1. Zderzenia sprężyste
Rozpatrzymy zderzenia sprężyste dla kul o masach m1 i m2 oraz ich prędkości przed zderzeniem v1 i v2. Chcemy obliczyć prędkości u1 i u2 obu kul po zderzeniu. Zderzenie sprężyste charakteryzuje się tym, że energia kinetyczna przed zderzeniem równa się energii kinetycznej po zderzeniu: 1
1
1
1
2
2
2
2
m v + m v = m u + m u . [1]
1 1
2 2
1 1
2 2
2
2
2
2
Zderzające się kule traktujemy jako układ odosobniony, czyli taki, w którym działają tylko siły wewnętrzne. Obowiązuje więc zasada zachowania pędu: m v + m v = m u + m u . [2]
1 1
2 2
1 1
2 2
Ze wzoru [1] otrzymujemy:
m v − u = m u − v , [3]
1 ( 2
2
1
1 )
2 ( 2
2
2
2 )
a ze wzoru [2] mamy:
m v − u = m u − v . [4]
1 ( 1
1 )
2 (
2
2 )
Dzieląc stronami równania otrzymujemy:
v + u = u + v , [5]
1
1
2
2
skąd mamy:
u = v + u − v . [6]
2
1
1
2
Podstawiając do równania [4] mamy:
m v − u = m v + u − 2 v , [7]
1 ( 1
1 )
2 ( 1
1
2 )
2 m v + m − m v
2 2
( 1
2 ) 1
u =
1
. [8]
m + m
1
2
Wracając do równania [6] otrzymujemy:
( v − v m + m + 2 m v + m − m v 1
2 ) (
1
2 )
2 2
( 1
2 ) 1
u =
2
, [9]
m + m
1
2
ostatecznie mamy:
2 m v + m − m v
1 1
( 2
1 ) 2
u =
2
. [10]
m + m
1
2
Przechodzimy teraz do szczególnych przypadków zderzeń sprężystych:
a) Niech m1 = m2, czyli kule mają jednakowe masy. Wtedy ze wzorów [8] i [10] wynika: u = v
i
u = v
1
2
2
1 , [11]
czyli kule o jednakowych masach wymieniają wzajemne swe prędkości.
b) Zakładamy, że druga kula przed zderzeniem jest nieruchoma, czyli v2=0. Wtedy otrzymujemy:
m − m
2 m v
1
2
u =
v ,
1 1
u =
.
1
1
2
m + m
m + m
1
2
1
2
Jeśli dodatkowo masy są równe, czyli m1 = m2 to mamy: u1 = 0, u2 = v1.
c) Gdy druga kula ma masę znacznie większą od pierwszej i jest nieruchoma, czyli gdy m << m i v = 0
1
2
2
, wtedy:
m
m
1
1
−1
2
m
m
2
2
u =
⋅ v ,
u =
⋅ v
1
1
2
1 .
m
m
1
1
+1
+1
m
m
2
2
Jeżeli założymy, że m
(zagadnienie odbicia od ściany), to:
2 → ∞
m
lim
1 = ,
0
u → − v ,
u = .
0
1
1
2
m 2 →∞ m 2
Wynika z tego, że po zderzeniu kula o dużej masie (ściana) pozostaje nadal nieruchoma, zaś mniejsza porusza się z tą samą prędkością lecz zwróconą przeciwnie.
d) Jeżeli m >> m , a równocześnie v 1
2
2 = 0, to:
m 2
1− m
2 v
1
1
u =
⋅ v ,
u =
1
1
2
.
m
m
2
2
1 +
1+
m
m
1
1
Jeśli dodatkowo założymy, że m 1 → ∞ , to: m
lim
2 = ,
0
1
m →∞ m 1
a wtedy:
u → v
i u → 2 v
1
1
2
1 .
Oznacza to, że po zderzeniu kuli o bardzo dużej masie z nieruchomą kulką o masie małej, praktycznie biorąc kula duża zachowuje swą prędkość pierwotną, a kulka mała odskakuje z prędkością dwa razy większą od prędkości kuli dużej.
Ten rodzaj zderzeń rozpatrzymy na przykładzie dwóch ciał niesprężystych o masach m1 i m2 oraz o prędkościach przed zderzeniem v1 i v2. Niech obie prędkości mają te same kierunki i v1 niech będzie większe od v2, czyli niech ciało pierwsze dogania drugie. Po zderzeniu, jak wiemy, następuje trwałe odkształcenie obu ciał i biegną one jako jedna bryła z prędkością u.
W czasie tego zderzenia nie działają w układzie odosobnionym siły zachowawcze, a zatem nie stosuje się zasada zachowania energii mechanicznej. Stosuje się zasada zachowania pędu: m v + m v =
+
1 1
2 2
( m m
1
2 ) u .
Stąd prędkość wspólna obu ciał po zderzeniu równa się: m v + m v
1 1
2 2
u =
.
m + m
1
2
Znając energię kinetyczną obu ciał przed zderzeniem, jak również energię kinetyczną bryły utworzonej w wyniku zderzenia, można obliczyć stratę energii kinetycznej E
∆
= E
k
, przekształconą na inne
postacie energii:
2
2
m v
m v
m + m u
1 1
2 2
( 1
) 2
2
E =
+
−
.
2
2
2
Po uwzględnieniu powyższych rozważań otrzymujemy: 1 m m
1
2
E =
( v − v
1
)2
2
.
2 m + m
1
2
m m
Czynnik
1
2
m +
przedstawia tzw. masę zredukowaną.
m
1
2