„Analizy Sygnałów i Identyfikacji”
nr 10
Olsza Szymon, Olchawski Tomasz
Rok III, AiR, gr. 13A
• Cel laboratorium
Wyznaczenie trzech charakterystyk termopary (temperatura w funkcji natężenia, napięcia i mocy) na podstawie pomiarów przy użyciu metody regresji liniowej bądź
wielorakiej.
• Termopara
Układ składający się z dwóch metali lub półprzewodników który wykorzystuje zjawisko powstawania różnicy potencjałów na końcach ogniw jeśli utrzymywane są one w różnych temperaturach.
• Pomiar
Podczas pomiaru zwiększano napięcie od 1 do 15 V i mierzono natężenie przepływającego prądu i temperaturę. Dla każdego pomiaru obliczono także moc jako iloczyn napięcia i natężenia prądu.
Lp.
U [V]
I [A]
T [˚C]
P [W]
1
1
0,02
24
0,02
2
2
0,05
24
0,1
3
3
0,09
26
0,27
4
4
0,12
29
0,48
5
5
0,15
36
0,75
6
6
0,19
45
1,14
7
7
0,22
53
1,54
8
8
0,25
67
2
9
9
0,29
76
2,61
10
10
0,32
87
3,2
11
11
0,35
97
3,85
12
12
0,39
111
4,68
13
13
0,42
123
5,46
14
14
0,46
134
6,44
15
15
0,49
143
7,35
Metoda regresji liniowej inaczej najmniejszych kwadratów polega na wyznaczeniu parametrów opisujących zależność liniową pomiędzy dwoma zmiennymi. Jeżeli zmienne x i y są związane liniowa zależnością y = a ⋅ x + b to: n
n
n
n
n
x ⋅ y −
x ⋅
∑
y
∑ y − a ⋅∑ x
i
i
∑ i ∑ i
i
i
ˆ
a = i
i
i
oraz
b
i
i
ˆ =
2
n
n
n
2
x −
∑
x
i
∑
i
i
i
• Regresja wieloraka
Metoda regresji wielorakiej pozwala wyznaczać parametry łączące ze sobą więcej niż dwie zmienne. W naszym przypadku użyjemy metody regresji wielorakiej zastępując kolejne zmienne kolejnymi potęgami zmiennej wejściowej i w ten sposób otrzymamy współczynniki wielomianu odpowiedniego stopnia. Ogólnie: y = a + a ⋅ x + ... + a ⋅ x gdzie x ... x są kolejnymi zmiennymi.
0
1
1
n
n
1
n
Jednak w naszym przypadku kolejne zmienne będą uzależnione od pierwszej zmiennej następujący sposób:
2
y = a + a ⋅ x + a ⋅ x 0
1
2
A zatem:
1 x
x 2
y
1
1
1
2
1 x
x
2
2
y 2
a 0
. .
.
.
⋅ a =
1
.
.
.
.
a
2
.
.
.
.
1 x
x 2
y
n
n
n
X ⋅ A = Y
Po przekształceniach:
X ⋅ A = Y
X T ⋅ X ⋅ A = X T ⋅ Y
−1
A = ( X T ⋅ X ) ⋅ X T ⋅ Y
Estymacja przedziałowa polega na wyznaczeniu przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się estymowana wartość.
A zatem:
ˆ
S ⋅ 1 −ν 2
ˆ
S ⋅ 1 −ν 2
y
y
P a ∈ ˆ
a − t ⋅
; ˆ
a + t ⋅
= 1 − α
1 1
ˆ
1
ˆ
S
n − 2
S
n − 2
x
x
Gdzie:
t - ma rozkład Studenta z n stopniami swobody Sx/y – odchylenie standardowe zmiennej x lub y v – współczynnik korelacji Pearsona
Przyjęty poziom istotności:
α = 05
.
0
Odczytana wartość parametru t
t = 75305
.
1
• Współczynnik korelacji Pearsona
Unormowany współczynnik określający jak związane są ze sobą dwie zmienne. Im większa wartość bezwzględna współczynnika tym bardziej liniowo związane są ze sobą zmienne.
Ogólnie:
cov( x, y
ν =
)
xy
σ ⋅σ
x
y
W przypadku regresji wielorakiej w naszym modelu kolejnymi zmiennymi są potęgi pierwszej zmiennej. Należy obliczyć współczynniki: cov( x, y
ν =
)
xy
σ ⋅σ
x
y
cov( x, 2
y )
ν
=
2
xy
σ ⋅σ 2
x
y
• Wyznaczenie charakterystyki 1 – Temperatura w funkcji napięcia Pomiar temperatury w fukcji napięcia oraz krzywa aproksymująca 150
100
]
Cienpto
[sT
50
00
5
10
15
U [V]
Równanie krzywej aproksymującej:
T ( U )
2
= ˆ a ⋅ U + ˆ a ⋅ U + ˆ a 2
1
0
Obliczono:
ˆ
a = 15.3341
ˆ
a = 2.9754
ˆ
a = 0.3935
0
1
2
Oraz sprawdzono wyniki za pomocą polecenia polyfit i stwierdzono poprawność obliczeń.
Stwierdzono, że z prawdopodobieństwem równym 95%: a ∈ −
1
( 4.
10
;
7032
.6539)
a ∈
2
(0.
0
;
3765 .4105)
• Wyznaczenie charakterystyki 2 – Temperatura w funkcji natężenia Pomiar temperatury w fukcji natężenia oraz krzywa aproksymująca 150
100
]
Cienpto
[sT
50
00
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
I [A]
Równanie krzywej aproksymującej:
T ( I )
2
= ˆ a ⋅ I + ˆ a ⋅ I + ˆ a 2
1
0
Obliczono:
ˆ
a = 16.2227
ˆ
a = 105.9466 ˆ
a = 333.3098
0
1
2
Oraz sprawdzono poprawności za pomocą polecenia polyfit i stwierdzono poprawność obliczeń.
Stwierdzono, że z prawdopodobieństwem równym 95%: a ∈ −
1
( 6594. 6806
;
7
.6)
a ∈ (−
17546
;
16879
2
)
• Wyznaczenie charakterystyki 3 – Temperatura w funkcji mocy Pomiar temperatury w fukcji mocy oraz prosta aproksymująca 160
140
120
]
C 100
ienpto
[s
80
T
60
40
200
1
2
3
4
5
6
7
8
P [W]
Równanie prostej aproksymującej:
T ( P) = ˆ a ⋅ P + ˆ a 1
0
Obliczono:
ˆ
a = 25.5494 ˆ
a = 17.3417
0
1
Oraz sprawdzono poprawności za pomocą polecenia polyfit i stwierdzono poprawność obliczeń.
Stwierdzono, że z prawdopodobieństwem równym 95%: a ∈
1
(0.
34
;
2645
.4189)
• Wnioski
Pomimo, że charakterystyki temperatury w funkcji napięcia i natężenia nie dają się aproksymować prostą to charakterystyka w funkcji mocy która jest iloczynem napięcia i natężenia została przybliżona zależnością liniową.