POMIARY REZYSTANCJI I MOCY PRĄDU STAŁEGO
METODĄ TECHNICZNĄ
3.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z pomiarami rezystancji i mocy prą-
du stałego metodą techniczną. Ćwiczenie ma zaznajomić z wpływem właściwego doboru przyrządów pomiarowych i układu na dokładność pomiaru.
3.2. Wprowadzenie
3.2.1. Pomiary rezystancji metodą techniczną
3.2.1.1. Zasada pomiaru
Zasada pomiaru rezystancji metodą techniczną wynika bezpośrednio z prawa Ohma. Wartość nieznanej rezystancji określa się poprzez pomiar natężenia prądu płynącego przez tę rezystancję, oraz spadku na-pięcia na jej zaciskach za pomocą odpowiednio: amperomierza i woltomierza.
Pomiar rezystancji metodą techniczną można wykonać w dwóch układach:
• w
układzie poprawnego pomiaru prądu (rys. 3.1a),
• w
układzie poprawnie mierzonego napięcia (rys. 3.1b).
3.2.1.2. Układ poprawnie mierzonego prądu
W układzie poprawnie mierzonego prądu amperomierz włączony sze-regowo z badanym rezystorem Rx mierzy natężenie prądu płynącego przez ten rezystor. Woltomierz natomiast wskazuje sumę spadków na-pięcia na rezystorze RX(UX) i amperomierzu (UA). W omawianym układzie spełnione są zależności:
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej a)
b)
IA
A
A
I
I = I
I
V
A
X
IV
X
UA
U
V
R
U
U
V
R
U
V
X
X
V
X
X
R
R
r
r
Rys 3.1. Układ do pomiaru rezystancji metodą techniczną: a) układ poprawnie mierzonego prądu
b) układ poprawnie mierzonego napięcia
(3.1)
I
= I
X
A
(3.2)
U = U + U
V
A
X
Określając rezystancję ze wskazań amperomierza i woltomierza uzyskuje się:
UV
(3.3)
R' =
X
I A
Wartość poprawną mierzonej rezystancji wyznacza się z zależności: U X
(3.4)
R =
X
I X
Błąd względny metody w analizowanym układzie wynosi: U
U
U + U
U
U
V
X
A
X
X
A
−
−
(3.5)
R − R
I
I
I
I
I
R
X
X
A
X
X
X
X
A
= '
δ
=
=
=
=
mi
R
R
R
R
R
X
X
X
X
X
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 3
Układ poprawnie mierzonego prądu stosuje się wówczas, gdy rezystancja mierzona jest znacznie większa od rezystancji amperomierza. W
przypadku wystąpienia zbyt dużego błędu metody w stosunku do żąda-nej niedokładności pomiaru należy skorygować wynik obliczeń. Rezystancję RX otrzymać można ze wzoru:
UV
(3.6)
R = R' − R =
− R
X
X
A
A
I A
3.2.1.3 Układ poprawnie mierzonego napięcia
W układzie poprawnie mierzonego napięcia woltomierz wskazuje na-pięcie na zaciskach badanego rezystora. Amperomierz wskazuje sumę prądów płynących przez mierzony rezystor (IX) i przez woltomierz (IV).
Można to zapisać w postaci zależności:
U
= U
X
V
(3.7)
I = I + I
(3.8)
A
V
X
Rezystancja wyznaczona ze wskazań mierników jest równa: UV
R' =
(3.9)
X
I A
Błąd względny metody wynosi:
UV − RX
R − R
I
R R
R
X
X
A
X
V
X
(3.10)
= '
δ
=
=
− R = −
mu
X
R
R
R + R
R + R
X
X
X
V
X
V
Przy dużej wartości rezystancji wewnętrznej woltomierza RV w stosunku do wartości rezystancji RX błąd względny metody można obliczyć ze wzoru:
RX
δ ≅ −
mu
(3.11)
RV
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej Metodę poprawnego pomiaru napięcia należy stosować wówczas, gdy mierzona rezystancja jest dużo mniejsza od rezystancji woltomierza.
Jeśli w przedstawionym układzie wystąpi zbyt duży błąd w porównaniu z założoną niedokładnością pomiaru, wówczas wynik obliczeń należy skorygować korzystając ze wzoru:
1
R =
X
(3.12)
I
1
A −
U
R
V
V
3.2.1.4. Wybór układu
W celu dokonania właściwego wyboru układu pomiaru rezystancji metodą techniczną można skorzystać z jednego z poniżej przedstawio-nych sposobów.
• Sposób
1:
Należy obliczyć błąd metody dokładnego pomiaru prądu ze wzoru (3.5) i błąd metody dokładnego pomiaru napięcia ze wzoru (3.10) lub (3.11). Wybrać należy ten układ, w którym błąd metody przyjmuje mniejszą wartość. Jeśli błędy metody w obydwu przypadkach są so-bie równe można zastosować dowolny układ.
• Sposób
2:
Dogodnie jest ustalić kryterium wyboru uwzględniające jednocześnie rezystancję amperomierza i woltomierza. W tym celu przyjmuje się, że obydwa układy wywołują błędy o jednakowej wartości bezwzględnej.
δ = δ
mi
mu
(3.13)
Uwzględniając zależności (3.5) i (3.10) uzyskuje się równanie: R
R
A
X
=
(3.14)
R
R + R
X
X
V
z którego:
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 5
R
R 2
A
A
=
+
(3.15)
R
+ R R
X
V
A
2
4
Rozwiązanie ujemne równania (3.15) odrzucono ze względu na sens fizyczny. Uwzględniając, że R 2 / 4 << R R i R / 2 ≅ R R
A
V
A
A
V
A
można przyjąć:
R ≅ R R
X
V
A
(3.16)
Jeśli mierzona rezystancja spełnia powyższą zależność, oba ukła-dy są jednakowo przydatne.
Układ poprawnego pomiaru prądu należ stosować jeśli spełniona jest nierówność:
R > R R
(3.17)
X
V
A
Układ poprawnego pomiaru napięcia stosuje się jeśli spełniona jest nierówność:
(3.18)
R < R R
X
V
A
3.2.1.5. Dokładność pomiaru rezystancji metodą techniczną.
Dokładność pomiaru rezystancji metodą techniczną zależy od do-kładności zastosowanych przyrządów oraz wartości błędu metody. Ponieważ błąd metody jest błędem systematycznym (ma określoną wartość i znak), powinien być wyeliminowany z wyniku pomiaru poprzez dodanie poprawki do wyniku obliczonego na podstawie wskazań przyrzą-
dów. Przy czym poprawka jest określona:
p = −∆
(3.19)
m
gdzie:
∆m. - bezwzględny błąd metody.
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej Bezwzględny błąd metody w układzie poprawnego pomiaru prądu i w układzie poprawnie mierzonego napięcia można wyznaczyć odpowiednio z zależności (3.5) i (3.10). Skorygowany o błąd metody wynik pomiaru rezystancji obarczony jest błędem wynikającym z niedokładności zastosowanych przyrządów pomiarowych. Graniczny systematyczny błąd względny pomiaru rezystancji można wyznaczyć ze wzoru: δ = δ +δ
(3.20)
R
V
A
X
gdzie:
δV – błąd względny pomiaru napięcia woltomierzem
δA – błąd względny pomiaru prądu amperomierzem
Względny błąd pomiaru prądu lub napięcia prowadzony za pomocą przyrządu analogowego zależy od klasy przyrządu oraz od odchylenia wskazówki podczas pomiaru i może być wyznaczony ze wzoru: α
(3.21)
δ
max
=
kl
α
gdzie:
αmax - zakres pomiarowy przyrządu
α
- aktualne odchylenie wskazówki podczas pomiaru
kl
- klasa przyrządu
Jeśli w pomiarach wykorzystywany jest woltomierz cyfrowy, wówczas błąd bezwzględny pomiaru napięcia określamy z zależności: U
∆
= U
∆
+ U
∆ (3.22)
x
p
z
gdzie:
∆Up. - błąd bezwzględny podstawowy woltomierza cyfrowego, zależny od wartości mierzonej Ux ,
∆Uz - błąd bezwzględny woltomierza cyfrowego zależny od wartości Uz.
Błąd względny pomiaru napięcia Ux za pomocą woltomierza cyfrowego jest równy:
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 7
U z
δ = δ +δ
(3.23)
V
p
z U x
gdzie:
δp. - składowa podstawowa (błąd podstawowy) błędu woltomierza cyfrowego podawana w % wartości mierzonej napięcia Ux , δz - składowa błędu woltomierza cyfrowego podawana w % warto-
ści zakresu Uz .
Pomiar rezystancji metodą techniczną jest wykonywany możliwie do-kładnie jeżeli:
a) mierzony opornik obciąża się niewielką mocą w stosunku do jego mocy znamionowej
b) układy i przyrządy pomiarowe są właściwie dobrane c) wskazania przyrządów odczytywane są przez obserwatora sta-rannie i możliwie równocześnie.
W przypadku gdy rezystor RX jest liniowy, prąd pomiarowy Ipom w metodzie technicznej przyjmuje się zgodnie ze wzorem:
P
I
= 1
.
0 − 3
.
0
pom
(
) n
(3.24)
RX
gdzie: Pn – moc znamionowa rezystora RX
Ze wzoru (3.24) otrzymuje się przedział, w którym powinna się zawie-rać wartość prądu pomiarowego Ipom. Przy wyborze konkretnej wartości prądu pomiarowego kierować należy się tym, aby wskazania amperomierza i woltomierza obejmowały końcową część podziałki. Im bowiem odchylenie wskazówki jest większe, tym mniejszy jest błąd pomiaru.
Wybór zakresu amperomierza i woltomierza jak i wybór tego, czy prąd pomiarowy jest równy górnej granicy zakresu pomiarowego amperomierza, czy napięcie pomiarowe odpowiada górnej granicy zakresu pomiarowego woltomierza wynika ze wzoru (3.24) i z faktu, że suma błędów δV+δA powinna być minimalna.
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej 3.2.1.6. Zakres pomiaru rezystancji metodą techniczną Zakres pomiaru rezystancji metodą techniczną wynika głównie z zakresów stosowanych przyrządów pomiarowych. Przy zastosowaniu typowych mierników magnetoelektrycznych można mierzyć rezystancję w zakresie od 0.1Ω do 10MΩ. Zakres ten można rozszerzyć jeśli zastosuje się woltomierze elektroniczne o dużych rezystancjach wejściowych. O
wartości granic pomiaru rezystancji metodą techniczną decydują:
• zakresy
dostępnych przyrządów pomiarowych
• dopuszczalna
obciążalność mierzonego rezystora ze względu na
wydzieloną na nim moc oraz dopuszczalne napięcie
• parametry
dostępnych źródeł zasilania
• dodatkowe
błędy pomiaru wynikające z budowy obwodu pomia-
rowego, rezystancji przewodów łączących itp.
W przypadku pomiaru rezystancji o małych wartościach należy stosować duże prądy pomiarowe, aby zapewnić wystarczająco duże wskazania miliwoltomierza. Na ogół nie stosuje się prądów większych niż 100A. Ograniczenie to wynika zazwyczaj z parametrów dostępnych źródeł napięcia lub prądu (odpowiednio duża wydajność i stabil-ność prądu wyjściowego. Źródłem dodatkowych błędów przy pomiarach małych rezystancji jest wpływ rezystancji przewodów łączących i styków. Ażeby zminimalizować wpływ spadków napięcia na stykach i przewodach łączących na wynik pomiaru rezystancji stosuje się układ przedstawiony na rys. 3.2. Na rysunku zaznaczono symbolicznie sposób włączenia miliwoltomierza. Miliwoltomierz powinien mierzyć jedynie spadek napięcia na mierzonej rezystancji RX. Szerzej ten problem omawia ćw. Nr 5.
I
A
R
mV
X
Rr
Rys. 3.2. Układ do pomiaru małych rezystancji
Kolejnym ograniczeniem występującym przy pomiarze małych rezystancji są siły termoelektryczne, których wartość może osiągać setki mi-krowoltów. Eliminację wpływu sił termoelektrycznych można zapewnić
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 9
dokonując pomiaru przy dwóch przeciwnych kierunkach prądu zasilają-
cego układ pomiarowy. Końcowy wynik pomiaru jest wartością średnią z obu pomiarów.
Pomiary dużych rezystancji wykonywane są najczęściej w układzie poprawnie mierzonego prądu. Napięcie zasilające układ należy dobrać tak, aby natężenie prądu płynącego przez badany rezystor było wystarczająco duże, tzn. możliwe do zmierzenia za pomocą dostępnych mierników. Napięcie zasilające nie może być jednak zbyt duże ze względu na możliwość wystąpienia przebicia lub przekroczenia dopuszczalnej mocy wydzielanej w rezystorze. Dla typowych rezystorów stosowanych w układach elektronicznych i pomiarowych napięcie to nie przekracza 500V.
Podczas pomiarów bardzo wielkich rezystancji metodą techniczną np. przy badaniu materiałów izolacyjnych, do pomiaru stosuje się gal-wanometr magnetoelektryczny lub nanoamperomierz. Wartość napięcia zasilającego uwarunkowana jest głównie wytrzymałością napięciową elementów obwodu pomiarowego. Przeprowadzenie poprawnych pomiarów wymaga ponadto wyeliminowania wpływu prądów upływnościowych, których nie można zaniedbać jeśli rezystancja mierzona jest porówny-walna z rezystancją materiałów izolacyjnych elementów układu pomiarowego. Eliminację wpływu prądów upływnościowych można zapewnić stosując doskonalsze materiały izolacyjne oraz ekranowanie elektrostatyczne. Sposób w łączenia ekranu elektrostatycznego powinien wymu-sić taki rozpływ prądów upływnościowych, ażeby ich wpływ na wskazania przyrządu mierzącego był pomijalny.
Podsumowując można stwierdzić, że metodę techniczną stosuje się do pomiarów rezystancji wykonywanych wielokrotnie, szybko, lecz z przeciętną dokładnością. Metoda ta jest szczególnie przydatna przy badaniu elementów o nieliniowej rezystancji (np. diod półprzewodniko-wych). Błąd metody technicznej jest rzędu (0.5-2)%.
3.2.2. Pomiar mocy metodą techniczną
3.2.2.1. Zasada pomiaru mocy metodą techniczną
Zasada pomiaru mocy metoda techniczną wynika bezpośrednio z de-finicji mocy i polega na równoczesnym pomiarze napięcia i prądu za pomocą woltomierza i amperomierza.
W pomiarach mocy wyróżnić można dwa przypadki: pomiar mocy zu-
żywanej przez odbiornik i pomiar mocy dostarczanej przez źródło. W
obydwu wymienionych przypadkach moc może być mierzona metodą poprawnie mierzonego prądu (rys. 3.3a) lub metodą poprawnie mie-
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej rzonego napięcia (rys3.3b). Poniżej rozpatrzono jedynie problem a)
b)
I
I = I
Z
A
Z
A
A
I
I = I
I
V
A
X
IV
O
U U
V
R
U
U
U
V
R
U
Z
V
X
X
Z
V
O
O
R
R
Z
Z
Rys. 3.3. Układ do pomiaru mocy metodą techniczną:
a) układ poprawnie mierzonego prądu
b) układ poprawnie mierzonego napięcia
pomiaru mocy zużywanej przez odbiornik. Zagadnienia związane z po-miarem mocy dostarczanej przez źródło są podobne i można je znaleźć w literaturze podstawowej.
3.2.2.2. Układ poprawnie mierzonego prądu
W układzie poprawnie mierzonego prądu amperomierz mierzy prąd płynący przez odbiornik, natomiast woltomierz mierzy sumę spadków napięcia na rezystancji amperomierza RA i Rezystancji odbiornika RO.
Moc mierzona jest równa:
P = U I
(3.25)
V
A
gdzie: UV, IA – wskazania odpowiednio woltomierza i amperomierza Moc zużytą przez odbiornik oblicza się ze wzoru:
P = U I = U − I R I
O
O O
( V A A)
(3.26)
O
Błąd bezwzględny metody jest równy:
P
∆
= P − P = U I − U − I R I I 2
= R
mi
O
V
A
( V A A)
(3.27)
O
A
A
Bezwzględny błąd metody jest równy mocy zużywanej przez amperomierz.
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 11
Błąd względny metody wynosi:
P
∆
I 2 R
R
R
mr
A
A
A
A
δ =
=
=
=
mi
(3.28)
P
U − I R I
U
R
O
( V A A)
V
O
O
− RA
I A
Z (3.28) wynika, że błąd metody jest tym mniejszy im większa jest rezystancja odbiornika i im mniejsza rezystancja amperomierza.
3.2.2.3. Układ poprawnie mierzonego napięcia
W układzie poprawnie mierzonego napięcia woltomierz wskazuje na-pięcie na odbiorniku, natomiast amperomierz mierzy sumę prądów pły-nących przez odbiornik i woltomierz.
Moc mierzona jest równa:
P = U I
V
A
(3.29)
Moc zużyta przez odbiornik wynosi:
P = U I = U ( I − I ) O
O O
V
A
V
(3.30)
Błąd bezwzględny metody wynosi:
P
∆
= P − P = U I − U I − I = U I mu
O
V
A
V ( A
V )
(3.31)
V V
Bezwzględny błąd metody jest równy mocy zużywanej przez woltomierz.
Błąd względny metody jest równy:
P
∆
U I
I
mu
V V
V
δ =
=
=
(3.32)
mu
P
U ( I − I )
I
O
V
A
V
O
Ponieważ
I R = I R
O
O
V
V
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej I
R
więc
V
O
=
I
R
O
V
R
stąd
O
δ =
(3.33)
mu
RV
Z zależności (3.33) wynika, że im mniejsza jest rezystancja odbiornika i im większa rezystancja woltomierza tym mniejszy jest względny błąd metody.
3.2.2.4. Wybór układu
Wyboru właściwego układu pomiarowego w metodzie technicznej pomiaru mocy dokonuje się analogicznie jak w opisanym wcześniej po-stępowaniu dotyczącym pomiaru rezystancji metodą techniczną. Tzn.
korzystając ze wzorów (3.28) i (3.33) należy wyznaczyć odpowiednio błędy metody w obydwu układach pomiarowych, wybierając układ za-pewniający mniejszy błąd metody.
Można również wyznaczyć kryterium wyboru układu przeprowadzając następujące rozumowanie: przyjmuje się że obydwa układy wywołują błędy metody o jednakowej wartości bezwzględnej
δ = δ
mi
mu
(3.34)
czyli
R
R
A
O
(3.35)
=
R
R
O
V
Rozwiązując powyższe równanie i odrzucając, ze względu na sens fizyczny, rozwiązanie ujemne, otrzymuje się zależność: (3.36)
R = R R
O
A
V
Na podstawie powyższego rozumowania można wysunąć wniosek, że układ poprawnego pomiaru prądu należy stosować, gdy R > R R , a układ poprawnego pomiaru napięcia, gdy R < R R
O
A
V
O
A
V
Cwiczenie3: Pomiar rezystancji i mocy prądu stałego metodą techniczną 13
3.2.2.5. Dokładność pomiaru mocy metodą techniczną Dokładność pomiaru mocy metodą techniczną zależy od dokładno-
ści użytych do pomiaru przyrządów oraz od wartości błędu metody.
Błąd metody należy wyeliminować z wyniku obliczonego na podstawie wskazań przyrządów przez dodanie poprawki wyznaczonej podobnie jak w przypadku pomiaru rezystancji. Skorygowany o błąd metody wynik pomiaru znany jest z błędem, który obliczamy ze wzoru: δ = δ +δ
P
V
A
(3.37)
Uwagi dotyczące właściwego doboru zakresów używanych przyrzą-
dów pomiarowych są takie same jak podane wcześniej w p.3.2.1.5. Pa-miętać należy o tym, że błędy wywołane przez pobór mocy mierników maja istotne znaczenie jedynie wtedy, gdy moc mierzona jest mała. W
takich przypadkach należy moc określić na podstawie wskazań przyrzą-
dów i obliczonych poprawek. Przy pomiarach mocy znacznie przekra-czających moc pobieraną przez mierniki, błędy są małe i specjalny do-bór układu nie jest wymagany.
3.3. Program ćwiczenia
1. Dla wskazanych przez prowadzącego ćwiczenia rezystorów określić prądy i napięcia pomiarowe oraz dobrać zakresy pomiarowe mierników.
2. Dokonać pomiaru rezystancji i mocy pobieranej przez wybrane rezy-story w układzie poprawnie mierzonego prądu i poprawnie mierzonego napięcia.
3.4. Wskazówki do wykonania ćwiczenia i sprawozdania 1. Po zapoznaniu się z parametrami wskazanych przez prowadzącego ćwiczenia rezystorów (przybliżone wartości rezystancji, dopuszczalna moc), oraz z parametrami dostępnych przyrządów pomiarowych (zakresy pomiarowe, rezystancje wewnętrzne) należy zaprojektować układy do pomiaru rezystancji i mocy metodą techniczną. Projektując układy pomiarowe należy również uwzględnić parametry źródeł zasilania znajdujących się na stanowisku.
2. Rezystancję każdego z rezystorów należy zmierzyć w układzie poprawnie mierzonego prądu i poprawnie mierzonego napięcia. Wartość napięcia zasilającego należy dobrać tak, ażeby wskazania przy-
Ćwiczenia laboratoryjne z metrologii elektrycznej rządów były zawarte w przedziale (2/3)αmax < α < αmax. Wyniki pomiarów powinny być każdorazowo notowane we wcześniej do tego celu przygotowanej tabeli zamieszczonej w protokole.
3. W sprawozdaniu należy obliczyć błędy metody pomiarowej, błędy wnoszone przez zastosowane przyrządy oraz wypadkowe błędy gra-niczne pomiaru rezystancji i mocy. Dla każdej z mierzonych rezystancji wskazać najkorzystniejszy układ pomiarowy oraz najbardziej odpowiedni dobór przyrządów (zakresów pomiarowych) Wybór ukła-du i przyrządu potwierdzić wynikami przeprowadzonych pomiarów oraz teoretycznie.
3.5. Zagadnienia do samodzielnego przygotowania
1. Przeanalizować dokładność pomiaru rezystancji w układzie z rys. 3.1 w którym w miejsce amperomierza włączono rezystor wzorcowy, a prąd określony jest przez pomiar spadku napięcia na rezystorze wzorcowym za pomocą woltomierza.
2. Błędy pomiaru mocy prądu stałego dostarczanej przez źródło metodą techniczną.
3.6. Literatura
1. Chwaleba A., Poniński M., Siedlecki A.: Metrologia Elektryczna. WNT, Warszawa 1998.
2. Marcyniuk A., Pasecki E., Pluciński M., Szadkowski B.: Podstawy metrologii elektrycznej. WNT, Warszawa 1984.