ep do analizy matematycznej - arkusz zadań 1) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
1) jx
3j = 5
2) j1
3xj = 0
3) j7
6xj = 2
4) j13 + 6xj < 2
5) j3x
4j
3
p
6) 2x
3 <
2
p
7) x 3
2 > 5
8) jxj = x
9) jxj = x
10) jxj
x
11) jxj
x
p
p
p
12)
13 + x 6
2
13) j4x
3j = j4x + 3j
14) j2x
3j = j7x + 32j
15) j3x
5j
x
16) j1
3xj < 2x
17) jx
5j + 4x = jx + 2j + 3
18) jx
1j + 3 jx
5j
17
19) j3
xj + 2 jx
25j < 77
20) j2
3xj + j2 + 5xj + 3 jxj < 0
2) Metod ¾
a przekszta÷
ceń naszkicować wykresy podanych funkcji.
1) f (x) = jx + 4j
2) f (x) = jx
3j
2
3) f (x) = 5
jx + 1j
4) f (x) = 3 + j1
xj
5) f (x) = jjxj
5j
6) f (x) = 3
jjx + 1j
5j
7) f (x) = jjjxj
1j
1j
8) f (x) = 2
jjx
1j
3j
3) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
1)
2x2
2x + 12
0
2)
x2 + 4x > 0
p
3) x2 + x + x 5
0
p
p
p
4) x2 + x 2
x 3
6 = 0
5)
6x
x2
9 > 0
6) jtj2 + jtj
2 = 0
7) t2 + jtj
2 = 0
8) u2
9 juj
22
0
9) 4 juj + u2
117 > 0
10) x4 + 6x2
27 = 0
1
8x2
9
0
12)
32 + 31x5 + x10 = 0
13) t2 + 2t + 3 = t + 7
14) t2
t + 3 = t2 + 3t
1
15) x2 + jx
1j
1 > 0
16) x6
2x3 + 7 > 0
p
p
17)
2(x
2)(x +
3)
0
18)
x2 + 4x
3
4) Podan ¾
a funkcj ¾
e kwadratow ¾
a sprowadzić do postaci kanonicznej, a nast ¾
epnie metod ¾
a przekszta÷
ceń naszkicować jej wykres.
1) f (x) = x2 + 3x
5
2) f (x) = x2
4x + 4
3) f (x) = x2
5x
4) f (t) =
t2 + t + 6
5) f (t) =
5t2
2t + 3
6) f (t) = 1 t2
2 t
1
3
5
p
7) g(x) = x2 5
3
8) g(x) =
2(x + 6)2 + 3
9) g(x) =
x2 + 3x + 7
p
p
10) g(x) =
2(x
2)(x +
3)
5) Podany wielomian W roz÷
o·
zyć na czynniki, a nast ¾
epnie nasz-
kicować jego wykres i podać zbiór rozwi ¾
azań równania W (x) = 0 i
nierówności W (x) < 0; W (x) > 0; W (x) 0; W (x)
0.
W (x) =
1) x
5
2)
3x + 8
3)
2x2
14x + 36
4)
x2 + 3x
123
5) x3
2x2 + x
6) x3
2x2
x
7) x3
x2 + x
1
8) x3 + 2x2 + 2x + 4
9)
3(x2
6x + 9)
10) 5(x
1)(x + 3)(x
5)
p
p
11)
(x
1)(x
2)(x
3)(x
2)
12) x4
16
13) x4 + 4x2 + 4
14) x4
4x2 + 4
15) x8
2x4 + 1
16) x3
8
17) x3
2x2
5x + 6
18) x3
3x2
10x + 24
19) 9x
3x3
6
2
4x2 + x3
6
21) 2x3
3x2
4x + x4 + 4
22) 14x2
12x
2x4
23) x4
5x2
6x3
12x
14
24) 3x2
3x
x3 + 1
25) 24x2
32x
8x3 + x4 + 16
26) x3
7 x2 + 1
6
6
27) 16 x + 2 x2
2x3
8
9
3
9
p
p
p
p
28) 3x2 3
3x 5 +
10
x 6
29) 3 x
83 x2
1 x3 + x4 + 9
98
196
7
196
30) 41 x + 27 x2 + x3
3
4
4
6) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
1) 1 > 9
x
2) 1 > 9
x2
3)
x
1
x 2
4)
x
> 2
x 1
x
5)
x2
x+2 = 0
jx 1j
6)
x2+x+12
0
jx+3j
7)
1
> x + 3
jx 2j
8) j2x 1j
0
x2
1
9) 3x 2 < 2 + 1 x
1+x
3+2x
10) 1 + 2 + 3
< 0
x
x 1
x 2
11) 1
9
0
x
x2
12)
1
+
1
< 0
x2+x 2
x2+5x 6
7) Podan ¾
a funkcj ¾
e przedstawić w postaci f (x) = A +
a
, a nast ¾
ep-
x B
nie (metod ¾
a przekszta÷
ceń) naszkicować jej wykres.
f (x) =
1) x+2
x 1
2) 2x
x+5
3) 2x 3
x+7
4) 1 x
x 3
5) 3 4x
x+5
6) 3x 1
2x+9
7) 1 7x
3 4x
8)
1
2 x
9)
3
2x+7
8) Metod ¾
a przekszta÷
ceń naszkicować wykresy podanych funkcji.
f (x) =
1) 2x + 1
2) 2 x + 1
3
2
4) 3 x 1
2
5) 3
42 x
6) 22x 6
7
7) 1
3x+2
8) 23x 9
5
2
9) 6
5
3 2x+2
7
10) 5
( 1 ) 2x+5
2
11) 3
(0:6)2x 5
12) 3
1 x
3
9) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
p
1) ( 1 )2x 1 = 9 3
3
4
p3
p
2) 2 x+3 >
8
32 p
3) (0:04)x+3
9 625
4) 7x2 5x > 1
p
5) ( 3)jx+2j
3
p81
3 2
p
p
6) ( 1 )1 x ( 4 2)2x = 8x 4 ( 2 )3 x 64
5
p2
p
p
7) (3x 1) 2
27 < 9
(( 4 3)5x) 1
31 x
3x+2
p
8) ( 2)3 jx+2j
1
2
9)
1
> 1
3jx 7j
3x
10) 22x2 11x+x3 12 = 1
p
11) ( 3)2x3+4 < ( 1 ) 3x
3
12) 2 4x
65 2x + 32 = 0
13) 2 4x
65 2x + 32 < 0
14) ( 1 )jxj
30
81
9
3jxj
p
15) 7x2 3x + 3 7x2 3x > 4
16) 23jxj
126 22jxj
259 2jxj + 384 = 0
17) 23jxj
126 22jxj
259 2jxj + 384 < 0
18) 5j2x 1j
0:24 5jx 0:5j + 0:008
0
19) 3x4 3x+1 >
1
20) 21 3jx+2j
0
21) 2x 1 + ( 1 )x3 1 + 1 < 0
2
10) Metod ¾
a przekszta÷
ceń naszkicować wykresy podanych funkcji.
f (x) =
1) log 1 (x
1)
2
2) 3 + log2(x + 2)
3) 5
log(x
3)
4) jlog0:4(x + 5)j
5) j1
log2(x
1)j
6) 3
logp (x + 2) + 1
3
7) j1
j1
log(x
1)jj
4
9) log 1 ( x)
3
10) log5[ (x + 2)]
11) log0:2[ (x
6)]
12) log3( x + 3)
13) jlog ( x
1)j
14) 2
j1
log( x + 5)j
11) Obliczyć
p
log2 8; log2 16; log2(25); log2(2 1); log2( 1 ); log
); log
2); log
2
2( 1
64
2(
2 1;
5
p
log
2
2( 1 ); log
); log 2; log ( 1 ); log
); log(10); log(100); log(100000); 3
p
1
1
2
2( 16
0:5( 2
6
p
2
2
128
2
p
p
log(1015); log(10 4); log 1; log 3 10; log 100
p
; log
1
; log
3; log 1 27;
10
4
p100
3
3
q
logp 125; log
(53); log 49; log
1
; log
6
9 ; log 2 ;
5
1
p
1
7 5
p
1:5 1:5; log 10; log 2
4
2
5
5
7
49
3
5
log
5
logp 27
2log 3
7
5
1
27
2
; 3log3 ; 4log2 ; 9
2
3
; 10log 2; 1000log 3; log5
;
;
log 3
logp 9
5
2
log 3
log
4
2log 3
3
1
4
; 5 log 5 ; ( 1 )log2 ; 3
3
:
4
12) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
1) log 1 (3
2x) <
1
2
2) log3(3x
1)
0
3) log(x
7) = 3
4) log 1 (jx
2j
3)
0
3
5) log2(jx + 1j + 2) = 4
6) log2(j2x + 1j + 1)
log0:5 2
7) log3(x
1) + log3(x + 1)
1
8) log3(1
x) + log3(x + 1)
1
9) log(x
2)
log(4
x) = 1
log(13
x)
10) log 1 (x2 + 3x) >
2
2
11) log 1 (j3x
1j + 1)
3
2
12) log(2x
4x)
log 8
log(2x 1 + 1 )
4
13) log5 x
log5(x
1)
2
14) log5( x )
2
x 1
15) log x + log(x + 1) + log(x + 2) > 2 log 3 + log( 2 ) 3
16) 2 log 1 ( x) + log 1 (x + 6) log 1 (0:2)
2
2
2
17) log2 x + 2 log x
3 < 0
18) log32(x + 1)
3 log2(x + 1) + 2
0
19) jlog3(x + 1)j < 1
20) log21 (x
1)
25
3
21) log5(2x + 1) + log 1 (x
1) > log5 x + log 1 (x + 1) 5
5
22) 2x 1 + log(x + 2) =
2
23) log22(jxj + 1)
4 log2(jxj + 1)
5
13) Obliczyć sin ; cos ; tg ; ctg dla
=
5
150 ; 240 ;
225 ; 300 ;
315 ; 330 ;
570 ; 1395 ;
2670 ; 4200 ;
6435 ; 115860 :
14) Rozwi ¾
azać podane równania i nierówności.
p
1) sin x =
3
2
2) cos(2x) =
1
2
3) sin x > 12 p
4) jcos xj
2
2p
5) sin(4x) <
7
2
p
6) tg(x
) >
3
7 p
7) jctgxj > 3
3
8) tg2(x +
) = 1
5
9) sin2( 2 x)
1
7
2
p
10) cos(3x
4)
3
p
11) ctg(3x
)
3
12
12) cos2 x + 5 cos x
3
0
2
2
p
13) sin2 x
sin x +
2 (1
sin x) > 0
2
14) 5
sin2 x
7 cos x
0
2
2
15) cos2 x
5 sin x
2
0
2
16) sin 2x = sin x
17) sin 4x + cos 2x = 0
18) cos 2x + sin2 x = 0
19) cos 2x
cos2 x =
3
4
20) 2tgx < 12
21) 3cos2 3x
1
22) 2sin x3 > 1
p2
23)
1
3
3tgx
24) ( 1 )ctg2x < 1
5
25) sin x = cos x
26) jsin xj = cos x
27) tgx = ctgx
28) ctgx +
1
= 0
sin x
29) tgx = sin x
30) sin x
1
1
2
6