term – 2009 – II.27.2.a

Robert Turos ID-MT 51

Mirosłoaw Gryz ID-MT 51 (pościg)

Zasób objętości skokowej silnika czterosuwowego sześciocylindrowego pracującego w obiegu porównawczym Diesla wynosi V_s=2,1 [l], a zasób objętości szkodliwej V_r=0,15 [l]. Parametry stanu czynnika roboczego w punktach charakterystycznych obiegu porównawczego mają następujące wartości:

p₁ = 1 [at] = 98066, 5 [Pa]

T₁ = 70 + 273, 16 = 343, 16 [K]

p₂ =  ε^k • p₁ = 15^1, 4 • 98066, 5 = 4347070 [Pa]

T₂ = ε^k • T₁ = 1013, 76 [K]

p₃ = p₂

$$T_{3} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}} + 1 \right) \bullet \varepsilon^{k - 1}T_{1} = 3291,86\ \lbrack K\rbrack$$

$$V_{3} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}} + 1 \right)^{k}V_{r} = 0,487079 \bullet 10^{- 3}\ \lbrack m^{3}\rbrack$$

$$p_{4} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI\ }}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}} + 1 \right)^{k}{\bullet p}_{1} = 5,10246 \bullet 10^{5}\ \lbrack Pa\rbrack$$

$$T^{4} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}} + 1 \right)^{k}T_{1} = 1784,87\ \lbrack K\rbrack$$

gdzie współczynnik ściśliwości wynosi $\varepsilon = \frac{V_{1}}{V_{2}} = 1 + \frac{V_{s}}{V_{r}} = 1 + \frac{2,1}{0,15} = 15$

W każdym cyklu wtryskiwacz dostarcza do cylindra strumień masy paliwa ${\dot{m}}_{\text{oI}} = 0,12\ \left\lbrack \frac{g}{\text{obr}} \right\rbrack$ o wartości opałowej $W_{\text{uc}} = 10200\ \left\lbrack \frac{\text{kcal}}{\text{kg}} \right\rbrack$. Liczba obrotów silnika wynosi $n_{m} = 250\ \left\lbrack \frac{\text{obr}}{\min} \right\rbrack$. Czynnik pracujący w obiegu scharakteryzowany jest przez indywidualną stałą gazową $R = 287,04\ \left\lbrack \frac{J}{\text{kg\ K}} \right\rbrack$ oraz wykładnik izentropy k = 1, 4. Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu Diesla.

V₁ = V_s + V_r = 0, 00015 + 0, 0025 = 0, 0024 [m³]

1. Obiegi porównawcze Diesla we współrzędnych pV oraz TS.

p L_2-3 ΔQ_dd

2 3

p₂=p₃

L_3-4 p(V,S=const)

p₄ 4

L_1-2 ΔQ_w p(T,V=const)

p₁ 0

p(V,S=const) 1

V_r V₂=V_r V_s V₁=V₄=V_s+V_r V

Ilustracja pracy przemian obiegu porównawczego Diesla we współrzędnych p,V.

T T(S,p=const)

T₃ L_2-3 ΔQ_dd 3

T₂ 2 L_3-4

4

T₄ T(p,S=const)

L_1-2

T₁ 1 ΔQ_w T(S,V=const)

T(p,S=const)

S₁=S₂ S₃=S₄ S

Ilustracja pracy ciepła przemian obiegu porównawczego Diesla we współrzędnych T,S

1. Wyznaczenie prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Diesla.

   1. Tabela zestawień danych i wyników obliczeń.

Przyjęto oznaczenia

$$x = \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}}$$

$$\varepsilon = \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{V_{r} + V_{s}}{V_{r}} = 1 + \frac{V_{s}}{V_{r}}$$

Punkty charakterystyczne	1	2	3	4
Parametry stanu
pi	[p1]	[p2=ε^kp1]	[p3=p2]	[p4=(x+1)^kp1]
Ti	[T1]	[T2=ε^k − 1T1]	T3 = (x+1)ε^k − 1T1	[T4=(x+1)^kT1]
Vi	[V1=Vr+Vs]	[V2=Vr]	[V3=(x+1)Vr]	[V4=V1]
Li − j	$$L_{1 - 2} = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( 1 - \varepsilon^{k - 1} \right)$$	$$L_{2 - 3} = \frac{\left( k - 1 \right)}{k}{\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}$$	$$L_{3 - 4} = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( \left( x + 1 \right)\varepsilon^{k - 1} - \left( x + 1 \right) \right)$$	L4 − 1 = 0

1. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego.

Między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izentropowa.

Zastosowano pierwszą postać pierwszej zasady termodynamiki:

dE_I = δQ − δL

gdzie

δL = pdV

jest definicją pracy bezwzględnej objętościowej.

Dla przemiany izentropowej

δQ = 0

Zatem bilans zasobu energii wewnętrznej przyjmie postać:

dE_I = −δL

Zasób energii wewnętrznej gazu doskonałego w układzie substancjalnym określony jest związkiem:

E_I = c_ϑmT

Dla gazu doskonałego

c_ϑ = const

Dla układu substancjalnego

m = const

Zatem elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej gazu określony jest związkiem:

dE_I = c_ϑmdT

i bilans zasobu energii wewnętrznej przyjmie postać:

δL = −c_ϑmdT

Całkując ostatnie równanie w granicach

∫₀^{L_1 − 2}δL = −c_ϑm∫_T1^T₂dT

otrzymano:

L_1 − 2 = −c_ϑm(T₂−T₁)

Z równania Mayera i definicji wykładnika izentropy uzyskano wartość

$$c_{\vartheta} = \frac{R}{k - 1}$$

Uwzględniając, że temperatura czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego jest określona związkiem:

T₂ = ε^k − 1T₁

oraz, że zasób masy czynnika roboczego pracującego w obiegu jest równy

$$m = \frac{p_{1}V_{1}}{\text{RT}_{1}}$$

wyznaczono pracę bezwzględną objętościową między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego

$$L_{1 - 2} = c_{\vartheta}\text{mT}_{1}\left( {1 - \varepsilon}^{k - 1} \right) = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( 1 - \varepsilon^{k - 1} \right)$$

1. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego.

Między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izochoryczna

p = p₂ = p₃ = const

Zatem praca bezwzględna objętościowa jest równa

δL = p₂dV

Całkując powyższe równanie w granicach:

∫₀^{L_1 − 2}δL = p₂∫_V2^V₃dV

otrzymano

L_2 − 3 = p₂(V₃−V₂)

Ponieważ

V₂ = V_r

zaś

$$V_{3} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{\text{kp}_{1}\varepsilon^{k}V_{r}} + 1 \right)^{k}V_{r}$$

Ostatecznie praca bezwzględna objętościowa między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego jest równa:

$$L_{2 - 3} = \frac{\left( k - 1 \right)}{k}{\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}$$

1. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego.

Między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izentropowa. Zatem zgodnie z punktem 2.2 praca bezwzględna objętościowa przemiany jest równa:

L_3 − 4 = c_ϑ(T₃−T₄)

Z równania Mayera i definicji wykładnika izentropy wynika, iż:

$$c_{\vartheta} = \frac{R}{k - 1}$$

Zasób masy czynnika roboczego pracującego w obiegu porównawczym zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego Clapeyrona jest równa:

$$m = \frac{p_{1}V_{1}}{\text{RT}_{1}}$$

Zaś temperatury czynnika roboczego w punktach charakterystycznych obiegu 3 oraz 4 są odpowiednio równe:

$$T_{3} = \left( \frac{\left( \left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u} \right)}{kp_{1}\varepsilon^{k}} + 1 \right)\varepsilon^{k - 1}T_{1} = \left( x + 1 \right)\varepsilon^{k - 1}T_{1}$$

oraz

$$T_{4} = \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}\varepsilon^{k}V_{r}} + 1 \right)^{k}T_{1} = \left( x + 1 \right)^{k} \bullet T_{1}$$

Zatem:

$$L_{3 - 4} = \frac{R}{\left( k - 1 \right)}\frac{p_{1}V_{1}}{\text{RT}_{1}}\left( \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}\varepsilon^{k}V_{r}} + 1 \right)\varepsilon^{k - 1} - \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}} + 1 \right)^{k} \right)T_{1}$$

$$L_{3 - 4} = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{\text{kp}_{1}\varepsilon^{k}V_{r}} + 1 \right)\varepsilon^{k - 1} - \left( \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{\text{kp}_{1}V_{r}} + 1 \right)^{k} \right) = = \left( \left( x + 1 \right)\varepsilon^{k - 1} - \left( x + 1 \right) \right) \bullet \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}$$

1. Wyznaczenie pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 4-1 obiegu porównawczego.

Między punktami charakterystycznymi 4-1 obiegu porównawczego przebiega przemiana izochoryczna.

V₄ = V₁ = const

zatem

dV = 0

oraz

δL = 0

Stąd wynika, ze praca bezwzględna objętościowa między punktami charakterystycznymi 4-1 obiegu porównawczego jest równa:

L_4 − 1 = 0

1. Obliczenie wartości prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Diesla.

   1. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego.

Wartość współczynnika ściśliwości jest równa:

$$\varepsilon = 1 + \frac{V_{s}}{V_{r}} = 1 + \frac{2,1}{0,15} = 15$$

zatem praca bezwzględna objętościowa osiąga wartość

$$L_{1 - 2} = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( 1 - \varepsilon^{k - 1} \right) = \frac{9,81 \bullet 10^{4}\left( 2,1 + 0,15 \right) \bullet 10^{- 3}}{\left( 1,4 - 1 \right)}\left( 1 - 15^{\left( 1,4 - 1 \right)} \right) = - 1078,34\ \left\lbrack J \right\rbrack$$

1. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego

$$L_{2 - 3} = \frac{\left( k - 1 \right)}{k}{\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u} = \frac{\left( 1,4 - 1 \right)}{1,4} \bullet 0,00012 \bullet 4,19 \bullet 10200 \bullet 10^{3} = 1465,3\ \lbrack J\rbrack$$

1. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego

$$x = \frac{\left( k - 1 \right){\dot{m}}_{\text{oI}}W_{u}}{\text{kp}_{1}\varepsilon^{k}V_{r}} = \frac{\left( 1,4 - 1 \right) \bullet 0,00012 \bullet 4,19 \bullet {10200 \bullet 10}^{3}}{1,4 \bullet 9,81 \bullet 10^{4} \bullet 15^{1,4} \bullet 0,15 \bullet 10^{- 3}}2,24719$$

$$L_{3 - 4} = \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}\left( \left( x + 1 \right)\varepsilon^{k - 1} - \left( x + 1 \right)^{k} \right) = = \frac{9,81 \bullet 10^{4}\left( 2,1 + 0,15 \right) \bullet 10^{- 3}}{\left( 1,4 - 1 \right)}\left( \left( 2,24719 + 1 \right)15^{\left( 1,4 - 1 \right)} - \left( 2,24719 + 1 \right)^{1,4} \right) = = 5,51813 \bullet 10^{2}\left( 9,59277 - 5,20129 \right) = 2423,28\ \left\lbrack J \right\rbrack$$

1. Obliczenie wartości pracy bezwzględnej objętościowej między punktami charakterystycznymi 4-1 obiegu porównawczego

Zgodnie z punktem 2.5.

L_4 − 1 = 0