1.Krzywizna linii pionu i powierzchni ekwipotencjalnych

2. Niwelacyjna i grawimetryczna poprawka pływowa

3. Niwelacja astronomiczna i astronomiczno-grawimetryczna

g = ( W , W , W )

]

1

[

x

y

z

równoległość dx

dy

dz

=

=

dx

W

[ ]

3

x

=

[4]

dn = ( dx, dy, dz)

[2]

W

W

W

dz

W

x

y

z

z

Y

P

1

2

d y

y = f ( x) → κ =

=

]

5

[

2

ρ dx

y = f ( x) X

w płaszczyźnie pionowej:

1

2

d x

x = f ( z) → κ =

=

[6]

2

ρ dz

Z

2

d x

1 



dx 



dx 

=

W  W

z

xz + W



xx

− W  W

x

zz + W



[7]

2

2 

zx



dz

Wz 



dz 



dz 

P

X

Y

W = WP

g

2

2

d x

1 



dx 



dx 

=

W  W

z

xz + W



xx

− W  W

x

zz + W



]

8

[

2

2 

zx



dz

Wz 



dz 



dz 

w punkcie P:

W

W

X =

Y = 0

2

d x

W

1

1 g

∂

xz

=

=

W = −

= κ

[9]

2

zx

x

dz

W

W

g x

∂

z

z

Kr

K zywi

w zna l

inii pi

onu w

onu

w rzeczywi

w st

s y

t m

m pol

u si

s ły c

iężkoś

ko c

ś i:



1 ∂

κ x = −

g



g ∂ x



1

[ 0]

1



∂

κ y = −

g



g ∂ y

3

3

Zmiany współrzędnych ϕ,λ wzdłuż linii pionu: 0

P

0



P 1 ∂ g

P

ε

δϕ

κ

x =

= ∫ dh

x

= − ∫

dh



g ∂ x

W=WP



P

P

1

[ ]

1

P

P

H

0

0



1 ∂

ε

δλ

ϕ

κ

y =

g

cos



= ∫ dh

y

= − ∫

dh



g ∂ y

P

P

P0

W=W0

ε

W polu normalnym:

(jednorodna masa, symetryczny rozkład masy → linie pionu to krzywe płaskie w płaszczyźnie południka) κ

ε

1 ∂γ

κ x = −

=

1

[ ]

3

y = 0 →

y = 0

1

[ 2]

γ ∂ x

4

κ

1



P

x = − γ a

β sin2ϕ

ε

δϕ

κ dh

x =

= −



γ



∫

M

x

0



1

[ 4]



1

[

]

5

0

P

 H = ε

ε y = 0

x = ∆ϕ





 ρ

P1

U=U1

H

Zmiana szerokości wzdłuż linii pionu:



β H

P0

∆ϕ = −

sin 2ϕ

U=U0



RE

1

[

]

6

∆λ = 0

δϕ

δ

ϕ

∆ ≈ −0 0

. 001 1

7 ′ H sin 2ϕ

dla

H ( km)

1

[ 7]

5

Zmiany wysokości wynikające z krzywizny linii pionu: H = ρ ⋅ ∆ϕ

1

[

]

8

3



∆



h = ρ sin ∆ϕ

1

[ 9]

h =

ϕ

ρ sin ∆ϕ = ρ ∆ϕ −

+ ...

[2 ]

0







6



n

ρ

P1

U=

U U1

h

3

2

3

∆ϕ

β

H − ≈ ρ

H

h

=

sin2 2ϕ

[2 ]

1

6

6 2

RE

P0

U=U0

∆ϕ

∆

Dla H=9000m; R =6375km; β=0.005302 → ∆H ≈ 0.1mm E

6

Zmiana kierunku linii pionu wywołana przyciąganiem Słońca i Księżyca S(M ,R );

S

S

K(M ,R )

K

K

zSK

P

δgSK

rS,K

υ

δ g

→

δ g

g

g

SK

sin

0

υ

υ

=

 

 →υ ′ =

ρ ′ [22]

g

g

RZ

3

3

M  R 

g

δ = g

Z



 sin 2 z

[2 ]

3

2

M  r 

Z

MZ

3

3

R  M

M



δθ =

Z

g

 S sin2 z cos( A α

z

A α

S

− )

S

+ K sin2 cos(

K

− )

K 

2

[

]

4

2

3

3

M

r

r

Z 

S

K



7

θ

δ ′ = 0 0

. 07 6

9 ′sin 2 z cos( A − α ) + .

0 017 3

3 ′sin 2 z cos( A − α )

[2 ]

5

S

S

K

K

h

δ = s ⋅δθ = 0 0

. 38 ⋅ s ⋅ sin 2 z cos( A − α ) + .

0 084 ⋅ s ⋅ sin 2 z cos( A − α )

[26]

S

S

K

K

Poprawka pływowa do wysokości (elastyczność skorupy Ziemi) elastyczność skorupy Ziemi: 0.65 < γ < 0.75 (w Polsce γ=0.8)

∆ h = γ ⋅ h

δ

[27]

Warunki wprowadzenia poprawki pływowej:

-

∆t

< 2.5h;; ∆A<15° = const.; ∆h

, ∆h

pom

TAM

POWRÓT

8

S(M ,R );

S

S

K(M ,R )

Poprawka pływowa do przyspieszenia: K

K

rS,K

δg

δgS,K

w

zS,K

P

g

RZ

MZ

 m



 m



K

3

2

3

∆ g

g

z

z

z

g

z

S K =

2

.

1



sin Π 3

( cos

K

K − )

1 + sinΠ 5

( cos3

K

K − 3cos

)

K  +

2

.

1

 S sin3 Π 3

( cos2

S

S − )

1

,



 M

2

M

Z



 Z

 2

[ ]

8

9

Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) θ

θ

lp = n

12

23

lp

0

0

1

n1

lp2

n2

P1

P2

P3

dN

G

P

1

dN

0

2

ds01

ds12

E

dN = −θ ⋅ ds

[2 ]

9

k

N

θ ds

k = − ∫

⋅

3

[

]

0

i 1

=

Odchylenie l.p. z metody astro-geodezyjnej:

θα = ξ cosα +η sinα

ξ = Φ−ϕ

]

31

[



10

η = (Λ − λ) cosϕ

N − = N + N + ...+ N

3

[ 2]

1 k

1

2

k

1

N

θ θ s

θ θ s

θ

θ s

k = −

[(

+ ) + ( + ) +...+ ( k + )

]

3

[

]

3

−

k

k −

2

1

2

1

2

3

2

1

1

ρ ′

N

N

θ ds

θ θ ds

B −

A = − ∫

+ ∫( − )

3

[

]

4

0

0

AB

AB

g − g

g − g

g − g

sr

sr − g

g

B

sr −

∫(θ

(

A

θ −θ ds = ∫

dh +

H −

H

0 − θ )

sr

sr

B

sr

A

) ds = ∫

dh +

H B −

[3 ]

5

A

g

g

g

AB

AB

sr

sr

sr

Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna ζ −ζ = −(θ −θ ) s +[ N − N + ( gr gr

θ −θ ) s]

3

[ 6]

B

A

B

A

B

A

B

A

11