ANALIZA MATEMATYCZNA II (Analiza wektorowa)
A. Całka krzywoliniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłegoϕ , po łuku regularnym L
o opisie parametrycznym r( t) = ( x( t), y( t), z( t)) dla t ∈ [α , β ]wyraża się wzorem β
β
ϕ( r) dl = ϕ( r t())⋅ r ( t) dt
∫
∫
′
lub ϕ( x, y, z) dl = ϕ( x( t), y( t), z( t)) x′2 ( t) + y′2 ( t) + z′2 ( t) dt
∫
∫
L
α
L
α
gdzie: r (
′ t) = [ x (′ t), y (′ t), z (′ t)]wektor styczny do łuku w punkcie r( t) ∈ L .
Gdy łuk płaski L jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C y = y( x) dla x ∈[ a, b] to
wektor styczny do łuku w punkcie ( x, y( x)) ∈ L ma postać r (
′ x) = ,1
[ y (
′ x)] i całka
b
krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem ϕ( x, y) dl = ϕ( x, y( x)) 1+ [ y′( x 2
)] dx
∫
∫
.
L
a
Gdy łuk płaski L jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C x = x( y) dla x ∈[ c, d ] to
wektor styczny do łuku w punkcie r( y) = ( x( y), y) ∈ L ma postać r (
′ y) = [ x (′ y), ]
1 i całka
d
krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem ϕ( x, y) dl
∫
= ( x( y), y) [ x
∫
′( y)]2
ϕ
+1⋅ dy .
L
c
Długość łuku regularnego L o opisie parametrycznym r( t) = ( x( t), y( t), z( t)) dla t ∈[α , β ]
β
wyraża się wzorem L = ∫ dl = ∫ x′2 ( t) + y′2 ( t) + z′2 ( t) dt L
α
Współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku regularnego L są określone wzorami:
S
S
S
x
yz
=
; y
xz
=
; z
xy
=
; gdzie: S
xdl ; S
ydl ; S
zdl ;
xy = ∫
xz = ∫
yz = ∫
s
L
s
L
s
L
L
L
L
1. Obliczyć całki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych łukach
a) ∫ ( x + y) dl gdzie L :brzeg trójkąta o wierzch. A = ,
1
( 0) , B = (
)
1
,
0
, C = ( ,
0 0) . Odp: 1 + 2
L
b)
x 2
y dl
∫
+ 2 , gdzie L :okrąg o równaniu x 2 + y 2 = 2 x . Odp: 8
L
xy
2 14
c)
dl
∫
, gdzie L : odcinek łączący punkty A =
)
1
,
1
,
1
(
i B = (
,
3
,
2
4) . Odp:
(ln 4 + 1 )
5
z
27
L
d)
x 2 + y 2
z 2 dl
∫
+
, gdzie L : okrąg o równaniu 2
2
x + y = 4 i z = 2 . Odp: 8
π
2
L
e*) ∫ z 2 dl , gdzie L :okrąg powstały z przecięcia sfery o równaniu 2
2
2
x + y + z = 1 i
L
płaszczyzny o równaniu y = x . Odp: π
f*) ∫
− z 2
2
dl , gdzie: L -jest częścią wspólną powierzchni stożka
2
2
z =
x + y i walca
L
3
równaniu x 2 + y 2 = y . Odp: π
2
2. Obliczyć długość łuku krzywej L o opisie parametrycznym
a) r( t) = ( a( t − sin t), a 1
( − cos t)) dla t ∈ [ ,
0 2π ] i a > 0 (wycinek cykloidy) Odp: 8 a
b) r( t) = ( a cos t, a sin t, at) dla t ∈[ , 0 2π ] i a > 0 (wycinek linii śrubowej) Odp: 2
π
2
c) r( t) = ( − t
e cos t, − t
e sin t, − t
e ) dla t ∈ [ ,
0 ∞) i (wycinek spirali) Odp: 3
3. Obliczyć współrzędne środków ciężkości danych jednorodnych łuków:
a) wycinka linii śrubowej r( t) = ( a cos t, a sin t, bt) dla t ∈[ , 0 2π ] Odp: x = y = ;
0 z = π .
b
s
s
s
4
e + 4 2
e − 1
b)wycinka linii łańcuchowej f ( x) =
( x
− x
e + e ) dla x ∈ [−
]
1
,
1
Odp: x
.
s =
;
0 ys =
2
4 e( 2
e − )
1
2
c) brzeg trójkąta sferycznego 2
2
2
x + y + z = 1 dla x, y, z ≥ 0 . Odp: x
y
z
.
s =
s =
s =
π
3
B. Całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego W = [ P, ,
Q R]po łuku +
L
regularnym zorientowanym o opisie parametrycznym r( t) = ( x( t), y( t), z( t)) dla t ∈ [α , β ]
β
zgodnym z orientacją łuku +
L wyraża się wzorem ∫ W r
( ) ⋅ dr = ∫ W r
( t
( ))⋅ r t
( d
) t lub
+
L
α
β
∫ P x
( , y, z d
) x+ Q x
( , y, z d
) y+ R x
( , y, z d
) z= ∫ P
[ x
( t
( ), y t
( ), z t
( ) x
) ′ t
( ) + Q( x t
( ), y t
( ), z t
( ) y
) ′ t
( ) + R x
( t
( ), y t
( ), z t
( ) z
) ′ t
( ) d
] t
+
L
α
Gdy łuk płaski L jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C y = y( x) dla x ∈ [ a, b] to
wektor styczny do łuku w punkcie r( x) = ( x, y( x)) ∈ L ma postać r (
′ x) = ,1
[ y (
′ x)]
i całka krzywoliniowa zorientowana po tym łuku wyraża się wzorem
b
∫ P( x, y d
) x+ Q( x, y d
) y = ∫[ P( x, y( x))+ Q( x, y( x)) ′
y ( x) d
] x
+
L
a
Gdy łuk płaski L jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C x = x( y) dla y ∈[ c, d ] to
wektor styczny do łuku w punkcie r( y) = ( x( y), y) ∈ L ma postać r (
′ y) = [ x (′ y), ]
1 i całka
krzywo liniowa zorientowana po tym łuku wyraża się wzorem
d
∫ P( x, y d
) x+ Q( x, y d
) y = ∫[ P( x( y), y) ′
x ( y) + Q( x( y), y) d
] y
+
L
c
1. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z
parametryzacją
4
a) ∫ x
2
(
+ y d
) x+( x 2 − y d
) y gdzie L : r( t) = ( t, 2
t ) dla t ∈[
]
1
,
0
(wycinek paraboli) Odp:
3
L+
π
b) ∫( x+ y d
) x+( x− y d
) y gdzie L : r( t) = (2 cos t,4sin t) dla t ∈ [ ,
0
] (wycinek elipsy) Odp: −1
4
L+
c) ∫ yzdx− xzdy+ xydz gdzie L : r( t) = ( t
e , 3 t
e , − t
e ) dla t ∈[
]
1
,
0
. Odp:
3
1 − e
L+
d) ∫( y+ z d
) x+( x+ z d
) y+( x+ y d
) z gdzie L : r( t) = ( t, 2
t , 3
t ) dla t ∈[
]
1
,
0
Odp: 3
L+
15
e)
ydx
∫ + zdy+ xdz gdzie L :odcinek o początku A = ,1
( − ,
1 2) i końcu B = ( ,
0
)
3
,
2
Odp:
AB
2
A
L B
f*) y 2 dx
∫
+ z 2 dy+ x 2 dz gdzie L+ jest krzywą powstałą z przecięcia górnej powierzchni
+
L
1
sfery
2
2
z = 1 − x − y i walca x 2 + y 2 = x Odp: − π .
4
g) ( x
∫ − z d
) x+ ( y − x d
) y + ( z − y d
) z gdzie L
2
2
x + y =
+ jest krzywą powstałą z przecięcia walca
1i
+
L
płaszczyzny z − x = 1 zorientowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry
Odp: π
2 .
h)
xydx
∫
+ ydy x 3
+ dz gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca
AB
+
A
L B
2
y = x i płaszczyzny x + z = 1 o początku w punkcie A = (− ,
1
,
1 0) i końcu
B = ( ,
0
)
1
,
0
Odp: -1 .
2. Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z
parametryzacją
a) ∫ xydx + x 2 dy gdzie +
L : jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = ( ,
0 0) , B = ,
1
( 2) ,
L +
C = (− ,
1 4) zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0 .
b) ∫ x 2 yd +
x xy( y + d
)
1 y gdzie +
L : jest okręgiem x 2 + y 2 = 2 y zorientowanym dodatnio
L+
względem wnętrza. Odp: 0
c) ∫ x
3
(
+ z
5 d
) x+( x+4 y d
) y+ x
6
(
− z d
) z gdzie +
L : jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach
L+
A = ( ,
2 ,
0 0) , B = ( ,
0 ,
2 0) , C = ( ,
0 ,
0 2) zorientowanym ABCA Odp: 0
3.Obliczyć pracę w podanych polach sił po wskazanych łukach zorientowanych
a) W( ,
x ,
y z) = 2
[ x , 2
y x ] gdzie +
L : jest odcinkiem o początku w punkcie A = ,
1
( 0) i końcu w
punkcie B = (
)
3
,
0
. Odp: 0
b) W( ,
x ,
y )
z =[ x ,
y y + ,
z ]
z gdzie +
L : jest łukiem r( t) = (cos t,sin t, t) o początku w punkcie 2
π
A = ,
1
(
,
0 0) i końcu w punkcie B = (−
,
0
,
1
π ) . Odp:
2
r
c) W( ,
x ,
y )
z =[ 2
xy ,
2
yz ,
2
zx ] gdzie L
: odcinek o początku A = ,
1
(
)
1
,
0
i końcu B = (
,
1
,
2
)
0
AB
1
Odp: −
4
4. Wykazać, że całka nie zależy od drogi całkowania w odpowiednio wybranym obszarze
powierzchniowo jednospójnym a następnie obliczyć tę całkę:
3
1
2
2
x
a*)
(4
∫ xy − ) dx + (6 x y + ) dy dla A = ( )1
,
0
i B = ( ,
3 2) .
y
y 2
LAB
b*) ∫ (2 x + yz d
) x + 3
( y 2 + xz) dy + (4 z 3 + xy) dz dla A = ( , 0 ,
0 0) i B =
)
1
,
1
,
1
(
.
LAB
z
z
z
x
1
c*) ∫ (
−
d
) x +
dy + (
−
) dz dla A = (
)
3
,
1
,
2
i B = ( ,
3
)
1
,
2
.
x 2 y
x 2 + z 2
xy 2
x 2 + z 2
xy
LAB
y 2
y
y
y
y
d*) d) ∫ 1
( −
cos
d
) x + (sin
+ cos ) dy dla A = ,
1
( π ) i B = ( ,
2 π )
x 2
x
x
x
x
LAB
e*) ∫ ye− xdx + (2 y − e− x ) dy dla A = ( , 0 0) i B = ,
1
( −2)
LAB
1
y
x
x
xy
f*) ∫ 1
( −
+ d
) x + ( +
) dy +
dz A =
)
1
,
1
,
1
(
i B = ( ,
0
)
3
,
2
.
y
z
z
y 2
z 2
LAB
C. Niech pole wektorowe W = [ P, Q] będzie klasy 1
C w obszarze
2
D ⊂ R , którego brzegiem
jest krzywa regularna zamknięta
+
∂ D zorientowana dodatnio względem wnętrza, tego obszaru
to wtedy zachodzi wzór Greena
P( x, y d
) x
∫
+ Q( x, y d
) y =
Q
[
( x, y)
∫∫
− P ( x, y) d
] D
x
y
+
D
∂
D
Korzystając ze wzoru Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe po brzegach
+
∂ D
dodatnio zorientowanych względem wnętrza obszaru D
e
(
+ y 2 d
) x+ y
e
(
+ x 2 d
) y gdzie
+
∂ D jest brzegiem obszaru D ograniczonego
+
∂ D
1
krzywymi
2
y = x i y = x . Odp:
30
b) ∫ ytg 2 xdx + tgxdy gdzie
+
∂ D jest brzegiem obszaru
+
∂ D
D = {( x, y)
2
∈ R : 2
x + ( y + )
1 2 ≤ }
1 Odp: π
c) ∫ x 2 ydx − xy 2 dy gdzie
+
∂ D jest brzegiem obszaru
+
∂ D
1
D = {( x, y)
2
∈ R : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
2
2
∧ x + y ≤ }
1 Odp: − π
8
d) ∫ ( x 2 + y) dx + ( x + y 2 ) dy gdzie
+
∂ D jest brzegiem obszaru trójkąta D
+
∂ D
o wierzchołkach A =
)
1
,
1
(
, B = ( ,
3 2) , C = (
)
5
,
2
. Odp: 0
e) ∫ x
e 1
( − cos y ) dx − x
e ( y − sin y ) dy gdzie
+
∂ D jest brzegiem obszaru
+
∂ D
1
D = {( x, y)
2
∈ R : 0 ≤ xπ ∧ 0 ≤ y ≤ sin }
x Odp:
1
(
π
− e )
5
Całki powierzchniowe:
A. Całka powierzchniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego ϕ , po płacie
regularnym P o opisie parametrycznym r( u, v) = ( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) dla 2
( u, v) ∈ ∆ ⊂ R
wyraża się wzorem: ∫∫ϕ( r) ds = ∫∫ϕ( r( u, v)) N ( u, v) d∆
P
∆
∫∫ϕ( x, y, z) ds = ∫∫ ( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) N 2
ϕ
( u, v)
2 ( , )
2 ( , )
x
+ N u v
y
+ N u v d
z
∆
P
∆
gdzie: N ( u, v) = r ( u, v) × r ( u, v) wektor normalny do płata w punkcie r( u, v) ∈ P
u
v
Gdy płat P jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C np: z = z( x, y) dla
2
( x, y) ∈ D ⊂ R to
wektor normalny do płata N ( u, v) = [− z ( x, y),− z ( x, y), ]
1 w punkcie ( x, y, z( x, y)) ∈ P
x
y
∫∫ϕ( x, y, z) ds = ∫∫ ( x, y, f ( x, y)) f 2
ϕ
( x, y)
f 2 ( x, y) 1 d
x
+ y
+ ⋅ ∆
P
D
1.Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach:
a) ∫∫ z 2 ds gdzie P :część stożka
2
2
z =
x + y odciętego płaszczyznami z = 1 i z = 2
P
b) ∫∫ xyzds gdzie P :część płaszczyzny x + y + z = 1zawartej w pierwszym oktancie.
P
c) ∫∫ ( x 2 + z 2 ) ds gdzie P :część sfery 2
2
2
x + y + z = 4 odciętej płaszczyznami z = 1 i z = 2
P
d) ∫∫ z 2 ds gdzie P :część walca 2
2
x + z = 4 odciętego płaszczyznami y = 0 i y = 1 ( z ≥ 0)
P
e) ∫∫ xyzds gdzie P :część powierzchni y 2 = x odciętej płaszczyznami y = , 1 y = 2 i z = ,
0 z = 4
P
f) ∫∫ yds gdzie P :część powierzchni
2
2
z =
x + y wyciętej walcem parabolicznym
P
2
x = 1 − y płaszczyzną i x = 0 .
3
26π
π
391 17
5 5
Odp: a)
; b)
; c)
; d)
; e)
−
.
2
120
3
2
15
3
2. Obliczyć pola powierzchni podanych płatów
a) P :część płaszczyzny 2 x + 3 y + z − 6 = 0 zawartej w walcu 2
2
x + y = 4
b) P :część paraboloidy
2
2
z = x + y odciętej płaszczyzną z = 2
c) P :część stożka
2
2
z =
x + y odciętego płaszczyznami y = x; y = 3 x i z = ; 1 z = 3 ( x ≥ 0)
13
π 2
Odp: a) 4 1 π
4 ; b)
π ; c)
;
3
3
3. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnych podanych płatów
a) P :część płaszczyzny x + y + z = 4 zawartej w walcu 2
2
x + y ≤ 4
b) P :część paraboloidy
2
2
z = x + y odciętej płaszczyzną z = 1
c) P :część stożka
2
2
z = 2 x + y odciętego płaszczyznami z = 1 i z = 6 .
25 5 + 1
13
Odp: a) x
y
z
; b) x
y
z
; c) x
y
z
.
s =
s =
;
0
s =
s =
s =
;
0
s =
s =
s =
;
0
s = 4
10(5 5 − )
1
3
B. Całka powierzchniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego W = [ P, Q, R], po płacie regularnym zorientowanym
+
P o opisie parametrycznym
r( u, v) = ( x( u, v), y( u, v), z( u, v)) dla 2
( u, v) ∈ ∆ ⊂ R zgodnym z orientacją płata +
P wyraża
się wzorem ∫∫ W ( r) o ds = ∫∫ W ( r u
( , v)) o N u
( , v) ⋅ d∆ lub
+
P
∆
∫∫ P( x, y, z d
) yd +
z Q( x, y, z d
) zd +
x R( x, y, z d
) xd =
y
+
P
∫∫[ P( x u
( , v), y u
( , v), z u
( , v )
) N u
( , v)
( ( , ), ( , ), ( , ))
( , )
( ( , ), ( , ), ( , ))
( , )]
x
+ Q x u v y u v z u v N u v
y
+ R x u v y u v z u v N u v
z
∆
d
∆
gdzie: N ( u, v) = r ( u, v) × r ( u, v) wektor normalny do płata w punkcie r( u, v) ∈ P
u
v
Gdy płat P jest dany w postaci wykresu funkcji klasy 1
C np: z = z( x, y) dla
2
( x, y) ∈ D ⊂ R to
N ( x, y) = [− z ( x, y),− z ( x, y), ]
1 wektor normalny do płata w punkcie r( x, y) ∈ P
x
y
∫∫ P x
( , y, z d
) yd +
z Q x
( , y, z d
) zd +
x R x
( , y, z d
) xd =
y ∫∫ −
[ P x
( , y, z x
( , y z
)
)
u
( , v)
( , , ( , )) ( , )
( , , ( , ))]
x
− Q x y z x y z u v
y
+ R x y z x y ∆
d
+
P
∆
1.Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po wskazanych płatach:
a) ∫∫
+
xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie P :górna część paraboloidy
2
2
z = 1 − x − y odciętej
+
P
3
płaszczyzną z = 0 . Odp: π .
2
b) ∫∫
+
( x + y) dydz + ( y + z) dzdx + ( z + x) dxdy gdzie P :dolna część płaszczyzny x + y + z = 1
+
P
zawarta w pierwszym oktancie. Odp: − 1.
c) ∫∫
+
xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie P :zewnętrzna strona części walca 2
2
x + z = 1 odciętego
+
P
płaszczyznami y = −2 i y = 1. Odp: 0 .
d) ∫∫
+
ydydz + zdzdx + xdxdy gdzie P : górna część paraboloidy
2
2
x = y + z odciętej
+
P
2
płaszczyznami x = 1 i z = 0 , ( z ≥ 0) . Odp:
.
3
+
z 2 dxdy gdzie P : jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery 2
2
2
x + y + z = 4 . Odp: 0 .
+
P
f) ∫∫
+
ydydz − xdzdx + 2 xdxdy gdzie P : jest zewnętrzną stroną części powierzchni
+
P
paraboloidy
2
2
z = x + y wyciętej walcem x 2 + y 2 ≤ y i x ≥ 0 .
C. Niech pole wektorowe W = [ P, Q, R] będzie klasy 1
C w obszarze G , którego brzegiem jest
powierzchnia regularna zamknięta
+
∂ G zorientowana zewnętrznie, wtedy zachodzi wzór
Gaussa ∫∫ W ( r) ⋅ ds = ∫∫∫ divW ( r) dG
+
∂ G
G
∫∫ P( x, y, z) ⋅ dydz + Q( x, y, z) dzdx + R( x, y, z) dxdy = ∫∫∫[ P ( x, y, z) Q ( x, y, z) R ( x, y, z) d
] G
x
+ y
+ z
+
∂ G
G
Niech pole wektorowe W = [ P, Q, R] będzie polem prędkości cieczy na powierzchni zorientowanej +
S , wtedy strumień cieczy wypływającej przez tę powierzchnie w jednostce
czasu w kierunku zgodnym z orientacją wyraża się wzorem ∫∫ W ( r) ⋅ ds .
+
S
1.Korzystając ze wzoru Gaussa obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po danych
powierzchniach zorientowanych. Sprawdzić otrzymane wyniki obliczając całki bezpośrednio.
a) ∫∫
+
xdydz + ( x + y) dzdx + ( x + y + z) dxdy gdzie ∂ G : jest zewnętrzną stroną brzegu
+
∂ G
obszaru G ograniczonego sferą 2
2
2
x + y + z = 1.
b) ∫∫
+
( x 3 − z 3 ) dydz + ( y 3 − x 3 ) dzdx + ( z 3 − y 3 ) dxdy gdzie ∂ G : jest zewnętrzną stroną
+
∂ G
brzegu obszaru G ograniczonego walcem 2
2
x + y = 4 oraz płaszczyznami z = 0 i z = 1.
c) ∫∫
+
x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy gdzie ∂ G : jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru
+
∂ G
G ograniczonego stożkiem
2
2
z =
x + y i płaszczyzną z = 1.
π
Odp: a) π
4
; b) 2 π
8 ; c)
.
2
2.Obliczyć strumienie podanych pól wektorowych przez podane powierzchnie:
x
2 z
a)
(
W ,
x ,
y )
z = [ , 2
2
z − x ,
] gdzie +
S :jest zewnętrzną całkowitą powierzchnią walca
3
3
2
2
x + y ≤ 4 i 0 ≤ z ≤ 2 . Odp: π
8 .
− x
− y
− z
b) W( ,
x ,
y )
z =[
,
,
] gdzie +
S :jest powierzchnią
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x + y + z
x + y + z
x + y + z
zewnętrzną sfery 2
2
2
2
x + y + z = R . Odp:
2
− 4 R
π .
c) W( ,
x ,
y )
z = 5
[ x + ,
z x −3 y 4
, y − 2 ]
z gdzie +
S :jest górną częścią płaszczyzny x + y + z = 2
odciętą płaszczyznami układu współrzędnych. Odp: 0 .
1. Podać wzór na całkę krzywoliniową nieoznaczoną i obliczyć całkę
a) ∫ ( x + y) dl gdzie L :brzeg trójkąta o wierzch. A = ,
1
( 0) , B = (
)
1
,
0
, C = ( ,
0 0) .
L
b) Obliczyć długość łuku krzywej L o opisie parametrycznym
r( t) = ( a cos t, a sin t, at) dla t ∈ [ , 0 2π ] i a > 0 (wycinek linii śrubowej)
2. Podać wzór na całkę krzywoliniową oznaczoną i obliczyć całkę
a) ∫ x 2 yd +
x xy( y + d
)
1 y gdzie +
L : jest okręgiem x 2 + y 2 = 2 y zorientowanym dodatnio
L+
r
b) Obliczyć pracę pola sił W( ,
x ,
y )
z =[ x ,
y y + ,
z ]
z po łuku zorientowanym
+
L r( t) = (cos t,sin t, t) o początku w punkcie A = , 1
(
,
0 0) i końcu w punkcie B = (−
,
0
,
1
π ) .
3. Podać twierdzenie Greena i korzystając ze wzoru Greena obliczyć całkę krzywoliniową
a) ∫ x
e
( + y 2 d
) + y
x e
( + x 2 d
) y po brzegu
+
∂ D obszaru D ograniczonego krzywymi
2
y = x i y = x .
+
∂ D
b) ∫ x 2 ydx − xy 2 dy po brzegu
+
∂ D obszaru D = {( x, y)
2
∈ R : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
2
2
∧ x + y ≤ }
1 .
+
∂ D
4. Podać wzór na obliczanie całki powierzchniowej niezorientowanej z pola skalarnego po
płacie regularnym w postaci parametrycznej i jawnej
Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane po płacie
a) ∫∫ z 2 ds gdzie P :część walca 2
2
x + z = 4 odciętego płaszczyznami y = 0 i y = 1 ( z ≥ 0)
P
b) ∫∫ xyzds gdzie P :część powierzchni y 2 = x odciętej płaszczyznami y = , 1 y = 2 i z = ,
0 z = 4
P
5. Podać wzór na obliczanie całki powierzchniowej zorientowanej z pola wektorowego po
płacie regularnym w postaci parametrycznej i jawnej
Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po wskazanych płatach:
a) ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie +
P jest górną częścią paraboloidy
2
2
z = 1 − x − y odciętej
+
P
płaszczyzną z = 0
b) ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie +
P zewnętrzna strona części walca 2
2
x + z = 1 odciętego
+
P
płaszczyznami y = −2 i y = 1. .
6. Podać wzór Gaussa i korzystając ze wzoru Gaussa obliczyć całki powierzchniowe
zorientowane po danych powierzchniach zorientowanych.
a) ∫∫( x 3 − z 3 ) dydz + ( y 3 − x 3 ) dzdx + ( z 3 − y 3 ) dxdy gdzie
+
∂ G jest zewnętrzną stroną brzegu
+
∂ G
obszaru G ograniczonego walcem 2
2
x + y = 4 oraz płaszczyznami z = 0 i z = 1.
b) ∫∫ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy gdzie
+
∂ G jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru
+
∂ G
G ograniczonego stożkiem
2
2
z =
x + y i płaszczyzną z = 1.