C04 - RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu, pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia.
Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach!
Zadanie 1
Niech P(A) = 0,0007⋅k, P(B) = 0,0008⋅k, P(A∪B) = 0,0009⋅k.
Oblicz: a) P( A ∩ B) , b) P( A′ ∩ B) , c) P( A′ ∩ B )′ , d) P( A′ ∪ B) , e) P( A′ ∪ B )′ .
Zadanie 2
Z przedziału <- k, k> wybrano losowo liczby b, c. Obliczy prawdopodobie stwo, e równanie
,
0 25 2
kx + bx + c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 3
W skrzyni jest k detali wyprodukowanych w zakładzie A, 2k detali wyprodukowanych w zakładzie B i 5k detali wyprodukowanych w zakładzie C. Wadliwo produkcji poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 0,01k%, 0,05k % i 0,02k %.
a) Obliczy prawdopodobie stwo, e losowo wybrany detal oka e si dobry, b) Wylosowany detal okazał si wadliwy jakie jest prawdopodobie stwo, e wyprodukował
go zakład B?
Zadanie 4
Zmienna losowa X ma rozkład okre lony funkcj prawdopodobie stwa: xk
– 1
0
0,01k
pk
1
k
1
,
0
− 3
2
k
1
,
0
k
1
,
0
k
1
,
0
a) wyznaczy dystrybuant tej zmiennej losowej i naszkicowa jej wykres, b) obliczy P( X > 0), P( X ≥ 0), P( X < 1), P(| X| ≥ 1), c) obliczy E X, D2 X.
Zadanie 5.
X jest zmienn losow o g sto ci
c dla x ∈[− 0
,
0 k
1 − ;
2 − 0
,
0 k
1 − ]
1 ∪[ 0
,
0 k
1 + ;
2
,
0 0 k
1 + 4]
f ( x) = 0
dla innych x
a) wyznaczy c,
b) wyznaczy dystrybuant ,
c) obliczy P(− ,
0 01 k − 5
,
1 ≤ X ≤ 0
,
0 1 k + 3) i zinterpretowa na wykresie g sto ci, d) wyznacz x, aby P( X ≥ , 0 25),
e) obliczy E X, D2 X
f) Y = -2 X + 1. Oblicz E Y, D2 Y.
Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okre lony tabel : Y
-1
0
X
1
1
2
k
1
,
0
k
1
,
0
0
1
k
1
,
0
− 4
k
1
,
0
k
1
,
0
a) Wyznaczy macierz kowariancji,
b) Obliczy współczynnik korelacji mi dzy tymi zmiennymi.
c) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 7
Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okre lony tabel : Y
0
1
2
X
-1
0
0
1
k
1
,
0
0
2
2
k
1
,
0
− 8
k
1
,
0
k
1
,
0
k
1
,
0
1
2
1
0
k
1
,
0
k
1
,
0
a) wyznaczy F(1; 2),
b) obliczy P(| X |≥ ;
1 | Y |≤ )
1 ,
c) Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
d) Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y.
e) wyznacz rozkładów warunkowych X | Y = 1; Y | X = 0 , f) Obliczy współczynnik korelacji mi dzy tymi zmiennymi.
g) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 8
Zmienna losowa (X, Y) ma macierz kowariancji: 4
− 0
,
0 05 k
K =
− 0
,
0 05 k
16
Ile wynosi współczynnik korelacji mi dzy X i Y?
Zadanie 9
Zmienne losowe X1, X2 s niezale ne. Wiadomo, e D2X1 = k, D2X2 = 2k.
Niech Y = X1 - 2X2, Z = X1 + X2.
Ile wynosi współczynnik korelacji mi dzy Y i Z?
Zadanie 10.
Zmienna losowa X ma g sto
,
0 01⋅ −0,0 ⋅1
ke
kx
dla x ≥
f ( x) =
0
0
dla x < 0
a) wyznaczy jej funkcj charakterystyczn ,
b) za pomoc funkcji charakterystycznej obliczy E X, D2 X, współczynnik asymetrii i kurtoz .
Zadanie 11.
( X, Y ) jest zmienn losow o g sto ci c
dla x ∈[ ;
0 ]
1 , y ∈[ x; 1 + ,
0 01 k]
f ( x, y) = 0
dla innych ( x, y)
a) wyznaczy c,
b) wyznaczy F(0,001⋅k; 0,0005⋅k),
c) obliczy P( ,
0 001 k ≤ X ≤ ;
1 | Y |≤ )
1 i zinterpretowa na wykresie g sto ci,
d) wyznacz g sto ci rozkładów warunkowych X | Y = 1; Y | X = 5
,
0 ,
e) obliczy cov( X, Y), czy X, Y s nieskorelowane?
f) czy X, Y s niezale ne?
Zadanie 12.
( X, Y ) jest zmienn losow o g sto ci c
dla ( x, y) ∈ D
f ( x, y) = 0
dla ( x, y) ∉ D
a) wyznaczy c,
b) wyznaczy F(0,0),
c) obliczy EX, EY, cov( X, Y). Czy X, Y s nieskorelowane?
d) wyznacz prost regresji Y wzgl dem X,
Zadanie 13.
Prawdopodobie stwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,0001⋅k. Korzystaj c z przybli enia Poissona wyznaczy prawdopodobie stwo, e w ród 1000 osób graj cych na tej loterii: a) adna nie wygra,
b) wygraj 2 osoby,
c) wygraj co najmniej 3 osoby,
Zadanie 14.
Zmienna losowa X ma rozkład N(– k; 0,1⋅k).
Obliczy :
a) P( X > – 0,9⋅k),
b) P( X < – 0,95⋅k),
c) P( X + k < 1
,
0 5 k)
Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie g sto ci.
Zadanie 15.
Zmienna losowa X ma rozkład N(– k; 0,01⋅k).
Wyznaczy x aby:
a) P( X > x) = 0,98,
b) P( X < x) = 0,01,
c) P( X + k > x) = , 0 05 .
Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie g sto ci.
Nale y odda co najmniej 10 zada .
L.Kowalski, 23.02.2005