DZIAŁANIA NA WEKTORACH.

1. Dane są punkty A

(

,

2

B

),

3

,

1

,

2

(

,

1

,

2

,

1 )

4 , C

,

3

(

,

1

D

),

5

,

2

,

6

(

,

3

,

2

)

2 .





(a) Znaleźć wektory a AB , c

CD .

 

(b) Obliczyć długości wektorów a , c .





(c) Znaleźć wektor a 3

c

2 oraz jego długość.



(d) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do a .

(e) Sprawdzić nierówność trójkąta w trójkącie o wierzchołkach B,C,D.





2. (a) Dany jest wektor a

[

,

1

,

2

,

3

,

1

]

2 . Obliczyć

a

327 .





(b) Dany jest wektor a

[

,

12

,

4

]

8 . Obliczyć

a

52 .







3. Dane są wektory a

[

]

3

,

1

,

2

, b

[ ,

0

]

1

,

2

c

,

1

[

,

2

]

1 . Obliczyć













(a) a

b

c

(b) 2 a

b

c

3 .









4. Znaleźć kombinację liniową wektorów a b

c

3

2 d , jeśli









a

,

1

[

]

0

,

1

, b

[

,

1

,

2

]

4 , c

[

]

11

,

1

, d

,

3

[

,

0 2] .





 

5. (a) Dane są dwa wektory a

[

]

3

,

2

, b

[

,

1 4] . Znaleźć wektory u , v , o kierunkach

 





zgodnych, odpowiednio, z a , b takie, że u v

]

1

,

8

[

.







 



(b) Dane są wektory a

,

3

,

1

[

]

2 , b

[ ,

4

]

1

,

2

, c

[

,

1

,

2

]

1 . Znaleźć wektory u , v , w

  







o kierunkach zgodnych, odpowiednio, z a , b , c takie, że u v

w

,

3

,

1

[

]

3 .







6. (a) Dany jest wektor a

,

3

,

1

[

]

4

,

2

. Znaleźć wektor b równoległy do a o długości 1.







(b) Dany jest wektor u

[

,

3

,

0

]

4 . Znaleźć wektor v równoległy do u o długości 12.







(c) Dany jest wektor p

[

,

3

,

1

,

2

]

5

,

1

. Znaleźć wektor q przeciwny do p o długości 5.



7. Znaleźć koniec Q wektora a

,

3

[

,

1

,

2

]

5

,

4

zaczepionego w punkcie P

(

,

5 ,

4 ,

2

)

9

,

7

.





8. Wektory u

[

,

1

,

2

,

1 ]

4 , v

[ ,

4 ,

2

]

3

,

3

zaczepiono w punkcie A

,

3

(

,

4

)

5

,

2

. Znaleźć koniec B





(a) wektora u

v ,





(b) wektora u

3

v

2 ,

jeśli jego początkiem jest punkt A .

9. Dane są punkty A

(

,

1

,

4

)

2 , B

(

,

5

,

1

)

4 , D

,

6

(

,

2 )

2 . Wektory AB i AD wyznaczają dwa sąsiednie boki pewnego równoległoboku. Znaleźć czwarty wierzchołek C tego równoległoboku.

Odpowiedzi.









1. (a) a

[ ,

4

,

1

]

1

,

2

, c

,

3

[

,

1

,

1

]

3

(b) a

22, c

2 5









(c) 3 a

2 c

,

6

[

,

1

]

9

,

8

, 3 a

2 c

182

(d) 1 [ ,

4

,

1

]

1

,

2

22

2. (a) 327 19

(b) 208 14

3. (a) 35

(b) 41

4. [

,

1

,

6

]

5











5. (a) u

[

]

9

,

6

, v

[ ,

2

]

8

(b) u

,

3

,

1

[

]

2 , v

[

,

4 ,

2

]

1 , w

[ ,

4

,

2 ]

2









6. (a)

1

b

,

3

,

1

[

,

2 ]

4 lub

1

b

,

3

,

1

[

,

2 ]

4

(b)

12

u

]

4

,

3

,

0

[

lub

12

u

]

4

,

3

,

0

[

30

30

5

5



(c)

10

q

[

,

3

,

1

,

2

]

5

,

1

7. Q

(

,

3

,

6

,

2

)

14

,

3

4

8. (a) B

,

7

,

5

(

)

12

,

6

(b) B

(

)

11

,

1

,

3

,

11

9. C

,

7

(

)

8

,

4