

1

2

(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

(𝑡𝑔𝑧)

′

=

1

𝑐𝑜𝑠

2

𝑧

(𝑐𝑡𝑔𝑧)

′

=

−1

𝑠𝑖𝑛

2

𝑧

.

b) 𝑐𝑜𝑠

2

𝑧 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑧 = 1.

𝑐𝑜𝑠

2

𝑧 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑧 =

( 𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

2

)

2

+

( 𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

)

2

=

1

4

(𝑒

2𝑖𝑧

+ 2𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−𝑖𝑧

+ 𝑒

−2𝑖𝑧

) −

1

4

(𝑒

2𝑖𝑧

− 2𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−𝑖𝑧

+ 𝑒

−2𝑖𝑧

)

=

4𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−2𝑖𝑧

4

= 1.

c) Cz

,

e´sci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosz

,

a odpowiednio:

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ𝑦 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠ℎ𝑦

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

Dow´

od podamy dla funkcji 𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧 =

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

=

𝑒

𝑖(𝑥+𝑖𝑦)

− 𝑒

−𝑖(𝑥+𝑖𝑦)

2𝑖

=

𝑒

−𝑦+𝑖𝑥

− 𝑒

𝑦−𝑖𝑥

2𝑖

=

𝑒

−𝑦

(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥) − 𝑒

𝑦

(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥)

2𝑖

= 𝑐𝑜𝑠𝑥

( 𝑒

−𝑦

− 𝑒

𝑦

2𝑖

)

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥

( 𝑒

−𝑦

+ 𝑒

𝑦

2𝑖

)

= 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦.

d) Funkcje trygonometryczne 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧, 𝑡𝑔𝑧 s

,

a rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji

𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑡𝑔𝑥.

19

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ 𝐼𝑅. Wtedy

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ0 + 𝑖𝑐𝑜𝑠0𝑠ℎ0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑖0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ0 − 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0

+ 𝑖

𝑠ℎ0

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0

=

2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

1 + (2𝑐𝑜𝑠

2

𝑥 − 1)

= 𝑡𝑔𝑥.

e) Funkcje trygonometryczne s

,

a okresowe tzn.

– 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋.

– 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋.

𝑠𝑖𝑛(𝑧 + 2𝜋) =𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑖𝑦 + 2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 2𝜋)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋)𝑠ℎ𝑦

=𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠ℎ𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑧.

Dow´

od dla 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest analogiczny.

𝑡𝑔(𝑧 + 𝜋) =

𝑠𝑖𝑛2(𝑥 + 𝜋)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦

=

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

= 𝑡𝑔𝑧.

f) ∣𝑠𝑖𝑛𝑧∣ =

√𝑠𝑖𝑛

2

𝑥 + 𝑠ℎ

2

𝑦 oraz ∣𝑐𝑜𝑠𝑧∣ =

√𝑐𝑜𝑠

2

𝑥 + 𝑠ℎ

2

𝑦.

Poniewa˙z funkcja hiperboliczna 𝑠ℎ𝑦 jest nieograniczona, wynika st

,

a, ˙ze w przeciwie´

nstwie

do funkcji rzeczywistych funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 s

,

a nieograniczone.

g) 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑡𝑔𝑧, 𝑐𝑡𝑧 to funkcje nieparzyste, natomiast 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest funkcj

,

a parzyst

,

a

tzn. 𝑠𝑖𝑛(−𝑧) = −𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑧(−𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

h) 𝑠𝑖𝑛(¯

𝑧) = 𝑠𝑖𝑛𝑧,

𝑐𝑜𝑠(¯

𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑡𝑔(¯

𝑧) = 𝑡𝑔𝑧

𝑐𝑡𝑔(¯

𝑧) = 𝑐𝑡𝑔𝑧.

i) 𝑠𝑖𝑛(𝑧

1

± 𝑧

2

) = 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

± 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

𝑐𝑜𝑠(𝑧

1

+ 𝑧

2

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

− 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

𝑐𝑜𝑠(𝑧

1

− 𝑧

2

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

+ 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

j) Funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 oraz 𝑐𝑜𝑠𝑧 przyjmuj

,

a wszystkie warto´sci z p̷laszczyzny otwartej ℂ.

Funkcje 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 omijaj

,

a dwie warto´sci 𝑖, −𝑖, natomiast przyjmuj

,

a warto´s´

c ∞, 𝑡𝑔𝑧 w

punktach 𝑧

𝑘

=

𝜋

2

+ 𝑘𝜋, 𝑐𝑡𝑔𝑧 w punktach 𝑧

𝑘

= 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

20

3.3

Funkcje hiperboliczne

Funkcje 𝑐ℎ𝑧 i 𝑠ℎ𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej
tzn.

𝑐ℎ𝑧 :=

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

2

,

𝑠ℎ𝑧 :=

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

2

,

𝑡ℎ𝑧 :=

𝑠ℎ𝑧

𝑐ℎ𝑧

=

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

,

𝑐𝑡ℎ𝑧 :=

𝑐ℎ𝑧

𝑠ℎ𝑧

=

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

.

W̷lasno´sci

a) S

,

a to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. 𝑠ℎ𝑧 i 𝑐ℎ𝑧 dla 𝑧 ∈ ℂ,

𝑡ℎ𝑧 dla 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∕= 𝑖(𝑘𝜋 +

𝜋

2

),

𝑘 ∈ ℤ}, 𝑐𝑡ℎ𝑧 dla 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∕= 𝑖𝑘𝜋,

𝑘 ∈ ℤ}.

(𝑐ℎ𝑧)

′

= 𝑠ℎ𝑧,

(𝑠ℎ𝑧)

′

= 𝑐ℎ𝑧,

(𝑡ℎ𝑧)

′

=

1

𝑐ℎ

2

𝑧

,

(𝑐𝑡ℎ𝑧)

′

=

−1

𝑠ℎ

2

𝑧

.

b) 𝑐ℎ

2

𝑧 − 𝑠ℎ

2

𝑧 = 1 dla ∀𝑧 ∈ ℂ.

c) Cz

,

e´sci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosz

,

a odpowiednio:

𝑠ℎ𝑧 = 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑐ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑐ℎ𝑧 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑡ℎ𝑧 =

𝑠ℎ2𝑥

𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦

+ 𝑖

𝑠𝑖𝑛2𝑦

𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦

.

d) Funkcje hiperboliczne 𝑠ℎ𝑧, 𝑐ℎ𝑧, 𝑡ℎ𝑧, 𝑐𝑡ℎ𝑧 s

,

a rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji

𝑠ℎ𝑥, 𝑐ℎ𝑥, 𝑡ℎ𝑥, 𝑐𝑡ℎ𝑥.

e) Funkcje hiperboliczne s

,

a okresowe tzn.

– 𝑠ℎ𝑧 i 𝑐ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

– 𝑡ℎ𝑧 i 𝑐𝑡ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋𝑖.

f) ∣𝑠ℎ𝑧∣ =

√𝑠ℎ

2

𝑥 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑦 oraz ∣𝑐ℎ𝑧∣ =

√𝑠ℎ

2

𝑥 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝑦.

g) 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑧 = 𝑐ℎ𝑧,

𝑠𝑖𝑛𝑖𝑧 = 𝑖𝑠ℎ(𝑧).

21

3.4

Funkcja logarytmiczna

Niech 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. Ka˙zd

,

a liczb

,

e zespolon

,

a 𝑤 spe̷lniaj

,

ac

,

a r´

ownanie

𝑒

𝑤

= 𝑧

nazywamy logarytmem liczby 𝑧 i oznaczamy 𝑙𝑛𝑧. Niech

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑒

𝑤

= 𝑒

𝑢+𝑖𝑣

= 𝑒

𝑢

(𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑣).

(3.5)

Zatem ∣𝑧∣ = 𝑒

𝑢

czyli 𝑢 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ = ln

√𝑥

2

+ 𝑦

2

. Z (3.5) wynika, ˙ze 𝑣 = 𝐴𝑟𝑔𝑧 + 2𝑘𝜋 dla pewnego

𝑘 ∈ ℤ, gdzie 𝐴𝑟𝑔𝑧 oznacza argument g̷l´owny liczby 𝑧.

Ka˙zda liczba zespolona 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0} ma niesko´nczenie wiele logarytm´ow wyra˙zonych wzorem

𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖(𝐴𝑟𝑔𝑧 + 2𝑘𝜋),

𝑘 ∈ ℤ.

Funkcja zdefiniowa wzorem

𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖𝑎𝑟𝑔𝑧

(3.6)

dla 𝑧 ∕= 0 nazywamy funkcj

,

a logarytmiczn

,

a. Funkcja 𝑙𝑛𝑧 jest niesko´

nczenie wielowarto´sciowa.

Funkcj

,

e

𝐿𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔𝑧,

−𝜋 < 𝐴𝑟𝑔𝑧 ≤ 𝜋

(3.7)

nazywamy ga̷lezi

,

a g̷l´

own

,

a logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, ˙ze

𝑙𝑛𝑧 = 𝐿𝑛𝑧 + 𝑖2𝑘𝜋,

𝑘 ∈ ℤ.

W ka˙zdym obszarze jednosp´

ojnym nie zawieraj

,

acym 0 i ∞ istnieje jednoznaczna ga̷l

,

a´

z

logarytmu. Takim obszarem jest np. p̷laszczyzna rozci

,

eta wzd̷lu˙z osi ujemnej tzn.

𝐸 = ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℝ : 𝑥 ≤ 0}.

3.5

Funkcja pot

,

egowa

Niech 𝜇 b

,

edzie dowoln

,

a liczb

,

a zespolon

,

a, 𝐸 obszarem sp´

ojnym w kt´

orym istnieje jednoz-

naczna ga̷l

,

a´

z logarytmu zmiennej 𝑧. Funkcj

,

e potegow

,

a o wyk̷ladniku 𝜇 nazywamy funkcj

,

e

zdefiniowan

,

a wzorem

𝑧

𝜇

= 𝑒

𝜇𝑙𝑛𝑧

.

(3.8)

Jest to tak˙ze fukcja wielowarto´sciowa. Ga̷l

,

ezi

,

a g̷l´

own

,

a tej funkcji nazywamy ga̷l

,

a´

z

zdefiniowan

,

a za pomoc

,

a ga̷l

,

ezi g̷l´

ownej logarytmu tzn.

𝑒

𝜇𝐿𝑛𝑧

.

Szczeg´

olnym przyk̷ladem funkcji pot

,

egowej jest funkcja

𝑛

√

𝑧 = 𝑒

(1/𝑛)𝑙𝑛𝑧

zwana pierwiastkiem

𝑛-stopnia z liczby 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie zawieraj

,

acym zera i ∞

istnieje dok̷ladnie 𝑛 ga̷l

,

ezi r´

o˙zni

,

acych si

,

e czynnikiem 𝑒

2𝑘𝜋𝑖/𝑛

,

𝑘 = 0, 1, . . . 𝑛 − 1.

22

3.6

Powierzchnie Riemanna funkcji wielowarto´

sciowych

Funkcja 𝑙𝑛𝑧 zdefiniowana dla 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0} jest niesko´

nczenie wielowarto´

sciowa. Na

p̷laszczy´

znie rozci

,

etej wzd̷lu˙z p´

o̷losi rzeczywistej ujemnej istnieje niesko´

nczenie wiele ga̷l

,

ezi

jednoznacznych logarytmu 𝐿𝑛𝑧 + 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ. Utw´orzmy niesko´nczony ci

,

ag tak rozci

,

etych

p̷laszczyzn i ponumerujmy je liczbami 𝑘 ∈ ℤ. Z ka˙zdej p̷laszczyzny usuwamy punkt 0.

̷L

,

aczymy g´

orny brzeg rozci

,

ecia ka˙zdej z nich z dolnym brzegiem rozci

,

ecia nast

,

epnej tak

aby punkty brzegowe o tych samych wsp´

o̷lrz

,

ednych tworzy̷ly jeden punkt.

Otrzymamy

niesko´

nczenie wielolistn

,

a powierzchni

,

e z̷lo˙zon

,

a z plaszczyzn zwanych li´sciami. Taka powierzch-

nia przedstawia powierzchni

,

e Riemanna pe̷lnej funkcji 𝑙𝑛𝑧. Punktom p̷laszczyzny oznaczonej

liczb

,

a 0 przyporzadkujemy warto´sci ga̷l

,

ezi g̷lownej 𝐿𝑛𝑧. Og´

olnie, punktowi z 𝑛-p̷laszczyzny

przyporz

,

adkowujemy warto´sci 𝐿𝑛𝑧 + 𝑖2𝑛𝜋. W ten spos´

ob ka˙zdej warto´sci funkcji 𝑙𝑛𝑧 zostaje

przyporz

,

adkowany dok̷ladnie jeden punkt powierzchni i na odwr´

ot. Na tej powierzchni 𝑙𝑛𝑧

jest funkcj

,

a jednoznaczn

,

a. Startuj

,

ac z pewnego punktu 𝑧 i okr

,

a˙zaj

,

ac punkt 0 dojdziemy

po jednym okr

,

a˙zeniu do punktu 𝑧 ± 2𝜋𝑖 zale˙znie od tego czy okr

,

a˙zamy punkt 0 w dodatniej

czy ujemnej orientacji.

Funkcja

𝑛

√

𝑧 ma 𝑛 ga̷l

,

ezi jednoznacznych na ca̷lej p̷lasczy´

znie rozci

,

etej wzd̷lu ˙z

p´

o̷losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okr

,

a˙zamy raz punkt 0 wzd̷lu˙z pewnej krzywej zamkni

,

etej

w kierunku dodatnim na p̷laszczy´

znie nierozci

,

etej, w´

owczas ka˙zda ga̷l

,

a´

z przechodzi w nast

,

epn

,

a.

Warto´s´

c funkcji zostaje pomno˙zona przez 𝑒

2𝜋𝑖/𝑛

. Po 𝑛-krotnym okr

,

a˙zeniu punktu 0 warto´s´

c

funkcji wraca do swej pocz

,

atkowej warto´sci bo zmieni sie o czynnik 𝑒

2𝜋𝑖/𝑛

= 1.

Aby skonstruowa´

c powierzchni

,

e Riemanna funkcji

𝑛

√

𝑧 umieszczamy 𝑛 rozci

,

etych p̷laszczyzn

wzdlu˙z osi rzeczywistej ujemnej i ̷l

,

aczymy g´

orny brzeg rozci

,

ecia ka˙zdej p̷laszczyzny z dolnym

brzegiem rozci

,

ecia nast

,

epnej. Tak samo po̷l

,

aczymy g´

orny brzeg ostatniej p̷laszczyzny z dol-

nym brzegiem pierwszej. Zawsze ̷l

,

aczymy punkty o tych samych wsp´

o̷lrz

,

ednych. Otrzymana

w ten spos´

ob 𝑛-listn

,

a powierzchnia przedstawia powierzchni

,

e Riemanna pe̷lnej funkcji

𝑛

√

𝑧.

Na jednym li´sciu tej powierzchni rozmie´s´

cmy warto´sci jednoznacznej ga̷l

,

ezi naszej funkcji,

a na ka˙zdym nast

,

epnym li´sciu warto´sci tej ga̷l

,

ezi pomno˙zonej przez 𝑒

2𝜋𝑖/𝑛

. W ten spos´

ob

ka˙zdej warto´sci funkcji

𝑛

√

𝑧 zostaje przyporz

,

adkowany dok̷ladnie jeden punkt powierzchni i

na odwr´

ot. Na tej powierzchni

𝑛

√

𝑧 jest funkcj

,

a jednoznaczn

,

a.

4

Szeregi funkcyjne

4.1

Szeregi liczbowe

Definicja 4.1
Szereg 𝑎

0

+ 𝑎

1

+ 𝑎

2

+ . . . =

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbie˙znym

do sumy 𝑠, gdy ci

,

ag sum cz

,

astkowych 𝑠

𝑛

=

∑

𝑛
𝑘=0

𝑎

𝑛

, 𝑛 ∈ ℕ, jest zbie˙zny do granicy 𝑠.

23

Definicja 4.2
Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

nazywamy:

i) bezwzgl

,

ednie zbie˙znym je´

sli

∑

∞
𝑛=0

∣𝑎

𝑛

∣ jest zbie˙zny,

ii) warunkowo zbie˙znym je´

sli jest zbie˙zny ale nie jest bezwgl

,

ednie zbie˙zny.

Twierdzenie 4.1

i) Je˙zeli szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

jest zbie˙zny, to lim

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 0.

ii) Szereg bezwzgl

,

ednie zbie˙zny jest zbie˙zny przy dowolnym uporz

,

adkowaniu wyraz´

ow i jego

suma nie zale˙zy od porz

,

adku wyraz´

ow.

iii) Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

, gdzie 𝑎

𝑛

= 𝛼

𝑛

+ 𝑖𝛽

𝑛

, jest zbie˙zny do sumy 𝑠 = 𝛼 + 𝛽 wtedy i tylko wtedy,

gdy szeregi

∑

∞
𝑛=0

𝛼

𝑛

i

∑

∞
𝑛=0

𝛽

𝑛

s

,

a zbie˙zne tzn.

∑

∞
𝑛=0

𝛼

𝑛

= 𝛼 i

∑

∞
𝑛=0

𝛽

𝑛

= 𝛽.

Twierdzenie 4.2 (Kryterium por´

ownawcze)

Je˙zeli dla prawie wszystkich wyraz´

ow szeregu

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

zachodzi nier´

owno´

s´

c ∣𝑎

𝑛

∣ ≤ 𝐴

𝑛

i szereg

∑

∞
𝑛=0

𝐴

𝑛

jest zbie˙zny, to szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

jest zbie˙zny bezwzgl

,

ednie.

Twierdzenie 4.3 (Kryterium d’Alamberta)

Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

jest bezwzgl

,

ednie zbie˙zny, gdy lim

𝑛→∞





𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛





< 1 oraz rozbie˙zny, gdy

lim

𝑛→∞





𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛





> 1.

Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy’ego)
Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

jest bezwzgl

,

ednie zbie˙zny, gdy lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ < 1 oraz rozbie˙zny, gdy

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ > 1.

Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta)
Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑏

𝑛

jest zbie˙zny, je´

sli wyrazy 𝑎

𝑛

s

,

a rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem 𝑛 malej

,

a

do zera, a ci

,

ag sum cz

,

astkowych szeregu

∑

∞
𝑛=0

𝑏

𝑛

jest ograniczony.

Przyk̷lad 4.1
Szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑧

𝑛

𝑛

jest zbie˙zny dla ∣𝑧∣ = 1, 𝑧 ∕= 1, bo przyjmuj

,

ac 𝑎

𝑛

=

1

𝑛

, 𝑏

𝑛

= 𝑧

𝑛

, ∣𝑧∣ = 1 i

∣1 − 𝑧∣ > 𝜂 otrzymamy

∣𝑠

𝑛

∣ = ∣𝑧 + 𝑧

2

+ . . . + 𝑧

𝑛

∣ =






𝑧(1 − 𝑧

𝑛

)

1 − 𝑧






<

2

𝜂

,

a wi

,

ec za̷lo˙zenia kryterium Dirichleta s

,

a spe̷lnione. Zauwa˙zmy, ˙ze ten szereg nie jest zbie˙zny

bezwgl

,

ednie dla 𝑧 takich, ˙ze ∣𝑧∣ = 1, poniewa˙z

∑

∞
𝑛=1




𝑧

𝑛

𝑛




=

∑

∞
𝑛=1

1

𝑛

= ∞.

24

4.2

Rodzaje zbie ˙zno´

sci szereg´

ow funkcyjnych

Definicja 4.3
Niech 𝐷 ⊂ ℂ zbi´or (cz

,

esto otwarty lub obszar), 𝑓

𝑛

: 𝐷 → ℂ ci

,

ag funkcji. Powiemy, ˙ze szereg

funkcyjny

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny w 𝐷 je˙zeli ci

,

ag {𝑠

𝑛

(𝑧) =

∑

𝑛
𝑘=1

𝑓

𝑘

(𝑧)} jest zbie˙zny w 𝐷

tzn. je´

sli granica lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

(𝑧) = 𝑠(𝑧) jest funkcj

,

a dobrze okre´

slon

,

a w zbiorze 𝐷. Taki rodzaj

zbie˙zno´sci nazywamy zbie ˙zno´

sci

,

a punktow

,

a.

Zbie˙zno´s´

c w 𝐷 nazywamy jednostajn

,

a, je´sli

∀𝜖

∃𝑁 (𝜖)

∀𝑛 > 𝑁 (𝜖)

∀𝑧 ∈ 𝐷

∣𝑠

𝑛

(𝑧) − 𝑠(𝑧)∣ < 𝜖.

Warunek jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) mo˙zna tak˙ze sformu̷lowa´

c nast

,

epuj

,

aco:

∀𝜖

∃𝑁 (𝜖)

∀𝑛 > 𝑁 (𝜖)

∀𝑧 ∈ 𝐷

∣

∞

∑

𝑛=𝑁 +1

𝑓

𝑛

(𝑧)∣ < 𝜖.

Funkcj

,

e graniczn

,

a 𝑠(𝑧) = lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

(𝑧) nazywamy sum

,

a danego szeregu.

Uwaga 4.1
Niech 𝐷 ⊂ ℂ zbi´or otwarty (lub obszar), 𝑓

𝑛

: 𝐷 → ℂ ci

,

ag funkcji ci

,

ag̷lych. Je˙zeli ci

,

ag

funkcyjny (szereg funkcyjny

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧)) jest zbie˙zny jednostajnie w 𝐷, to granica ci

,

agu (suma

szeregu) jest funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a w D.

Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa)
Szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny jednostajnie w zbiorze 𝐷 ⊂ ℂ, je´sli istnieje ci

,

ag liczbowy

{𝑎

𝑛

}

∞
𝑛=1

taki, ˙ze ∀𝑛 ∈ ℕ, ∣𝑓

𝑛

(𝑧)∣ ≤ 𝑎

𝑛

i szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

jest zbie˙zny.

Definicja 4.4
Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑓

𝑛

: 𝐷 → ℂ ci

,

ag funkcji. Szereg funkcyjny

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) nazywamy zbie˙znym

niemal jednostajnie w zbiorze 𝐷, je´

sli jest on zbie˙zny jednostajnie na ka˙zdym zwartym podzbiorze

zbioru 𝐷.

Uwaga 4.2
Zbie˙zno´s´

c jednostajn

,

a mo˙zna cz

,

esto zast

,

api´

c zbie˙zno´scia niemal jednostajn

,

a. Granica zbie˙znego

niemal jednostajnie ci

,

agu (szeregu) funkcji ci

,

ag̷lych jest funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a.

25

4.3

Szeregi pot

,

egowe

Definicja 4.5
Szeregiem pot

,

egowym o ´

srodku w punkcie 𝑧

0

nazywamy szereg postaci

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

(4.1)

gdzie 𝑎

𝑛

∈ ℂ.

Definicja 4.6
Promieniem zbie˙zno´

sci szeregu potegowego (4.1) nazywamy kres g´

orny zbioru tych liczb 𝑟, ˙ze

dany szereg jest zbie˙zny w kole {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟}.

Wz´

or Cauchy’ego-Hadamarda

Niech dany b

,

edzie szereg pot

,

egowy (4.1) i

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ =

1

𝑅

,

(4.2)

gdzie 0 ≤ 𝑅 ≤ ∞ (przyjmujemy, ˙ze

1
0

= ∞,

1

∞

= 0). W´

owczas szereg (4.1) jest zbie˙zny w

ka˙zdym punkcie z, dla kt´

orego ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅, i jest rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie 𝑧, dla kt´

orego

∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 𝑅.

Dow´

od

Niech 0 < 𝑅 < ∞. Wtedy dla ka˙zdego 𝜖 > 0 istnieje 𝑁 ∈ ℕ takie, ˙ze dla 𝑛 ≥ 𝑁 mamy

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ < 1/𝑅 + 𝜖. St

,

ad

∣𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

∣ <

[( 1

𝑅

+ 𝜖

)

∣𝑧 − 𝑧

0

∣

]

𝑛

.

(4.3)

Je´sli ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅, to 𝜖 mo˙zna dobra´c tak ma̷le, ˙ze spe̷lniona b

,

edzie nier´

owno´s´

c

( 1

𝑅

+ 𝜖

)

∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑞 < 1.

W´

owczas z (4.3) wida´

c, ˙ze wyrazy szeregu (4.1) dla 𝑛 ≥ 𝑁 s

,

a majoryzowane przez wyrazy

szeregu geometrycznego

∑

∞
𝑛=0

𝑞

𝑛

i w konsekwencji szereg (4.1) jest zbie˙zny, gdy ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅.

Z definicji granicy g´

ornej wynika, ˙ze dla dowolnej liczby 𝜖 > 0 istnieje taki podci

,

ag 𝑛

𝑘

, ˙ze

𝑛𝑘

√

∣𝑎

𝑛

𝑘

∣ > 1/𝑅 − 𝜖.

26

Zatem

∣𝑎

𝑛

𝑘

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑘

∣ >

[( 1

𝑅

− 𝜖

)

∣𝑧 − 𝑧

0

∣

]

𝑛

𝑘

.

(4.4)

Je´sli ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 𝑅, to liczb

,

e 𝜖 mo˙zna dobra´

c tak ma̷l

,

a aby (1/𝑅 − 𝜖)∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 1. W´

owczas

z (4.4) wynika, ˙ze ∣𝑎

𝑛

𝑘

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑘

∣ > 1, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny

zbie˙zno´sci szeregu (4.1), wi

,

ec szereg ten jest rozbie˙zny dla ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 𝑅.

Wniosek 4.1
Obszarem zbie˙zno´sci szeregu pot

,

egowego (4.1) jest ko̷lo {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅}, gdzie 𝑅 jest liczb

,

a

wyznaczon

,

a ze wzoru Cauchy’ego-Hadamarda.

Przyk̷lad 4.2

1. Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny w kole 𝐾(0, 1) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 1}, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ =

1

𝑅

= 1.

Je´sli ∣𝑧∣ = 1, to szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑧

𝑛

nie jest zbie˙zny, bo nie zachodzi warunek konieczny

zbie˙zno´sci - wyraz 𝑧

𝑛

= 𝑒

𝑖𝑛𝜙

ma modu̷l r´

owny 1, czyli nie d

,

a˙zy do zera.

2. Szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑧

𝑛

𝑛

2

jest zbie˙zny w kole 𝐾(0, 1) = {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 1}, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√






1

𝑛

2






=

1

𝑅

= 1

oraz ∀𝑛 ∈ ℕ




𝑧

𝑛

𝑛

2




≤

1

𝑛

2

. (

∑

∞
𝑛=0

1

𝑛

2

< ∞.) Zatem szereg jest zbie˙zny w kole i na brzegu.

3. Dla szeregu

∑

∞
𝑛=0

𝑛

𝑛

𝑧

𝑛

promie´

n zbie˙zno´sci 𝑅 = 0, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑛

𝑛

∣ = lim sup

𝑛→∞

𝑛 = ∞ =

1

𝑅

.

Szereg jest zbie˙zny tylko dla 𝑧 = 0.

Twierdzenie 4.7 (Abela)
Je˙zeli szereg pot

,

egowy

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny w punkcie 𝑧

1

∕= 0, to jest on bezwgl

,

ednie zbie˙zny

w kole 𝐾(0, ∣𝑧

1

∣) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < ∣𝑧

1

∣} oraz jest zbie˙zny jednostajnie w ka˙zdym kole 𝐾(0, 𝜌), gdzie

𝜌 < ∣𝑧

1

∣.

27

Dow´

od.

Poniewa˙z szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

1

jest zbie˙zny, to zachodzi warunek konieczny zbie˙zno´sci, czyli

lim

𝑛→∞

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

1

→ 0. Zatem

∃𝑀 > 0

∃𝑁 > 0

∀𝑛 ≥ 𝑁

∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

1

∣ < 𝑀.

St

,

ad wynika, ˙ze

∃𝑀 > 0

∃𝑁 > 0

∀𝑛 ≥ 𝑁

∀𝑧

∣𝑧∣ < ∣𝑧

1

∣ ⇒

∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

∣ < 𝑀.

(∗)

Poka˙zemy, ˙ze szereg

∑

∞
𝑛=0

∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

∣ jest zbie˙zny w 𝐾(0, ∣𝑧

1

∣) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < ∣𝑧

1

∣}. Mamy

∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

∣ =






𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

1

𝑧

𝑛

𝑧

𝑛

1






= ∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

1

∣






𝑧

𝑛

𝑧

𝑛

1






≤ 𝑀






𝑧

𝑛

𝑧

𝑛

1






= 𝑀 𝑞

𝑛

,

gdzie 𝑞 :=





𝑧

𝑧

1





< 1. Poniewa˙z 𝑞 < 1, szereg geometyczny

∑

∞
𝑛=1

𝑀 𝑞

𝑛

jest zbie˙zny. Korzys-

taj

,

ac z kryterium por´

ownawczego otrzymamy, ˙ze szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny bezwzgl

,

ednie

w kole 𝐾(0, ∣𝑧

1

∣) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < ∣𝑧

1

∣}.

Niech 𝜌 < ∣𝑧

1

∣. We´zmy 𝑧 takie, ˙ze ∣𝑧∣ ≤ 𝜌. Wtedy istnieje 𝜌

1

takie, ˙ze 𝜌 < 𝜌

1

< ∣𝑧

1

∣.

∣𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

∣ =






𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

𝑧

𝑛

𝜌

𝑛

1






= ∣𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

∣






𝑧

𝑛

𝜌

𝑛

1






≤ 𝑀 𝑝

𝑛

,

gdzie 𝑝 :=





𝑧

𝜌

1





< 1, gdzie ∣𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

∣ < 𝑀 z (*). Zatem z kryterium Weierstrassa szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny bezwgl

,

ednie jednostajnie w kole 𝐾(0, 𝜌) = {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 𝜌}.

Zatem w kole 𝐾(0, ∣𝑧

1

∣) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < ∣𝑧

1

∣} szereg pot

,

egowy jest zbie˙zny niemal jednosta-

jnie.

Twierdzenie 4.8 (o holomorficzno´

sci sumy szeregu pot

,

egowego)

Je˙zeli promie´

n 𝑅 zbie˙zno´

sci szeregu pot

,

egowego

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest dodatni, to 𝑓 -suma tego szeregu

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w kole 𝐾(0, 𝑅) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 𝑅} i dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝐾(0, 𝑅)

𝑓

′

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=1

𝑛𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−1

.

(Szereg pot

,

egowy wewn

,

atrz ko̷la zbie˙zno´sci mo˙zna r´

o˙zniczkowa´

c wyraz po wyrazie).

Dow´

od

Napiszemy szereg pochodnych formalnych

∞

∑

𝑛=1

𝑛𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−1

.

28

Promie´

n zbie˙zno´sci tego szeregu jest taki sam jak szeregu

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√

𝑛∣𝑎

𝑛

∣ = lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣.

Z Twierdzenia Abela wynika, ˙ze szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny jednostajnie, w ka˙zdym kole

𝐾(0, 𝜌), gdzie 𝜌 < 𝑅. We´

zmy 𝑧

0

∈ 𝐾(0, 𝑅), gdzie ∣𝑧

0

∣ < 𝜌 < 𝑅. Rozpatrzmy iloraz r´

o˙znicowy

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

=

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

− 𝑧

𝑛

0

𝑧 − 𝑧

0

=

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧

𝑛−1

+ 𝑧

𝑛−2

𝑧

0

+ . . . 𝑧𝑧

𝑛−2

0

+ 𝑧

𝑛−1

0

) ,

gdzie 𝑧 ∈ 𝐾(0, 𝑅). Wyka˙zemy, ˙ze otrzymany szereg jest bezwgl

,

ednie jednostajnie zbie˙zny

(skorzystamy z tw. Weierstrassa).




𝑎

𝑛

(𝑧

𝑛−1

+ 𝑧

𝑛−2

𝑧

0

+ . . . 𝑧𝑧

𝑛−2

0

+ 𝑧

𝑛−1

0

)



≤ ∣𝑎

𝑛

∣𝑛∣𝜌∣

𝑛−1

je´sli ∣𝑧∣ ≤ 𝜌. We´

zmy 𝜌

1

takie, ˙ze 𝜌 < 𝜌

1

< 𝑅. Wtedy szereg

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

jest zbie˙zny, zatem lim

𝑛→∞

𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

= 0. St

,

ad istnieje 𝑀 > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego 𝑛 ∈ ℕ,

∣𝑎

𝑛

𝜌

𝑛
1

∣ ≤ 𝑀 . Niech 𝑞 :=

𝜌

𝜌

1

< 1 oraz

∣𝑎

𝑛

∣𝑛𝜌

𝑛−1

≤ ∣𝑎

𝑛

∣𝑛𝜌

𝑛
1

( 𝜌

𝜌

1

)

𝑛

1

𝜌

≤

𝑀

𝜌

𝑛𝑞

𝑛

.

Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑀

𝜌

𝑛𝑞

𝑛

jest zbie˙zny bo z kryterium Cauchy’ego wynika, ˙ze lim sup

𝑛→∞

𝑛

√

𝑀

𝜌

𝑛𝑞

𝑛

=

𝑞 < 1. Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑀

𝜌

𝑛𝑞

𝑛

potraktujemy jako majorant

,

e w twierdzeniu Weierstrassa. St

,

ad

szereg

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧

𝑛−1

+ 𝑧

𝑛−2

𝑧

0

+ . . . 𝑧𝑧

𝑛−2

0

+ 𝑧

𝑛−1

0

)

jest bezwgl

,

ednie jednostajnie zbie˙zny w otoczeniu 𝑧

0

, a dok̷ladniej dla ∣𝑧∣ ≤ 𝜌. Wtedy istnieje

granica tego szeregu dla 𝑧 → 𝑧

0

. Zatem

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

= lim

𝑧→𝑧

0

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧

𝑛−1

+ 𝑧

𝑛−2

𝑧

0

+ . . . 𝑧𝑧

𝑛−2

0

+ 𝑧

𝑛−1

0

) =

∞

∑

𝑛=0

𝑛𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−1

0

.

Czyli 𝑓 jest holomorficzna 𝐾(0, 𝑅).

29

Wniosek 4.2
Szereg pot

,

egowy ma pochodn

,

a dowolnego rz

,

edu:

∀𝑘 ∈ ℕ 𝑓

(𝑘)

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=𝑘

𝑛(𝑛 − 1) . . . (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−𝑘

.

Otrzymane wnioski mo˙zna uog´

olni´

c na przypadek szereg´

ow postaci

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

Twierdzenie 4.9
Je˙zeli funkcj

,

e 𝑓 mo˙zna przedstawi´

c w kole 𝐾(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟} w postaci sumy szeregu

pot

,

egowego

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

to wsp´

o̷lczynniki tego szeregu s

,

a wyznaczone jednoznaczne i okre´

slaj

,

a je wzory

𝑎

𝑛

=

𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

)

𝑛!

,

𝑛 = 0, 1, 2, . . .

Dow´

od

Wstawiaj

,

ac do wzoru na szereg za 𝑧 punkt 𝑧

0

otrzymamy 𝑓 (𝑧

0

) = 𝑎

0

. R´

o˙zniczkuj

,

ac wyraz po

wyrazie dostaniemy

𝑓

′

(𝑧) = 𝑎

1

+ 2𝑎

2

(𝑧 − 𝑧

0

) + 3𝑎

3

(𝑧 − 𝑧

0

)

2

+ . . .

Podstawiaj

,

ac za 𝑧 = 𝑧

0

otrzymamy, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) = 𝑎

1

. Po n-krotnym zr´

o˙zniczkowaniu dostaniemy,

˙ze

𝑓

(𝑛)

(𝑧) = 𝑛!𝑎

𝑛

+ ˜

𝑎

1

(𝑧 − 𝑧

0

) + ˜

𝑎

2

(𝑧 − 𝑧

0

)

2

+ . . .

Dla 𝑧 = 𝑧

0

dostaniemy, ˙ze 𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

) = 𝑛!𝑎

𝑛

. St

,

ad 𝑎

𝑛

=

𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

)

𝑛!

.

Uwaga 4.3 (Inne brzmienie powy˙zszego twierdzenia)
Ka˙zdy zbie˙zny szereg pot

,

egowy jest szeregiem Taylora swojej sumy.

4.4

Funkcje analityczne

Definicja 4.7
Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, funkcj

,

e 𝑓 : 𝐷 → ℂ nazywamy analityczn

,

a w 𝐷 ⇔ gdy dla ka˙zdego

𝑧

0

∈ 𝐷 istnieje szereg pot

,

egowy postaci

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

zbie˙zny w kole 𝐾(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷 taki, ˙ze

𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

dla 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧

0

, 𝑟).

30

Ozn. 𝐴(𝐷) oznacza zbi´

or wszystkich funkcji analitycznych w 𝐷.

Z twierdzenia 4.8 wynikaj

,

a nast

,

epuj

,

ace wnioski.

Wniosek 4.3
Zachodzi inkluzja 𝐴(𝐷) ⊂ 𝐻(𝐷).

Wniosek 4.4
Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐴(𝐷), to f posiada pochodne dowolnego rz

,

edu. (Por´

owna´

c z wnioskiem 4.2).

Wniosek 4.5
Suma szeregu pot

,

egowego jest funkcj

,

a analityczn

,

a w kole zbie˙znosci tego szeregu. (Por´

owna´

c

z twierdzeniem 4.9).

Definicja 4.8
Iloczynem szereg´

ow pot

,

egowych

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 −𝑧

0

)

𝑛

i

∑

∞
𝑛=0

𝑏

𝑛

(𝑧 −𝑧

0

)

𝑛

nazywamy szereg pot

,

egowy

postaci

∞

∑

𝑛=0

(𝑎

0

𝑏

𝑛

+ 𝑎

1

𝑏

𝑛−1

+ . . . + 𝑎

𝑛

𝑏

0

)(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

Twierdzenie 4.10 (Cauchy’ego)
Je˙zeli szeregi

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

i

∑

∞
𝑛=0

𝑏

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

s

,

a zbie˙zne odpowiednio w ko̷lach 𝐾(𝑧

0

, 𝑟

1

)

i 𝐾(𝑧

0

, 𝑟

2

), to ich iloczyn

∞

∑

𝑛=0

(𝑎

0

𝑏

𝑛

+ 𝑎

1

𝑏

𝑛−1

+ . . . + 𝑎

𝑛

𝑏

0

)(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

jest zbie˙zny w kole 𝐾(𝑧

0

, 𝑟), gdzie 𝑟 = min{𝑟

1

, 𝑟

2

}.

Bez dowodu.

Twierdzenie 4.11
Je˙zeli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐴(𝐷), to 𝑓 ± 𝑔 ∈ 𝐴(𝐷), 𝑓 𝑔 ∈ 𝐴(𝐷).
Bez dowodu.

Przyk̷lad 4.3
Rozwin

,

a´

c 𝑓 (𝑧) =

1

1−𝑧

w szereg wok´

o̷l

31

(a) punktu 𝑧

0

=

1
2

,

1

1 − 𝑧

=

1

1
2

− (𝑧 −

1
2

)

=

2

1 − 2(𝑧 −

1
2

)

= 2

∞

∑

𝑛=0

2

𝑛

(

𝑧 −

1

2

)

𝑛

zbie˙zny w kole {𝑧 : ∣𝑧 −

1
2

∣ <

1
2

}.

(b) 𝑧

0

= −

1
2

1

1 − 𝑧

=

2

3

1

1 −

2
3

(𝑧 +

1
2

)

=

2

3

∞

∑

𝑛=0

2

𝑛

(𝑧 +

1
2

)

𝑛

3

𝑛

zbie˙zny w kole 𝐾(−

1
2

,

3
2

).

Uwaga 4.4
Promie´

n zbie˙zno´sci szeregu jest wyznaczony przez odleg̷lo´s´

c punktu 𝑧

0

- ´srodka szeregu od

najbli˙zszego punktu nieholomorficzno´sci.

5

Odwzorowania konforemne

5.1

Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej

Niech 𝐼 :=< 𝛼, 𝛽 >⊂ ℝ. Funkcj

,

e

< 𝛼, 𝛽 >∋ 𝑡 → 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑖𝑦(𝑡) ∈ ℂ

nazywamy funkcj

,

a zespolon

,

a zmiennej rzeczywistej.

Definicja 5.1
Funkcja 𝑧(𝑡) jest ci

,

ag̷la w 𝑡

0

je´

sli lim

𝑡→𝑡

0

𝑧(𝑡) = 𝑧(𝑡

0

).

Definicja 5.2
Pochodn

,

a funkcji 𝑧(𝑡) w punkcie 𝑡

0

∈ 𝐼 definiujemy jako granic

,

e ilorazu r´

o˙znicowego tzn.

𝑧

′

(𝑡

0

) = lim

𝑡→𝑡

0

𝑧(𝑡) − 𝑧(𝑡

0

)

𝑡 − 𝑡

0

= lim

𝑡→𝑡

0

( 𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡

0

)

𝑡 − 𝑡

0

+ 𝑖

𝑦(𝑡) − 𝑦(𝑡

0

)

𝑡 − 𝑡

0

)

.

Zatem 𝑧

′

(𝑡

0

) = 𝑥

′

(𝑡

0

) + 𝑖𝑦

′

(𝑡

0

).

Definicja 5.3
R´

ownanie postaci 𝑧 = 𝑧

0

+ 𝑎𝑡,

𝑡 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎 ∕= 0, okre´sla prost

,

a przechodz

,

ac

,

a przez

punkt 𝑧

0

. K

,

at nachylenia prostej do osi OX jest okre´

slony przez argument g̷l´

owny liczby 𝑎.

32

Definicja 5.4
Wykres funkcji ci

,

ag̷lej 𝑧(𝑡) nazywamy krzyw

,

a i oznaczmy symbolem 𝛾.

R´

ownanie siecznej do wykresu 𝛾 przechodz

,

acej przez punkty 𝑧(𝑡

0

) i 𝑧(𝑡

1

) ma posta´

c

𝑧 = 𝑧(𝑡

0

) +

𝑧(𝑡

1

) − 𝑧(𝑡

0

)

𝑡

1

− 𝑡

0

𝑡,

𝑡 ∈ 𝐼.

Gdy 𝑡 → 𝑡

0

, to sieczna d

,

a˙zy do stycznej w punkcie 𝑧

0

= 𝑧(𝑡

0

). St

,

ad r´

ownanie stycznej w tym

punkcie ma posta´

c

𝑧 = 𝑧

0

+ 𝑧

′

(𝑡

0

)𝑡,

a argument g̷l´

owny 𝜙 = 𝐴𝑟𝑔𝑧

′

(𝑡

0

) jest k

,

atem nachylenia stycznej do osi Ox.

Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓 : 𝐷 → ℂ funkcja holomorficzna, 𝑧

0

∈ 𝐷 oraz 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0. Niech

𝛾 b

,

edzie ̷lukiem g̷ladkim o r´

ownaniu 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼 (tzn. funkcja 𝑧(𝑡) jest funkcj

,

a klasy 𝐶

1

)

wychodz

,

acym z punktu 𝑧

0

= 𝑧(𝑡

0

). Wtedy funkcja 𝑓 przekszta̷lca ̷luk 𝛾 na ̷luk Γ = 𝑓 (𝛾)

o r´

ownaniu 𝑤 = 𝑓 (𝑧(𝑡)) = 𝑤(𝑡) wychodz

,

acy z punktu 𝑤

0

= 𝑓 (𝑧

0

). Z to˙zsamo´sci

𝑤(𝑡) − 𝑤(𝑡

0

)

𝑡 − 𝑡

0

=

𝑓 (𝑧(𝑡) − 𝑓 (𝑧(𝑡

0

)

𝑧(𝑡) − 𝑧(𝑡

0

)

𝑧(𝑡) − 𝑧(𝑡

0

)

𝑡 − 𝑡

0

dla 𝑡 → 𝑡

0

otrzymujemy 𝑤

′

(𝑡

0

) = 𝑓

′

(𝑧(𝑧

0

))𝑧

′

(𝑡

0

), wi

,

ec styczna do Γ w punkcie 𝑤

0

tworzy z

osi

,

a rzeczywist

,

a k

,

at

Φ := 𝐴𝑟𝑔𝑤

′

(𝑡

0

) = 𝐴𝑟𝑔 (𝑓

′

(𝑧

0

)𝑧

′

(𝑡

0

)) = 𝐴𝑟𝑔𝑓

′

(𝑧

0

) + 𝜙.

(5.1)

Uwaga 5.1
Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu 𝑧

0

takiego, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0, nachylenie

𝜙 do osi Ox ka˙zdego g̷ladkiego ̷luku 𝛾 wychodz

,

acego z punktu 𝑧

0

wzrasta o k

,

at r´

owny argu-

mentowi pochodnej 𝑓

′

(𝑧

0

).

Gdy 𝑧 → 𝑧

0

, w´

owczas stosunek odleg̷lo´sci ∣𝑤 − 𝑤

0

∣ = ∣𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)∣ do odleg̷lo´sci ∣𝑧 − 𝑧

0

∣

d

,

a˙zy do ∣𝑓

′

(𝑧

0

)∣. Granic

,

e tego stosunku czyli ∣𝑓

′

(𝑧

0

)∣ nazywamy dylatacj

,

a odwzorowania 𝑓 w

punkcie 𝑧

0

.

Uwaga 5.2
Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu 𝑧

0

takiego, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0, ka˙zdy ̷luk

wychodz

,

acy z punktu 𝑧

0

wyd̷lu˙za si

,

e lub wzgl

,

ednie skraca si

,

e w pobli˙zu punktu 𝑧

0

w tym

samym stosunku r´

ownym dylatacji ∣𝑓

′

(𝑧

0

)∣.

33

Uwaga 5.4
Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓 : 𝐷 → ℂ funkcja holomorficzna, 𝑧

0

∈ 𝐷 oraz 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0. Niech

styczne do krzywych g̷ladkich 𝛾

1

, 𝛾

2

wychodz

,

acych z punktu 𝑧

0

maj

,

a k

,

aty nachylenia r´

owne

odpowiednio 𝜙

1

, 𝜙

2

. Definujemy Γ

1

= 𝑓 (𝛾

1

), Γ

2

= 𝑓 (𝛾

2

). Poniewa˙z 𝑓 jest funkcj

,

a holomor-

ficzn

,

a w 𝐷, to Γ

1

i Γ

2

sa krzywymi g̷ladkimi. K

,

at nachylenia stycznej do krzywych Γ

1

, Γ

2

w

𝑤

0

= 𝑓 (𝑧

0

) oznaczmy przez Φ

1

, Φ

2

. Wtedy

Φ

2

− Φ

1

= (𝐴𝑟𝑔𝑓

′

(𝑧

0

) + 𝜙

2

) − (𝐴𝑟𝑔𝑓

′

(𝑧

0

) + 𝜙

1

) = 𝜙

2

− 𝜙

1

.

(5.2)

Definicja 5.4
K

,

atem mi

,

edzy krzywymi g̷ladkimi 𝛾

1

i 𝛾

2

wychodz

,

acymi z punktu 𝑧

0

nazywamy k

,

at skierowany

mi

,

edzy mi

,

edzy stycznymi do krzywych 𝛾

1

i 𝛾

2

w punkcie 𝑧

0

.

Wniosek 5.1
Z Uwagi 5.4 wynika, ˙ze je´sli 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0, to odzworowanie holomorficzne 𝑓 zachowuje k

,

at

mi

,

edzy krzywymi g̷ladkimi w ma̷lym otoczeniu tego punktu tzn. k

,

at skierowany mi

,

edzy

obrazami krzywych jest taki sam jak k

,

at skierowany mi

,

edzy krzywymi.

5.2

Interpretacja geometryczna r´

owna´

n Cauchy’ego-Riemanna

Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) b

,

edzie funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze 𝐷 ⊂ ℂ. Rozpatrzmy

rodziny krzywych 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐

′

, gdzie 𝑐, 𝑐

′

oznaczaj

,

a sta̷le rzeczywiste. We´

zmy

punkt 𝑧

0

w kt´

orym pochodna 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0. Styczne do wykresu tych krzywych opisuj

,

a si

,

e

r´

ownaniami

𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)(𝑥 − 𝑥

0

) + 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)(𝑦 − 𝑦

0

) = 0

𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)(𝑥 − 𝑥

0

) + 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)(𝑦 − 𝑦

0

) = 0. (5.3)

Na mocy r´

owna´

n Cauchy’ego-Riemanna mamy, ˙ze

𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 0.

(5.4)

To oznacza, ˙ze styczne s

,

a prostopad̷le. Aby to zobaczy´

c spr´

obujemy rozwik̷la´

c r´

ownanie

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑐 w otoczeniu (𝑥

0

, 𝑦

0

). Poniewa˙z 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0, to 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) ∕= 0 lub 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) ∕= 0.

Je´sli 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) ∕= 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik̷lanych r´

ownanie 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑐 opisuje

fukcj

,

e uwik̷lan

,

a 𝑦

𝐴

(𝑥) oraz 𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑢

′
𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)𝑦

′

𝐴

(𝑥

0

) = 0. St

,

ad

𝑦

′

𝐴

(𝑥

0

) =

−𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑢

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

.

(5.5)

34

Analogicznie je´sli 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) ∕= 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik̷lanych r´

ownanie 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐

′

opisuje fukcj

,

e uwik̷lan

,

a 𝑦

𝐵

(𝑥) oraz 𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)𝑦

′

𝐵

(𝑥

0

) = 0. St

,

ad

𝑦

′

𝐵

(𝑥

0

) =

−𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

.

(5.6)

Z r´

owna´

n (5.5) i (5.6) wynika, ˙ze

𝑦

′

𝐴

(𝑥

0

)𝑦

′

𝐵

(𝑥

0

) =

( −𝑢

′
𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑢

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) ( −𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

)

= −

(

𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) ( 𝑣

′

𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑣

′

𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

)

= −1.

5.3

Odworowania konforemne

Niech 𝐷 ⊂ ℂ zbi´or otwarty, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷). Funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦)+𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) mo˙zemy potraktowa´

c

jako odzworowanie rzeczywiste

(𝑥, 𝑦) 7→ (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)).

W punkcie 𝑧

0

∈ 𝐷 rozpatrzmy odwzorowanie styczne

[Δ𝑥, Δ𝑦] 7→ [Δ𝑢, Δ𝑣],

gdzie Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥

0

, Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑦

0

, 𝑢 − 𝑢

0

= Δ𝑢 =

∂𝑢
∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑢
∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦, Δ𝑣 = 𝑣 − 𝑣

0

=

∂𝑣
∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑣
∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦. Odwzorowanie styczne do 𝑓 w punkcie 𝑧

0

mo˙zemy te˙z zapisa´

c

w postaci zespolonej

𝑤 − 𝑤

0

=

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

)(𝑧 − 𝑧

0

) +

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

)(¯

𝑧 − ¯

𝑧

0

),

gdzie 𝑤

0

= 𝑓 (𝑧

0

) = 𝑢

0

+ 𝑖𝑣

0

. Jakobian tego przekszta̷lcenia wyra˙za si

,

e wzorem

𝐽 =

∂(𝑢, 𝑣)

∂(𝑥, 𝑦)

=

∂𝑢

∂𝑥

∂𝑣

∂𝑦

−

∂𝑢

∂𝑦

∂𝑣

∂𝑥

=






∂𝑓

∂𝑧






2

−






∂𝑓

∂ ¯

𝑧






2

.

Definicja 5.5
Odwzorowanie holomorficzne 𝑓 nazywamy konforemnym w punkcie 𝑧

0

, je´

sli zachowuje k

,

at

skierowany mi

,

edzy dowolnymi krzywymi wychodz

,

acymi z punktu 𝑧

0

.

Definicja 5.6
Odwzorowanie holomorficzne, kt´

ore jest r´

o˙znowarto´

sciowe i konforemne w ka˙zdym punkcie

obszaru 𝐷 nazywamy konforemnym w 𝐷.

35

Twierdzenie 5.1
Odwzorowanie holomorficzne 𝑓 jest konforemne w punkcie 𝑧

0

wtedy i tylko wtedy,

gdy 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0.

Dow´

od

Implikacja ⇐ zosta̷la ju˙z udowodniona (patrz wniosek 4.1).
⇒. Przypu´s´cmy, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) = 0. Rozpatrzmy dwa wektory Δ𝑧

1

= 𝑧−𝑧

0

= 1 oraz Δ𝑧

2

= 𝑧−𝑧

0

=

𝑖. Wektory te s

,

a prostopad̷le (Δ𝑧

2

= 𝑖Δ𝑧

1

). Odworowanie styczne Δ𝑧 7→ Δ𝑤 w punkcie 𝑧

0

przyjmuje warto´s´

c Δ𝑤

1

=

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

) +

∂𝑓

∂ ¯

𝑧

(𝑧

0

) = 0 je´sli Δ𝑧 = 1 oraz Δ𝑤

2

=

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

)𝑖 +

∂𝑓

∂𝑧

(𝑧

0

)𝑖 = 0.

dla Δ𝑧 = 𝑖. Poniewa˙z wektory Δ𝑧

1

= 1 i Δ𝑧

2

= 𝑖 s

,

a prostopad̷le, a 𝑓 zachowuje k

,

aty w

𝑧 = 𝑧

0

, zatem wektor Δ𝑤

1

= 1 jet prostopad̷ly do wektora Δ𝑤

2

. Tymczasem wektory Δ𝑤

2

i Δ𝑤

1

s

,

a zerowe, zatem nie mo˙zna zdefiniowa´

c k

,

ata mi

,

edzy nimi, co przeczy za̷lo˙zeniu, ˙ze 𝑓

jest konforemne.

Uwaga 5.5
Za̷lo˙zenie, ˙ze 𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0 jest istotne.

Dow´

od

Rozpatrzmy funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) = 𝑧

2

oraz krzyw

,

a 𝛾

1

= {𝑧 : 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 0, 𝑡 ∈ ℝ

+

} ∪ {0} i 𝛾

2

=

{𝑧 = 𝑟𝑒

𝑖

𝜋

4

, 𝑟 ∈ ℝ

+

} ∪ {0}. K

,

at w 𝑧

0

mi

,

edzy 𝛾

1

i 𝛾

2

wynosi

𝜋

4

. Obrazem 𝛾

1

jest 𝛾

1

, za´s

𝑓 (𝛾

2

) = {𝑧 = 𝑟𝑒

2𝑖

𝜋

4

= 𝑟𝑒

𝑖

𝜋

2

, 𝑟 ∈ ℝ

+

}. Zatem k

,

at mi

,

edzy obrazami krzywych 𝛾

1

i 𝛾

2

w

punkcie 𝑤

0

= 𝑓 (𝑧

0

) = 0 wynosi

𝜋

2

, czyli 𝑓 nie zachowuje k

,

at´

ow w 𝑧

0

= 0.

Wniosek 5.2
Je˙zeli funkcja 𝑓 jest r´

o˙znowarto´sciowa i holomorficzna w obszarze 𝐷 oraz dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝐷,

𝑓

′

(𝑧

0

) ∕= 0, to 𝑓 jest konforemne w 𝐷.

Definicja 5.7
Odwzorowanie postaci 𝑓 (𝑧) =

𝑎𝑧+𝑏
𝑐𝑧+𝑑

, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ∕= 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ nazywamy homografi

,

a.

Przyjmujemy, ˙ze 𝑓 (∞) =

𝑎

𝑐

𝑓 (−

𝑑

𝑐

) = ∞. Odzworowanie odwrotne do 𝑓 (𝑧) jest tak˙ze homo-

grafi

,

a tzn.

𝑓

−1

(𝑤) =

𝑑𝑤 − 𝑏

𝑎 − 𝑐𝑤

.

Twierdzenie 5.2 (o konforemno´

sci homografii)

Homografia jest konforemnym przekszta̷lceniem ℂ na ℂ.

Dow´

od

36

̷Latwo sprawdzi´

c, ˙ze homografia jest r´

o˙znowarto´sciowa. Policzymy pochodn

,

a homografii.

𝑓

′

(𝑧) =

𝑎(𝑐𝑧 + 𝑑) − 𝑐(𝑎𝑧 + 𝑏)

(𝑐𝑧 + 𝑑)

2

=

𝑎𝑑 − 𝑐𝑏

(𝑐𝑧 + 𝑑)

2

∕= 0

𝑑𝑙𝑎

𝑧 ∈ ℂ − {−

𝑑

𝑐

}.

Zatem homografia jest konforemnna w ℂ − {−

𝑑

𝑐

}. Zanim sko´

nczymy dow´

od podamy jeszcze

kilka definicji.

Definicja 5.8
K

,

at w punkcie ∞ mi

,

edzy krzywymi 𝛾

1

i 𝛾

2

definiujemy jako k

,

at mi

,

edzy obrazami krzywych Γ

1

i Γ

2

przy przekszta̷lceniu 𝑧 → 𝑍 =

1
𝑧

w punkcie 𝑍 = 0.

Poka˙zemy, ˙ze homografia jest konforemna w 𝑧 = −

𝑑

𝑐

. Wiemy, ˙ze 𝑓 (−

𝑑

𝑐

) = ∞. Niech 𝛾

1

i

𝛾

2

b

,

ed

,

a krzywymi przechodz

,

acymi przez −

𝑑

𝑐

. Wtedy ich obrazy Γ

1

= 𝑓 (𝛾

1

) i Γ

2

= 𝑓 (𝛾

2

)

b

,

ed

,

a krzywymi przechodz

,

acymi przez ∞. K

,

at mi

,

edzy Γ

1

i Γ

2

jest r´

owny k

,

atowi mi

,

edzy

krzywymi Γ

∗
1

, Γ

∗
2

, kt´

ore s

,

a obrazami Γ

1

i Γ

2

przy odwzowowaniu 𝑊 =

1

𝑤

, gdy 𝑊 = 0. Zatem

𝑊 (𝑧) =

1

𝑓 (𝑧)

=

𝑐𝑧+𝑑
𝑎𝑧+𝑏

. St

,

ad

𝑑𝑊

𝑑𝑧

=

𝑐(𝑎𝑧 + 𝑏) − 𝑎(𝑐𝑧 + 𝑑)

(𝑎𝑧 + 𝑏)

2

=

𝑐𝑏 − 𝑎𝑑

(𝑎𝑧 + 𝑏)

2

.

Zatem dla 𝑧 = −

𝑑

𝑐

, 𝑊

′

(−

𝑑

𝑐

) ∕= 0, czyli homografia jest w tym punkcie konforemna.

Pozostaje sprawdzi´

c, ˙ze homografia jest konforemna w ∞. Wtedy rozpatrujemy

𝐻(𝑧) = 𝑓

( 1

𝑧

)

=

𝑎 + 𝑏𝑧

𝑐 + 𝑑𝑧

w punkcie 𝑧 = 0. St

,

ad

𝑑𝐻

𝑑𝑧

=

𝑏(𝑐 + 𝑑𝑧) − 𝑑(𝑎 + 𝑏𝑧)

(𝑐 + 𝑑𝑧)

2

=

𝑐𝑏 − 𝑎𝑑

(𝑐 + 𝑑𝑧)

2

.

Zatem dla 𝐻

′

(0) ∕= 0 o ile 𝑐 ∕= 0. Dla 𝑐 = 0 mamy przekszta̷lcenie liniowe 𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑎 ∕= 0.

W tym przypadku rozpatrujemy 𝐹 (𝑧) =

1

𝑓 (1/𝑧)

. Wtedy

𝑑𝐻

𝑑𝑧

=

𝑎

(𝑎+𝑏𝑧)

2

∕= 0 dla 𝑧 = 0.

Twierdzenie 5.3
Zbi´

or przekszta̷lce´

n homograficznych tworzy grup

,

e nieabelow

,

a z dzia̷laniem sk̷ladania przek-

szta̷lce´

n.

Definicja 5.9
Okr

,

egiem na p̷laszczy´

znie domkni

,

etej ℂ nazywamy okr

,

ag na p̷laszczy´

znie otwartej lub prost

,

a.

37

Twierdzenie 5.4
Homografia przekszta̷lca okr

,

egi na ℂ na okr

,

egi na ℂ.

Dow´

od

Przedstawimy homografi

,

e jako superpozycj

,

e trzech przekszta̷lce´

n.

𝑤 =

𝑎𝑧 + 𝑏

𝑐𝑧 + 𝑑

=

𝑎

𝑐

−

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

𝑐(𝑐𝑧 + 𝑑)

= 𝐴 +

𝐵

𝑧 − 𝐷

= 𝐿

3

∘ 𝐿

2

∘ 𝐿

1

∙ 𝐿

1

: 𝑧 → 𝑧 − 𝐷 - translacja,

∙ 𝐿

2

: 𝑧 →

1
𝑧

- inwersja (szczeg´

olny przypadek homografii),

∙ 𝐿

3

: 𝑧 → 𝐴 + 𝐵𝑧 - z̷lo˙zenie translacji i obrotu (ewentualnie jednok̷ladno´sci gdy 𝐵 ∈ ℝ.)

Translacja 𝐿

1

przekszta̷lca okr

,

egi na okr

,

egi i proste na proste.

Z̷lo˙zenie translacji i obrotu ma te˙z tak

,

a w̷lasno´s´

c.

Zosta̷lo do pokazania, ˙ze inwersja przekszta̷lca okr

,

egi na ℂ na okr

,

egi na ℂ.

Napiszemy og´

olne r´

ownanie okr

,

egu:

𝛾 : 𝛼(𝑥

2

+ 𝑦

2

) + 𝛽

1

𝑥 + 𝛽

2

𝑦 + 𝛿 = 0.

Wstawimy

𝑥 =

𝑧 + ¯

𝑧

2

,

𝑦 =

𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

do r´

ownania okr

,

egu. Wtedy otrzymamy:

𝛾 : 𝛼(𝑧 ¯

𝑧) + 𝜃𝑧 + 𝜃¯

𝑧 + 𝛿 = 0,

gdzie 𝜃 =

1
2

(𝛽

1

− 𝑖𝛽

2

), ¯

𝜃 =

1
2

(𝛽

1

+ 𝑖𝛽

2

). Przekszta̷lceniem odwrotnym do inwersji 𝑤 =

1
𝑧

jest

te˙z inwersj

,

a 𝑧 =

1

𝑤

. W miejsce 𝑧 wstawimy do r´

ownania okr

,

egu 𝑧 =

1

𝑤

. St

,

ad

𝛼

( 1

𝑤

1

¯

𝑤

)

+ 𝜃

1

𝑤

+ 𝜃

1

¯

𝑤

+ 𝛿 = 0.

Mno˙z

,

ac stronami przez 𝑤 ¯

𝑤 dostaniemy

𝛼 + 𝜃 ¯

𝑤 + 𝜃𝑤 + 𝛿𝑤 ¯

𝑤 = 0.

Jest to r´

ownanie okr

,

egu.

Definicja 5.10
Dwa punkty 𝑝 i 𝑞 s

,

a symetryczne wzgl

,

edem okr

,

egu {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑟}, je´sli

1. 𝑝 ∕= 𝑧

0

, 𝑞 ∕= 𝑧

0

, 𝑝, 𝑞 le˙z

,

a na jednej p´

o̷lprostej wychodz

,

acej z 𝑧

0

tj. 𝐴𝑟𝑔(𝑝 − 𝑧

0

) =

𝐴𝑟𝑔(𝑞 − 𝑧

0

),

38

2. ∣𝑝 − 𝑧

0

∣∣𝑞 − 𝑧

0

∣ = 𝑟

2

.

Z tej definicji wynika, ˙ze punktem symetrycznym do 𝑧

0

jest ∞.

Twiedzenie 5.5
Homografia przekszta̷lca punkty symetryczne wzgl

,

edem okr

,

eg´

ow na ℂ na punkty symetryczne

wzgl

,

edem ich obraz´

ow.

Problem 1
Mamy dane przekszta̷lcenie 𝑓 i obszar 𝐷. Znale´

z´

c obraz 𝑓 (𝐷).

Problem 2
Dane s

,

a dwa obszary 𝐷

1

i 𝐷

2

. Znale´

z´

c przkszta̷lcenie konforemne z 𝐷

1

na 𝐷

2

.

Przyk̷lad 5.1
Wyznaczy´

c wszystkie homografie, kt´

ore przekszta̷lcaj

,

a 𝐷 = {𝑧 : Im𝑧 > 0} na kolo 𝐷(0, 1).

Wybierzmy punkt 𝑎 taki, ˙ze Im𝑎 > 0. Punktem symetrycznym do niego wzgl

,

edem brzegu,

czyli osi OX jest punkt ¯

𝑎. Szukana homografia musi przekszta̷lci´

c punkt 𝑎 na punkt nale˙z

,

acy

do 𝐷(0, 1). Mo˙zemy przyj

,

a´

c, ˙ze 𝑓 (𝑎) = 0. Wtedy homografia 𝑓 punkt ¯

𝑎 musi przekszta̷lci´

c na

punkt symetryczny wzgl

,

edem 0 czyli na ∞. Zatem 𝑓 (𝑎) = 0, 𝑓 (¯

𝑎) = ∞. St

,

ad mo˙zemy napisa´

c

𝑓 (𝑧) = 𝑘

𝑧−𝑎
𝑧−¯

𝑎

Poka˙zemy, ˙ze 𝑘 = 𝑒

𝑖𝜙

. Poniewa˙z 𝑓 przekszta̷lca o´s 𝑂𝑋 na okr

,

ag jednostkowy,

to ∣𝑓 (1)∣ = 1. Korzystaj

,

ac z tego dostaniemy 1 = ∣𝑓 (1)∣ = ∣𝑘∣




1−𝑎
1−¯

𝑎




. Nale˙zy zauwa˙zy´

c, ˙ze

𝑧 − 𝑎 = ¯

𝑧 − ¯

𝑎, wi

,

ec 1 − 𝑎 = 1 − ¯

𝑎. St

,

ad




1−𝑎
1−¯

𝑎




= 1 i w konsekwencji ∣𝑘∣ = 1, czyli 𝑘 = 𝑒

𝑖𝜙

.

Szukane homografie maj

,

a nast

,

epuj

,

ac

,

a posta´

c

𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑖𝜙

𝑧 − 𝑎

𝑧 − ¯

𝑎

,

Im𝑎 > 0,

𝜙 ∈ [0, 2𝜋).

Twierdzenie 5.6 (Riemanna dla odwzorowa´

n konforemnych)

Je˙zeli:

1. 𝐷 i 𝐷

′

obszary jednosp´

ojne takie, ˙ze brzeg ka˙zdego z nich zawiera co najmniej 2 punkty,

2. 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑤

0

∈ 𝐷

′

dowolne punkty; 𝜙 ∈ [0, 2𝜋).

W´

owczas istnieje dok̷ladnie jedno przekszta̷lcenie konforemne, kt´

ore odwzorowuje obszar 𝐷 na

𝐷

′

i takie, ˙ze 𝑓 (𝑧

0

) = 𝑤

0

, 𝐴𝑟𝑔𝑓

′

(𝑧

0

) = 𝜙.

39

6

Ca̷lka z funkcji zespolonej

6.1

Ca̷lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej

Definicja 6.1
Niech < 𝛼, 𝛽 > ⊂ ℝ. Dana jest funkcja zespolona ograniczona zmiennej rzeczywistej

< 𝛼, 𝛽 > ∋ 𝑡 → 𝑓 (𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) ∈ ℂ.

We´

zmy podzia̷l normalny odcinka < 𝛼, 𝛽 > tzn. 𝛼 = 𝑡

0

< 𝑡

1

< 𝑡

2

. . . 𝑡

𝑛

= 𝛽, obierzmy w

ka˙zdym przedziale punkt 𝜃

𝑗

∈< 𝑡

𝑗−1

, 𝑡

𝑗

> i utw´

orzmy sum

,

e ca̷lkow

,

a

𝑆

𝑛

=

𝑛

∑

𝑗=1

𝑓 (𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

),

𝑛 = 1, 2, . . .

Je˙zeli dla ka˙zdego normalnego ci

,

agu podzia̷l´

ow przedzia̷lu < 𝛼, 𝛽 > ci

,

ag sum cz

,

e´

sciowych (𝑆

𝑛

)

jest zbie˙zny do tej samej granicy, niezale˙znej od wyboru punkt´

ow 𝜃

𝑘

, to granic

,

e t

,

e nazywamy

ca̷lk

,

a funkcji zespolonej 𝑓 po odcinku < 𝛼, 𝛽 > ⊂ ℝ i oznaczamy

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡.

Sum

,

e ca̷lkow

,

a 𝑆

𝑛

mo˙zna zapisa´

c jako sumy ca̷lkowe cz

,

e´sci rzeczywistej i cz

,

e´sci urojonej

funkcji 𝑓 tzn. jako

𝑆

𝑛

=

𝑛

∑

𝑗=1

𝑢(𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

) + 𝑖

𝑛

∑

𝑗=1

𝑣(𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

),

𝑛 = 1, 2, . . . .

Poniewa˙z lim

𝑛→∞

𝑆

𝑛

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istniej

,

a granice ci

,

agu sum cz

,

e´sciowych

odpowiadaj

,

acych cz

,

e´sci rzeczywistej 𝑢(𝑡) i cz

,

e´sci urojonej 𝑣(𝑡), zatem

Uwaga 6.1
Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) jest ca̷lkowalna na przedziale < 𝛼, 𝛽 > wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcje 𝑢(𝑡) i 𝑣(𝑡) s

,

a ca̷lkowalne na przedziale < 𝛼, 𝛽 > oraz

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 =

∫

𝛽

𝛼

𝑢(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑖

∫

𝛽

𝛼

𝑣(𝑡)𝑑𝑡.

W̷lasno´

sci

1. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ci

,

ag̷la w przedziale domkni

,

etym (lub og´

olniej: ograniczona i

maj

,

aca sko´

nczon

,

a ilo´s´

c punkt´

ow nieci

,

ag̷lo´sci) to jest ca̷lkowalna na przedziale < 𝛼, 𝛽 >,

poniewa˙z wtedy funkcje 𝑢(𝑡) i 𝑣(𝑡) s

,

a ca̷lkowalne na przedziale < 𝛼, 𝛽 >.

40

2. Je˙zeli 𝛾 ∈ (𝛼, 𝛽) to

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 =

∫

𝛾

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 +

∫

𝛽

𝛾

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡.

3. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ca̷lkowalna, to jej modu̷l jest funkcj

,

a ca̷lkowaln

,

a oraz






∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡






≤

∫

𝛽

𝛼

∣𝑓 (𝑡)∣𝑑𝑡.

4. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ci

,

ag̷la w przedziale < 𝛼, 𝛽 >, to funkcja 𝐹 (𝑡) zdefiniowana

wzorem

𝐹 (𝑡) =

∫

𝑡

𝛼

𝑓 (𝑠)𝑑𝑠,

𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 >

jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 (𝑡) tzn. 𝐹 (𝑡) ma pochodn

,

a 𝐹

′

(𝑡) = 𝑓 (𝑡) okre´slon

,

a w

ca̷lym przedziale < 𝛼, 𝛽 > .

5. Je˙zeli funkcja 𝐹 (𝑡) jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 (𝑡) w przedziale < 𝛼, 𝛽 >, to

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝛽) − 𝐹 (𝛼).

Przyk̷lad 6.1
Funkcja 𝑓 (𝑡) = (𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛

ma funkcj

,

e pierwotn

,

a r´

own

,

a

(𝑎+𝑖𝑡)

𝑛

𝑖(𝑛+1)

+ 𝐶, st

,

ad

∫

1

0

(𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛

𝑑𝑡 =

[ (𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛+1

𝑖(𝑛 + 1)

]

1

0

=

(𝑎 + 𝑖)

𝑛+1

𝑖(𝑛 + 1)

−

𝑎

𝑛+1

𝑖(𝑛 + 1)

.

Przyk̷lad 6.2
Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑒

𝑡+𝑖𝑡

ma funkcj

,

e pierwotn

,

a r´

owna

𝑒

𝑡+𝑖𝑡

1+𝑖

+ 𝐶, st

,

ad

∫

1

0

𝑒

𝑡+𝑖𝑡

𝑑𝑡 =

[ 𝑒

𝑡+𝑖𝑡

1 + 𝑖

]

1

0

=

𝑒

1+𝑖

1 + 𝑖

−

1

1 + 𝑖

.

Przyk̷lad 6.3
Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑡 + 𝑏), 𝑎 ∕= 0 ma funkcj

,

e pierwotn

,

a r´

owna −

1
𝑎

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡 + 𝑏) + 𝐶.

41

6.2

Ca̷lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Definicja 6.2
Niech < 𝛼, 𝛽 > ⊂ ℝ. Krzyw

,

a kawa̷lkami g̷ladk

,

a nazywamy obraz funkcji

𝑧 : < 𝛼, 𝛽 >∋ 𝑡 7→ 𝑧(𝑡) ∈ ℂ,

je´

sli 𝑧(𝑡) jest klasy 𝐶

1

poza sko´

nczon

,

a ilo´

sci

,

a punkt´

ow 𝑡

𝑖

∈< 𝛼, 𝛽 >, 𝑡

𝑖

∕= 𝑡

𝑗

,

𝑖, 𝑗 = 1, . . . 𝑛.

Definicja 6.3
Niech dana b

,

edzie krzywa kawa̷lkami g̷ladka 𝐾 = 𝐴𝐵 parametryzowana funkcj

,

a

𝑧 : < 𝛼, 𝛽 >∋ 𝑡 → 𝑧(𝑡) ∈ 𝐾 ⊂ ℂ,

gdzie 𝐴 = 𝑧(𝛼), 𝐵 = 𝑧(𝛽). Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓 : 𝐷 → ℂ funkcja zespolona ograniczona,
𝐾 ⊂ 𝐷. Chcemy zdefiniowa´

c

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧. Okre´slamy kolejno:

- podzia̷l normalny odcinka < 𝛼, 𝛽 > tzn. 𝛼 = 𝑡

0

< 𝑡

1

< 𝑡

2

. . . , 𝑡

𝑛

= 𝛽,

- podzia̷l ̷luku 𝐾 na ̷luki 𝑧

𝑘−1

𝑧

𝑘

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, gdzie 𝑧

𝑘

= 𝑧(𝑡

𝑘

),

- na ka˙zdym ̷luku wybieramy dowolny punkt 𝜁

𝑘

∈ 𝑧

𝑘−1

𝑧

𝑘

, Δ𝑧

𝑘

= 𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

,

- tworzymy sum

,

e ca̷lkow

,

a 𝑆

𝑛

=

∑

𝑛
𝑘=1

𝑓 (𝜁

𝑘

)Δ𝑧

𝑘

.

Je˙zeli dla ka˙zdego normalnego ci

,

agu podzia̷l´

ow przedzia̷lu < 𝛼, 𝛽 > ci

,

ag sum cz

,

e´

sciowych (𝑆

𝑛

)

jest zbie˙zny do tej samej granicy, niezale˙znej od wyboru punkt´

ow 𝜁

𝑘

, to granic

,

e t

,

e nazywamy

ca̷lk

,

a funkcji 𝑓 wzd̷lu˙z ̷luku 𝐾 i oznaczamy

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Twierdzenie 6.1 (o zamianie ca̷lki z funkcji zespolonej na ca̷lk

,

e oznaczon

,

a)

Je˙zeli 𝑓 jest ci

,

ag̷la na krzywej kawa̷lkami g̷ladkiej 𝐴𝐵 parametryzowany funkcj

,

a 𝑧 = 𝑧(𝑡),

𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 >, to

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧(𝑡))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡.

(6.1)

Dow´

od

Niech 𝐾 = 𝐴𝐵. Najpierw zak̷ladamy, ˙ze 𝐴𝐵 b

,

edzie krzyw

,

a g̷ladk

,

a. Wtedy istnieje pochodna

𝑧

′

(𝑡) i jest funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a na odcinku < 𝛼, 𝛽 >. Zatem ca̷lka po prawej stronie (6.1) istnieje.

Jej sumy ca̷lkowe maj

,

a posta´

c

𝜎

𝑛

=

𝑛

∑

𝑘=1

𝑓 (𝑧(𝜃

𝑘

))𝑧

′

(𝜃

𝑘

)(𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

),

𝜃

𝑘

∈ [𝑡

𝑘−1

, 𝑡

𝑘

], 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.

Niech 𝑠

𝑛

oznacza sum

,

e ca̷lkow

,

a ca̷lki

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧,

𝑠

𝑛

=

𝑛

∑

𝑘=1

𝑓 (𝜁

𝑘

)Δ𝑧

𝑘

,

𝑧

𝑘

= 𝑧(𝑡

𝑘

),

𝜁

𝑘

:= 𝑧(𝜃

𝑘

) ∈ 𝑧

𝑘−1

𝑧

𝑘

,

Δ𝑧

𝑘

= 𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

.

42

Rozwa˙zmy r´

o˙znic

,

e 𝑠

𝑛

− 𝜎

𝑛

.

𝑠

𝑛

− 𝜎

𝑛

=

𝑛

∑

𝑘=1

[𝑓 (𝜁

𝑘

)Δ𝑧

𝑘

− 𝑓 (𝑧(𝜃

𝑘

))𝑧

′

(𝜃

𝑘

)(𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

)]

=

𝑛

∑

𝑘=1

[

𝑓 (𝜁

𝑘

)

𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

− 𝑓 (𝜁

𝑘

)𝑧

′

(𝜃

𝑘

)

]

(𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

).

Niech

𝛿

𝑘

:=

𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

− 𝑧

′

(𝜃

𝑘

).

Poniewa˙z 𝑓 jest ci

,

ag̷la na 𝐾 = 𝐴𝐵, to ∃𝑀 = sup

𝐴𝐵

∣𝑓 (𝑧)∣. Zatem

∣𝑠

𝑛

− 𝜎

𝑛

∣ ≤

𝑛

∑

𝑘=1

𝑀 ∣𝑧

′

(𝜃

𝑘

) + 𝛿

𝑘

− 𝑧

′

(𝜃

𝑘

)∣∣𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

∣.

Poniewa˙z funkcja 𝑧

′

(𝑡) jest ci

,

ag̷la na [𝛼, 𝛽], to jest tak˙ze jednostajnie ci

,

ag̷la czyli

∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∀𝑡, 𝑡

′

∣𝑡 − 𝑡

′

∣ < 𝛿

⇒

∣𝑧

′

(𝑡) − 𝑧

′

(𝑡

′

)∣ < 𝜖.

Mo˙zemy, za̷lo˙zy´

c, ˙ze dokonujemy takiego podzia̷lu normalnego aby ∣𝑡

𝑘

− 𝑡

𝑘−1

∣ < 𝛿. Wtedy

∣𝛿

𝑘

∣ < 𝜖. Zatem

∣𝑠

𝑛

− 𝜎

𝑛

∣ < 𝑀 𝜖(𝛽 − 𝛼).

Z dowolno´sci 𝜖 wynika, lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞

𝜎

𝑛

. Zatem istnieje ca̷lka

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 i r´

owna si

,

e

ca̷lce

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧(𝑡))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡. Gdy 𝐴𝐵 jest krzyw

,

a kawa̷lkami g̷ladk

,

a, to ca̷lka

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 jest sum

,

a

sko´

nczonej ilo´sci ca̷lek wd̷lu˙z g̷ladkich krzywych.

Wniosek 6.1

1. Je˙zeli funkcje 𝑓, 𝑔 s

,

a ca̷lkowalne wzd̷lu˙z 𝐾 = 𝐴𝐵, liczby 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ, to kombinacja liniowa

𝑎𝑓 + 𝑏𝑔 jest ca̷lkowalna wzd̷lu˙z 𝐾 oraz

∫

𝐾

[𝑎𝑓 (𝑧) + 𝑏𝑔(𝑧)]𝑑𝑧 = 𝑎

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 + 𝑏

∫

𝐾

𝑔(𝑧)𝑑𝑧

(liniowo´

s´

c)

2.

∫

𝐵𝐴

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = −

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Dow´

od

Je´sli funkcja 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > opisuje parametryzacj

,

e krzywej 𝐴𝐵, to zamiana zmien-

nych 𝑧

1

: 𝑡 7→ 𝑧

1

(𝑡) = 𝑧(𝛼 + 𝛽 − 𝑡) wyznacza orientacj

,

e przeciwn

,

a krzywej K od punktu

B do punktu A. Wtedy

∫

𝐵𝐴

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧

1

(𝑡))𝑧

′

1

(𝑡)𝑑𝑡 = −

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧

1

(𝑡))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡 = −

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

43

3. je´sli 𝐶 ∈ 𝐴𝐵 to

∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐴𝐶

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐶𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

4.




∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧




<

∫

𝐴𝐵

∣𝑓 (𝑧)∣∣𝑑𝑧∣ ≤ 𝑀 𝐿, gdzie 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝

𝐴𝐵

∣𝑓 (𝑧)∣, 𝐿 = ∣𝐴𝐵∣- d̷lugo´s´c ̷luku.

Dow´

od






∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






=






∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧(𝑡))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡






= 𝑒

𝑖Φ

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑧(𝑡)))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡.

dla pewnej liczby Φ ∈ ℝ. Poniewa˙z powy˙zsza ca̷lka jest liczb

,

a rzeczywista nieujemn

,

a,

to






∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






=






∫

𝛽

𝛼

Re

(𝑒

−𝑖Φ

𝑓 (𝑧(𝑡))𝑧

′

(𝑡)

) 𝑑𝑡






.

Poniewa˙z dla funkcji rzeczywistych ∣

∫

𝛽

𝛼

𝑔(𝑡)𝑑𝑡∣ ≤

∫

𝛽

𝛼

∣𝑔(𝑡)∣𝑑𝑡 oraz ∣Re𝑧∣ ≤ ∣𝑧∣, zatem






∫

𝐴𝐵

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤

∫

𝐴𝐵

∣𝑓 (𝑧)∣∣𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡∣ =

∫

𝐴𝐵

∣𝑓 (𝑧)∣∣𝑑𝑧∣.

Przyk̷lad 6.4
Obliczy´

c

∫

𝐴𝐵

¯

𝑧𝑑𝑧, gdzie 𝐴𝐵 = {𝑧(𝑡) = 𝑡 + 𝑖𝑡, 𝑡 ∈< 0, 1 >}. Wtedy 𝑧

′

(𝑡) = 1 + 𝑖. Zatem

∫

𝐴𝐵

¯

𝑧𝑑𝑧 =

∫

1

0

(𝑡 − 𝑖𝑡)(1 + 𝑖)𝑑𝑡 = (1 − 𝑖)(1 + 𝑖)

∫

1

0

𝑡𝑑𝑡 = 1.

Przyk̷lad 6.5
Obliczy´

c

∫

𝐿∪𝐿

1

¯

𝑧𝑑𝑧, gdzie 𝐿 = {𝑧(𝑡) = 𝑡, 𝑡 ∈< 0, 1 >}, 𝐿

1

= {𝑧(𝑡) = 1 + 𝑖𝑡, 𝑡 ∈< 0, 1 >}.

∫

𝐿∪𝐿

1

¯

𝑧𝑑𝑧 =

∫

𝐿

¯

𝑧𝑑𝑧 +

∫

𝐿

1

¯

𝑧𝑑𝑧 =

∫

1

0

𝑡𝑑𝑡 +

∫

1

0

(1 − 𝑖𝑡)𝑖𝑑𝑡 =

1

2

+

[𝑖(𝑡 − 𝑖𝑡

2

/2)

]

1

0

= 1 + 𝑖.

Przyk̷lad 6.6 (podstawowy)
Obliczy´

c

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧,

gdzie 𝑛 ∈ ℤ, 𝐾 = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑟} (inny zapis okr

,

egu 𝐾 = {𝑧 : 𝑧 = 𝑧

0

+ 𝑟𝑒

𝑖𝑡

, 𝑡 ∈< 0, 2𝜋)}).

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧 =

∫

2𝜋

0

𝑟

𝑛

𝑒

𝑖𝑛𝑡

𝑟𝑒

𝑖𝑡

𝑖𝑑𝑡 = 𝑟

𝑛+1

𝑖

∫

2𝜋

0

𝑒

𝑖(𝑛+1)𝑡

𝑑𝑡.

Dla 𝑛 = −1

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧 = 𝑖

∫

2𝜋

0

𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖.

44

Dla 𝑛 ∕= −1

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧 = 𝑟

𝑛+1

𝑖

[ 𝑒

𝑖(𝑛+1)𝑡

𝑖(𝑛 + 1)

]

2𝜋

0

=

𝑟

𝑛+1

𝑛 + 1

(𝑒

𝑖(𝑛+1)2𝜋

− 𝑒

0

) = 0.

Definicja 6.4
Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓 : 𝐷 → ℂ funkcja zespolona. Funkcj

,

e holomorficzn

,

a 𝐹 : 𝐷 → ℂ

nazywamy funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 w obszarze 𝐷 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ∀𝑧 ∈ 𝐷,

𝐹

′

(𝑧) = 𝑓 (𝑧).

Uwaga 6.2
Je´sli 𝐹

1

i 𝐹

2

s

,

a funkcjami pierwotnymi funkcji 𝑓 , to 𝐹

1

− 𝐹

2

=const.

Twierdzenie 6.2 (o istnieniu funkcji pierwotnej)
Je˙zeli 𝑓 jest ci

,

ag̷la w kole 𝐷 = 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) i dla ka˙zdego tr´

ojk

,

ata Δ ⊂ 𝐷

∫

∂Δ

+

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0,

to funkcja 𝐹 (𝑧) =

∫

𝑧

𝑧

0

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 w D.

Wa˙zne: w powy˙zszym twierdzeniu ca̷lkujemy po podcinku ̷l

,

acz

,

acym punkty 𝑧

0

i 𝑧. W dal-

szych wyk̷ladach symbol 𝐹 (𝑧) =

∫

𝑧

𝑧

0

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 b

,

edzie oznacza´

c, ˙ze ca̷lkujmy po dowolnej krzywej

̷l

,

acz

,

acej oba punkty.

Dow´

od

Niech 𝑧 b

,

edzie dowolnym punktem z obszaru 𝐷 = 𝐷(𝑧

0

, 𝑟). Definiujemy funkcj

,

e

𝐹 (𝑧) :=

∫

𝑧

𝑧

𝑜

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁,

ca̷lkujemy wzd̷lu˙z odcinka ̷l

,

acz

,

acego 𝑧

0

i 𝑧 zawartego w 𝐷. Niech ℎ b

,

edzie tak ma̷le aby

odcinek ̷l

,

acz

,

acy 𝑧 i 𝑧 + ℎ by̷l zawarty ca̷lkowicie w 𝐷. Suma odcink´

ow ̷lacz

,

acych 𝑧

0

i 𝑧 + ℎ,

𝑧 + ℎ i 𝑧 oraz 𝑧 i 𝑧

0

tworzy krzyw

,

a g̷ladk

,

a poza sko´

nczon

,

a ilo´sci

,

a punkt´

ow. Z za̷lo˙zenia

wynika, ˙ze

∫

𝑧+ℎ

𝑧

0

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 +

∫

𝑧

𝑧+ℎ

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 +

∫

𝑧

0

𝑧

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 = 0.

45

St

,

ad

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧) = −

∫

𝑧

𝑧+ℎ

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 =

∫

𝑧+ℎ

𝑧

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ

=

1

ℎ

∫

𝑧+ℎ

𝑧

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ

− 𝑓 (𝑧) =

1

ℎ

∫

𝑧+ℎ

𝑧

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁 − ℎ𝑓 (𝑧) =

∫

𝑧+ℎ

𝑧

[𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)]𝑑𝜁

ℎ

(∗)

Zatem






∫

𝑧+ℎ

𝑧

[𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)]𝑑𝜁






≤

∫

𝑧+ℎ

𝑧

∣𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)∣ ∣𝑑𝜁∣.

Poniewa˙z 𝑓 jest ci

,

ag̷la, to

∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∣𝜁 − 𝑧∣ < 𝛿 ⇒ ∣𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)∣ < 𝜖.

Wstawiaj

,

ac to oszacowanie do poprzedniej nier´

owno´sci otrzymamy, ˙ze






∫

𝑧+ℎ

𝑧

[𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)]𝑑𝜁






≤ 𝜖∣ℎ∣.

Tutaj i w (*) korzystamy z za̷lo˙zenia, ˙ze punkty 𝑧 i 𝑧 + ℎ ̷l

,

aczy̷l odcinek (st

,

ad jego d̷lugo´s´

c

jest r´

owna ℎ). Zatem






𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ

− 𝑓 (𝑧)






≤

𝜖∣ℎ∣

∣ℎ∣

= 𝜖.

Przechodz

,

ac do granicy otrzymamy, ˙ze

𝐹

′

(𝑧) = lim

ℎ→0

𝐹 (𝑧 + ℎ) − 𝐹 (𝑧)

ℎ

= 𝑓 (𝑧).

St

,

ad 𝐹

′

(𝑧) = 𝑓 (𝑧).

Twierdzenie 6.3 (lemat podstawowy rachunku ca̷lkowego)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar, 𝐾 = ∂𝐷 jest sum

,

a sko´

nczonej ilo´

sci odcink´

ow i ̷luk´

ow okr

,

eg´

ow, 𝑓 ∈ 𝐻( ¯

𝐷).

Wtedy

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0.

Dow´

od

a) Za̷lo ˙zmy, ˙ze Δ ⊂ 𝐷 jest tr´

ojk

,

atem, 𝐾 = ∂Δ jest zorientowany dodatnio. Podzielimy

tr´

ojk

,

at Δ na 4 przystaj

,

ace tr´

ojk

,

aty Δ

(1)
1

, Δ

(2)
1

, Δ

(3)
1

, Δ

(4)
1

o brzegach zorientowanych dodatnio,

kt´

ore oznaczymy przez 𝐾

(1)

1

, 𝐾

(2)

1

, 𝐾

(3)

1

, 𝐾

(4)

1

.

46

Wtedy

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

(1)

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

(2)

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

(3)

1

(𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

(4)

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧,

bo ca̷lki wzd̷lu˙z wsp´

olnych brzeg´

ow znosz

,

a si

,

e. Wsr´

od tr´

ojk

,

at´

ow Δ

(𝑖)
1

, 𝑖 = 1, 2, 3, 4 istnieje

Δ

(𝑖

1

)

1

, 𝑖

1

∈ {1, 2, 3, 4} taki, ˙ze






∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤ 4







∫

𝐾

(𝑖1)

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧







.

Dziel

,

ac Δ

(𝑖

1

)

1

znowu na 4 przystaj

,

ace tr´

ojk

,

aty Δ

(𝑖)
2

, 𝑖 ∈ {1, 2, 3, 4} znajdziemy wsr´

od nich Δ

(𝑖

2

)

2

taki, ˙ze







∫

𝐾

(𝑖1)

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧







≤ 4







∫

𝐾

(𝑖2)

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧







.

Post

,

epuj

,

ac tak dalej dostaniemy ci

,

ag tr´

ojk

,

at´

ow Δ

(1)
𝑛

, Δ

(2)
𝑛

, Δ

(3)
𝑛

, Δ

(4)
𝑛

, 𝑛 ∈ ℕ, z kt´orych ka˙zdy

jest 1/4 poprzedniego. Niech 𝑑

𝑛

oznacza d̷lugo´sc 𝐾

(𝑖

𝑛

)

𝑛

. Wtedy 𝑑

𝑛

=

1
2

𝑑

𝑛−1

. St

,

ad 𝑑

𝑛

=

𝑑

2

𝑛

.

Niech 𝑧

0

∈

∩

∞
𝑛=1

Δ

(𝑖

𝑛

)

𝑛

. Poniewa˙z 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), to

∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝛿

⇒






𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

− 𝑓

′

(𝑧

0

)






< 𝜖,

czyli 𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧

0

)+𝑓

′

(𝑧

0

)+𝜂(𝑧)(𝑧 −𝑧

0

), gdzie 𝜂(𝑧) w kole {𝑧 : ∣𝑧 −𝑧

0

∣ < 𝛿} spe̷lnia nier´

owno´s´

c

∣𝜂(𝑧)∣ < 𝜖. W tym kole le˙z

,

a wszystkie tr´

ojk

,

aty pocz

,

awszy od pewnego 𝑛 = 𝑁 . Zatem dla

𝑛 ≥ 𝑁

∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝑓 (𝑧

0

)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝑓

′

(𝑧

0

)(𝑧 − 𝑧

0

)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝜂(𝑧 − 𝑧

0

)𝑑𝑧.

Dwie pierwsze ca̷lki po prawej stronie r´

owne s

,

a zeru (korzystamy z przyk̷ladu 6.6 (podsta-

wowy) dobieraj

,

ac odpowiednio n=0 i n=1), za´s






∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝜂(𝑧 − 𝑧

0

)𝑑𝑧






≤

∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

∣𝜂∣∣𝑧 − 𝑧

0

∣∣𝑑𝑧∣ ≤ 𝜖𝑑

2
𝑛

,

bo ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑑

𝑛

, a droga ca̷lkowania ma d̷lugo´s´

c 𝑑

𝑛

. Zatem






∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤ 4

𝑛






∫

𝐾

(𝑖𝑛)

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤ 4

𝑛

𝜖

𝑑

2

2

2𝑛

= 𝜖𝑑

2

.

Z dowolno´sci 𝜖 → 0 wynika, ˙ze

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0.

47

Za̷lo ˙zmy, ˙ze 𝐾 jest sum

,

a bok´

ow wielok

,

ata zorientowanego dodatnio. Dzielimy wielok

,

at

na tr´

ojk

,

aty przek

,

atnymi. Wtedy ca̷lka po brzegu wielok

,

ata jest sum

,

a ca̷lek wzd̷lu˙z brzeg´

ow

tr´

ojk

,

at´

ow. Zatem z poprzedniego kroku ca̷lka b

,

edzie r´

owna zeru.

Og´

olny przypadek. Sprowadzimy go do przypadku poprzedniego. W 𝑛-tym kroku wybierzmy

na konturze 𝐾 punkty 𝑧

𝑘

oraz dyski 𝐷

𝑘

= {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

𝑘

∣ < 𝑟}, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 dla pewnego 𝑟 tak

aby funkcja 𝑓 by̷la holomorficzna na 𝐷

𝑟

:= 𝐷

0

∪

∪

𝑛
𝑘=1

𝐷

𝑘

, gdzie 𝐷

0

to obszar t.˙ze ∂𝐷

0

= 𝐾.

Tworzymy ci

,

ag sum ca̷lkowych 𝐼

𝑛

=

∑

𝑛
𝑘=1

𝑓 (𝜁

𝑘

)(𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

), gdzie 𝜁

𝑘

∈ 𝑧

𝑘−1

𝑧

𝑘

, 𝑛 ∈ ℕ. Wtedy

𝐼

𝑛

→

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧. Wybierzmy 𝑛 takie, ˙ze






∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝐼

𝑛






<

1

2

𝜖.

(6.2)

Gdy 𝑛 jest dostatecznie du˙ze, to d̷lugo´sci odcink´

ow 𝑧

𝑘

𝑧

𝑘+1

s

,

a dowolnie ma̷le i ̷lamana Γ

𝑛

o

wierzcho̷lkach w punktach 𝑧

1

, . . . , 𝑧

𝑛

le˙zy ca̷lkowiecie w obszarze 𝐷

𝑟

.

Mo˙zemy przy tym za̷lo˙zy´

c, ˙ze zachodzi nier´

owno´s´

c ∣𝑓 (𝑧)−𝑓 (𝜁

𝑘

)∣ <

𝜖

2𝑑

, gdzie 𝑑 oznacza d̷lugo´s´

c

konturu 𝐾 tzn. 𝑑 = ∣𝐾∣. Policzymy ca̷lk

,

e z 𝑓 wzd̷lu˙z ̷lamanej Γ

𝑛

.

∫

Γ

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛

∑

𝑘=1

∫

𝑧

𝑘

𝑧

𝑘−1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧

Niech 𝜂

𝑘

(𝑧) := 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝜁

𝑘

). Wtedy z jednostajnej ci

,

ag̷lo´sci 𝑓 wynika, ˙ze dla du˙zych 𝑛,

∣𝜂

𝑘

(𝑧)∣ <

𝜖

2𝑑

.

Wtedy

∫

Γ

𝑛

𝑓 𝑑𝑧 =

𝑛

∑

𝑘=1

∫

𝑧

𝑘

𝑧

𝑘−1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛

∑

𝑘=1

∫

𝑧

𝑘

𝑧

𝑘−1

[𝑓 (𝜁

𝑘

) + 𝜂

𝑘

]𝑑𝑧 = 𝐼

𝑛

+

𝑛

∑

𝑘=1

∫

𝑧

𝑘

𝑧

𝑘−1

𝜂

𝑘

.

48

Zatem






∫

Γ

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝐼

𝑛






≤

𝑛

∑

𝑘=1







∫

𝑧

𝑘

𝑧

𝑘−1

𝜂

𝑘

(𝑧)𝑑𝑧







≤

𝜖

2𝑑

𝑛

∑

𝑘=1

∣𝑧

𝑘

− 𝑧

𝑘−1

∣ ≤

𝜖

2

,

bo dlugo´s´

c ∣Γ

𝑛

∣ ≤ 𝑑. St

,

ad i z (6.2) otrzymamy, ˙ze






∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 −

∫

Γ

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤






∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝐼

𝑛






+






∫

Γ

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 − 𝐼

𝑛






≤ 𝜖.

Poniewa˙z

∫

Γ

𝑛

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0 z poprzedniego kroku, to modu̷l z ca̷lki




∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧




jest dowolnie

ma̷ly. Zatem ca̷lka

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧=0.

Z Twierdzenia 6.2 i Twierdzenia 6.3 wynika nast

,

epuj

,

acy wniosek.

Twierdzenie 6.4
Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), to w ka˙zdej kuli 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷 funkcja 𝑓 ma funkcj

,

e pierwotn

,

a 𝐹 (𝑧) =

∫

𝑧

𝑧

0

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁, gdzie 𝑧 ∈ 𝐷(𝑧

0

, 𝑟), ca̷lkujemy po odcinku ̷l

,

acz

,

acym 𝑧

0

i 𝑧.

Twierdzenie 6.5
Je˙zeli 𝐹 ∈ 𝐻(𝐷) i jej pochodna 𝑓 ∈ 𝐶(𝐷), wtedy dla ka˙zdego kawa̷lkami g̷ladkiego ̷luku 𝐾 ⊂ 𝐷
o ko´

ncach 𝑧

1

, 𝑧

2

zachodzi

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝐹 (𝑧

2

) − 𝐹 (𝑧

1

).

Dow´

od

Poniewa˙z zak̷ladamy, ˙ze pochodna funkcji 𝐹

′

jest funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a, to mo˙zemy skorzysta´

c z

twierdzenia o zamianie ca̷lki z funkcji zespolonej na ca̷lk

,

e oznaczon

,

a. Zatem

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

𝐹

′

(𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝛽

𝛼

𝐹

′

(𝑧(𝑡))𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡 =

∫

𝛽

𝛼

𝑑𝐹 (𝑧(𝑡))

𝑑𝑡

𝑑𝑡 = [𝐹 (𝑧(𝑡))]

𝛽
𝛼

= 𝐹 (𝑧(𝛽)) − 𝐹 (𝑧(𝛼)) = 𝐹 (𝑧

2

) − 𝐹 (𝑧

1

).

Wniosk 6.2

1. Przy za̷lo˙zeniach powy˙zszego twierdzenia

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0, gdzie 𝐾 krzywa zamkni

,

eta.

2. Przy za̷lo˙zeniach powy˙zszego twierdzenia ca̷lka

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 nie zale˙zy od drogi ca̷lkowania

w obszarze 𝐷.

Dow´

od pierwszego wniosku jest oczywisty.

Aby dowie´sc drugi po̷l

,

aczmy punkty 𝑧

1

, 𝑧

2

krzywymi 𝐾

1

, 𝐾

2

i obierzmy na nich zwrot od 𝑧

1

do 𝑧

2

. Wtedy

0 =

∫

𝐾

1

∪−𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

−𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 −

∫

𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

49

St

,

ad

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Uwaga 6.3
Za̷lo˙zenie holomorficzno´sci funkcji 𝐹 w obszarze 𝐷 jest istotne.

Przyk̷lad 6.7
Niech 𝑓 (𝑧) =

1
𝑧

. Jej funkcj

,

a pierwotn

,

a jest funkcja 𝐹 (𝑧) = 𝐿𝑛𝑧.

Niech 𝐷

1

b

,

edzie ograniczonym obszarem takim, ˙ze 0 /

∈ 𝐷

1

, 𝐾

1

= ∂𝐷

1

.

Wtedy 𝑓 ∈

𝐻(𝐷) za´s 𝑓 (𝑧) = 𝐹

′

(𝑧) jest funkcj

,

a ci

,

ag̷la w 𝐷. Zatem

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0. Je´sli natomiast

𝐷

2

= {𝑧 : ∣𝑧∣ < 1}, to 𝐹 (𝑧) nie jest zdefinowana w zerze czyli 𝐹 /

∈ 𝐻(𝐷

2

), za´s ca̷lka

∫

∣𝑧∣=1

1
𝑧

𝑑𝑧 =

∫

2𝜋

0

𝑒

−𝑖𝑡

𝑒

𝑖𝑡

𝑖𝑑𝑡 = 𝑖

∫

2𝜋

0

𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖.

7

Twierdzenia i wzory ca̷lkowe Cauchy’ego

Definicja 7.1
Dwie krzywe 𝐾

1

, 𝐾

2

parametryzowane odpowiednio funkcjami

𝑧

1

: < 0, 1 > ∋ 𝑡 7→ 𝑧(𝑡) ∈ 𝐾

1

𝑧

2

: < 0, 1 > ∋ 𝑡 7→ 𝑧(𝑡) ∈ 𝐾

2

o wsp´

olnych pocz

,

atkach i ko´

ncach 𝑧

1

(0) = 𝑧

2

(0) = 𝐴, 𝑧

2

(1) = 𝑧

2

(1) = 𝐵 nazywamy homo-

topijnie r´

ownowa˙znymi (homotopijnymi) w obszarze 𝐷, je´

sli istnieje ci

,

ag̷le przekszta̷lcenie

𝐻(𝑠, 𝑡) :< 0, 1 > × < 0, 1 > ∋ (𝑠, 𝑡) 7→ 𝐻(𝑠, 𝑡) ∈ 𝐷

(1)

𝐻(0, 𝑡) = 𝑧

1

(𝑡)

𝐻(1, 𝑡) = 𝑧

2

(𝑡),

𝑡 ∈ 𝐼,

(2)

𝐻(𝑠, 0) = 𝐴

𝐻(𝑠, 1) = 𝐵,

𝑠 ∈ 𝐼.

Je˙zeli krzywe 𝐾

1

i 𝐾

2

s

,

a zamkni

,

ete, to warunek (2) w definicji homotopi zast

,

epuj

,

emy warunk-

iem

(2

′

)

𝐻(𝑠, 0) = 𝐴

𝐻(𝑠, 1) = 𝐵,

𝑠 ∈ 𝐼.

Relacja homotopijnej r´

ownowa˙zno´sci krzywych jest relacj

,

a r´

ownowa˙zno´sci. Dzieki temu

wszystkie krzywe w obszarze 𝐷 maj

,

ace ten sam pocz

,

atek i koniec lub wszystkie krzywe

zamkni

,

ete mo˙zna podzieli´

c na klasy krzywych homotopijnych. W´sr´

od nich wa˙zn

,

a rol

,

e odgrywa

klasa dr´

og homotopijnych z punktem.

Definicja 7.2
Obszar 𝐷 ⊂ ℂ nazywamy jednosp´ojnym, je´sli ka˙zda krzywa zamkni

,

eta 𝐾 ⊂ 𝐷 jest homotopi-

jna z punktem. W przeciwnym przypadku m´

owimy, ˙ze obszar jest wielosp´

ojny.

50

Definicja 7.3
Krzyw

,

a kawa̷lkami g̷ladk

,

a, zamkni

,

et

,

a i bez samoprzeci

,

e´

c oraz zorientowan

,

a dodatnio wzgl

,

edem

obszaru, kt´

orego jest brzegiem nazywamy konturem.

Twierdzenie 7.1
Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) a krzywe kawa̷lkami g̷ladkie 𝐾

1

, 𝐾

2

⊂ 𝐷 o wsp´

olnych ko´

ncach s

,

a

homotopijnie r´

ownowa˙zne w 𝐷, to

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Bez dowodu. Wynika st

,

ad, ˙ze warto´

s´

c ca̷lki zale ˙zy nie od krzywej ale od klasy

homotopii krzywej.

Wniosek 7.1
Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) a kontury 𝐾

1

, 𝐾

2

⊂ 𝐷 s

,

a homotopijnie r´

ownowa˙zne w 𝐷, to

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Twierdzenie 7.2 (podstawowe twierdzenie Cauchy’ego)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar jednosp´ojny, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷). Wtedy dla ka˙zdego konturu 𝐾 ⊂ 𝐷

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0.

Twierdzenie to w wynika z za̷lo˙zenia, ˙ze obszar jest jednosp´

ojny oraz z twierdzenia 7.1.

Twiedzenie 7.3
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷). Wtedy dla ka˙zdego konturu 𝐾 ⊂ 𝐷 homotopijnego w tym
obszarze z punktem

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0.

Dow´

od

Poniewa˙z kontur 𝐾 jest homotopijnie r´

ownowa˙zny punktowi nale˙z

,

acemu do 𝐷 (oznaczmy ten

punkt przez 𝑧

0

), to mo˙zna zdeformowac homotopijnie 𝐾 do konturu 𝐾

1

le˙z

,

acego w dysku

𝐷(𝑧

0

, 𝑟) zawartym w D. Poniewa˙z dysk jest obszarem jednosp´

ojnym, zatem z twierdzenia 7.2

wynika, ˙ze ca̷lka po konturze 𝐾

1

zeruje si

,

e. Z wniosku 7.1 wynika teza.

51

Uwaga 7.1
Twierdzenie 7.3 daje si

,

e uog´

olni´

c na przypadek gdy 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) i f ci

,

ag̷la na ¯

𝐷. Reszta za̷lo˙ze´

n

i teza pozostaj

,

a bez zmian.

Twierdzenie 7.4
Ka˙zda funkcja 𝑓 holomorficzna w obszarze jednosp´

ojnym 𝐷 ma funkcj

,

e pierwotn

,

a w tym ob-

szarze.

Dow´

od

Wyka˙zemy, ˙ze w 𝐷 ca̷lka funkcji 𝑓 wzd̷lu˙z krzywej niezamnkni

,

etej nie zale˙zy od wyboru tej

krzywej i jest ca̷lkowicie okre´slona przez jej pocz

,

atek i koniec. Istotnie niech 𝐾

1

i 𝐾

2

b

,

ed

,

a

dwiema krzywymi le˙z

,

acymi w 𝐷 o pocz

,

atku w 𝐴 i ko´

ncu 𝐵. Niech 𝐾

−

2

oznacza krzyw

,

a

zorientowan

,

a przeciwnie do 𝐾

2

. Wtedy 𝐾

1

∪ 𝐾

−

2

jest krzyw

,

a zamkni

,

et

,

a. Z w̷lasno´sci ca̷lki

wynika, ˙ze

∫

𝐾

1

∪𝐾

−

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 −

∫

𝐾

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧,

a na mocy twierdzenia 7.3 ca̷lka wzd̷lu˙z krzywej zamkni

,

etej jest r´

owna zero. Ustalmy teraz

punkt 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑧 jest dowolnym punktem z obszaru 𝐷. Niech

𝐹 (𝑧) :=

∫

𝑧

𝑧

0

𝑓 (𝜁)𝑑𝜁,

ca̷lkujemy po dowolnej krzywej kawa̷lkami g̷ladkiej zawartej w 𝐷, ̷l

,

acz

,

acej punkty 𝑧

0

i 𝑧. Dalej

post

,

epujemy tak jak w dowodzie twierdzenia 6.2.

Twierdzenie 7.5 (uog´

olnienie tw. Cauchy’ego dla obszar´

ow wielosp´

ojnych)

Domkni

,

ety obszar 𝑛-sp´

ojny mo˙zna przedstawi´

c jako

𝐷 = (𝐷

0

∪ 𝐾

0

) ∖

𝑛−1

∪

𝑖=1

𝐷

𝑖

gdzie ∀𝑖 ∕= 𝑗, 𝐷

𝑖

∩ 𝐷

𝑗

= ∅, ∀𝑖 𝐷

𝑖

⊂ 𝐷

0

, ∂𝐷

𝑖

= 𝐾

𝑖

, 𝑖 = 0, . . . , 𝑛 − 1, 𝐾

𝑖

-kontury dodatnio

zorientowane wzgledem 𝐷

𝑖

. Je˙zeli 𝑓 jest holomorficzna w 𝐷 i na jego brzegu, to

∫

𝐾

0

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛−1

∑

𝑖=1

∫

𝐾

𝑖

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

52

Dow´

od

Dow´

od podamy dla obszaru 2-sp´

ojnego. Podzielimy obszar 𝐷 na dwa obszary jednosp´

ojne

Δ

1

, Δ

2

krzywymi 𝐿

1

, 𝐿

2

̷l

,

acz

,

acymi kontury 𝐾

0

i 𝐾

1

. Niech Γ

𝑖

, oznacza brzeg obszaru Δ

𝑖

, 𝑖 =

1, 2. Jest to krzywa g̷ladka poza sko´

nczon

,

a liczb

,

a punkt´

ow. Dla takich krzywych przenosz

,

a

si

,

e wszystkie poznane dotychczas twiedzenia o ca̷lkowaniu. Wybieramy na Γ

𝑖

, orientacj

,

e

dodatni

,

a wzgl

,

edem obszaru Δ

𝑖

, 𝑖 = 1, 2. Zatem

Γ

+
1

= ∂Δ

1

:= 𝐾

+

01

∪ 𝐿

−
1

∪ 𝐾

−

11

∪ 𝐿

−
2

,

Γ

+
2

= ∂Δ

2

:= 𝐾

+

02

∪ 𝐿

+
2

∪ 𝐾

−

12

∪ 𝐿

+
1

.

Na mocy twierdzenia podstawowego Cauchy’ego

∫

Γ

𝑖

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0, 𝑖 = 1, 2. St

,

ad

0 =

∫

Γ

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

Γ

2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

+

01

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐿

−
1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

−

11

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐿

−
2

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧+

∫

𝐾

+

02

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐿

+
1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝐾

−

12

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 +

∫

𝑓

𝐿

+
2

(𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

+

0

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 −

∫

𝐾

+

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧

i w konsekwencji

∫

𝐾

+

0

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

𝐾

+

1

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Twierdzenie 7.6 (o wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego)
Je˙zeli funkcja 𝑓 jest holomorficzna wewn

,

atrz obszaru jednosp´

ojnego 𝐷 i na jego brzegu ∂𝐷,

kt´

ory jest konturem, to ∀𝑧 ∈ 𝐷

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁.

Dow´

od

Niech 𝑧 ∈ 𝐷, 𝐾(𝑧, 𝑟) = {𝑤 : ∣𝑤 − 𝑧∣ < 𝑟} ⊂ 𝐷.

53

Poniewa˙z funkcja

𝑓 (𝜁)

𝜁−𝑧

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze 𝐷

1

: ¯

𝐷 ∖ 𝐾(𝑧, 𝑟), to z uog´

olnienia

twierdzenia Cauchy’ego dla obszar´

ow wielosp´

ojnych otrzymamy, ˙ze

∫

∂𝐷

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 =

∫

∂𝐾

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁,

gdzie ∂𝐾 jest zorientowany dodatnio. Ca̷lk

,

e po prawej stronie mo˙zna zapisa´

c jako sum

,

e ca̷lek

∫

∂𝐾

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 = 𝑓 (𝑧)

∫

∂𝐾

𝑑𝜁

𝜁 − 𝑧

+

∫

∂𝐾

𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁.

(7.1)

Z przyk̷ladu podstawowego 6.6 wynika, ˙ze pierwsza z ca̷lek po prawej stronie (7.1) r´

owna si

,

e

𝑓 (𝑧)

∫

∂𝐾

1

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 = 𝑓 (𝑧)2𝜋𝑖.

Nale˙zy pokaza´

c, ˙ze druga z ca̷lek po prawej stronie (7.1) zeruje si

,

e. Wybierzmy 𝑟 tak ma̷le

aby dla ∣𝜁 − 𝑧∣ = 𝑟 zachodzilo, ˙ze ∣𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)∣ <

𝜖

2𝜋

. Wynika to z faktu, ˙ze 𝑓 ∈ 𝐶(𝐷). Zatem






∫

∂𝐾

𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁






≤

∫

∂𝐾

∣𝑓 (𝜁) − 𝑓 (𝑧)∣

∣𝜁 − 𝑧∣

∣𝑑𝜁∣ ≤

2𝜋𝑟

𝑟

𝜖

2𝜋

= 𝜖,

gdzie

∫

∂𝐾

∣𝑑𝜁∣ = 2𝜋𝑟. Z dowolno´sci 𝜖 mamy, ˙ze

∫

∂𝐾

𝑓 (𝜁)−𝑓 (𝑧)

𝜁−𝑧

𝑑𝜁 = 0.

Wniosek 7.2

∫

∂𝐷

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 = 2𝜋𝑖𝑓 (𝑧).

Wniosek 7.3
Twierdzenie 10.5 m´

owi, ˙ze warto´sci funkcji holomorficznej w dowolnym punkcie z nale˙z

,

acym

do obszaru 𝐷 s

,

a wyznaczone przez jej warto´sci na brzegu obszaru.

Przyk̷lad 7.1
Obliczy´

c

∫

∣𝑧∣=2

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

.

Obszar 𝐷 ograniczony okr

,

egiem {𝑧 : ∣𝑧∣ = 2} zawiera dwa punkty 𝑧

1

= 𝑖, 𝑧

2

= −𝑖 w

kt´

orych funkcja podca̷lkowa jest nieholomorficzna. Zdefiniujmy ma̷le dyski

𝐷

1

= {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑖∣ <

1

2

}, 𝐷

2

= {𝑧 : ∣𝑧 + 𝑖∣ <

1

2

}.

54

Niech 𝐾

𝑖

= ∂𝐷

𝑖

, 𝑖 = 1, 2, bed

,

a dodatnio zorientowanymi konturami. Korzystaj

,

ac z uog´

olnienia

twierdzenia Cauchy’ego dla obszar´

ow wielosp´

ojnych otrzymamy, ˙ze

∫

∣𝑧∣=2

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

=

∫

𝐾

1

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

+

∫

𝐾

2

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

.

Korzystaj

,

ac ze wzoru ca̷lkowego Cauchy’ego otrzymamy

∫

𝐾

1

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

=

∫

𝐾

1

1

𝑧+𝑖

𝑑𝑧

𝑧 − 𝑖

𝑜𝑟𝑎𝑧

∫

𝐾

2

𝑑𝑧

𝑧

2

+ 1

=

∫

𝐾

2

1

𝑧−𝑖

𝑑𝑧

𝑧 + 𝑖

.

Nale˙zy zauwa˙zy´

c, ˙ze funkcja 𝑓

1

(𝑧) =

1

𝑧+𝑖

∈ 𝐻(𝐷

1

), 𝑓

2

(𝑧) =

1

𝑧−𝑖

∈ 𝐻(𝐷

2

), zatem

∫

𝐾

1

1

𝑧+𝑖

𝑑𝑧

𝑧 − 𝑖

+

∫

𝐾

2

1

𝑧−𝑖

𝑑𝑧

𝑧 + 𝑖

= 2𝜋𝑖(𝑓

1

(𝑖) + 𝑓

2

(−𝑖)) = 2𝜋𝑖

( 1

2𝑖

+

1

−2𝑖

)

= 0.

Twierdzenie 7.7 (o warto´

sci ´

sredniej funkcji holomorficznej)

Je˙zeli 𝑓 jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze 𝐷, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝐷(𝑧, 𝑟) ⊂ 𝐷, to

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋

∫

2𝜋

0

𝑓 (𝑧 + 𝑟𝑒

𝑖𝑡

)𝑑𝑡.

Dow´

od

Niech 𝑧 ∈ 𝐷, 𝐾 = ∂𝐷(𝑧, 𝑟) = {𝜁 : ∣𝜁 − 𝑧∣ = 𝑟} = {𝜁 : 𝜁 = 𝑧 + 𝑟𝑒

𝑖𝑡

, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋)} ⊂ 𝐷. Z

twierdzenia o wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego wynika, ˙ze

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 =

1

2𝜋𝑖

∫

2𝜋

0

𝑓 (𝑧 + 𝑟𝑒

𝑖𝑡

)

𝑟𝑒

𝑖𝑡

𝑖𝑟𝑒

𝑖𝑡

𝑑𝑡 =

1

2𝜋

∫

2𝜋

0

𝑓 (𝑧 + 𝑟𝑒

𝑖𝑡

)𝑑𝑡,

∂𝐾 jest zorientowany dodatnio.

Twierdzenie 7.8 (o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar. Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷, to 𝑓 mo˙zna przedstawi´

c

w tym kole w postaci sumy szeregu pot

,

egow

,

ego

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑖

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

𝑛+1

𝑑𝜁,

gdzie ∂𝐷(𝑧

0

, 𝑟) jest zorientowany dodatnio.

55

Dow´

od

Niech 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟}. Z twierdzenia o wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego dla

𝑧 ∈ 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) zachodzi

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

𝑑𝜁.

(7.2)

Poniewa˙z 𝑧 ∈ 𝐷(𝑧

0

, 𝑟), to istnieje 𝜌 takie, ˙ze ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜌 < 𝑟 = ∣𝜁 − 𝑧

0

∣. Wyra˙zenie

1

𝜁−𝑧

przedstawimy jako sum

,

e szeregu pot

,

egowego o ´srodku w punkcie 𝑧

0

, tzn.

1

𝜁 − 𝑧

=

1

(𝜁 − 𝑧

0

) − (𝑧 − 𝑧

0

)

=

1

(𝜁 − 𝑧

0

)

1

(

1 −

𝑧−𝑧

0

𝜁−𝑧

0

) =

1

𝜁 − 𝑧

0

∞

∑

𝑛=0

( 𝑧 − 𝑧

0

𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛

,

(7.3)

kt´

ory jest zbie˙zny jednostajnie na dysku 𝐷(𝑧

0

, 𝜌), poniewa˙z modu̷ly wyraz´

ow tego szeregu s

,

a

nie wi

,

eksze ni˙z

∑

∞
𝑛=0

𝜌

𝑛

𝑟

𝑛+1

. Podstawmy rozwini

,

ecie (7.3) do (7.2), ca̷lkuj

,

ac wyraz po wyrazie

(korzystamy z faktu, ˙ze szereg jest zbie˙zny jednostajnie) otrzymamy

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

(

∞

∑

𝑛=0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑓 (𝜁)

)

𝑑𝜁 =

∞

∑

𝑛=0

[

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁

]

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

Czyli 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

, gdzie

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁

𝑛 = 0, 1, 2, . . . .

Wniosek 7.4
Z twierdzenia 7.8 i wniosku 4.3 wynika, ˙ze A(D)=H(D).

Uwaga 7.2
Poniewa˙z wsp´

o̷lczyniki szeregu Taylora s

,

a wyznaczone jednoznacznie zatem

𝑐

𝑛

=

𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

)

𝑛!

oraz

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁,

to

𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

) =

𝑛!

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁.

56

Wynika st

,

ad nast

,

epuj

,

ace twierdzenie.

Twierdzenie 7.9 (o uog´

olnionym wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego)

Je˙zeli funkcja 𝑓 jest holomorficzna wewn

,

atrz obszaru jednosp´

ojnego 𝐷 i na jego brzegu ∂𝐷,

∂𝐷 jest konturem, to dla ∀𝑧 ∈ 𝐷

𝑓

(𝑛)

(𝑧) =

𝑛!

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

𝑛+1

𝑑𝜁,

gdzie 𝑛 = 0, 1, 2, . . . .

Uwaga 7.3
Funkcja holomorficzna w obszarze 𝐷 ma w tym obszarze pochodne dowolnie
wysokiego rz

,

edu.

Wynika to z faktu, ze 𝑓 jest sum

,

a szeregu pot

,

egowego, a dla takich funkcji udowodnili´smy

we Wniosku 6.2 istnienie pochodnych dowolnego rz

,

edu.

Uwaga 7.4
Je˙zeli 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) jest holomorficzna w obszarze 𝐷, to funkcje 𝑢 i 𝑣 maj

,

a

pochodne cz

,

astkowe dowolnie wysokiego rz

,

edu.

Przyk̷lad 7.2
Obliczy´

c

∫

∣𝑧∣=3

𝑒

𝑖𝜋𝑧

(𝑧 − 1)

3

𝑑𝑧.

Niech 𝐷 := {𝑧 : ∣𝑧∣ < 3},

𝐾 = ∂𝐷. Funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑖𝜋𝑧

jest holomorficzna w 𝐷. Skorzys-

tamy z twierdzenia o uog´

olnionym wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego dla 𝑓 i 𝑛 = 2. Zatem

∫

∣𝑧∣=3

𝑒

𝑖𝜋𝑧

(𝑧 − 1)

3

𝑑𝑧 =

2𝜋𝑖

2!

(𝑒

𝑖𝜋𝑧

)

′′

∣𝑧=1

= 𝑖(𝜋)

3

.

Twierdzenie 7.10 (odwrotne do podstawowego tw. ca̷lkowego Cauchy’ego)(Morery)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar jednosp´ojny. Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐶(𝐷) i dla ka˙zdego konturu 𝐾 ⊂ 𝐷

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0,

to 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷).

57

Dow´

od

Niech 𝐾 b

,

edzie konturem zawartym w obszarze 𝐷 takim, ˙ze

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 0. Z twierdzenia o

istnieniu funkcji pierwotnej wynika, ˙ze istnieje 𝐹 ∈ 𝐻(𝐷) taka, ˙ze 𝐹

′

(𝑧) = 𝑓 (𝑧) dla 𝑧 ∈ 𝐷.

Poniewa˙z 𝐹 jest holomorficzna, to z twierdzenia o uog´

olnionym wzorze ca̷lkowym wynika, ˙ze

𝑓 = 𝐹

′

jest tak˙ze funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze 𝐷.

Szeregi Taylora funkcji elementarnych
Korzystaj

,

ac z twierdzenia 7.8 mo˙zemy znale´

z´

c szeregi Taylora (Maclaurina) znanych funkcji.

S

,

a one rozszerzeniem szereg´

ow rzeczywistych do dziedziny zespolonej.

Przyk̷lad 7.3

1. 𝑒

𝑧

= 1 +

𝑧

1!

+

𝑧

2

2!

+ +

𝑧

3

3!

+ . . . =

∑

∞
𝑘=0

𝑧

𝑘

𝑘!

.

2. 𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑧 −

𝑧

3

3!

+

𝑧

5

5!

−

𝑧

7

7!

+ . . . =

∑

∞
𝑘=0

(−1)

𝑘 𝑧

2𝑘+1

(2𝑘+1)!

.

3. 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 1 −

𝑧

2

2!

+

𝑧

4

4!

−

𝑧

6

6!

+ . . . =

∑

∞
𝑘=0

(−1)

𝑘 𝑧

2𝑘

(2𝑘)!

.

4. 𝑐ℎ𝑧 =

∑

∞
𝑘=0

𝑧

2𝑘

(2𝑘)!

.

5. 𝑠ℎ𝑧 =

∑

∞
𝑘=0

𝑧

2𝑘+1

(2𝑘+1)!

.

6. Rozwin

,

a´

c w szereg Taylora o ´srodku w punkcie 𝑧

0

∕= 0 ga̷l

,

a´

z logarytmu.

Wiadomo, ˙ze w obszarze jednosp´

ojnym, nie zawieraj

,

acym 0 i ∞, istnieje ga̷l

,

a´

z loga-

rytmu. Zatem promie´

n 𝑟 ko̷la o ´srodku w punkcie 𝑧

0

w kt´

orym szereg b

,

edzie zbie˙zny

musi spe̷lnia´

c 𝑟 < ∣𝑧

0

∣. Policzymy pochodne 𝑓 (𝑧) = 𝐿𝑛𝑧.

𝑓

′

(𝑧) = 𝑧

−1

,

𝑓

′′

(𝑧) = −𝑧

−2

,

. . .

𝑓

(𝑛)

(𝑧) = (−1)

𝑛−1

(𝑛 − 1)!𝑧

−𝑛

.

St

,

ad

𝐿𝑛𝑧 = 𝐿𝑛(𝑧

0

) +

𝑧 − 𝑧

0

𝑧

0

−

1

2

( 𝑧 − 𝑧

0

𝑧

0

)

2

+ . . . +

(−1)

𝑛−1

𝑛

( 𝑧 − 𝑧

0

𝑧

0

)

𝑛

+ . . . ....

Przyjmuj

,

ac 𝑧

0

= 1 i zast

,

epuj

,

ac 𝑧 prze 1 + 𝑧 otrzymamy dla warto´sci g̷l´

ownej logarytmu

rozwini

,

ecie

𝐿𝑛(1 + 𝑧) = 𝑧 −

𝑧

2

2

+

𝑧

3

3

+ . . . + (−1)

𝑛−1

𝑧

𝑛

𝑛

+ . . . ....

w kole ∣𝑧∣ < 1.

58

8

Funkcje holomorficzne w ℂ

Twierdzenie 8.1 (nier´

owno´

s´

c Cauchy’ego)

Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷(𝑧

0

, 𝑅)) oraz istnieje 𝑀 > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝐷(𝑧

0

, 𝑅), zachodzi

∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ 𝑀 . Wtedy wsp´

o̷lczynniki szeregu Taylora funkcji o ´

srodku w 𝑧

0

spe̷lniaj

,

a nier´

owno´

s´

c

∣𝑐

𝑛

∣ ≤

𝑀

𝑅

𝑛

,

𝑛 = 0, 1, 2, . . .

Dow´

od

Niech 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑟}, gdzie 𝑟 < 𝑅. Wtedy

∣𝑐

𝑛

∣ =






1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁






≤

1

2𝜋

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)






𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁






≤

1

2𝜋

𝑀

𝑟

𝑛+1

2𝜋𝑟 =

𝑀

𝑟

𝑛

,

∂𝐷(𝑧

0

, 𝑟) jest zorientowany dodatnio. Dla 𝑟 → 𝑅 otrzymamy ∣𝑐

𝑛

∣ ≤

𝑀

𝑅

𝑛

.

Definicja 8.1
Funkcj

,

e holomorficzn

,

a w ca̷lej p̷laszczy´

znie ℂ nazywamy funkcj

,

a ca̷lkowit

,

a.

Przyk̷lad 8.1
Wielomiany, 𝑒

𝑧

, 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧 s

,

a funkcjami ca̷lkowitymi.

Twierdzenie 8.2 (Liouville’a)
Funkcja ca̷lkowita i ograniczona jest sta̷la.

Dow´

od

Poniewa˙z 𝑓 jest ca̷lkowita, to 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷(0, 𝑅)) dla dowolnego 𝑅 > 0. Zatem 𝑓 rozwija si

,

e w

szereg Maclaurina w 𝐻(𝐷(0, 𝑅)). Z nier´

owno´sci Cauchy’ego wynika, ˙ze ∣𝑐

𝑛

∣ ≤

𝑀

𝑅

𝑛

w 𝐷(0, 𝑅)

bo 𝑓 jest ograniczona. Przechodz

,

ac z 𝑅 do niesko´

nczono´sci dostaniemy, ˙ze 𝑐

1

= 𝑐

2

= . . . =

𝑐

𝑛

= . . . = 0 dla ∀𝑛 ∈ 𝑁 . St

,

ad 𝑓 (𝑧) = 𝑐

0

.

Twierdzenie 8.3 (d’Alamberta-podstawowe tw. algebry)
Ka˙zdy wielomian stopnia 𝑛 ≥ 1 w dziedzinie zespolonej ma co najmniej 1 pierwiastek.

Dow´

od (nie wprost)

Niech 𝑛 ≥ 1. Wtedy wielomian stopnia 𝑛 ma posta´

c 𝑃 (𝑧) = 𝑎

0

+ 𝑎

1

𝑧 + . . . 𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

. Przypu´smy,

˙ze 𝑃 (𝑧) nie ma miejsc zerowych. Zatem 𝑓 (𝑧) =

1

𝑃 (𝑧)

jest holomorficzna w ca̷lej p̷laszczy´

znie ℂ.

Wyka˙zemy, ˙ze 𝑓 jest ograniczona. Poniewa˙z lim

𝑧→∞

𝑃 (𝑧) = ∞, to lim

𝑧→∞

𝑓 (𝑧) = 0. Zatem

w sasiedztwie punktu 𝑧

0

= ∞ funkcja 𝑓 jest ograniczona. W innych punktach p̷laszczyzny

funkcja przyjmuje tylko warto´sci sko´

nczone. St

,

ad 𝑓 musi by´

c ograniczona. Z twierdzenia

59

Liouville’a wynika, ˙ze 𝑓 jest sta̷la, co jest sprzeczne z za̷lo˙zeniem, ˙ze 𝑛 ≥ 1.

Wniosek 8.1 (Twierdzenie Bezout)
Ka˙zdy wielomian stopnia 𝑛 ≥ 1 ma w dziedzinie zespolonej dok̷ladnie 𝑛 pierwiastk´

ow.

9

Zera funkcji holomorficznej

Definicja 9.1
Punkt 𝑎 nazywamy zerem funkcji holomorficznej je´

sli 𝑓 (𝑎) = 0.

Definicja 9.2
Punkt 𝑎 nazywamy zerem k-krotnym funkcji holomorficznej je´

sli

𝑓 (𝑎) = 𝑓

′

(𝑎), . . . , 𝑓

(𝑘−1)

(𝑎) = 0, 𝑓

𝑘

(𝑎) ∕= 0.

Twierdzenie 9.1 (o zerach funkcji holomorficznej)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∕= ℂ𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑎 ∈ 𝐷. Je´sli 𝑎 jest zerem funkcji 𝑓 , to ∃𝑘 ∈ ℕ
i otoczenie 𝑈 punktu 𝑎 takie, ˙ze 𝑓 (𝑧) = (𝑧 − 𝑎)

𝑘

𝜙(𝑧), gdzie 𝜙 ∈ 𝐻(𝐷), 𝜙(𝑧) ∕= 0 w pewnym

otoczeniu 𝑈 punktu 𝑎.

Dow´

od

Poniewa˙z 𝑓 jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze 𝐷 , to istnieje otoczenie 𝑈 punktu 𝑎 takie,

˙ze 𝑓 rozwinie si

,

e w szereg Taylora o ´srodku w pukcie 𝑎 tzn. 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑎)

𝑛

dla

𝑧 ∈ 𝑈 . Punkt 𝑎 jest zerem funkcji, st

,

ad 𝑓 (𝑎) = 𝑐

0

= 0. Z za̷lo˙zenia, ze 𝑓 ∕= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 wynika, ˙ze

nie wszyskie wsp´

o̷lczynniki 𝑐

𝑛

mog

,

a by´

c zerami. Zatem istnieje 𝑐

𝑘

∕= 0. Rozpatrzmy 𝑐

𝑘

∕= 0 z

najmniejszym indeksem 𝑘. Wtedy

𝑓 (𝑧) = 𝑐

𝑘

(𝑧 − 𝑎)

𝑘

+ 𝑐

𝑘+1

(𝑧 − 𝑎)

𝑘+1

+ . . . = (𝑧 − 𝑎)

𝑘

(𝑐

𝑘

+ 𝑐

𝑘+1

(𝑧 − 𝑎) + . . .).

Poniewa˙z wyra˙zenie w nawiasie jest zbie˙znym szeregiem pot

,

egowym, zatem istnieje jego suma,

kt´

or

,

a oznaczymy symbolem 𝜙. Jako suma szeregu pot

,

egowego 𝜙 jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a

w 𝑈 . Poniewa˙z 𝜙(𝑎) = 𝑐

𝑘

∕= 0, to jako funkcja ci

,

ag̷la omija zero w pewnym otoczeniu

𝑈

′

⊂ 𝑈 .

Wniosek 9.1
Pukty zerowe funkcji holomorficznej s

,

a izolowane.

Wniosek 9.2
Funkcja ca̷lkowita ma przeliczalnie wiele zer w ℂ.

60

Uwaga 9.1
Niech 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝐷-obszar. Punkty w kt´

orych funkcja holomorficzna 𝑓 przyjmuje z g´

ory

zadan

,

a warto´s´

c 𝐴 s

,

a izolowane, bo s

,

a to miejsca zerowe funkcji 𝑓 (𝑧) − 𝐴.

Twierdzenie 9.2 (o jednoznaczno´

sci funkcji holomorficznej)

𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar, 𝑓

1

, 𝑓

2

∈ 𝐻(𝐷). Niech 𝐹 b

,

edzie podzbiorem 𝐷 maj

,

acym pukt skupienia

𝑎 ∈ 𝐷 oraz ∀𝑧 ∈ 𝐹 zachodzi 𝑓

1

(𝑧) = 𝑓

2

(𝑧). Wtedy ∀𝑧 ∈ 𝐷 zachodzi 𝑓

1

(𝑧) = 𝑓

2

(𝑧).

Dow´

od

Przypu´s´

cmy, ˙ze 𝑓

1

∕= 𝑓

2

na 𝐷. Wtedy mo˙zemy zdefiniowa´

c funkcj

,

e 𝑓 := 𝑓

1

− 𝑓

2

na 𝐷. Jest

oczywiste, ˙ze 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) oraz ∀𝑧 ∈ 𝐹 zachodzi 𝑓 (𝑧) = 0. W zbiorze 𝐹 istnieje ci

,

ag 𝑧

𝑛

maj

,

acy

punkt skupienia 𝑎 ∈ 𝐷. Poniewa˙z 𝑓 jest ci

,

ag̷la, to 𝑓 (𝑎) = lim

𝑛→∞

𝑓 (𝑧

𝑛

) = 0. Czyli 𝑎 jest

tak˙ze zerem funkcji holomorficznej. Poniwa˙z 𝑎 nie jest punktem odsobnionym, to 𝑓 musi by´

c

sta̷la. Skoro 𝑓 (𝑎) = 0, to 𝑓 ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0 czyli 𝑓

1

= 𝑓

2

.

Wniosek 9.3
Je´sli 𝑓

1

, 𝑓

2

∈ 𝐻(𝐷) i przyjmuj

,

a jednakowe warto´sci na pewnym ̷luku 𝐾 lub w pewnym ob-

szarze 𝐷

0

⊂ 𝐷, to s

,

a r´

owne w ca̷lym obszarze 𝐷.

10

Szeregi Laurenta

Dane s

,

a dwa szeregi postaci

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑖

∞

∑

𝑛=1

𝑐

−𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

−𝑛

.

(10.1)

Pierwszy z tych szereg´

ow jest zbie˙zny w kole 𝐾(𝑧

0

, 𝑅), gdzie 𝑅 =

1

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√

∣𝑐

𝑛

∣

, drugi za´s

jest zbie˙zny na zewn

,

atrz ko̷la 𝐾(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 ∈ 𝐶 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 𝑟}, gdzie 𝑟 = lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑐

−𝑛

∣.

Definicja 10.1
Sum

,

e szereg´

ow zdefiniowanych w (10.1) zapisujemy

∞

∑

𝑛=−∞

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

(10.2)

i nazywamy szeregiem Laurenta o ´

srodku w 𝑧

0

.

61

Definicja 10.2
Powiemy, ˙ze szereg Laurenta (10.2) jest zbie˙zny, je´

sli ka˙zdy z szereg´

ow zdefiniowanych w

(10.1) jest zbie˙zny.

Uwaga 10.1
Je˙zeli 𝑟 < 𝑅, to szereg Laurenta (10.2) jest zbie˙zny wewn

,

atrz pier´

scienia

𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑟 < ∣𝑧∣ < 𝑅}

(10.3)

i przedstawia w nim funkcj

,

e holomorficzn

,

a 𝑓 (𝑧). Sum

,

e szeregu

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

nazywamy

cz

,

e´

sci

,

a regularn

,

a funkcji f(z), za´

s sum

,

e szeregu

∑

∞
𝑛=1

𝑐

−𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

−𝑛

nazywamy cz

,

e´

sci

,

a g̷l´

own

,

a

funkcji f(z).

Twierdzenie 10.1. (Laurenta)
Je˙zeli 𝑓 jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w pier´

scieniu (10.3) to daje si

,

e w nim przedstawi´

c

szeregiem Laurenta postaci (10.2), przy czym wsp´

o̷lczynniki wyra˙zaj

,

a si

,

e wzorami

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁,

𝑛 = 0, ±1, ±2, . . .

(10.4)

gdzie 𝐾 jest dowolnym okr

,

egiem o ´

srodku w 𝑧

0

zorientowanym dodatnio i zawartym w pier´

scieniu

𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅).

Dow´

od

Niech 𝑧 b

,

edzie dowolnym punktem pier´scienia 𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅), 𝐾

1

, 𝐾

2

dwoma okr

,

egami o ´srodku w

𝑧

0

po̷lo˙zonymi wewn

,

atrz pier´scienia tak aby punkt 𝑧 le˙za̷l mi

,

edzy nimi, 𝐾

1

, 𝐾

2

s

,

a zorientowane

dodatnio. Pier´scie´

n dzielimy promieniami na dwa obszary 𝐷 i 𝐷

′

. Za̷l´

o˙zmy, ˙ze 𝑧 ∈ 𝐷.

Oznaczaj

,

ac brzegi obszar´

ow 𝐷 i 𝐷

′

zorientowane dodatnio przez 𝐶 i 𝐶

′

otrzymamy, ˙ze

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

𝐶

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁,

(10.5)

0 =

1

2𝜋𝑖

∫

𝐶

′

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁,

(10.6)

62

gdzie (10.5) wynika z twierdzenia o wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego, za´s (10.6) wynika z podsta-
wowego twierdzenia Cauchy’ego. Dodajemy stronami ca̷lki z (10.5) i (10.6). Poniewa˙z ca̷lki
wzd̷lu˙z promieni znosz

,

a si

,

e, zatem

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

2

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁 −

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

1

𝑓 (𝜁)

𝜁 − 𝑧

𝑑𝜁.

(10.7)

Je´sli 𝜁 ∈ 𝐾

2

, to ∣𝜁 − 𝑧

0

∣ > ∣𝑧 − 𝑧

0

∣, wobec czego nastepuj

,

ac

,

a funkcj

,

e mo˙zna przedstawi´

c jako

sum

,

e szeregu pot

,

egowego o ´srodku w 𝑧

0

1

𝜁 − 𝑧

=

1

(𝜁 − 𝑧

0

) − (𝑧 − 𝑧

0

)

=

1

𝜁 − 𝑧

0

1

1 −

𝑧−𝑧

0

𝜁−𝑧

0

=

∞

∑

𝑛=0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

.

(10.8)

Szereg

∑

∞
𝑛=0

(𝑧−𝑧

0

)

𝑛

(𝜁−𝑧

0

)

𝑛+1

jest zbie˙zny dla ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < ∣𝜁 − 𝑧

0

∣ < 𝑅. Analogicznie, gdy 𝜁 ∈ 𝐾

1

,

to ∣𝜁 − 𝑧

0

∣ < ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ wobec czego nastepuj

,

ac

,

a funkcj

,

e mo˙zna przedstawi´

c jako sum

,

e szeregu

pot

,

egowego o ´srodku w 𝑧

0

1

𝜁 − 𝑧

=

1

(𝜁 − 𝑧

0

) − (𝑧 − 𝑧

0

)

= −

1

𝑧 − 𝑧

0

1

1 −

𝜁−𝑧

0

𝑧−𝑧

0

= −

∞

∑

𝑛=1

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛−1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

(10.9)

Szereg

∑

∞
𝑛=1

(𝜁−𝑧

0

)

𝑛−1

(𝑧−𝑧

0

)

𝑛

jest zbie˙zny dla ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > ∣𝜁 − 𝑧

0

∣ > 𝑟.

Oba te szeregi s

,

a jednostajnie zbie˙zne wzgl

,

edem 𝜁, wiec szeregi (10.8) i (10.9) mo˙zna

wstawi´

c do (10.6) i (10.7) a nast

,

epnie ca̷lkowa´

c te szeregi wyraz po wyrazie, sk

,

ad otrzymamy

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

2

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

+

∞

∑

𝑛=1

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

1

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

−𝑛+1

𝑑𝜁(𝑧 − 𝑧

0

)

−𝑛

.

W powy˙zszych ca̷lkach okr

,

egi 𝐾

1

i 𝐾

2

mo˙zna zast

,

api´

c dowolnym okr

,

egiem 𝐾 o ´srodku w 𝑧

0

,

zorientowanym dodatnio i zawartym w pier´scieniu 𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅). Zatem

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

+

∞

∑

𝑛=1

𝑐

−𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

−𝑛

,

gdzie

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁,

𝑛 = 0, ±1, ±2, . . .

Uwaga 10.2
Je˙zeli funkcja 𝑓 jest rozwijalna w pier´scieniu 𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅) w szereg postaci

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=−∞

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

63

to ∀𝑛 ∈ ℤ zachodzi r´owno´s´c 𝑎

𝑛

= 𝑐

𝑛

, gdzie 𝑐

𝑛

s

,

a wsp´

o̷lczynnikami zdefiniowanymi w twiedze-

niu Laurenta.

Dow´

od

𝑓 (𝑧)

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘+1

=

∞

∑

𝑛=−∞

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛−𝑘−1

.

Ca̷lkuj

,

ac praw

,

a stron

,

e wyraz po wyrazie otrzymamy

∫

Γ

𝜌

𝑓 (𝑧)

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝑧 =

∞

∑

𝑛=−∞

𝑎

𝑛

∫

Γ

𝜌

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛−𝑘−1

𝑑𝑧 = 𝑎

𝑘

2𝜋𝑖,

Γ

𝜌

= {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝜌} ⊂ 𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅). Korzystamy z faktu, ˙ze

∫

Γ

𝜌

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛−𝑘−1

𝑑𝑧 =

{ 0

𝑛 ∕= 𝑘,

2𝜋𝑖 𝑛 = 𝑘.

Zatem

𝑎

𝑘

=

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝑧 = 𝑐

𝑘

.

Uwaga 10.3 (nier´

owno´

s´

c Cauchy’ego)

Niech 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑟)). Je˙zeli ∃𝑀 > 0 takie, ˙ze ∀𝑧, ∣𝑧−𝑧

0

∣ = 𝜌 < 𝑟 zachodzi, ˙ze ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ 𝑀 ,

to

∣𝑐

𝑛

∣ ≤

𝑀

𝜌

𝑛

,

𝑛 = 0, ± − 1, ±2, . . . .

Przyk̷lad 10.1

1. Rozwin

,

a´

c funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) =

1

𝑧−1

+

1

𝑧+2

w szereg Laurenta o ´srodku w 𝑧

0

= 0,

1

𝑧 − 1

= −

1

1 − 𝑧

= −

∞

∑

𝑛=0

𝑧

𝑛

𝑑𝑙𝑎

∣𝑧∣ < 1,

1

𝑧 + 2

=

1

2

1

[1 − (−

𝑧
2

)]

=

1

2

∞

∑

𝑛=0

( −𝑧

2

)

𝑛

=

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

𝑧

𝑛

2

𝑛+1

𝑑𝑙𝑎

∣

𝑧

2

∣ < 1.

Zatem dla ∣𝑧∣ < 1 mamy

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

(

−1 +

(−1)

𝑛

2

𝑛+1

)

𝑧

𝑛

64

2. Rozwin

,

a´

c funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) =

1

𝑧−1

+

1

𝑧+2

w szereg Laurenta o ´srodku w 𝑧

0

= 𝑖. Rozpatrujemy

pier´scie´

n o ´srodku w 𝑧

0

= 𝑖 i promieniach b

,

ed

,

acych odleg̷lo´sci

,

a ´srodka do punkt´

ow w

kt´

orych funkcja jest nieholomorficzna tzn. 𝑧

1

= 1 i 𝑧

2

= −2 czyli 𝑃 (𝑧

0

= 1,

√

2,

√

5) =

{𝑧 :

√

2 < ∣𝑧 − 𝑖∣ <

√

5}

1

𝑧 − 1

=

1

𝑧 − 𝑖

1

[1 − (

1−𝑖
𝑧−𝑖

)]

=

∞

∑

𝑛=0

(

(1 − 𝑖)

𝑛

(𝑧 − 𝑖)

𝑛+1

𝑑𝑙𝑎






1 − 𝑖

𝑧 − 𝑖






< 1 ⇔ ∣𝑧 − 𝑖∣ >

√

2,

1

𝑧 + 2

=

1

2 + 𝑖

1

[1 + (

𝑧−𝑖
2+𝑖

)]

=

1

2 + 𝑖

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

(𝑧 − 𝑖)

𝑛

(2 + 𝑖)

𝑛

𝑑𝑙𝑎






𝑧 − 𝑖

2 + 𝑖






< 1 ⇔ ∣𝑧 − 𝑖∣ <

√

5.

Zatem w 𝑃 (𝑧

0

= 1,

√

2,

√

5) = {𝑧 :

√

2 < ∣𝑧 − 𝑖∣ <

√

5} mamy

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

(𝑧 − 𝑖)

𝑛

(2 + 𝑖)

𝑛

+

∞

∑

𝑛=1

(1 − 𝑖)

𝑛−1

(𝑧 − 𝑖)

𝑛

.

11

Punkty osobliwe

Definicja 11.1
Punkt w kt´

orym 𝑓 jest holomorficzna nazywamy punktem regularnym.

Definicja 11.2
Je˙zeli funkcja 𝑓 nie jest holomorficzna w 𝑧

0

∈ ¯

ℂ ale jest holomorficzna w pewnym jego

s

,

asiedztwie 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

} = {𝑧 ∈ ℂ : 0 < ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜖}, gdy 𝑧

0

∕= ∞ lub {𝑧 : ∣𝑧∣ > 𝑅}

dla 𝑧

0

= ∞, to 𝑧

0

nazywamy punktem osobliwym izolowanym (odosobnionym) funkcji 𝑓 .

11.1

Punkty osobliwe izolowane

Definicja 11.3
Punkt osobliwy izolowany 𝑧 = 𝑧

0

nazywamy:

1. punktem pozornie osobliwym, je˙zeli lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) istnieje i jest sko´

nczona,

2. biegunem, je˙zeli: lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = ∞,

3. punktem istotnie osobliwym, je˙zeli nie istnieje lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧).

Przyk̷lad 11.1

1. Dla 𝑓 danej wzorem

𝑓 (𝑧) =

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑧

2

65

𝑧

0

= 0 jest punktem osobliwym.

lim

𝑧→𝑧

0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑧

2

= lim

𝑧→𝑧

0

2𝑠𝑖𝑛

2

(

𝑧
2

)

𝑧

2

= lim

𝑧→𝑧

0

( 𝑠𝑖𝑛(

𝑧
2

)

𝑧
2

)

2

2

4

=

1

2

.

Wynika st

,

ad, ˙ze 𝑧

0

= 0 jest punktem pozornie osobliwym.

2. Dla 𝑓 danej wzorem

𝑓 (𝑧) = 𝑠𝑖𝑛(

𝜋

𝑧

)

𝑧

0

= 0 jest punktem osobliwym. Rozpatrzmy ci

,

agi postaci 𝑧

𝑛

:=

1

2𝑛+

𝛼
𝜋

→ 0 dla 𝑛 → ∞.

Zauwa˙zmy, ˙ze 𝑓 (𝑧

𝑛

) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼), st

,

ad lim

𝑛→∞

𝑓 (𝑧

𝑛

) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼). Zmieniaj

,

ac warto´sci 𝛼

dostaniemy, ˙ze nie istnieje granica 𝑓 w 𝑧

0

= 0, czyli 𝑧

0

jest punktem istotnie osobliwym.

3. Dla 𝑓 danej wzorem

𝑓 (𝑧) =

1

𝑒

𝑧

− 1

punktami osobliwymi sa 𝑧

𝑛

= 2𝑛𝜋𝑖, 𝑛 ∈ ℕ. S

,

a to bieguny poniewa˙z lim

𝑧→2𝑛𝜋𝑖

1

𝑒

𝑧

−1

= ∞.

4. Niech

𝑓 (𝑧) =

1

𝑠𝑖𝑛(

𝜋

𝑧

)

.

Wtedy punkty 𝑧

𝑛

=

1

𝑛

s

,

a biegunami. Za´s punkt 𝑧

0

= 0 jest punktem osobliwym ale nie

jest izolowany.

Twiedzenie 11.1 (Riemanna)
Niech 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅)). Punkt osobliwy izolowany 𝑧

0

∈ ℂ jest punktem pozornie osobliwym

funkcji 𝑓 wtedy i tylko wtedy, gdy rozwini

,

ecie 𝑓 w szereg Laurenta w 𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅) nie zawiera

cz

,

e´

sci g̷l´

ownej tzn.

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

Dow´

od

⇒ Niech 𝑧

0

b

,

edzie punktem pozornie osobliwym, w´

owczas istnieje sko´

nczona granica 𝐴 =

lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧).

Zatem istnieje otoczenie 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) i sta̷la 𝑀 > 0 takie, ˙ze ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ 𝑀 dla

𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖). Niech 𝜌 < 𝜖, korzystaj

,

ac z nier´

owno´sci Cauchy’ego otrzymamy, ˙ze ∣𝑐

𝑛

∣ ≤

𝑀
𝜌

𝑛

dla

𝑛 = 0, ±1, ±2, . . .. Je´sli 𝑛 < 0 to prawa strona

𝑀
𝜌

𝑛

→ 0 dla 𝜌 → 0. St

,

ad 𝑐

𝑛

= 0 dla 𝑛 < 0 tzn.

cz

,

e´s´

c g̷l´

owna szeregu Laurenta znika.

66

⇐ Poniewa˙z w 𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅) funkcja 𝑓 ma rozwini

,

ecie w szereg Laurenta, kt´

ore nie zawiera

cz

,

e´sci g̷l´

ownej tzn. 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

, to jest ono szeregiem Taylora w tym pier´scieniu.

Wi

,

ec istnieje granica lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑐

0

. Dlatego punkt 𝑧

0

jest pozornie osobliwy.

Uwaga 11.1
Je˙zeli 𝑧

0

jest punktem pozornie osobliwym 𝑓 , to funkcja ˜

𝑓 (𝑧) := 𝑓 (𝑧) dla 𝑧 ∕= 𝑧

0

oraz

˜

𝑓 (𝑧) := lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) jest holomorficzna w otoczeniu 𝑧

0

.

Twiedzenie 11.2
Niech 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅)). Punkt osobliwy izolowany 𝑧

0

jest biegunem funkcji 𝑓 wtedy i tylko

wtedy gdy rozwini

,

ecie 𝑓 w szereg Laurenta w 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅)) ma cz

,

es´

c g̷l´

own

,

a o sko´

nczonej

liczbie wyraz´

ow tzn.

∃𝑘 ∈ ℕ 𝑓(𝑧) =

𝑐

−𝑘

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

+

𝑐

−𝑘+1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘−1

+ . . . +

𝑐

−1

𝑧 − 𝑧

0

+

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

gdzie 𝑐

−𝑘

∕= 0.

Dow´

od

⇒ Niech 𝑧

0

b

,

edzie biegunem funkcji 𝑓 . St

,

ad lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = ∞. Zatem istnieje otoczenie

𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) takie, ˙ze 𝑓 (𝑧) ∕= 0 dla 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖). Zdefiniujemy funkcj

,

e 𝜙(𝑧) =

1

𝑓 (𝑧)

w 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖), przy

czym istnieje lim

𝑧→𝑧

0

𝜙(𝑧) = 0. Zatem 𝑧

0

jest punktem pozornie osobliwym (zerem) funkcji

𝜙. Wtedy istnieje 𝑘 ∈ ℕ takie, ˙ze 𝜙(𝑧) = (𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

𝜓(𝑧), gdzie 𝜓(𝑧) ∕= 0 dla 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖).

𝑓 (𝑧) =

1

𝜙(𝑧)

=

1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

1

𝜓(𝑧)

(11.1)

Funkcja 𝜓(𝑧) ∕= 0, st

,

ad jej odwrotno´s´

c

1

𝜓(𝑧)

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖), czyli daj

,

e

si

,

e zapisa´

c jako suma szeregu Taylora

∑

∞
𝑛=0

𝑏

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

. Wstawiaj

,

ac go do (11.1) otrzymamy

𝑓 (𝑧) =

1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

∞

∑

𝑛=0

𝑏

𝑛

(𝑧−𝑧

0

)

𝑛

=

∞

∑

𝑛=0

𝑏

𝑛

(𝑧−𝑧

0

)

𝑛−𝑘

=

𝑏

0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

+

𝑏

1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘−1

+

𝑏

𝑘−1

𝑧 − 𝑧

0

+𝑏

𝑘

+. . . .

Tak otrzymali´smy szereg Laurenta funkcji 𝑓 , kt´

orego cz

,

e´s´

c g̷l´

owna sk̷lada si

,

e ze sko´

nczonej

liczby wyraz´

ow.

⇐ Niech 𝑓 w 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅)) rozwija si

,

e w szereg Laurenta postaci

𝑓 (𝑧) =

𝑐

−𝑘

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

+

𝑐

−𝑘+1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘−1

+ . . . +

𝑐

−1

𝑧 − 𝑧

0

+

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

.

67

Niech 𝜙(𝑧) := (𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

𝑓 (𝑧) = 𝑐

−𝑘

+ 𝑐

−𝑘+1

(𝑧 − 𝑧

0

) + . . . w tym otoczeniu. St

,

ad lim

𝑧→𝑧

0

𝜙(𝑧) =

𝑐

−𝑘

∕= 0, a nast

,

epnie lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = lim

𝑧→𝑧

0

𝜙(𝑧)

(𝑧−𝑧

0

)

𝑘

= ∞, czyli 𝑧

0

jest biegunem.

Uwaga 11.2
Punkt 𝑧

0

jest biegunem funkcji 𝑓 wtedy i tylko wtedy gdy 𝜙 =

1

𝑓 (𝑧)

jest holomorficzna w

pewnym otoczeniu 𝑧

0

i 𝜙(𝑧

0

) = 0.

Uwaga 11.3
Rz

,

edem bieguna 𝑧

0

funkcji 𝑓 nazywamy krotno´s´

c tego punktu jako zera funkcji 𝜙 =

1

𝑓 (𝑧)

.

Uwaga 11.4
Punkt 𝑧

0

jest biegunem 𝑘-krotnym funkcji 𝑓 wtedy i tylko wtedy gdy

lim

𝑧→𝑧

0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘−1

𝑓 (𝑧) = ∞

oraz

lim

𝑧→𝑧

0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

𝑓 (𝑧) ∕= ∞.

Przyk̷lad 11.2

1. 𝑓 (𝑧) =

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

4

. Punkt 𝑧

0

= 0 jest biegunem trzykrotnym. Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

𝑧→0

𝑧

2

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

4

= lim

𝑧→0

1

𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

= ∞ × 1 = ∞.

Natomiast

lim

𝑧→0

𝑧

3

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

4

= lim

𝑧→0

𝑧

3

𝑧

3

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

= 1.

2. 𝑓 (𝑧) =

𝑧

𝑒

𝑧

−1

𝑒

𝑧

= 1 ⇐⇒ 𝑧 = 2𝑘𝜋𝑖- s

,

a to punkty osobliwe. Dla 𝑘 ∕= 0

lim

𝑧→2𝑘𝜋𝑖

𝑧

𝑒

𝑧

− 1

= ∞,

czyli s

,

a to bieguny.

lim

𝑧→2𝑘𝜋𝑖

(𝑧 − 2𝑘𝜋𝑖)

𝑧

𝑒

𝑧

− 1

=

[ 0

0

]

= lim

𝑧→2𝑘𝜋𝑖

2𝑧 − 2𝑘𝜋𝑖

𝑒

𝑧

∕= ∞.

Zatem dla 𝑘 ∕= 0 punkty 𝑧

𝑘

= 2𝑘𝜋𝑖 s

,

a biegunami jednokrotnymi. Dla 𝑘 = 0 mamy, ˙ze

lim

𝑧→0

𝑧

𝑒

𝑧

−1

=

[

0
0

] = lim

𝑧→0

1

𝑒

𝑧

= 1 ∕= 0 punkt pozornie osobliwy.

Twierdzenie 11.3
Niech 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝑅)). Punkt osobliwy izolowany 𝑧

0

jest punktem istotnie osobliwym wtedy

i tylko wtedy, gdy cz

,

e´

s´

c g̷l´

owna rozwini

,

ecia 𝑓 szereg Laurenta w 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 𝑟, 𝑅)) sk̷lada si

,

e z

niesko´

nczenie wielu wyraz´

ow.

68

Dow´

od

Twierdzenie to jest wnioskiem z dw´

och poprzednich twierdze´

n. Je´sli cz

,

e´s´

c g̷l´

owna sk̷lada si

,

e

z niesko´

nczenie wielu wyraz´

ow, to 𝑧

0

nie mo˙ze by´

c ani punktem pozornie osobliwym, ani

biegunem. Je´sli 𝑧

0

jest punktem istotnie osobliwym, to cz

,

e´s´

c g̷l´

owna nie mo˙ze znika´

c ani te˙z

nie mo˙ze sk̷lada´

c si

,

e ze sko´

nczenie wielu wyraz´

ow r´

o˙znych od zera.

Przyk̷lad 11.3
Niech

𝑓 (𝑧) = 𝑒

1
𝑧

.

Wiemy ˙ze dla 0 < ∣𝑤∣ < ∞ funkcja wyk̷ladnicza rozwija si

,

e w szereg Taylora o ´srodku w

𝑧

0

= 0.

𝑒

𝑤

=

∞

∑

𝑘=0

𝑤

𝑘

𝑘!

.

Podstawmy za 𝑤 =

1
𝑧

. Otrzymamy

𝑒

𝑤

=

∞

∑

𝑘=0

1

𝑧

𝑘

𝑘!

= 1 +

1

1!𝑧

+

1

2!𝑧

2

+ . . .

Cze´s´

c g̷l´

owna sk̷lada si

,

e z niesko´

nczenie wielu wyraz´

ow, zatem 𝑧

0

= 0 jest punktem istotnie

osobliwym.

Niech 𝑧 = 𝑟𝑒

𝑖𝜙

, 𝑟-ma̷le. Wtedy

𝑓 (𝑧) = 𝑒

1

𝑟𝑒𝑖𝜙

= 𝑒

1
𝑟

(𝑐𝑜𝑠𝜙−𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙)

∣𝑓 (𝑧)∣ = ∣𝑒

1
𝑟

𝑐𝑜𝑠𝜙

∣∣𝑒

1
𝑟

𝑖𝑠𝑖𝑛𝜙)

∣ = 𝑒

1
𝑟

𝑐𝑜𝑠𝜙

.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla 𝜙 takich, ˙ze 𝑐𝑜𝑠𝜙 > 0

lim

𝑟→0

𝑒

1
𝑟

𝑐𝑜𝑠𝜙

= +∞,

za´s dla 𝜙 takich, ˙ze 𝑐𝑜𝑠𝜙 < 0

lim

𝑟→0

𝑒

1
𝑟

𝑐𝑜𝑠𝜙

= 0,

czyli nie istnieje granica modu̷lu funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒

1
𝑧

gdy 𝑧 → 𝑧

0

.

Twierdzenie 11.4 (Casoratiego-Weierstrassa)
Je˙zeli 𝑧

0

jest punktem istotnie osobliwym funkcji, to zbi´

or warto´

sci funkcji 𝑓 w dowolnie

ma̷lym nak̷lutym otoczeniu tego punktu jest rozmieszczony g

,

esto w ca̷lej p̷laszczy´

znie.

Dow´

od Niech 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

} b

,

edzie nak̷lutym otoczeniem 𝑧

0

. Gdyby zbi´

or warto´sci funkcji

𝑓 (𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

}) nie by̷l g

,

esty w ℂ, to w´owczas istnia̷loby ko̷lo 𝐷(𝑎, 𝑟) nie zawieraj

,

ace ˙zadnej

69

warto´sci 𝑓 (𝑧), wi

,

ec ∣𝑓 (𝑧) − 𝑎∣ > 𝑟 dla 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

}. Wtedy funkcja 𝜙(𝑧) =

1

𝑓 (𝑧)−𝑎

jest

ograniczona dla 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

}. W my´sl twierdzenia Riemanna punkt 𝑧

0

by̷lby punktem

pozornie osobliwym dla 𝜙(𝑧). Zatem isnia̷laby granica lim

𝑧→𝑧

0

𝜙(𝑧). Zatem 𝜙 by̷laby anality-

czna w otoczeniu 𝑧

0

. St

,

ad 𝑓 (𝑧) = 𝑎 +

1

𝜙(𝑧)

by̷laby analityczna lub mia̷laby biegun w 𝑧

0

wbrew

za̷lo˙zeniu.

Twierdzenie 11.5 (wielkie twierdzenie Picarda)
Funkcja analityczna przyjmuje w dowolnie ma̷lym nak̷lutym otoczeniu punktu istotnie osobli-
wego ka˙zd

,

a warto´

s´

c z wyj

,

atkiem co najwy˙zej jednej w niesko´

nczenie wielu punktach.

Twierdzenie 11.6 (ma̷le twierdzenie Picarda)
Funkcja ca̷lkowita r´

o˙zna od sta̷lej przyjmuje ka˙zd

,

a warto´

s´

c z wyj

,

atkiem co najwy˙zej jednej.

Przyk̷lad 11.4

1. 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

omija warto´s´

c 𝑎 = 0. Zauwa˙zmy, ˙ze jako funkcja ca̷lkowita omija te˙z ∞.

Zatem 𝑒

𝑧

omija dwie warto´sci {0, ∞}.

2. 𝑓 (𝑧) = 𝑡𝑔(𝑧) nie jest funkcj

,

a ca̷lkowit

,

a, bo ma bieguny w punktach 𝑧

𝑘

=

𝜋

2

+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ,

natomiast omija dwie warto´sci ±𝑖.

3. 𝑓 (𝑧) =

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

omija tylko jedn

,

a wartos´

c 0.

4. funkcja 𝒫(𝑧) Weierstrassa zdefiniowana za pomoc

,

a szeregu

𝒫(𝑧) =

1

𝑧

2

+

∞

∑

𝑘=1

[

1

(𝑧 − 𝑤

𝑘

)

2

−

1

𝑤

2

𝑘

]

𝑤

𝑘

= 𝑛𝜔+𝑚𝜔

′

,

𝑚, 𝑛 ∈ ℤ,

𝜔, 𝜔

′

∈ ℂ,

Im

(

𝜔

𝜔

′

)

∕= 0,

przyjmuje ka˙zd

,

a warto´s´

c z p̷laszczyzny domkni

,

etej ℂ niesko´nczenie wiele razy. Funkcja

𝒫(𝑧) Weierstrassa jest przyk̷ladem funkcji meromorficznej dwuokresowej o okre-
sach: 𝜔, 𝜔

′

.

11.2

Zachowanie si

,

e funkcji holomorficznej w punkcie ∞

Niech 𝑓 (𝑧) b

,

edzie funkcj

,

a holomorficzn

,

a w pier´scieniu 𝑃 (0, 𝑟, ∞) = {𝑧 : 𝑟 < ∣𝑧∣ < ∞}

(b

,

ed

,

acym nak̷lutym otoczeniem niesko´

nczono´sci zwanym tak˙ze pier´scieniem o ´srodku w ∞

czyli 𝑃 (∞, 0, 𝑟)), gdzie 𝑟 > 0. W´

owczas funkcja 𝑓 (

1
𝑧

) jest holomorficzna w otoczeniu nak̷lutym

zera tzn. 𝑃 (0, 0,

1
𝑟

) = {𝑧 : 0 < ∣𝑧∣ <

1
𝑟

}.

Definicja 11.4
Powiemy, ˙ze 𝑓 (𝑧) ma w niesko´

nczono´

sci:

1. punkt regularny,

70

2. biegun rz

,

edu 𝑚,

3. punkt istotnie osobliwy,

zale˙znie od tego czy funkcja 𝑓 (

1
𝑧

) ma w punkcie 0 osobliwo´

sc usuwaln

,

a, biegun rz

,

edu 𝑚 lub

lub punkt istotnie osobliwy.

W 𝑃 (0, 𝑟, ∞) = {𝑧 : 𝑟 < ∣𝑧∣ < ∞} funkcja 𝑓 (𝑧) jest sum

,

a dw´

och szereg´

ow

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

+

∞

∑

𝑛=0

𝑎

−𝑛

𝑧

𝑛

,

z kt´

orych pierwszy jest zbie˙zny dla ∣𝑧∣ < ∞ a drugi dla ∣𝑧∣ > 𝑟. Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑎

−𝑛

𝑧

𝑛

przedstawia

cz

,

e´s´

c regularn

,

a funkcji za´s szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

przedstawia cz

,

e´s´

c g̷l´

own

,

a funkcji 𝑓 .

Funkcja 𝑓 (𝑧) jest ma osobliwo´

s´

c pozorn

,

a w ∞, je´sli w 𝑃 (0, 𝑟, ∞) = {𝑧 : 𝑟 < ∣𝑧∣ < ∞} daje

si

,

e przedstawi´

c szeregiem postaci

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑎

−𝑛

𝑧

𝑛

= 𝑎

0

+

𝑎

−1

𝑧

+

𝑎

−2

𝑧

2

+ . . .

zbie˙znym w tym pier´scieniu. W´

owczas 𝑓 ma granic

,

e w lim

𝑧→∞

𝑓 (𝑧) = 𝑎

0

. Granic

,

e t

,

e nazy-

wamy warto´sci

,

a funkcji w ∞. Zapisujemy 𝑓 (∞) = 𝑎

0

.

Punkt ∞ nazywamy zerem 𝑘-krotnym danej funkcji, gdy 𝑎

0

= 𝑎

−1

= . . . = 𝑎

−𝑘+1

= 0, lecz

𝑎

−𝑘

∕= 0.

Przyk̷lad 11.5

1. 𝑓 (𝑧) = 𝑎

0

+ 𝑎

1

𝑧 + . . . + 𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

, 𝑎

𝑛

∕= 0, ma w niesko´

nczono´sci biegum rz

,

edu 𝑛.

2. funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

ma w niesko´

nczono´sci punkt istotnie osobliwy, bo cze´s´

c g̷l´

owna

rozwini

,

ecia 𝑒

𝑧

=

∑

∞
𝑛=0

𝑧

𝑛

𝑛!

zawiera niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow.

3. Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑒

1
𝑧

. Podstawmy do wzoru na 𝑒

𝑤

wyra˙zenie 𝑤 =

1
𝑧

. Otrzymamy

𝑒

𝑤

=

∞

∑

𝑘=0

𝑧

𝑘

𝑘!

= 1 +

1

1!𝑧

+

1

2!𝑧

2

+ . . .

Zatem 𝑧

0

= 0 jest punktem istotnie osobliwym bo cze´s´

c g̷l´

owna sk̷lada si

,

e z niesko´

nczenie

wielu wyraz´

ow. Natomiast punkt w niesko´

nczono´sci jest punktem regularnym.

71

11.3

Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl

,

edu na ich punkty

osobliwe

Klasyfikacja

1. Funkcje holomorficzne w ℂ (czyli maj

,

ace tylko osobliwo´s´

c w niesko´

nczono´sci) nazywamy

funkcjami ca̷lkowitymi. Klasyfikacja funkcji ca̷lkowitych:

a) je´sli 𝑧 = ∞ jest biegunem, to 𝑓 jest wielomianem.

b) je´sli 𝑧 = ∞ jest punktem istotnie osobliwym, to 𝑓 nazywamy funkcj

,

a ca̷lkowit

,

a

przest

,

epn

,

a np. 𝑒

𝑧

, 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧.

2. Funkcj

,

e holomorficzn

,

a w ℂ poza punktami w kt´orych nie ma innych osobliwo´sci ni˙z

bieguny nazywamy funkcj

,

a meromorficzn

,

a np. 𝑡𝑔𝑧, 𝑐𝑡𝑔𝑧. Funkcj

,

e meromorficzn

,

a nazy-

wamy przest

,

epn

,

a, je´sli 𝑓 nie przed̷lu˙za si

,

e na niesko´

nczono´s´

c (tzn. 𝑓 nie ma w niesko´

nczono´sci

ani osobliwo´sci pozornej, ani ∞ nie jest biegunem.) Je´sli funkcja meromorficzna przest

,

epna

ma sko´

nczenie wiele biegun´

ow, to ∞ jest punktem istotnie osobliwym, za´s gdy 𝑓 ma

niesko´

nczenie wiele biegun´

ow, to ∞ nazywamy punktem skupienia biegun´

ow (∞ nie

mo˙ze by´

c istotn

,

a osobliwo´sci

,

a bo w 𝑃 (∞, 0, 𝑟) funkcja 𝑓 nie jest holomorficzna w biegu-

nach nale˙z

,

acych do tego pier´scienia.)

Twierdzenie 11.7
Je˙zeli funkcja meromorficzna 𝑓 ma w ∞ punkt pozornie osobliwy lub biegun (czyli 𝑓 nie ma
w ¯

ℂ innych osobliwo´

sci ni˙z bieguny) to 𝑓 jest funkcj

,

a wymiern

,

a.

Dow´

od

Poniewa˙z 𝑓 ma w ¯

ℂ ma bieguny, to mo ˙ze ich mie´

c tylko sko´

nczenie wiele (w przeciwnym

przypadku ze wzgl

,

edu na zwarto´s´

c ¯

ℂ bieguny musia̷lyby mie´

c punkt skupienia (a punkt

skupienia biegun´

ow nie mo˙ze by´

c ani punktem regularnym ani biegunem, bo w nak̷lutym

otoczeniu tych punkt´

ow 𝑓 jest holomorficzna a w biegunach 𝑓 nie jest holomorficzna)). Niech

punkty 𝑎

1

, 𝑎

2

, . . . , 𝑎

𝑛

b

,

ed

,

a biegunami 𝑓 , niech

𝑔

𝑖

(𝑧) =

𝑎

−𝑛

𝑖

(𝑧 − 𝑎

𝑖

)

𝑛

𝑖

+ . . .

𝑎

−1

(𝑧 − 𝑎

𝑖

)

𝑖 = 1, . . . , 𝑛,

𝑎

−𝑛

𝑖

∕= 0

oznacza cz

,

e´s´

c g̷l´

own

,

a rozwini

,

ecia 𝑓 w szereg Laurenta w 𝑃 (𝑎

𝑖

, 0, 𝛿

𝑖

) = {𝑧 : 0 < ∣𝑧 − 𝑎

𝑖

∣ <

𝛿

𝑖

}. Rozpatrujemy funkcj

,

e 𝑔(𝑧) = 𝑓 (𝑧) −

∑

𝑛
𝑖=1

𝑔

𝑖

(𝑧). Jest to funkcja holomorficzna w ℂ bo

usun

,

eli´smy wszystkie cz

,

e´sci g̷l´

owne. Rozwini

,

ecie funkcji holomorficznej 𝑔(𝑧) w szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

w 𝑃 (0, 0, ∞) musi zawiera´

c tylko sko´

nczenie wiele wyraz´

ow, gdy˙z w przeciwnym przypadku

niesko´

nczono´s´

c by̷laby punktem istotnie osobliwym. St

,

ad

(∗)

𝑔(𝑧) = 𝑐

1

𝑧 + 𝑐

2

𝑧

2

. . . 𝑐

𝑘

𝑧

𝑘

,

𝑐

𝑘

∕= 0.

72

Zatem

𝑓 (𝑧) = 𝑔(𝑧) +

𝑛

∑

𝑖=1

𝑔

𝑖

(𝑧)

(11.2)

jest funkcj

,

a wymiern

,

a. Zauwa˙zmy, ˙ze (*) jest cz

,

esci

,

a g̷l´

own

,

a bieguna funkcji 𝑓 w 𝑧

0

= ∞.

Wniosek 11.1
Wz´

or (11.2) przedstawia rozk̷lad funkcji wymiernej na cz

,

e´s´

c ca̷lkowit

,

a (𝑐

0

+ 𝑔(𝑧)) oraz u̷lamki

proste (

∑

𝑛
𝑖=1

𝑔

𝑖

(𝑧)).

12

Obliczanie ca̷lek za pomoc

,

a residu´

ow

Definicja 12.1
Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝛿)),𝐾 jest dowolnym konturem zawartym w pier´

scieniu i zawieraj

,

acym

w swym wn

,

etrzu 𝑧

0

, to liczb

,

e

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧

(12.1)

nazywamy residuum funkcji w punkcie 𝑧

0

i oznaczamy 𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧).

Wniosek 12.1
Je˙zeli punkt 𝑧

0

jest punktem regularnym lub punktem pozornie osobliwym funkcji 𝑓 , to

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 0

Wniosek 12.2

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑐

−1

,

gdzie 𝑐

−1

jest wsp´

o̷lczynnikiem rozwni

,

ecia 𝑓 w szereg Laurenta w 𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝛿).

Dow´

od

Poniewa˙z 𝑓 ∈ 𝐻(𝑃 (𝑧

0

, 0, 𝛿)), to z twierdzenia Laurenta wynika, ˙ze 𝑓 rozwinie si

,

e w szereg

postaci

∑

∞
𝑛=−∞

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

. Ca̷lkujemy nast

,

epuj

,

ace wyra˙zenie

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∞

∑

𝑛=−∞

𝑐

𝑛

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧.

Poniewa˙z

∫

𝐾

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑑𝑧 =

{ 0

𝑛 ∕= −1

2𝜋𝑖 𝑛 = −1,

to

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 𝑐

−1

2𝜋𝑖.

73

Zatem 𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑐

−1

.

Je˙zeli punkt 𝑧

0

jest biegunem 𝑘-krotnym to

𝑓 (𝑧) =

𝑐

−𝑘

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

+

𝑐

−𝑘+1

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘−1

+ . . . +

𝑐

−1

𝑧 − 𝑧

0

+

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

gdzie 𝑐

−𝑘

∕= 0. Wtedy residuum funkcji w punkcie 𝑧

0

liczymy ze wzoru

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑧

0

1

(𝑘 − 1)!

𝑑

𝑘−1

𝑑𝑧

𝑘−1

[(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑘

𝑓 (𝑧)

] .

W szczeg´

olno´sci dla 𝑘 = 1

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑧

0

(𝑧 − 𝑧

0

)𝑓 (𝑧).

Przyk̷lad 12.1

1. Obliczy´

c 𝑟𝑒𝑠

0

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

, 𝑧

0

= 0 biegun dwukrotny.

𝑟𝑒𝑠

0

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

=

1

1!

lim

𝑧→0

(

𝑧

2

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

)

′

= lim

𝑧→0

( 𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

)

′

= lim

𝑧→0

(𝑧𝑐𝑜𝑠𝑧 − 𝑠𝑖𝑛𝑧)

′

(𝑧

2

)

′

(𝐻) = lim

𝑧→0

−𝑧𝑠𝑖𝑛𝑧 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 − 𝑐𝑜𝑠𝑧

2𝑧

= 0.

2. 𝑟𝑒𝑠

0

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

mo˙zna policzy´

c tak˙ze w inny spos´

ob:

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

=

1

𝑧

3

(

𝑧 −

𝑧

3

3!

+

𝑧

5

5!

− . . .

)

=

1

𝑧

2

−

1

3!

+

𝑧

2

5!

− . . . ,

∣𝑧∣ < ∞

Poniewa˙z residuum jest r´

owne wsp´

o̷lczynnikowi 𝑐

−1

, st

,

ad 𝑟𝑒𝑠

0

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑧

3

= 0.

Uwaga 12.1
Residuum funkcji w punkcie istotnie osobliwym obliczamy rozwijaj

,

ac funkcj

,

e 𝑓 w szereg Lau-

renta w otoczeniu nak̷lutym tego punktu.

Przyk̷lad 12.2
Dla funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑐𝑜𝑠

(

1
𝑧

) punkt 𝑧

0

= 0 jest punktem istotnie osobliwym. Rozwijamy funkcj

,

e

w otoczeniu 𝑧

0

w szereg Laurenta.

𝑐𝑜𝑠

( 1

𝑧

)

= 1 −

1

2!𝑧

2

+

1

4!𝑧

4

− . . . .

74

Zatem 𝑐

−1

= 0 = 𝑟𝑒𝑠

0

𝑓 (𝑧).

Twierdzenie 12.1 (Cauchy’ego o residuach (1825))
Niech 𝐷 ⊂ ℂ b

,

edzie obszarem jednosp´

ojnym, ∂𝐷 jest konturem. Je˙zeli 𝑓 jest holomorficzna

w ¯

𝐷 poza wyj

,

atkiem sko´

nczenie wielu punkt´

ow osobliwych izolowanych 𝑎

1

, 𝑎

2

, . . . , 𝑎

𝑛

∈ 𝐷, to

∫

∂𝐷

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧).

Dow´

od

Skorzystamy z twierdzenia ca̷lkowego Cauchy’ego dla obszar´

ow wielosp´

ojnych.

W tym celu zdefinujmy dyski 𝐷

𝑘

= {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑎

𝑘

∣ < 𝑟}, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 gdzie 𝑟 jest tak ma̷le, aby

ich domkni

,

ecia by̷ly parami roz̷l

,

aczne i zawarte w 𝐷. Zar´

owno brzeg ∂𝐷 jak i brzegi ∂𝐷

𝑘

ori-

entujemy dodatnio wzgl

,

edem obszar´

ow kt´

ore one ograniczaj

,

a. Niech 𝐷

0

= 𝐷∖

∪

𝑛
𝑘=1

𝐷

𝑘

, wtedy

𝑓 ∈ 𝐻(𝐷

0

) i z twierdzenia ca̷lkowego Cauchy’ego dla obszar´

ow wielosp´

ojnych dostaniemy

∫

∂𝐷

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛

∑

𝑘=1

∫

∂𝐷

𝑘

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧.

Poniewa˙z

∫

𝐾

𝑘

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧) to zachodzi teza twierdzenia.

Definicja 12.2
Niech funkcja 𝑓 holomorficzna w 𝑃 (0, 𝑅, ∞) = {𝑧 : 𝑅 < ∣𝑧∣ < ∞} ma w niesko´

nczono´

sci

punkt izolowany. Wtedy residuum 𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧) definiujemy jako

𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧,

gdzie 𝐾 = {𝑧 : ∣𝑧∣ = 𝑅} jest zorientowany zgodnie z ruchem wskaz´

owek zegara (czyli dodatnio

wobec nieogranoczonej sk̷ladowej ¯

ℂ ∖ 𝐾).

Poniewa˙z 𝑓 rozwija si

,

e w szereg Laurenta 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑘=−∞

𝑐

𝑛

𝑧

𝑛

w 𝑃 (0, 𝑅, ∞) = {𝑧 : 𝑅 < ∣𝑧∣ <

∞}, to ca̷lkuj

,

ac ten szereg wyraz po wyrazie wzd̷lu˙z konturu 𝐾 otrzymamy, ˙ze

𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧) = −𝑐

1

.

75

Minus przed wyrazem 𝑐

1

bierze si

,

e st

,

ad, ˙ze kontur 𝐾 jest skierowany zgodnie z ruchem

wskaz´

owek zegara.

Twierdzenie 12.2 (o pe̷lnej sumie residu´

ow)

Je˙zeli 𝑓 jest holomorficzna w ℂ z wyj

,

atkiem punkt´

ow 𝑎

1

, 𝑎

2

, . . . , 𝑎

𝑛

, to

𝑛

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧) + 𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧) = 0.

Dow´

od

Niech 𝑅 > 0 b

,

edzie tak du˙ze, ˙ze kontur 𝐾 = {𝑧 : ∣𝑧∣ = 𝑅} zawiera w swym wn

,

etrzu punkty

𝑎

1

, 𝑎

2

, . . . , 𝑎

𝑛

. Z twierdzenia Cauchy’ego o residuach mamy, ˙ze

1

2𝜋𝑖

∫

𝐾

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

𝑛

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧).

Przy dalszym zwi

,

ekszaniu 𝑅 lewa calka w powy˙zszym wzorze nie zmieni si

,

e. St

,

ad dla du˙zych

𝑅 b

,

edzie ona r´

owna residuum 𝑓 ze znakiem minus bo do liczenia resuduum w niesko´

nczono´sci

kontur 𝐾 musi by´

c zorientowany przeciwnie.

I tak udowodnili´smy, ˙ze

∑

𝑛
𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧) +

𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧) = 0.

Przyk̷lad 12.3 Obliczy´

c

∫

∣𝑧∣=2

𝑑𝑧

(𝑧

8

+ 1)

2

.

Funkcja podca̷lkowa ma 8 biegun´

ow 2-krotnych.

Skorzystamy z powy˙zszego twierdzenia.

Zatem

∫

∣𝑧∣=2

𝑑𝑧

(𝑧

8

+ 1)

2

= 2𝜋𝑖

8

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧) = −2𝜋𝑖𝑟𝑒𝑠

∞

𝑓 (𝑧).

Aby obliczy´

c residuum 𝑓 (𝑧) w niesko´

nczono´sci rozpatrujemy funkcj

,

e

𝑓

( 1

𝑧

)

=

1

(

1

𝑧

8

+ 1)

2

=

𝑧

16

(𝑧

8

+ 1)

2

.

Wtedy punkt 𝑧

0

= 0 jest zerem 16-krotnym funkcji 𝑓 (przez co rozumiemy zero funkcji 𝑓 (

1
𝑧

)),

st

,

ad 𝑓 (

1
𝑧

) = 𝑧

16

𝜓(𝑧), 𝜓(𝑧) jest holomorficzna. Wynika st

,

ad, ˙ze rozwini

,

ecie 𝑓 (

1
𝑧

) w szereg

Taylora w punkcie 𝑧

0

= 0 ma posta´

c 𝑓 (

1
𝑧

) =

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛+16

. Zatem nie ma cz

,

e´sci g̷l´

ownej,

wi

,

ec 𝑎

−1

= 0 i w konsekwencji

∫

∣𝑧∣=2

𝑑𝑧

(𝑧

8

+ 1)

2

= 0.

76

12.1

Zastowanie do obliczanie ca̷lek rzeczywistych

Wpropadzamy oznaczenia: Niech 𝑅 ∈ ℝ

+

, odcinek [−𝑅, 𝑅] b

,

edzie podzbiorem osi 𝑂𝑋, Γ

𝑅

=

{𝑧 : ∣𝑧∣ = 𝑅, Im𝑧 ≥ 0}- p´

o̷lokr

,

ag,

Γ := Γ

𝑅

∪ [−𝑅, 𝑅].

Lemat 12.1 (Jordana)
Niech 𝑓 b

,

edzie funkcj

,

a holomorficzn

,

a w {𝑧 : Im𝑧 ≥ 0} z wyj

,

atkiem sko´

nczonej ilo´

sci punkt´

ow,

niele˙z

,

acych na osi 𝑂𝑋 oraz 𝑀 (𝑅) = max

Γ

𝑅

∣𝑓 (𝑧)∣ → 0 dla 𝑅 → ∞. W´

owczas dla dowolnego

𝜆 > 0

∫

Γ

𝑅

𝑓 (𝑧)𝑒

𝑖𝜆𝑧

𝑑𝑧 → 0

dla 𝑅 → ∞.

Dow´

od Niech

Γ

′
𝑅

= {𝑧 : 𝑧 = 𝑅𝑒

𝑖𝑡

, 𝑡 ∈ [0,

𝜋

2

]}.







∫

Γ

′
𝑅

𝑓 (𝑧)𝑒

𝑖𝜆𝑧

𝑑𝑧







=







∫

𝜋

2

0

𝑓 (𝑅𝑒

𝑖𝑡

)𝑒

𝑖𝜆𝑅(𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑡)

𝑖𝑅𝑒

𝑖𝑡

𝑑𝑡







.

(12.2)

Poniewa˙z ∣𝑒

𝑖𝜆𝑖𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡

∣ = 1, ∣𝑒

𝑖𝑡

∣ = 1 oraz ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ 𝑀 (𝑅), to wstawiaj

,

ac te oszacowania do (12.2)

otrzymamy







∫

Γ

′
𝑅

𝑓 (𝑧)𝑒

𝑖𝜆𝑧

𝑑𝑧







≤

∫

𝜋

2

0

𝑀 (𝑅)𝑅𝑒

−𝜆𝑅𝑠𝑖𝑛𝑡

𝑑𝑡 ≤ 𝑀 (𝑅)𝑅

∫

𝜋

2

0

𝑒

−𝜆𝑅𝑠𝑖𝑛𝑡

𝑑𝑡 ≤ 𝑀 (𝑅)𝑅

∫

𝜋

2

0

𝑒

−𝜆𝑅

2

𝜋

𝑑𝑡.

Ostatnia nier´

owno´s´

c wynika z faktu, ˙ze dla 𝑡 ∈ [0,

𝜋

2

] zachodzi nier´

owno´s´

c 𝑠𝑖𝑛𝑡 ≥

2

𝜋

𝑡. Zatem

𝑀 (𝑅)𝑅

∫

𝜋

2

0

𝑒

−𝜆𝑅

2

𝜋

𝑡

𝑑𝑡 = 𝑀 (𝑅)𝑅

(

𝜋

2𝜆𝑅

) [

−𝑒

− 𝑅

2

𝜋

𝑡

]

𝜋

2

0

= 𝑀 (𝑅)

𝜋

2𝜆

(1 − 𝑒

−𝜆𝑅

) → 0

bo 𝑀 (𝑅) → 0. Dow´

od w pozosta̷lej ´

cwiartce jest analogiczny.

Uwaga 12.2
M(R) mo˙ze d

,

a˙zy´

c do zera tak wolno, ˙ze

∫

Γ

𝑅

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 mo˙ze nie d

,

a˙zy´

c do zera. Pomno˙zenie

funkcji podca̷lkowej 𝑓 przez 𝑒

𝑖𝜆𝑧

przyspiesza zbie˙zno´s´

c ca̷lki.

Lemat 12.2
Niech 𝑓 b

,

edzie funkcj

,

a holomorficzn

,

a w {𝑧 : Im𝑧 ≥ 0} z wyj

,

atkiem sko´

nczonej ilo´

sci punkt´

ow

𝑎

𝑘

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛, niele˙z

,

acych na osi 𝑂𝑋. Ponadto zak̷ladamy, ˙ze 𝑓 jest rzeczywista na osi 0𝑋

77

oraz dla ∣𝑧∣ ≥ 𝑟 spe̷lnia warunek ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤

𝑀

∣𝑧∣

𝛼

, gdzie 𝛼 > 1, 𝑀 > 0 . W´

owczas ca̷lka z funkcji

𝑓 (𝑥) istnieje i wyra˙za si

,

e wzorem

∫

∞

−∞

𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 2𝜋𝑖

𝑛

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧).

Niech 𝐾 := Γ

𝑅

∪ [−𝑅, 𝑅] b

,

edzie tak du˙zy, aby wszystkie punkty 𝑎

𝑘

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 le˙za̷ly

wewn

,

atrz 𝐾. Z twierdzenia Cauchy’ego o residuach wynika, ˙ze

∫

𝑅

−𝑅

𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 +

∫

Γ

𝑅

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑛

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓 (𝑧).

St

,

ad wynika teza twierdzenia , bo






∫

Γ

𝑅

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧






≤

𝑀

𝑅

𝛼

𝜋𝑅 =

𝜋𝑀

𝑅

𝛼−1

,

gdzie 𝛼 > 1.

Uwaga 12.3
Lematy 12.1 i 12.2 s

,

a tak˙ze prawdziwe dla dolnej p´

o̷lp̷laszczyzny.

Przyk̷lad 12.4

1. Obliczy´

c

∫

∞

−∞

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥,

𝑘 > 0, 𝑎 > 0.

Jako funkcj

,

e zespolon

,

a bierzemy 𝑓 (𝑧) =

𝑒

𝑖𝑘𝑧

𝑧

2

+𝑎

2

, kt´

ora ma bieguny w punktach ±𝑎𝑖.

Poniewa˙z do obszaru ograniczonego Γ nale˙zy tylko jeden biegun 𝑎𝑖 to z twierdzenia
Cauchy’ego o liczeniu ca̷lek za pomoc

,

a residu´

ow otrzymamy,

∫

Γ

𝑒

𝑖𝑘𝑧

𝑧

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑟𝑒𝑠

𝑎𝑖

(

𝑒

𝑖𝑘𝑧

𝑧

2

+ 𝑎

2

)

.

Policzymy residuum 𝑓 w biegunie 𝑎𝑖.

𝑟𝑒𝑠

𝑎𝑖

𝑓 (𝑧) = lim

𝑧→𝑎𝑖

(𝑧 − 𝑎𝑖)

𝑒

𝑖𝑘𝑧

(𝑧 − 𝑎𝑖)(𝑧 + 𝑎𝑖)

= lim

𝑧→𝑎𝑖

𝑒

𝑖𝑘𝑧

(𝑧 + 𝑎𝑖)

=

𝑒

−𝑎𝑘

2𝑎𝑖

,

czyli

∫

Γ

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖

𝑒

−𝑎𝑘

2𝑎𝑖

=

𝜋

𝑎𝑒

𝑎𝑘

.

∫

Γ

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

Γ

𝑅

𝑒

𝑖𝑘𝑧

𝑧

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑧 +

∫

𝑅

−𝑅

𝑒

𝑖𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥.

78

Dla 𝑅 → ∞ zachodzi, ˙ze





𝑒

𝑖𝑘𝑧

𝑧

2

+𝑎

2





→ 0 (korzystamy z lematu Jordana) oraz

∫

𝑅

−𝑅

𝑒

𝑖𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥 →

∫

∞

−∞

𝑒

𝑖𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥 =

∫

∞

−∞

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥 + 𝑖

∫

∞

−∞

𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥.

Tak wi

,

ec dostaniemy, ˙ze

𝜋

𝑎𝑒

𝑎𝑘

=

∫

Γ

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

∞

−∞

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥 + 𝑖

∫

∞

−∞

𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥.

Zatem

𝜋

𝑎𝑒

𝑎𝑘

=

∫

∞

−∞

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

𝑥

2

+ 𝑎

2

𝑑𝑥.

2. Zastosowanie twierdzenia Cauchy’ego o liczeniu ca̷lek za pomoc

,

a residu´

ow do ca̷lek

postaci

∫

2𝜋

0

𝑓 (𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝑠𝑖𝑛𝜙)𝑑𝜙.

Wprowadzamy zmienn

,

a 𝑧 = 𝑒

𝑖𝜙

, 𝜙 ∈ [0, 2𝜋]. Wtedy

𝑐𝑜𝑠𝜙 =

𝑒

𝑖𝜙

+ 𝑒

−𝑖𝜙

2

=

𝑧 + 𝑧

−1

2

,

𝑠𝑖𝑛𝜙 =

𝑒

𝑖𝜙

− 𝑒

−𝑖𝜙

2𝑖

=

𝑧 − 𝑧

−1

2𝑖

,

∫

2𝜋

0

𝑓 (𝑐𝑜𝑠𝜙, 𝑠𝑖𝑛𝜙)𝑑𝜙 =

∫

∣𝑧∣=1

𝑓 (

𝑧 + 𝑧

−1

2

,

𝑧 − 𝑧

−1

2𝑖

)

𝑑𝑧

𝑖𝑧

.

Zastosujemy to do obliczenia ca̷lki

∫

2𝜋

0

𝑑𝜙

5 + 4𝑠𝑖𝑛(𝜙)

=

∫

∣𝑧∣=1

𝑑𝑧

𝑖𝑧

5 + 4

𝑧−𝑧

−1

2𝑖

=

∫

∣𝑧∣=1

𝑑𝑧

5𝑖𝑧 + 2𝑧(𝑧 − 𝑧

−1

)

=

∫

∣𝑧∣=1

𝑑𝑧

2𝑧

2

+ 5𝑖𝑧 − 2

∫

∣𝑧∣=1

𝑑𝑧

2(𝑧 + 2𝑖)(𝑧 +

1
2

𝑖)

= 2𝜋𝑖𝑟𝑒𝑠

−

1
2

𝑖

1

2𝑧

2

+ 5𝑖𝑧 − 2

= 2𝜋𝑖 lim

𝑧→−

1
2

𝑖

𝑑𝑧

2(𝑧 + 2𝑖)(𝑧 +

1
2

𝑖)

=

2𝜋

3

.

3. Wykaza´

c, ˙ze

∫

∞

0

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥

=

𝜋

2

.

Niech 𝑟 < 𝑅, 𝛾

𝑟

= {𝑧 : 𝑧 = 𝑟𝑒

𝑖𝑡

, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]}, [−𝑅, −𝑟], [𝑟, 𝑅] odcinki zawarte w osi

OX. Tworzymy zamkni

,

et

,

a krzyw

,

a Γ := Γ

𝑅

∪ [−𝑅, −𝑟] ∪ 𝛾

𝑟

∪ [𝑟, 𝑅], kt´

or

,

a orientujemy

dodatnio wzgl

,

edem obszaru 𝐷, kt´

ory ona ogranicza.

Niech 𝑓 (𝑧) =

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

, wtedy 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷). Zatem z podstawowego tw. Cauchy’ego

0 =

∫

Γ

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∫

Γ

𝑅

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

𝑑𝑧 +

∫

−𝑟

−𝑅

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 +

∫

𝑅

𝑟

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 +

∫

𝛾

𝑟

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

𝑑𝑧.

(12.3)

79

Dla 𝑧 ∈ Γ

𝑅

mamy






𝑒

𝑖𝑧

𝑧






=

∣𝑒

𝑖(𝑥+𝑖𝑦)

∣

𝑅

=

∣𝑒

𝑖𝑥

∣𝑒

−𝑦

𝑅

=

𝑒

−𝑦

𝑅

→ 0

dla 𝑅 → ∞, bo 𝑦 > 0. St

,

ad

∫

Γ

𝑅

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

𝑑𝑧 → 0.

Dla 𝑧 ∈ 𝛾

𝑅

mamy

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

=

1 + 𝑖𝑧 +

(𝑖𝑧)

2

2!

+

(𝑖𝑧)

3

3!

= . . .

𝑧

=

1

𝑧

+ 𝑖 +

−𝑧

2!

+

− − 𝑖𝑧

2

3!

+ . . . =

1

𝑧

+ 𝑔(𝑧)

St

,

ad

∫

𝛾

𝑟

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

𝑑𝑧 =

∫

𝛾

𝑟

1

𝑧

𝑑𝑧 +

∫

Γ

𝑅

𝑔(𝑧)𝑑𝑧.

Policzymy kolejno ca̷lki. Dla 𝑧 ∈ 𝛾

𝑟

, 𝑧 = 𝑟𝑒

𝑖𝑡

, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]

∫

𝛾

𝑟

1

𝑧

𝑑𝑧 = −

∫

𝜋

0

1

𝑟𝑒

𝑖𝑡

𝑖𝑟𝑒

𝑖𝑡

𝑑𝑡 = −𝑖𝜋.

Na 𝛾

𝑟

∣𝑔(𝑧)∣ ≤ 𝑀 , zatem





∫

𝛾

𝑟

𝑔(𝑧)𝑑𝑧





≤ 𝑀 𝜋𝑟 → 0 dla 𝑟 → 0. St

,

ad

lim

𝑟→0

∫

𝛾

𝑟

𝑒

𝑖𝑧

𝑧

𝑑𝑧 = −𝑖𝜋 + 0 = −𝑖𝜋.

(12.4)

Dla 𝑅 → ∞ i 𝑟 → 0

(∫

−𝑟

−𝑅

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 +

∫

𝑅

𝑟

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥

)

⇒

∫

0

−∞

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 +

∫

∞

0

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥.

Je´sli w ca̷lce

∫

0

−∞

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 dokonamy podstawienia 𝑥 = −𝑡, to otrzymamy ca̷lk

,

e −

∫

∞

0

𝑒

−𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥.

Tak wi

,

ec z (12.3) i (12.4) wynika, ˙ze dla 𝑅 → ∞ i 𝑟 → 0

0 = 0 +

∫

0

−∞

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 +

∫

∞

0

𝑒

𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 − 𝑖𝜋.

Zatem

𝑖𝜋 =

∫

∞

0

𝑒

𝑖𝑥

− 𝑒

−𝑖𝑥

𝑥

𝑑𝑥 =

∫

∞

0

(𝑒

𝑖𝑥

− 𝑒

−𝑖𝑥

)2𝑖

𝑥2𝑖

𝑑𝑥 = 2𝑖

∫

∞

0

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥

𝑑𝑥

⇒

∫

∞

0

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥

𝑑𝑥 =

𝜋

2

.

80

13

Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej

Definicja 13.1
Niech 𝑧

0

∈ ℂ, Γ jest g̷ladk

,

a krzyw

,

a, kt´

ora nie przechodzi przez punkt 𝑧

0

. Warto´

sc ca̷lki

𝐼

Γ

(𝑧

0

) :=

1

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑑𝑧

𝑧 − 𝑧

0

𝑑𝑧

(13.1)

nazywamy indeksem punktu 𝑧

0

wzgl

,

edem krzywej Γ.

Lemat 13.1
Indeks punktu wzgl

,

edem krzywej jest liczb

,

a ca̷lkowit

,

a.

Dow´

od Niech 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽], b

,

edzie g̷ladk

,

a funkcj

,

a opisuj

,

ac

,

a krzyw

,

a Γ. Definiujemy funkcj

,

e

ℎ(𝑡) =

∫

𝑡

𝛼

𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡

𝑧(𝑡) − 𝑧

0

𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽.

Jej pochodna wynosi ℎ

′

(𝑡) =

𝑧

′

(𝑡)

𝑧(𝑡)−𝑧

0

dla 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽]. Zatem pochodna funkcji 𝑒

−ℎ(𝑡)

[𝑧(𝑡) − 𝑧

0

]

jest r´

owna

𝑒

−ℎ(𝑡)

(−ℎ

′

(𝑡)(𝑧(𝑡) − 𝑧

0

) + 𝑧

′

(𝑡)) =

𝑒

−ℎ(𝑡)

(

−

𝑧

′

(𝑡)

𝑧(𝑡) − 𝑧

0

(𝑧(𝑡) − 𝑧

0

) + 𝑧

′

(𝑡)

)

= 0.

St

,

ad funkcja 𝑒

−ℎ(𝑡)

[𝑧(𝑡) − 𝑧

0

] jest sta̷la na przedziale [𝛼, 𝛽] i i jej warto´s´

c jest r´

owna warto´sci

w punkcie 𝑡 = 𝛼. Uwzgl

,

edniaj

,

ac ℎ(𝛼) = 0 otrzymamy 𝑒

−ℎ(𝑡)

(𝑧(𝑡) − 𝑧

0

) = 𝑒

−ℎ(𝛼)

(𝑧(𝛼) −

𝑧

0

) = 𝑧(𝛼) − 𝑧

0

. Wtedy 𝑒

ℎ(𝑡)

=

𝑧(𝑡)−𝑧

0

𝑧(𝛼)−𝑧

0

oraz 𝑒

ℎ(𝛽)

= 1 bo 𝑧(𝛽) = 𝑧(𝛼). Zatem ℎ(𝛽) jest

wielokrotno´scia 2𝜋𝑖 z czego wynika wz´

or (13.1).

Definicja 13.2
Pochodn

,

a logarytmiczn

,

a funkcji meromorficznej 𝑓 nazywamy funkcj

,

e postaci

𝑑𝑙𝑛(𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧

=

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

.

Definicja 13.3
Residuum logarytmicznym funkcji meromorficznej 𝑓 w punkcie 𝑧

0

nazywamy residuum pochod-

nej logarytmicznej

𝑑𝑙𝑛(𝑓 (𝑧))

𝑑𝑧

=

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

w punkcie 𝑧

0

.

Lemat 13.2
Je˙zeli 𝑧

0

jest 𝑛-krotnym zerem funkcji 𝑓 , to

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

= 𝑛.

81

Dow´

od

Poniewa˙z 𝑧

0

jest 𝑛-krotnym zerem 𝑓 to 𝑓 (𝑧) = (𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝜙(𝑧), gdzie 𝜙 ∈ 𝐻(𝑈 (𝑧

0

, 𝜖)) oraz

𝜙(𝑧

0

) ∕= 0 dla 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖). Policzymy pochodn

,

a logarytmiczn

,

a funkcji 𝑓 tzn.

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

=

𝑛(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛−1

𝜙(𝑧) + (𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝜙

′

(𝑧)

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝜙(𝑧)

=

𝑛

𝑧 − 𝑧

0

+

𝜙

′

(𝑧)

𝜙(𝑧)

.

Residuum funkcji

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

wynosi

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

=

1

2𝜋𝑖

∫

∣𝑧−𝑧

0

∣=𝑟

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧 =

1

2𝜋𝑖

∫

∣𝑧−𝑧

0

∣=𝑟

𝑛

𝑧 − 𝑧

0

+

1

2𝜋𝑖

∫

∣𝑧−𝑧

0

∣=𝑟

𝜙

′

(𝑧)

𝜙(𝑧)

= 𝑛.

Zauwa˙zmy, ˙ze

∫

∣𝑧−𝑧

0

∣=𝑟

𝜙

′

(𝑧)

𝜙(𝑧)

= 0 poniewa˙z

𝜙

′

(𝑧)

𝜙(𝑧)

∈ 𝐻(𝑈 (𝑧

0

, 𝜖)).

Lemat 13.3
Je˙zeli 𝑧

0

jest 𝑛-krotnym biegunem funkcji 𝑓 , to

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

= −𝑛.

Dow´

od

Je´sli 𝑧

0

jest 𝑛-krotnym biegunem funkcji 𝑓 to 𝑧

0

jest 𝑛-krotnym zerem funkcji

1

𝑓

. Poniewa˙z

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

= −

𝑑(−𝑙𝑛(𝑓 (𝑧)))

𝑑𝑧

= −

𝑑𝑙𝑛(

1

𝑓 (𝑧)

)

𝑑𝑧

.

St

,

ad

𝑟𝑒𝑠

𝑧

0

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

= −𝑛.

Twierdzenie 13.1
Niech 𝐷 ⊂ ℂ b

,

edzie obszarem, za´

s ∂𝐷- konturem. Je˙zeli funkcja 𝑓 jest funkcj

,

a meromorficzn

,

a

w 𝐷 i 𝑓 nie ma ani zer ani biegun´

ow na ∂𝐷, to

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧 = 𝑁 − 𝑃,

gdzie 𝑁 oznacza sum

,

e krotno´

sci wszystkich zer 𝑓 w 𝐷, 𝑃 -sum

,

e krotno´

sci wszystkich biegun´

ow

𝑓 w 𝐷.

Dow´

od

Niech 𝑎

𝑘

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑙, b

,

ed

,

a zerami funkcji 𝑓 za´s 𝑏

𝑛

, 𝑛 = 1, . . . , 𝑚, biegunami 𝑓 . Wtedy

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧 =

𝑙

∑

𝑘=1

𝑟𝑒𝑠

𝑎

𝑘

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

+

𝑚

∑

𝑛=1

𝑟𝑒𝑠

𝑏

𝑛

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

= 𝑁 − 𝑃.

82

Twierdzenie 13.2 (Zasada argumentu)
Niech 𝐷 ⊂ ℂ b

,

edzie obszarem, za´

s ∂𝐷- konturem. Je˙zeli funkcja 𝑓 jest funkcj

,

a meromorficzn

,

a

w 𝐷 i 𝑓 nie ma ani zer ani biegun´

ow na ∂𝐷, to przyrost argumentu 𝑓 podzielony przez 2𝜋

r´

owna si

,

e r´

oznicy mi

,

edzy ilo´

sci

,

a zer a ilo´

sci

,

a biegun´

ow funkcji w obszarze 𝐷 czyli

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧) = 𝑁 − 𝑃.

Dow´

od

Niech 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > b

,

edzie g̷ladk

,

a parametryzacj

,

a brzegu ∂𝐷.

𝑁 − 𝑃 =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧 =

1

2𝜋𝑖

∫

𝛽

𝛼

𝑓

′

(𝑧(𝑡))

𝑓 (𝑧(𝑡))

𝑧

′

(𝑡)𝑑𝑡 =

1

2𝜋𝑖

∫

𝛽

𝛼

𝑑𝑙𝑛(𝑓 (𝑧))

𝑑𝑡

𝑑𝑡

=

1

2𝜋𝑖

[𝑙𝑛(𝑓 (𝑧(𝑡)))]

𝛽
𝛼

=

1

2𝜋𝑖

(𝑙𝑛(𝑓 (𝑧(𝛽)) − 𝑙𝑛(𝑓 (𝑧(𝛼))) .

Poniewa˙z krzywa 𝑧(𝑡) parametryzuj

,

aca ∂𝐷 jest zamkni

,

eta, to 𝑓 (𝑧(𝛽)) = 𝑓 (𝑧(𝛼)). St

,

ad

𝑙𝑛(𝑓 (𝑧(𝛽)) − 𝑙𝑛(𝑓 (𝑧(𝛼)) = 𝑙𝑛∣𝑓 (𝑧(𝛽))∣ + 𝑖𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧(𝛽)) − 𝑙𝑛∣𝑓 (𝑧(𝛼))∣ − 𝑖𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧(𝛼))

𝑖Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧) := 𝑖(𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧(𝛽)) − 𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧(𝛼))

St

,

ad

𝑁 − 𝑃 =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷

𝑓

′

(𝑧)

𝑓 (𝑧)

𝑑𝑧 =

1

2𝜋𝑖

𝑖Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧).

Uwaga 13.1
Wielko´s´

c

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧) oznacza indeks zera wzgl

,

edem krzywej Γ(𝑡) = 𝑓 (𝑧(𝑡)), gdzie

𝑧(𝑡) ∈ ∂𝐷.

Twierdzenie 13.3 (Rouch´

e)

Je˙zeli dwie funkcje 𝑓 i 𝑔 s

,

a analityczne w domkni

,

eciu obszaru ¯

𝐷 i spe̷lniaj

,

a na brzegu ∂𝐷

nier´

owno´

s´

c ∣𝑔(𝑧)∣ < ∣𝑓 (𝑧)∣, to funkcje 𝑓 i 𝑓 + 𝑔 maj

,

a w obszarze 𝐷 tak

,

a sam

,

a ilo´

s´

c zer.

Dow´

od

Niech 𝑁

𝑓 +𝑔

oznacza ilo´s´

c zer z uwzgl

,

ednieniem krotno´sci funkcji𝑓 + 𝑔. Poniewa˙z obie funkcje

s

,

a holomorficzne, to nie maj

,

a biegun´

ow. Z zasady argumentu wynika, ˙ze

𝑁

𝑓 +𝑔

=

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔(𝑓 (𝑧) + 𝑔(𝑧)) =

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔

[

𝑓 (𝑧)

(

1 +

𝑔(𝑧)

𝑓 (𝑧)

)]

83

=

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧) +

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔

(

1 +

𝑔(𝑧)

𝑓 (𝑧)

)

.

Poniewa˙z





𝑔(𝑧)

𝑓 (𝑧)





< 1 oraz wektor wodz

,

acy funkcji 1+

𝑔(𝑧)

𝑓 (𝑧)

nie obiega zera, to

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔

(

1 +

𝑔(𝑧)

𝑓 (𝑧)

)

=

0. St

,

ad i z faktu, ˙ze

1

2𝜋

Δ

∂𝐷

𝑎𝑟𝑔𝑓 (𝑧) = 𝑁

𝑓

dostaniemy

𝑁

𝑓 +𝑔

= 𝑁

𝑓

.

Twierdzenie 13.4 (Bezout)
Ka˙zdy wielomian stopnia 𝑛 ma w dziedzinie zespolonej dok̷ladnie 𝑛 zer.

Dow´

od

Niech

𝑃 (𝑧) = 𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

+ 𝑎

𝑛−1

𝑧

𝑛−1

+ . . . 𝑎

1

𝑧 + 𝑎

0

= 𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

+ 𝑔(𝑧).

Niech 𝑓 (𝑧) := 𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

. Funkcja 𝑓 ma dok̷ladnie 𝑛 zer (liczymy z krotno´sciami). Dla dostatecznie

du˙zego 𝑅 na okr

,

egu {𝑧 : ∣𝑧∣ = 𝑅} zachodzi ∣𝑓 (𝑧)∣ > ∣𝑔(𝑧)∣ (bo stopie´

n 𝑔 jest nie wi

,

ekszy ni˙z

𝑛 − 1). Zatem z tw. Rouch´

e 𝑁

𝑓 +𝑔

= 𝑁

𝑓

, st

,

ad 𝑁

𝑓 +𝑔

= 𝑛.

Przyk̷lad 13.1
Pokaza´

c, ˙ze zera wielomianu 𝑃 (𝑧) = 𝑧

8

− 4𝑧

3

+ 10 le˙z

,

a w pier´scieniu 𝑃 (0, 1, 2) = {𝑧 :

1 ≤ ∣𝑧∣ < 2}. Wyka˙zemy, ˙ze w kole 𝐾(0, 1) wielomian 𝑃 (𝑧) nie ma pierwiastk´

ow. Niech

𝑓 (𝑧) = 10, 𝑔(𝑧) = 𝑧

8

− 4𝑧

3

. Wtedy ∣𝑔(𝑧)∣ ≤ 1 + 4 = 5 < 10 = ∣𝑓 (𝑧)∣ na brzegu 𝐾(0, 1).

Zatem z twierdzenia Rouch´

e 𝑁

𝑃

= 𝑁

𝑓 +𝑔

= 𝑁

𝑓

= 0 czyli w 𝐾(0, 1) nie ma zer. Wyka˙zemy, ˙ze

w kole 𝐾(0, 2) wielomian 𝑃 (𝑧) ma 8 pierwiastk´

ow. Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑧

8

, 𝑔(𝑧) = 10 − 4𝑧

3

. Wtedy

na brzegu 𝐾(0, 2) mamy ∣𝑔(𝑧)∣ ≤ 10 + 4 × 2

3

= 42 < 256 = 2

8

= ∣𝑓 (𝑧)∣. Zatem z twierdzenia

Rouch´

e 𝑁

𝑓 +𝑔

= 𝑁

𝑓

= 8 czyli w 𝐾(0, 2) mamy 8 pierwiastk´

ow. Ostatecznie dostajemy, ˙ze

wszystkie zera wielomianu 𝑃 (𝑧) le˙z

,

a w 𝐾(0, 2) ∖ 𝐾(0, 1).

Twierdzenie 13.5 (zasada zachowania obszaru)
Je˙zeli 𝐷 ⊂ ℂ jest obszarem oraz 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∕= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, to obraz 𝑓 (𝐷) te˙z jest obszarem.

Dow´

od

Nale˙zy udowodni´

c, ˙ze 𝑓 (𝐷) jest sp´

ojny i otwarty. Ze stwierdzenia 1.1 wynika, ˙ze dla zbior´

ow

otwartych w ℂ sp´ojno´s´c i ̷lukowa sp´ojno´s´c s

,

a poj

,

eciami r´

ownowa˙znymi. Najpierw udowod-

nimy, ˙ze 𝑓 (𝐷) jest sp´

ojny. Niech 𝑤

1

, 𝑤

2

oznaczaj

,

a dwa dowolne punkty ze zbioru 𝑓 (𝐷).

Niech 𝑧

1

, 𝑧

2

oznaczaj

,

a ich przeciwobrazy nale˙z

,

ace do 𝐷. Poniewa˙z 𝐷 jest ̷lukowo sp´

ojny, to

istnieje droga 𝛾 ̷l

,

acz

,

aca punkty 𝑧

1

, 𝑧

2

zawarta w 𝐷. Jej obraz jest drog

,

a zawart

,

a w 𝑓 (𝐷)

̷l

,

acz

,

ac

,

a punkty 𝑤

1

, 𝑤

2

. Zatem 𝑓 (𝐷) jest zbiorem ̷lukowo sp´

ojnym, zatem sp´

ojnym. Udowod-

nimy, ˙ze 𝑓 (𝐷) jest otwarty. Niech 𝑤

0

∈ 𝐷, za´s 𝑧

0

niech b

,

edzie jego przeciwobrazem w 𝐷.

84

Poniewa˙z 𝐷 jest otwarty to istnieje 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷. Zmniejszaj

,

ac ewentualnie 𝑟 mo˙zna za̷lo˙zy´

c,

˙ze 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) nie zawiera innych przeciwobraz´

ow 𝑤

0

.

Niech 𝛾

𝑟

oznacza brzeg 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) tzn.

𝛾

𝑟

= {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑟}, 𝜇 := min

𝑧∈𝛾

𝑟

∣𝑓 (𝑧) − 𝑤

0

∣. Zauwa˙zmy, ˙ze 𝜇 > 0 bo w przeciwnym przy-

padku istnia̷lby na 𝛾

𝑟

punkt b

,

ed

,

acy przeciwobrazem 𝑤

0

, wbrew naszemu za̷lo˙zeniu. Poka˙zemy,

˙ze 𝐷(𝑤

0

, 𝜇) = {𝑤 : ∣𝑤 − 𝑤

0

∣ < 𝜇} ⊂ 𝑓 (𝐷). Niech 𝑤

1

∈ 𝐷(𝑤

0

, 𝜇). Definiujemy funkcje

˜

𝑓 (𝑧) := 𝑓 (𝑧) − 𝑤

0

oraz ˜

𝑔(𝑧) := 𝑤

0

− 𝑤

1

dla 𝑧 ∈ 𝐷(𝑧

0

, 𝑟). Poniewa˙z ∣˜

𝑔(𝑧)∣ = ∣𝑤

0

− 𝑤

1

∣ < 𝜇

na 𝛾

𝑟

oraz ∣ ˜

𝑓 (𝑧)∣ = ∣𝑓 (𝑧) − 𝑤

0

∣ > 𝜇 na 𝛾

𝑟

. Zatem z twiedzenia Rouch´

e wynika, ˙ze funkcja

𝑓 (𝑧)−𝑤

1

:= 𝑓 (𝑧)−𝑤

0

+(𝑤

0

−𝑤

1

) = ˜

𝑔(𝑧)+ ˜

𝑓 (𝑧) ma w 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) tyle samo zer ile ma ich funkcja

˜

𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧) − 𝑤

0

, tzn. ma co najmniej jedno zero. Zatem funkcja 𝑓 w 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) przyjmuje

warto´s´

c 𝑤

1

. Lecz 𝑤

1

by̷l dowolnym punktem z 𝐷(𝑤

0

, 𝜇), st

,

ad ca̷ly dysk zawiera si

,

e w 𝑓 (𝐷).

Zatem 𝑓 (𝐷) jest otwarty.

Twierdzenie 13.6 (zasada maksimum)
Modu̷l funkcji analitycznej 𝑓 (𝑧), r´

o˙znej od sta̷lej w obszarze 𝐷, nie osi

,

aga maksimum w

˙zadnym punkcie wewn

,

etrznym tego obszaru.

Dow´

od

1. Najpierw poka˙zemy, je˙zeli modu̷l funkcji analitycznej jest sta̷ly w pewnym obszarze, to
funkcja jest sta̷la. Niech ∣𝑓 (𝑧)∣ = ∣𝑢 + 𝑖𝑣∣ = 𝑐, gdzie 𝑐 jest sta̷l

,

a, to ∣𝑓 (𝑧)∣

2

= 𝑢

2

+ 𝑣

2

= 𝑐

2

.

Sk

,

ad po zr´

o˙zniczkowaniu otrzymamy.

2𝑢𝑢

′
𝑥

+ 2𝑣𝑣

′

𝑥

= 0,

2𝑢𝑢

′
𝑦

+ 2𝑣𝑣

′

𝑦

= 0.

Na mocy r´

owna´

n Cauchy’ego-Riemanna

𝑢𝑢

′
𝑥

− 𝑣𝑢

′
𝑦

= 0,

𝑢𝑢

′
𝑦

+ 𝑣𝑢

′
𝑥

= 0.

Ruguj

,

ac 𝑢

′
𝑦

otrzymamy (𝑢

2

+ 𝑣

2

)𝑢

′
𝑥

= 𝑐

2

𝑢

′
𝑥

= 0, wi

,

ec 𝑢

′
𝑥

= 0 je˙zeli 𝑐 ∕= 0. Podobnie mo˙zna

pokaza´

c, ˙ze pochodne 𝑢

′
𝑦

, 𝑣

′

𝑥

, 𝑢

′
𝑦

s

,

a r´

owne zeru w ca̷lym obszarze. St

,

ad funkcje 𝑢, 𝑣 s

,

a sta̷le i

dlatego 𝑓 te˙z jest sta̷la. Je˙zeli 𝑐 = 0, to oczywi´scie 𝑓 (𝑧) jest funkcj

,

a to˙zsamo´sciowo r´

own

,

a zeru.

2. Je˙zeli 𝑓 ∕= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, to na mocy twierdzenia o zachowaniu obszaru ka˙zdy obszar jest przek-
szta̷lcany na obszar. Przypu´smy, ˙ze ∣𝑓 ∣ ma lokalne maksimum w punkcie𝑧

0

∈ 𝐷 tzn. istnieje

𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ⊂ 𝐷 takie, ˙ze dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖), ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ ∣𝑓 (𝑧

0

)∣. Poniewa˙z 𝑓 (𝑈 (𝑧

0

, 𝜖)) jest

obszarem, wi

,

ec znajdziemy punkt 𝑧

1

∈ 𝑓 (𝑈 (𝑧

0

, 𝜖)) taki, ˙ze ∣𝑧

1

∣ > ∣𝑓 (𝑧

0

)∣. Ale 𝑧

1

∈ 𝑓 (𝑈 (𝑧

0

, 𝜖))

to istnieje 𝑧

2

∈ 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) taki, ˙ze 𝑧

1

= 𝑓 (𝑧

2

). Otrzymana sprzeczno´s´

c ko´

nczy dow´

od.

Wniosek 13.1
Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∈ 𝐶( ¯

𝐷), to ∣𝑓 ∣ osi

,

aga maksimum na brzegu D.

85

Uwaga 13.2
Dla min ∣𝑓 ∣ powy´

zszy wniosek nie jest prawdziwy. Np. dla 𝑓 (𝑧) = 𝑧 modu̷l ∣𝑧∣ ma minimum

w 𝑧

0

= 0 ∈ 𝐷(0, 1).

Twierdzenie 13.7 (zasada minimum)
Je˙zeli funkcja 𝑓 jest holomorficzna w obszarze 𝐷 i nie zeruje si

,

e w nim, to ∣𝑓 ∣ mo˙ze osi

,

aga´

c

minimum lokalne wewn

,

atrz 𝐷 tylko w przypadku, gdy 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Dow´

od

Wystarczy w tym celu zastosowa´

c zasad

,

e maksimum do funkcji

1

𝑓

, kt´

ora jest holomorficzna

w 𝐷, bo 𝑓 (𝑧) ∕= 0 dla 𝑧 ∈ 𝐷.

Twierdzenie 13.8 (Lemat Schwarza)
Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷(0, 1)), 𝑓 ∈ 𝐶(𝐷(0, 1)) 𝑓 : 𝐷(0, 1) → 𝐷(0, 1) oraz 𝑓 (0) = 0, to

∀𝑧 ∈ 𝐷(0, 1)

∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ ∣𝑧∣.

Je˙zeli r´

owno´

s´

c jest osi

,

agana cho´

cby w jednym punkcie 𝑧 ∕= 0, to 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑖𝜙

𝑧, 𝜙 ∈ [0, 2𝜋).

Dow´

od Rozpatrzmy funkcj

,

e 𝜓(𝑧) :=

𝑓 (𝑧)

𝑧

. Z za̷lo˙zenia, ˙ze 𝑓 (0) = 0 wynika, ˙ze jest ona

holomorficzna w 𝐷(0, 1). Z zasady maksimum wynika, ˙ze funkcja ∣𝜓(𝑧)∣ osi

,

aga maksimum na

brzegu 𝐷(0, 𝑟), 𝑟 < 1. Lecz na brzegu ∂𝐷(0, 𝑟) mamy

∣𝜓(𝑧)∣ ≤

1

𝑟

.

(13.2)

Dla z d

,

a˙z

,

acych do brzegu ∂𝐷(0, 1) mamy, ˙ze 𝑟 → 1, zatem z (13.2) wynika, ˙ze ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ ∣𝑧∣

dla 𝑧 ∈ ∂𝐷(0, 𝑟). Poniewa˙z dowolny punkt z 𝐷(0, 1) nale˙zy do pewnego 𝐷(0, 𝑟), 𝑟 < 1, za-
tem nier´

owno´s´

c ∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ ∣𝑧∣ zosta̷la udowodniona. Je´sli w dowolnym punkcie 𝑧

0

∈ 𝐷(0, 1)

mamy znak r´

owno´sci, to ∣𝜓∣ osi

,

aga w tym punkcie maksymaln

,

a warto´s´

c r´

own

,

a 1. W´

owczas

𝜓 jest funkcj

,

a stal

,

a, kt´

orej modu̷l jest oczywi´scie r´

owny 1. St

,

ad 𝜓(𝑧) = 𝑒

𝑖𝜙

i w konsekwencji

𝑓 (𝑧) = 𝑧𝑒

𝑖𝜙

.

14

Przed̷lu ˙zenia analityczne

Definicja 14.1
Niech 𝐷

1

, 𝐷

2

⊂ ℂ b

,

eda obszarami, 𝑓

1

∈ 𝐻(𝐷

1

), 𝑓

2

∈ 𝐻(𝐷

2

).

Za̷l´

o˙zmy, 𝐷

1

∩ 𝐷

2

∕= ∅.

Niech Δ = 𝐷

1

∩ 𝐷

2

. Je´

sli dla ka˙zdego 𝑧 ∈ Δ, 𝑓

1

(𝑧) = 𝑓

2

(𝑧), w´

owczas ka˙zda z funkcji jest

przed̷lu˙zeniem analitycznym drugiej.

86

Przyk̷lad 14.1
Dane s

,

a trzy szeregi pot

,

egowe

𝑓

1

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

(1 − 𝑧)

𝑛

,

𝑓

2

(𝑧) =

1

𝑖

∞

∑

𝑛=0

(1 + 𝑖𝑧)

𝑛

,

𝑓

3

(𝑧) =

1

𝑖 − 1

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

( 𝑧 + 1 − 𝑖

𝑖 − 1

)

𝑛

zbie˙zne odpowiednio w dyskach 𝐷(0, 1), 𝐷(𝑖, 1), 𝐷(−1 + 𝑖,

√

2). Dyski te maj

,

a cz

,

e´sci wsp´

olne.

Ponadto 𝑓

1

(𝑧) =

1
𝑧

dla 𝑧 ∈ 𝐷(1, 1), 𝑓

2

(𝑧) =

1
𝑧

dla 𝑧 ∈ 𝐷(𝑖, 1), 𝑓

3

(𝑧) =

1
𝑧

dla 𝑧 ∈ 𝐷(−1+𝑖,

√

2).

𝑓

1

(𝑧) =

1

𝑧

=

1

1 + (𝑧 − 1)

=

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

(𝑧 − 1)

𝑛

.

𝑓

2

(𝑧) =

1

𝑧

=

1

𝑖 + (𝑧 − 𝑖)

=

1

𝑖

(1 + (

𝑧−𝑖

𝑖

)) =

1

𝑖

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

( 𝑧 − 𝑖

𝑖

)

𝑛

=

1

𝑖

∞

∑

𝑛=0

( 𝑖 − 𝑧

𝑖

)

𝑛

=

1

𝑖

∞

∑

𝑛=0

(1+𝑖𝑧)

𝑛

𝑓

3

(𝑧) =

1

𝑧

=

1

𝑧 − (−1 + 𝑖) + (𝑖 − 1)

=

1

(𝑖 − 1)

(1 + (

𝑧+1−𝑖

𝑖−1

)) =

1

𝑖 − 1

∞

∑

𝑛=0

(−1)

𝑛

( 𝑧 + 1 − 𝑖

𝑖 − 1

)

𝑛

,

czyli 𝑓

1

jest analitycznym przed̷lu˙zeniem 𝑓

2

, 𝑓

3

jest analitycznym przed̷lu˙zeniem 𝑓

2

.

Przed̷lu˙zenie analityczne daj

,

e si

,

e w naturalny spos´

ob uog´

olni´

c na sko´

nczony ci

,

ag funkcji.

Definicja 14.2
𝐷

𝑖

⊂ ℂ, 𝐷

𝑖

-obszar, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, Δ

𝑖

:= 𝐷

𝑖

∩ 𝐷

𝑖+1

. Niech 𝑓

𝑖

∈ 𝐻(𝐷

𝑖

) oraz 𝑓

𝑖+1

jest anality-

cznym przed̷lu˙zeniem 𝑓

𝑖

. Wtedy 𝑓

𝑛

nazywamy analitycznym przed̷lu˙zeniem po´

srednim funkcji

𝑓

1

.

Mo ˙zliwe s

,

a dwa przypadki:

1. W cz

,

e´sci wsp´

olnej ka˙zdych dw´

och obszar´

ow 𝐷

𝑖

, 𝐷

𝑘

funkcje 𝑓

𝑖

i 𝑓

𝑘

s

,

a identyczne. W´

owczas

ci

,

ag funkcji 𝑓

1

, . . . , 𝑓

𝑛

okre´sla w obszarze 𝐷

1

∪. . .∪𝐷

𝑛

jedn

,

a funkcj

,

e analityczn

,

a 𝑓 , kt´

ora

w obszarze 𝐷

𝑘

jest identyczna z funkcja 𝑓

𝑘

.

2. W cz

,

e´sci wsp´

olnej obszar´

ow 𝐷

𝑖

, 𝐷

𝑘

funkcje 𝑓

𝑖

i 𝑓

𝑘

nie s

,

a identyczne. Wtedy ci

,

ag funkcji

𝑓

1

, . . . , 𝑓

𝑛

nie okre´sla funkcji w obszarze 𝐷

1

∪ . . . ∪ 𝐷

𝑛

w dotychczasowym znaczeniu.

M´

owimy wtedy, ˙ze funkcje 𝑓

1

, . . . , 𝑓

𝑛

s

,

a ga̷l

,

eziami jednej funkcji analitycznej

wieloznacznej, kt´

ora w obszarze 𝐷

𝑘

jest identyczna z 𝑓

𝑘

.

Przyk̷lad 14.2
Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖𝜙,

𝜙 = 𝑎𝑟𝑔(𝑧). Zdefiniujemy obszary

𝑅

1

= {𝑧 : 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋},

𝑅

2

= {𝑧 :

3

4

𝜋 ≤ 𝜙 ≤

7

4

𝜋},

𝑅

3

= {𝑧 :

3

2

𝜋 ≤ 𝜙 ≤

5

2

𝜋}.

87

Wtedy 𝑓

1

∕= 𝑓

3

w cz

,

e´sci wsp´

olnej 𝑅

1

∩ 𝑅

3

.

Definicja 14.3
Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷). Funkcja 𝑓 przed̷lu˙za si

,

e przez punkt brzegowy 𝑧

0

obszaru

𝐷 je´

sli istnieje funkcja holomorficzna 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷(𝑧

0

, 𝑟)), kt´

ora jest r´

owna 𝑓 w pewnym obszarze

Δ = 𝐷 ∩ 𝐷(𝑧

0

, 𝑟).

Je´

sli w 𝑧

0

nie jest punktem przed̷lu˙zalno´

sci, to nazywamy go punktem osobliwym 𝑓 , a je´

sli jest

punktem przed̷lu˙zalno´

sci, to nazywamy go punktem regularnym

Twierdzenie 14.1
Ka˙zdy szereg pot

,

egowy 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

, r´

o˙zny od sta̷lej ma na okr

,

egu swego ko̷la

zbie˙zno´

sci 𝐾 = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ = 𝑟} przynajmniej jeden punkt osobliwy.

Dow´

od

Gdyby ka˙zdy punkt okr

,

egu 𝐾 by̷l regularny, to dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝐾 istnia̷lby szereg pot

,

egowy

zbie˙zny w dysku 𝐷(𝑧, 𝜖(𝑧)) r´

owny w cz

,

e´sci wsp´

olnej funkcji 𝑓 (𝑧). Cz

,

e´sc wsp´

olna ko̷la zbie˙zno´sci

i dysk´

ow 𝐷(𝑧, 𝜖(𝑧)) daje wi

,

eksze ko̷lo zbie˙zno´sci 𝐾

′

o promieniu 𝑟

′

> 𝑟, gdzie 𝑓 jest anality-

czna. Otrzymana sprzeczno´s´

c ko´

nczy dow´

od.

Przyk̷lad 14.3
Podamy przyk̷lad szeregu potegowego, dla kt´

orego ka˙zdy punkt z brzegu ko̷la zbie˙zno´sci jest

osobliwy.

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑧

2

𝑛

= 𝑧 + 𝑧

2

+ 𝑧

4

+ 𝑧

8

+ . . .

jest zbie˙zny w kole ∣𝑧∣ < 1. Niech 𝑧 = 𝑟𝑒

𝑘𝜋𝑖

2𝑝

, gdzie 𝑟 < 1, 𝑘, 𝑝 = 1, 2, . . . ,

∣𝑓 (𝑧)∣ =







∞

∑

𝑛=0

𝑟

2

𝑛

𝑒

2

𝑛−𝑝

𝑘𝜋𝑖







≥







∞

∑

𝑛=𝑝+1

𝑟

2

𝑛

𝑒

2

𝑛−𝑝

𝑘𝜋𝑖







−







𝑝

∑

𝑛=0

𝑟

2

𝑛

𝑒

2

𝑛−𝑝

𝑘𝜋𝑖







≥

∞

∑

𝑛=0

𝑟

2

𝑛

− (𝑝 + 1)

Dla 𝑟 → 1 mamy ∣𝑓 (𝑧)∣ → ∞ bo

∑

∞
𝑛=0

𝑟

2

𝑛

→ ∞. Wynika st

,

ad , ˙ze wszystkie punkty postaci

𝑧 = 𝑒

𝑘𝜋𝑖

2𝑝

s

,

a osobliwe, bo w punkcie regularnym istnieje granica funkcji 𝑓 (𝑧). Poniewa˙z takie

punkty s

,

a g

,

este w okr

,

egu jednostkowym, st

,

ad wszystkie punkty z okregu s

,

a osobliwe, bo

dostatecznie ma̷le otoczenie punktu regularnego sk̷lada si

,

e wy̷l

,

acznie z punkt´

ow regularnych.

Pytanie
Jak zbada´

c czy funkcja analityczna 𝑓 (𝑧) jest przed̷lu˙zalna poprzez brzeg swego obszaru ist-

nienia?

88

S̷lu˙zy do tego nast

,

epuj

,

aca metoda. Niech 𝑃 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

, gdzie 𝑧

0

∈ 𝐷 b

,

edzie

szeregiem Taylora naszej funkcji. Jest on zbie˙zny w kole 𝐷(𝑧

0

, 𝑟). Niech 𝐴 b

,

edzie

najbli˙zszym punktem brzegowym obszaru 𝐷. Obierzmy wewn

,

atrz odcinka 𝑧

0

𝐴 dowolny punkt

𝑧

1

. Szereg Taylora w otoczeniu punktu 𝑧

1

ma posta´

c 𝑃

1

(𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

1

)

𝑛

, kt´

ory jest

zbi

,

e˙zny w kole 𝐷(𝑧

1

, 𝑟

1

).

Promie´

n 𝑟

1

jest mniejszy ni˙z odleglo´s´

c punktu 𝐴 od 𝑧

0

, czyli

𝑟

1

= ∣𝐴 − 𝑧

1

∣ = 𝑟 − ∣𝑧

0

− 𝑧

1

∣. W cz

,

e´sci wsp´

olnej oba szeregi pokrywaj

,

a si

,

e.

Definicja 14.4
Przej´

scie od szeregu 𝑃 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

do szeregu 𝑃

1

(𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

1

)

𝑛

nazywamy

przeprowadzeniem szeregu 𝑃 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

do punktu 𝑧

1

.

Funkcja 𝑓 (𝑧) jest przed̷lu˙zalna przez punkt 𝐴 wtedy i tylko wtedy gdy 𝑟

1

> ∣𝑧

1

𝐴∣, bo na

okr

,

egu {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

1

∣ = 𝑟

1

} le˙zy tylko jeden punkt brzegowy 𝐴 zbioru 𝐷.

Definicja 14.5
M´

owimy, ˙ze szereg 𝑃 jest przed̷lu˙zalny wzd̷lu˙z krzywej Γ opisanej funkcja 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 >,

je˙zeli ka˙zdy punkt 𝑧(𝑡) ∈ Γ jest ´

srodkiem pewnego szeregu pot

,

egowego 𝑃

𝑡

, 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 >, o

dodatnim promieniu zbie˙zno´

sci. Przy czym szeregi tej rodziny spe̷lniaj

,

a warunki:

1. 𝑃

𝛼

= 𝑃 (𝑧),

2. ka˙zde dwa szeregi 𝑃

𝑡

1

, 𝑃

𝑡

2

sa identyczne w cz

,

e´

sci wsp´

olnej swych k´

o̷l zbie˙zno´

sci je´

sli 𝑡

1

, 𝑡

2

s

,

a dostatecznie blisko.

Rodzin

,

e szereg´

ow postaci 𝑃

𝑡

, 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > nazywamy ̷la´

ncuchem szreg´

ow pot

,

egowych ̷l

,

acz

,

acych

elementy 𝑃

𝛼

i 𝑃

𝛽

. Szereg 𝑃

𝛽

nazywamy przed̷lu˙zeniem szeregu 𝑃

𝛼

wzd̷lu˙z Γ.

Stwierdzenie 14.1
Ka˙zdy szereg pot

,

egowy wzd̷lu˙z krzywej wychodz

,

acej z jego ´

srodka ma co najwy˙zej jedno przed̷lu˙zenie.

Dow´

od

Gdyby szereg 𝑃

𝑡

, 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > mia̷l wzd̷lu˙z krzywej Γ dwa przed̷lu˙zenia, to obok ̷la´

ncucha

𝑃

𝑡

, 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > istnia̷lby drugi ̷la´

ncuch 𝑄

𝑡

, 𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 > o tym samym pocz

,

atku 𝑃

𝛼

= 𝑃 (𝑧) =

𝑄

𝛼

i o r´

o˙znych ko´

ncacha 𝑃

𝛽

∕= 𝑄

𝛽

. Niech 𝑡

0

b

,

edzie kresem g´

ornym takich liczb, ˙ze 𝑃

𝑡

= 𝑄

𝑡

dla 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡

0

. Wtedy w dowolnie ma̷lym otoczeniu 𝑧(𝑡

0

) istnia̷lyby dwie takie warto´s´

ci 𝑡 i

𝑡

′

takie, ˙ze 𝑃

𝑡

= 𝑄

𝑡

oraz 𝑃

′

𝑡

∕= 𝑄

𝑡

′

, co nie jest mo˙zliwe na mocy w̷lasno´sci drugiej ̷la´

ncucha.

Uwaga 14.1
Funkcj

,

e 𝑓 (𝑧) mo˙zna w obszarze 𝐷 wytworzy´

c z jednego jej elementu przez przed̷lu˙zenie

w obszarze 𝐷.

89

Definicja 14.6
Funkcj

,

e 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) nazywamy dowolnie przed̷lu˙zaln

,

a w 𝐷 je˙zeli ka˙zdy jej element daje si

,

e

przed̷lu˙zy´

c analitycznie po ka˙zedej krzywej zawartej w 𝐷.

Twierdzenie 14.2 (zasada monodromii)
Funkcja analityczna dowolnie przed̷lu˙zalna w obszarze jednosp´

ojnym 𝐷 jest w tym obszarze

jednoznaczna.

Powy˙zsze twierdzenie mo˙zna uog´

olni´

c.

Twierdzenie 14.3
Ka˙zdy element 𝑃 (𝑧) funkcji analitycznej dowolnie przed̷lu˙zalnej w obszarze 𝐷 ma to samo
przed̷lu˙zenie wzd̷lu˙z dowolnych dw´

och krzywych homotopijnych wzgl

,

edem 𝐷.

Uwaga 14.2
Z zasady monodromii wynika, ˙ze gdy pewien element 𝑃 (𝑧) funkcji analitycznej 𝑓 (𝑧) jest
przed̷lu˙zalny wzd̷lu˙z zamkni

,

etej Γ i po przed̷lu˙zeniu element ko´

ncowy jest r´

o˙zny od 𝑃 (𝑧), to

wewn

,

atrz Γ funkcja 𝑓 (𝑧) musi mie´

c przynajmniej jeden punkt osobliwy. Je´sli istnieje taki

punkt to nazywamy go punktem rozga̷l

,

ezienia danej funkcji (𝑓 ).

15

Rodziny normalne funkcji

Twierdzenia 15.1 (Weierstrassa)
𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓

𝑛

∈ 𝐻(𝐷), 𝑛 ∈ ℕ. Je˙zeli szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny niemal jednostajnie

w 𝐷 to:

1. suma 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w 𝐷,

2. dla ∀𝑘 ∈ ℕ szereg 𝑘-tych pochodnych jest te˙z niemal jednostajnie zbie˙zny w 𝐷, przy

czym

𝑓

(𝑘)

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=1

𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧).

Dow´

od

1. Niech 𝐾 b

,

edzie zwartym podzbiorem 𝐷. Mozemy za̷lo˙zy´

c, ˙ze 𝐾 = 𝐷(𝑧

0

, 𝑟). Wtedy brzeg

∂𝐾 jest krzyw

,

a zamkni

,

et

,

a, kt´

or

,

a oznaczymy przez Γ. Poniewa˙z funkcje 𝑓

𝑛

, 𝑛 = 1, 2, . . . s

,

a

ci

,

ag̷le na 𝐾 a szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny jednostajnie na K, to suma szeregu 𝑓 jest funkcj

,

a

ci

,

ag̷la na 𝐾. Ponadto zachodzi nast

,

epuj

,

aca w̷lasno´s´

c:

90

Je˙zeli szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) funkcji ci

,

ag̷lych na Γ jest zbie˙zny jednostajnie, to

∫

Γ

𝑓 (𝑧)𝑑𝑧 =

∞

∑

𝑛=1

∫

Γ

𝑓

𝑛

(𝑧)𝑑𝑧.

(15.1)

Niech 𝑟

𝑛

=

∫

Γ

𝑓 𝑑𝑧 −

∑

𝑛
𝑘=1

∫

Γ

𝑓

𝑘

=

∫

Γ

(𝑓 −

∑

𝑛
𝑘=1

𝑓

𝑘

) 𝑑𝑧. Poniewa˙z szereg jest zbie˙zny niemal

jednostajnie, to ∣𝑓 −

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

∣ < 𝜖, gdy 𝑛 jest dostatecznie du˙ze. Wtedy







∫

Γ

𝑓 𝑑𝑧 −

∫

Γ

𝑛

∑

𝑘=1

𝑓

𝑘

𝑑𝑧







<

∫

Γ

∣𝜖𝑑𝑧∣ = 𝜖∣Γ∣.

Gdy 𝑛 → ∞, to 𝜖 → 0, sk

,

ad wynika (15.1).

2. Z twierdzenia podstawowego Cauchy’ego wynika, ˙ze dla ka˙zdego 𝑛,

∫

Γ

𝑓

𝑛

𝑑𝑧 = 0

(spe̷lnione s

,

a za̷lo˙zenia, bo 𝑓

𝑛

∈ 𝐻(𝐷(𝑧

0

, 𝑟)) oraz 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) jest jednosp´

ojny). Zatem ca̷lka po

lewej stronie (15.1) wynosi zero. Z twiedzenia Morery za´s wynika, ˙ze 𝑓 jest holomorficzna
na 𝐷(𝑧

0

, 𝑟). Poniewa˙z zbi´

or 𝐷 mo˙zemy pokry´

c takimi dyskami, to 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷) czyli zachodzi

w̷lasno´s´

c (1) z tezy tw. Weierstrassa.

3. Zorientujemy Γ dodatnio wzgl

,

edem 𝐷. Pomn´

o˙zmy obie strony r´

owno´sci

𝑓 (𝜁) =

∞

∑

𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝜁)

przez

𝑘!

2𝜋𝑖(𝜁−𝑧

0

)

𝑘+1

i sca̷lkujemy po 𝜁 po okregu Γ. Wtedy otrzymamy r´

owno´s´

c

𝑘!

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝜁 =

∞

∑

𝑛=1

𝑘!

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑓

𝑛

(𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝜁.

(15.2)

Z twierdzenia o uog´

olnionym wzorze ca̷lkowym Cauchy’ego wynika, ˙ze

𝑘!

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑓 (𝜁)

(𝜁−𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝜁 =

𝑓

(𝑘)

(𝑧

0

) oraz

𝑘!

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑓

𝑛

(𝜁)

(𝜁−𝑧

0

)

𝑘+1

𝑑𝜁 = 𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧

0

). Zatem (15.2) oznacza, ˙ze zachodzi r´

owno´sc z punktu

(2) z tezy tw. Weierstrassa.

4. Teraz wyka˙zemy, ˙ze szereg pochodnych

∑

∞
𝑛=1

𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny niemal jednostajnie.

Niech 𝐾

1

oznacza ko̷lo o ´srodku w 𝑧

0

i promieniu 𝑟

′

=

𝑟
2

. Wtedy dla 𝜁 ∈ Γ i 𝑧 ∈ 𝐾

1

mamy,

˙ze ∣𝜁 − 𝑧∣ ≥ 𝑟

′

. Z za̷lo˙zenia szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny jednostajnie na 𝐾 zatem







𝑚+𝑝

∑

𝑛=𝑚+1

𝑓

𝑛

(𝑧)







< 𝜖

(15.3)

91

dla 𝑝 = 1, 2, . . . i 𝑛 > 𝑁 (𝜖). Zastosujemy (15.3) do oszacowania szeregu pochodnych tzn.







𝑚+𝑝

∑

𝑛=𝑚+1

𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧)







=







𝑘!

2𝜋𝑖

∫

Γ

𝑚+𝑝

∑

𝑛=𝑚+1

𝑓

𝑛

(𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

𝑘+1

𝑑𝜁







≤

𝑘!

2𝜋

𝜖

(𝑟

′

)

𝑘+1

4𝜋𝑟

′

.

St

,

ad modu̷ly ∣

∑

𝑚+𝑝
𝑛=𝑚+1

𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧)∣ s

,

a dowolnie ma̷le, gdy 𝑛 jest dostatecznie du˙ze. Zatem szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

(𝑘)

𝑛

(𝑧) jest jednostajnie zbie˙zny w kole 𝐾

1

. Poniewa˙z dowolny zwarty podzbi´

or 𝐾 za-

warty w 𝐷 mo˙zna pokry´

c sko´

nczon

,

a ilosci

,

a dysk´

ow, to otrzymamy, ˙ze szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑓

𝑛

jest

zbie˙zny niemal jednostajnie w 𝐷.

Twierdzenie 15.2 (Hurwitza)
𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝐾 ⊂ 𝐷 zwarty, 𝑓

𝑛

∈ 𝐻(𝐷), 𝑛 ∈ ℕ. Je˙zeli ci

,

ag 𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny jednostajnie

na 𝐾 do funkcji 𝑓 ∕= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. W´

owczas je´

sli 𝑓 (𝑧

0

) = 0, to w dowolnym kole 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷

wszystkie funkcje 𝑓

𝑛

poczynaj

,

ac od pewnego 𝑛 tak˙ze zeruj

,

a si

,

e.

Dow´

od

Z twierdzenia 15.1 (Weiestrassa) wynika, ˙ze funkcja 𝑓 jest holomorficzna w 𝐷. Poniewa˙z zera
funkcji holomorficznej s

,

a izolowane, zatem istnieje ko̷lo 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷, na kt´

orym 𝑓 (𝑧) ∕= 0.

Niech 𝐾 = ∂𝐷(𝑧

0

, 𝑟) oraz 𝜇 := min

𝑧∈𝐾

∣𝑓 (𝑧)∣. Wtedy 𝜇 > 0. Poniewa˙z ci

,

ag {𝑓

𝑛

}

𝑛∈ℕ

jest

zbie˙zny jednostjnie na 𝐾, wi

,

ec istnieje 𝑁 ∈ ℕ takie, ˙ze

∣𝑓

𝑛

(𝑧) − 𝑓 (𝑧)∣ < 𝜇

dla wszystkich 𝑧 ∈ 𝐾 i dla 𝑛 > 𝑁 . Z twierdzenia Rouch´

e wynika, ˙ze dla takich 𝑛 funkcja

𝑓

𝑛

= 𝑓 + (𝑓 − 𝑓

𝑛

) ma wewn

,

atrz 𝐾 tyle zer, ile ma 𝑓 , tzn. co najmniej jedno.

Wniosek 15.1
𝐷 ⊂ ℂ obszar, 𝑓

𝑛

∈ 𝐻(𝐷), 𝑛 ∈ ℕ oraz r´o˙znowarto´sciowe. Je˙zeli ci

,

ag 𝑓

𝑛

(𝑧) jest zbie˙zny jed-

nostajnie na dowolnym zbiorze zwartym 𝐾 ⊂ 𝐷, to funkcja graniczna jest r´

o˙znowarto´

sciowa

lub sta̷la.

Twierdzenie 15.3 (Rungego)
𝐷 ⊂ ℂ obszar jednosp´ojny, 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝐾 ⊂ 𝐷 zwarty. W´owczas dla dowolnej liczby 𝜀 > 0
istnieje wielomian 𝑃 taki, ˙ze

sup

𝑧∈𝐾

∣𝑓 (𝑧) − 𝑃 (𝑧)∣ < 𝜀.

Definicja 15.1
Niech ℱ b

,

edzie rodzin

,

a funkcji ci

,

ag̷lych w obszarze 𝐷 o warto´

sciach w ℂ (rodzina mo˙ze by´c

nieprzeliczalna). M´

owimy, ˙ze ℱ jest rodzin

,

a normaln

,

a w 𝐷, je˙zeli z ka˙zdego ci

,

agu (𝑓

𝑛

)

𝑛∈ℕ

z

92

tej rodziny mo˙zna wybra´

c podci

,

ag niemal jednostajnie zbie˙zny w 𝐷 do funkcji sko´

nczonej lub

niesko´

nczono´

sci.

Definicja rodzin normalnych pochodzi od P. Montela.

Definicja 15.2
M´

owimy, ˙ze funkcje z rodziny ℱ s

,

a wsp´

olnie ograniczone w obszarze 𝐷 ⇐⇒

∀𝐾 ⊂ 𝐷, 𝐾 − 𝑧𝑤𝑎𝑟𝑡𝑦

∃𝑀 (𝐾) > 0

∀𝑓 ∈ ℱ

∀𝑧 ∈ 𝐾

∣𝑓 (𝑧)∣ ≤ 𝑀 (𝐾).

Twierdzenie 15.4
Je˙zeli rodzina ℱ ⊂ 𝐻(𝐷) jest wsp´

olnie ograniczona w obszarze 𝐷, to rodzina pochodnych tych

funkcji jest tak˙ze wsp´

olnie ograniczona.

Dow´

od

Niech 𝑈 = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟} ⊂ 𝑉 = {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟

′

} ⊂ 𝐷. Z twierdzenia o wzorze ca̷lkowym

wynika, ˙ze dla

∀𝑓 ∈ ℱ ,

∀𝑧 ∈ 𝑉

𝑓

′

(𝑧) =

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝑉

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

2

𝑑𝜁,

gdzie ∂𝑉 jest zorientowany dodatnio. Dla 𝑧 ∈ 𝑈 i 𝜁 ∈ ∂𝑉 mamy, ˙ze ∣𝜁 − 𝑧∣ > 𝑟

′

− 𝑟 oraz

∣𝑓

′

(𝑧)∣ =

1

2𝜋






∫

∂𝑉

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧)

2

𝑑𝜁






≤

1

2𝜋

𝑀

(𝑟

′

− 𝑟)

2

2𝜋𝑟

′

=

𝑀 𝑟

′

(𝑟

′

− 𝑟)

2

= 𝑀 (𝑈 ).

Z twierdzenia Borela wynika, ˙ze dowolny zbi´

or zwarty mo˙zna pokry´

c sko´

nczon

,

a ilo´sci

,

a k´

o̷l

zawartych w 𝐷. Niech {𝑈

𝑖

: 𝑖 = 1, . . . , 𝑘} b

,

edzie sko´

nczonym pokryciem 𝐾 oraz 𝑀 (𝐾) =

sup

1≤𝑖≤𝑘

𝑀 (𝑈

𝑖

). Wtedy

∀𝐾 ⊂ 𝐷, 𝐾 − 𝑧𝑤𝑎𝑟𝑡𝑦

∀𝑧 ∈ 𝐾

∀𝑓 ∈ ℱ

∣𝑓

′

(𝑧)∣ ≤ 𝑀 (𝐾)

czyli pochodne tej rodziny s

,

a wsp´

olnie ograniczone.

Definicja 15.3
Rodzina funkcji ℱ , okre´

slonych w 𝐷 jest jednakowo ci

,

ag̷la, je˙zeli

∀𝜖 > 0

∀𝐾 ⊂ 𝐷, 𝐾−𝑧𝑤𝑎𝑟𝑡𝑦

∃𝛿(𝜖, 𝐾) > 0

∀𝑓 ∈ ℱ

∀𝑧, 𝑧

′

∈ 𝐷

∣𝑧−𝑧

′

∣ < 𝛿 ⇒ ∣𝑓 (𝑧)−𝑓 (𝑧

′

)∣ < 𝜖.

Twierdzenie 15.5
Je˙zeli rodzina ℱ ⊂ 𝐻(𝐷) jest wsp´

olnie ograniczona, to jest ona rodzin

,

a funkcji jednakowo

ci

,

ag̷lych.

93

Dow´

od

Niech 𝐾 b

,

edzie zwartym podzbiorem 𝐷, 2𝜌 := inf

𝑧∈∂𝐷,𝜁∈∂𝐾

∣𝑧 − 𝜁∣. Przez 𝐾

𝜌

oznaczmy

𝜌-otoczenie 𝐾 tzn.

𝐾

𝜌

=

∪

𝑧∈𝐾

{𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜌}.

Wtedy 𝐾

𝜌

⊂ 𝐷 oraz z za̷lo˙zenia, ˙ze ℱ ograniczona wynika z poprzedniego twierdzenia, ˙ze

∀𝑧 ∈ 𝐾

𝜌

∀𝑓 ∈ ℱ

∣𝑓

′

(𝑧)∣ ≤ 𝑀.

Niech 𝑧, 𝑧

′

∈ 𝐾

𝜌

b

,

ed

,

a dowolnymi punktami takimi, ˙ze ∣𝑧 − 𝑧

′

∣ < 𝜌. Wtedy odcinek < 𝑧, 𝑧

′

>

̷l

,

acz

,

acy 𝑧 i 𝑧

′

jest zawarty w 𝐾

𝜌

. St

,

ad

∣𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

′

)∣ =






∫

<𝑧,𝑧

′

>

𝑓

′

(𝑧)𝑑𝑧






≤ 𝑀 (𝐾)∣𝑧 − 𝑧

′

∣ ≤ 𝑀 (𝐾)𝜌.

Zatem

∀𝜖

∀𝐾 ⊂ 𝐷,

∃𝛿 = min

{

𝜌,

𝜖

𝑀 (𝐾)

}

∀𝑓 ∈ ℱ

∀𝑧, 𝑧

′

∈ 𝐷

∣𝑧−𝑧

′

∣ < 𝛿

⇒ ∣𝑓 (𝑧)−𝑓 (𝑧

′

)∣ < 𝜖

co dowodzi jednakowej ci

,

ag̷lo´sci funkcji 𝑓 ∈ ℱ .

Twierdzenie 15.6 (Montela)
Rodzina ℱ ⊂ 𝐻(𝐷) funkcji wsp´

olnie ograniczonych w 𝐷 jest rodzin

,

a normaln

,

a.

Dow´

od

1 Wyka˙zemy najpierw, ˙ze je´sli ci

,

ag funkcji (𝑓

𝑛

) ⊂ ℱ jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie pewnego

zbioru zbioru 𝐸 ⊂ g

,

estego w 𝐷, to jest on jednostajnie zbie˙zny na ka˙zdym zwartym podzbiorze

𝐾 ⊂ 𝐷. Ustalmy 𝜖 i zbi´

or zwarty 𝐾 ⊂ 𝐷. Z poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze rodzina

ℱ jest jednakowo ci

,

ag̷la. Korzystaj

,

ac z niej wybierzmy podzia̷l obszaru 𝐷 na kwadraty z

bokami r´

ownoleg̷lymi do osi wsp´

o̷lrz

,

ednych tak drobny, aby dla dowolnych punkt´

ow 𝑧

′

, 𝑧

′′

∈ 𝐾

nale˙z

,

acych do jednego kwadratu i dowolnej funkcji 𝑓 ∈ ℱ zachodzi̷la nier´

owno´s´

c

∣𝑓 (𝑧

′

) − 𝑓 (𝑧

′′

)∣ <

𝜖

3

.

(15.4)

Zbi´

or 𝐾 pokryty jest sko´

nczon

,

a liczb

,

a takich kwadrat´

ow {𝑂

𝑝

: 𝑝 = 1, . . . , 𝑃 }. Poniewa˙z

zbi´

or 𝐸 jest g

,

esty w 𝐷, wi

,

ec w ka˙zdym 𝑄

𝑝

mo˙zna znale´

z´

c 𝑧

𝑝

∈ 𝐸. Z za̷lo˙zenia, ˙ze ci

,

ag (𝑓

𝑛

)

jest zbie˙zny na 𝐸 wynika, ˙ze istnieje 𝑁 ∈ ℕ takie, ˙ze dla dla 𝑚, 𝑛 > 𝑁 i wszystkich 𝑧

𝑝

,

𝑝 = 1, . . . , 𝑃,

∣𝑓

𝑚

(𝑧

𝑝

) − 𝑓

𝑛

(𝑧

𝑝

)∣ <

1

3

𝜖.

(15.5)

94

Niech teraz 𝑧 b

,

edzie dowolnym punktem zbioru 𝐾. Istnieje 𝑝 ∈ {1, . . . , 𝑃 }, istnieje kwadrat

𝑄

𝑝

taki, ˙ze 𝑧 ∈ 𝑄

𝑝

oraz istnieje punkt 𝑧

𝑝

∈ 𝑄

𝑝

taki, ˙ze dla wszystkich 𝑚, 𝑛 > 𝑁 korzystaj

,

ac

z (15.4) i (15.5) otrzymamy, ˙ze

∣𝑓

𝑚

(𝑧) − 𝑓

𝑛

(𝑧)∣ ≤ ∣𝑓

𝑚

(𝑧) − 𝑓

𝑚

(𝑧

𝑝

)∣ + ∣𝑓

𝑚

(𝑧

𝑝

) − 𝑓

𝑛

(𝑧

𝑝

)∣ + ∣𝑓

𝑛

(𝑧

𝑝

) − 𝑓

𝑛

(𝑧)∣ < 𝜖.

(15.6)

A to oznacza, ˙ze (𝑓

𝑛

) jest zbie˙zny jednostajnie na 𝐾.

2. Wyka˙zemy teraz, ˙ze z dowolnego ci

,

agu (𝑓

𝑛

) mo˙zna wyj

,

a´

c podci

,

ag zbie˙zny w ka˙zdym

punkcie pewnego zbioru 𝐸 ⊂ 𝐷 g

,

estego w 𝐷.

Niech 𝐸 b

,

edzie zbiorem tych punkt´

ow

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ 𝐷, kt´

orych obie wsp´

o̷lrz

,

edne s

,

a wymierne. Oczywi´scie 𝐸 b

,

edzie przeliczalnym i

g

,

estym podzbiorem w 𝐷. Poniewa˙z zbi´

or 𝐸 jest przeliczalny, to mo˙zna ustawi´

c jego elementy

w ci

,

ag 𝑎

𝑛

, 𝑛 ∈ ℕ. Rozwa˙zmy ci

,

ag liczbowy (𝑓

𝑛

(𝑎

1

))- jest on ograniczony, wi

,

ec mo˙zna z niego

wybra´

c podci

,

ag zbie˙zny (𝑓

𝑛

1

). Niech (𝑓

1𝑛

) ozncza podci

,

ag zbie˙zny w punkcie 𝑎

1

. Nast

,

epnie

rozpatrujemy ciag (𝑓

1𝑛

))

𝑛∈ℕ

brany w punkcie 𝑎

2

. Poniewa˙z jest ograniczony, wi

,

ec mo˙zna z

niego wybra´

c podci

,

ag zbie˙zny, kt´

ory oznaczymy (𝑓

2𝑛

). Ci

,

ag (𝑓

𝑛2

) jest zbie˙zny w co najm-

niej w dw´

och punktach 𝑎

1

, 𝑎

2

. Analogiczn

,

a konstrukcj

,

e mo˙zna przed̷lu˙zac nieograniczenie.

Analogicznie post

,

epuj

,

ac dostaniemy podci

,

agi:

𝑓

11

𝑓

12

𝑓

13

. . .

𝑓

21

𝑓

22

𝑓

23

. . .

𝑓

31

𝑓

32

𝑓

33

. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Metod

,

a przek

,

atniow

,

a wybieramy podci

,

ag (𝑓

11

, 𝑓

22

, 𝑓

33

, . . .). Ci

,

ag ten jest zbie˙zny w dowol-

nym 𝑎

𝑝

∈ 𝐸, poniewa˙z jego wyrazy pocz

,

awszy od 𝑝-tego s

,

a wybrane z ci

,

agu 𝑓

𝑛

𝑝

zbie˙znego w

𝑎

𝑝

. Zatem ci

,

ag (𝑓

𝑛𝑛

) jest zbie˙zny na zbiorze 𝐸. Korzystaj

,

ac z I kroku dostajemy tez

,

e.

Twierdzenie Montela nazywane jest w literaturze zasad

,

a zwarto´

sci.

Przyk̷lad 15.1
Niech 𝑓 (𝑧) = 𝑧

𝑝

, 𝑝 ≥ 2. Przez 𝑓

𝑛

oznaczymy n-krotne z̷lo˙zenie funkcji 𝑓 tzn. 𝑓

𝑛

(𝑧) :=

𝑓 (𝑓 (......𝑓 (𝑧) . . .) = 𝑧

𝑝

𝑛

. Tworzymy przeliczaln

,

a rodzin

,

e ℱ = {𝑓

𝑛

(𝑧) : 𝑛 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ 𝐷(0, 1)}.

Ka˙zda funkcja 𝑓

𝑛

∈ 𝐻(𝐷(0, 1)). Rodzina ℱ jest ograniczona, poniewa˙z

∀𝐾

𝐾 = {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 𝑟 < 1}

∣𝑓

𝑛

(𝑧)∣ ≤ 𝑟

𝑝

𝑛

< 1.

Zatem ta rodzina jest normalna na mocy Twierdzenia Montela. Fatycznie ca̷ly ci

,

ag (𝑓

𝑛

) jest

zbie˙zny niemal jednostajnie do funkcji 𝑓 (𝑧) ≡ 0 dla 𝑧 ∈ 𝐷(0, 1). Ale funkcja graniczna nie
nale˙zy do ℱ .

95

Niech dana b

,

edzie funkcja meromorficzna 𝑓 : ℂ → ¯

ℂ. Wtedy 𝑛-t

,

a iteracj

,

a funkcji 𝑓 oz-

naczamy symbolem 𝑓

𝑛

i definiujemy jako 𝑛- krotne z̷lo˙zenie funkcji tzn. 𝑓

𝑛

:= 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ . . . ∘ 𝑓 .

Definicja 15.4
Niech 𝑓 : ℂ → ℂ b

,

edzie funkcj

,

a meromorficzn

,

a przest

,

epna lub wymiern

,

a stopnia 𝑑𝑒𝑔(𝑓 ) ≥ 2.

Zbiorem Fatou funkcji 𝑓 nazywamy zbi´

or

𝐹 (𝑓 ) := {𝑧 ∈ ¯

ℂ : ∃𝑈 − otoczenie punktu z t.˙ze rodzina iteracji

{𝑓

𝑛

∣𝑈

}

jest normalna}.

Zbiorem Julii funkcji 𝑓 nazywamy zbi´

or

𝐽 (𝑓 ) := ¯

ℂ ∖ 𝐹 (𝑓 ).

Nazwy tych zbior´

ow pochodz

,

a od tw´

orc´

ow teorii zw. dynamik

,

a holomorficzn

,

a P. Fatou i G.

Julia (matematyk´

ow francuskich ˙zyj

,

acych w XX wieku.)

Przyk̷lad 15.2

1. Je´sli 𝑓 (𝑧) = 𝑧

𝑑

, 𝑑 ≥ 2, to 𝐽 (𝑓 ) = {𝑧 ∈ 𝑆

1

: ∣𝑧∣ = 1}.

2. Je´sli 𝑓 (𝑧) = 𝑧

2

+ 𝑐, ∣𝑐∣ > 5, to 𝐽 (𝑓 ) jest zbiorem Cantora.

3. Dla 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

zbi´

or Julii 𝐽 (𝑓 ) = ℂ, natomiast dla 𝑓

𝜆

(𝑧) = 𝜆𝑒

𝑧

, 𝜆 ∈ 𝐼𝑅, 0 < 𝜆 <

1
𝑒

zbi´

or

Julii jest tzw. bukietem Cantora tzn. ma lokalnie struktur

,

e produktu zbioru Cantora i

krzywej.

4. Je´sli 𝑓

𝜆

(𝑧) = 𝜆𝑡𝑔(𝑧), 𝜆 ∈ ℂ, ∣𝜆∣ < 1 to dla ka˙zdego 𝑘 ∈ ℤ, 𝐽(𝑓 ) ∩ {𝑧 ∈ ℂ : 𝑘 < Re𝑧 ≤

𝑘 + 1} jest zbiorem Cantora, natomiast dla 𝑓 (𝑧) = 𝑡𝑔(𝑧) zbi´

or Julii jest prost

,

a (o´s

rzeczywista).

Twierdzenie 15.7 (Fatou-Julia)
Je˙zeli 𝑓 : ¯

ℂ →

¯

ℂ jest funkcj

,

a wymiern

,

a stopnia 𝑑𝑒𝑔(𝑓 ) ≥ 2, to zbi´

or Julii jest niepusty.

Twierdzenie 15.8 (Fatou)
Je˙zeli 𝑓 : ℂ → ℂ jest funkcj

,

a ca̷lkowit

,

a przest

,

epn

,

a, to zbi´

or Julii jest niepusty.

Twierdzenie 15.9 (Baker)
Je˙zeli 𝑓 : ℂ → ℂ jest funkcj

,

a meromorficzn

,

a przest

,

epn

,

a to zbi´

or Julii jest niepusty.

Uwaga 15.1 W klasie funkcji meromorficznych na ℂ zbi´

or Julii jest obiektem

cz

,

e´

sciej wyst

,

epuj

,

acym ni ˙z np. biegun, poniewa ˙z funkcje ca̷lkowite przest

,

epne nie

maj

,

a biegun´

ow, a wszystkie funkcje meromoficzne przest

,

epne (w tym ca̷lkowite)

i wymierne, z wyjatkiem homografii i funkcji sta̷lych, posiadaj

,

a zbi´

or Julii.

96