1.Krzywizna linii pionu i powierzchni ekwipotencjalnych
2. Niwelacyjna i grawimetryczna poprawka pływowa
3. Niwelacja astronomiczna i astronomiczno-grawimetryczna
g = ( W , W , W )
]
1
[
x
y
z
równoległość dx
dy
dz
=
=
dx
W
[ ]
3
x
=
[4]
dn = ( dx, dy, dz)
[2]
W
W
W
dz
W
x
y
z
z
Y
P
1
2
d y
y = f ( x) → κ =
=
]
5
[
2
ρ dx
y = f ( x) X
w płaszczyźnie pionowej:
1
2
d x
x = f ( z) → κ =
=
[6]
2
ρ dz
Z
2
d x
1
dx
dx
=
W W
z
xz + W
xx
− W W
x
zz + W
[7]
2
2
zx
dz
Wz
dz
dz
P
X
Y
W = WP
g
2
2
d x
1
dx
dx
=
W W
z
xz + W
xx
− W W
x
zz + W
]
8
[
2
2
zx
dz
Wz
dz
dz
w punkcie P:
W
W
X =
Y = 0
2
d x
W
1
1 g
∂
xz
=
=
W = −
= κ
[9]
2
zx
x
dz
W
W
g x
∂
z
z
Kr
K zywi
w zna l
inii pi
onu w
onu
w rzeczywi
w st
s y
t m
m pol
u si
s ły c
iężkoś
ko c
ś i:
1 ∂
κ x = −
g
g ∂ x
1
[ 0]
1
∂
κ y = −
g
g ∂ y
3
3
Zmiany współrzędnych ϕ,λ wzdłuż linii pionu: 0
P
0
P 1 ∂ g
P
ε
δϕ
κ
x =
= ∫ dh
x
= − ∫
dh
g ∂ x
W=WP
P
P
1
[ ]
1
P
P
H
0
0
1 ∂
ε
δλ
ϕ
κ
y =
g
cos
= ∫ dh
y
= − ∫
dh
g ∂ y
P
P
P0
W=W0
ε
W polu normalnym:
(jednorodna masa, symetryczny rozkład masy → linie pionu to krzywe płaskie w płaszczyźnie południka) κ
ε
1 ∂γ
κ x = −
=
1
[ ]
3
y = 0 →
y = 0
1
[ 2]
γ ∂ x
4
κ
1
P
x = − γ a
β sin2ϕ
ε
δϕ
κ dh
x =
= −
γ
∫
M
x
0
1
[ 4]
1
[
]
5
0
P
H = ε
ε y = 0
x = ∆ϕ
ρ
P1
U=U1
H
Zmiana szerokości wzdłuż linii pionu:
β H
P0
∆ϕ = −
sin 2ϕ
U=U0
RE
1
[
]
6
∆λ = 0
δϕ
δ
ϕ
∆ ≈ −0 0
. 001 1
7 ′ H sin 2ϕ
dla
H ( km)
1
[ 7]
5
Zmiany wysokości wynikające z krzywizny linii pionu: H = ρ ⋅ ∆ϕ
1
[
]
8
3
∆
h = ρ sin ∆ϕ
1
[ 9]
h =
ϕ
ρ sin ∆ϕ = ρ ∆ϕ −
+ ...
[2 ]
0
6
n
ρ
P1
U=
U U1
h
3
2
3
∆ϕ
β
H − ≈ ρ
H
h
=
sin2 2ϕ
[2 ]
1
6
6 2
RE
P0
U=U0
∆ϕ
∆
Dla H=9000m; R =6375km; β=0.005302 → ∆H ≈ 0.1mm E
6
Zmiana kierunku linii pionu wywołana przyciąganiem Słońca i Księżyca S(M ,R );
S
S
K(M ,R )
K
K
zSK
P
δgSK
rS,K
υ
δ g
→
δ g
g
g
SK
sin
0
υ
υ
=
→υ ′ =
ρ ′ [22]
g
g
RZ
3
3
M R
g
δ = g
Z
sin 2 z
[2 ]
3
2
M r
Z
MZ
3
3
R M
M
δθ =
Z
g
S sin2 z cos( A α
z
A α
S
− )
S
+ K sin2 cos(
K
− )
K
2
[
]
4
2
3
3
M
r
r
Z
S
K
7
θ
δ ′ = 0 0
. 07 6
9 ′sin 2 z cos( A − α ) + .
0 017 3
3 ′sin 2 z cos( A − α )
[2 ]
5
S
S
K
K
h
δ = s ⋅δθ = 0 0
. 38 ⋅ s ⋅ sin 2 z cos( A − α ) + .
0 084 ⋅ s ⋅ sin 2 z cos( A − α )
[26]
S
S
K
K
Poprawka pływowa do wysokości (elastyczność skorupy Ziemi) elastyczność skorupy Ziemi: 0.65 < γ < 0.75 (w Polsce γ=0.8)
∆ h = γ ⋅ h
δ
[27]
Warunki wprowadzenia poprawki pływowej:
-
∆t
< 2.5h;; ∆A<15° = const.; ∆h
, ∆h
pom
TAM
POWRÓT
8
S(M ,R );
S
S
K(M ,R )
Poprawka pływowa do przyspieszenia: K
K
rS,K
δg
δgS,K
w
zS,K
P
g
RZ
MZ
m
m
K
3
2
3
∆ g
g
z
z
z
g
z
S K =
2
.
1
sin Π 3
( cos
K
K − )
1 + sinΠ 5
( cos3
K
K − 3cos
)
K +
2
.
1
S sin3 Π 3
( cos2
S
S − )
1
,
M
2
M
Z
Z
2
[ ]
8
9
Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) θ
θ
lp = n
12
23
lp
0
0
1
n1
lp2
n2
P1
P2
P3
dN
G
P
1
dN
0
2
ds01
ds12
E
dN = −θ ⋅ ds
[2 ]
9
k
N
θ ds
k = − ∫
⋅
3
[
]
0
i 1
=
Odchylenie l.p. z metody astro-geodezyjnej:
θα = ξ cosα +η sinα
ξ = Φ−ϕ
]
31
[
10
η = (Λ − λ) cosϕ
N − = N + N + ...+ N
3
[ 2]
1 k
1
2
k
1
N
θ θ s
θ θ s
θ
θ s
k = −
[(
+ ) + ( + ) +...+ ( k + )
]
3
[
]
3
−
k
k −
2
1
2
1
2
3
2
1
1
ρ ′
N
N
θ ds
θ θ ds
B −
A = − ∫
+ ∫( − )
3
[
]
4
0
0
AB
AB
g − g
g − g
g − g
sr
sr − g
g
B
sr −
∫(θ
(
A
θ −θ ds = ∫
dh +
H −
H
0 − θ )
sr
sr
B
sr
A
) ds = ∫
dh +
H B −
[3 ]
5
A
g
g
g
AB
AB
sr
sr
sr
Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna ζ −ζ = −(θ −θ ) s +[ N − N + ( gr gr
θ −θ ) s]
3
[ 6]
B
A
B
A
B
A
B
A
11