Analiza układu masa-sprężyna tłumik
Starałem się opracować problem w miarę przejrzyście, jeżeli będą mieli Państwo jakieś wątpliwości,
co do zawartych tutaj treści, zapraszam na konsultacje (pokój 131). Pozdrawiam, A
ukasz Hirt.
Rozpatrujemy układ masa  sprężyna  tłumik przedstawiony poniżej.
Naszym zadaniem będzie odnalezienie funkcji przemieszczenia masy w funkcji czasu, tj. .
Zakładamy przy tym, że ściany ograniczające układ są idealnie sztywne a rozpatrywana masa jest
masą skupioną w punkcie. Dodatkowo zakłada się, że zarówno tłumik , sprężyna i połączenia
pomiędzy tymi elementami są pozbawione masy. Układ składa się z trzech elementów czynnych:
tłumik, który charakteryzuje jego parametr tłumienia , sprężyna o parametrze sprężystości oraz
masa . Zauważmy, że przemieszczenie masy nie jest równoznaczne z położeniem tej masy w
układzie zdefiniowanym poprzez oś . Dla przykładu jeżeli założymy, że początek osi związany jest z
lewą ścianką.
W każdym przypadku rozwiązywania problemów natury fizycznej na samym początku odwołujemy
się do podstawowych praw czy ogólnie przyjętych zasad fizyki, takich jak prawo zachowania energii,
pędu czy masy jak również zasady dynamiki Newtona.
W naszym przypadku skorzystamy z drugiej oraz trzeciej zasady dynamiki Newtona. Z drugiej zasady
wynika, że przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do sumy sił działających na to ciało i odwrotnie
proporcjonalne do masy tego ciała. Nie zastanawiając się na razie jaka jest natura sił działających na
naszą masę, zgodnie z drugą zas. dyn. Newtona możemy zapisać następującą zależność:
1

Gdzie odnosi się do sił zewnętrznych działających na masę .
Sprawdz
my teraz jakie siły działają na naszą masę. Załóżmy dla przykładu, że masa porusza się
zgodnie z kierunkiem osi . W takim przypadku sprężyna będzie ściskana i zgodnie z trzecią zasadą
dynamiki Newtona zadziała na masę siłą reakcji równą:
Dodatkowo na masę działa tłumik, który przeciwstawia się przemieszczeniu masy. Zazwyczaj siła
oddziaływania tłumika jest proporcjonalna do prędkości, tj. pochodnej przemieszczenia po czasie. Siłę
pochodzącą od tłumika oznaczymy jako i wyniesie ona:

Nie należy zapominać o zewnętrznym wymuszeniu . Ostatecznie na rozpatrywaną masę
będą działały trzy różne siły, przyspieszenie masy wyniesie zatem:
1

Przekształcając dostaniemy:

Gdzie: / , / , / .
Powyższe równanie jest równaniem różniczkowym zwyczajnym, tj. przemieszczenie jest funkcją
tylko jednej zmiennej, w naszym przypadku czasu.
Dodatkowo równanie może zostać sklasyfikowany ze względu na charakter parametrów , .
Wyjaśnia to schemat przedstawiony poniżej, .
Równanie nieliniowe o
Równanie liniowe o
parametrach zmiennych
parametrach zmiennych
w czasie
w czasie
,
Równanie liniowe
Praktycznie wszystkie rzeczywiste układy opisane są za pomocą równać (czy układów równań)
nieliniowych, czyli takich, w których parametry są funkcjami rozwiązania. Ich analiza jest jednak
skomplikowana i zazwyczaj w takim przypadku odwołujemy się do narzędzi numerycznych. Z
najprostszym przypadkiem spotkamy się wówczas, gdy parametry układu będą stałymi, tj. nie będą
ani funkcją czasu ani rozwiązania. W literaturze, głównie anglojęzycznej takie układy oznacza się jako
LTI, w rozwinięciu: Linear - Time  Invariant (Liniowe, niezależne od czasu).
Załóżmy, że nasz układ jest typu LTI. Okazuje się, że równanie opisujące jego dynamikę można w
prosty sposób rozwiązać przy pomocy transformaty Laplace a. Przypomnijmy, że nasze równanie jest
postaci:

Prawdziwe są następujące zależności:
W 0 0 0
W 0
,
Gdzie oznacza pochodną tego rzędu. Indeks górny w nawiasie oznacza pochodną, bez
nawiasu potęgę! Wielkości typu 0 odnoszą się do warunków początkowych  zakłada się, że są
one znane. Zauważmy, że w przypadku, gdy równanie jest stopnia tego musimy znać warunków
początkowych.
Jak wykorzystać powyższe zależności w naszym równaniu? Załóżmy, że na obie strony naszego
równania działamy operatorem Laplace a. I tak wykorzystując na początek zależność ,
odpowiednio do lewej i prawej strony równania otrzymamy:


Wykorzystamy teraz zależności , do uporządkowania lewej strony. Zauważmy przy tym, że:
0 0
0
Podstawiając to do naszego równania otrzymamy:
0 0 0
Porządkując można otrzymać następującą formę:
0 0
Zostawiając po lewej stronie tylko dostajemy:
0 0
Czy widzą państwo zależność pomiędzy rzędem równania różniczkowego a stopniem wielomianu
mianownika? Ile członów skojarzonych z warunkami początkowymi znajduje się w liczniku, i czy ma to
związek z rzędem równania?
Załóżmy teraz, że wszystkie warunki początkowe są zerowe, a samo wymuszenie ma charakter
impulsu Diraca, tj. . W takim przypadku:
1
Zatem (ponieważ / ) : 1/ .
Zależność na w tym szczególnym przypadku przyjmuje postać:
1 1
Jak pamiętamy naszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji , zgodnie z definicją operatora
Laplace a:
Jak Państwo widzą sprowadza się to do wyznaczenia transformaty odwrotnej z funkcji
1
Podobne rzeczy były tematem ostatniego kolokwium. Oczywistym podejściem było by wyznaczenie
pierwiastków mianownika i sprowadzenie go do postaci iloczynowej. Można pokazać, że wyniosą
one:
" 4 " 4
2 2
W takim przypadku funkcję można zapisać następująco:
1
A samą funkcję moglibyśmy otrzymać stosując ideę ułamków prostych. Zadanie to
spróbujemy jednak rozwiązać w nieco inny sposób, wiedząc że dla dowolnej funkcji zachodzi:
Tutaj operator oznacza przejście pomiędzy dziedziną czasu i dziedziną Laplace a. Pierwsza
zależność jest oczywista, drugą należało by wyjaśnić. Załóżmy, że funkcja jest funkcją
Heaviside a, tj.
Wiemy że transformata Laplace atej funkcji dana jest zależnością:
1
Jednak co zrobić w przypadku, gdy musimy wyznaczyć transformatę funkcji
 ? Przy użyciu zależności jest bardzo proste: Wyznaczamy
transformatę funkcji i w miejsce argumentu podstawiamy .
1
Co jednak w przypadku odwrotnym, gdy dysponujemy funkcją dziedzinie Laplace a i poszukujemy
funkcji czasu? Rozważmy ten sam przykład, tj. załóżmy, że funkcja zmiennej jest postaci:
1
Pierwsza rzecz, to wyszukanie członów w których występuje suma argumentu i dowolnej stałej. Jak
widzimy w naszym przypadku taki człon występuje. Pozbywamy się stałej z tego członu i
zastanawiamy, czy znamy transformatę odwrotną tak powstałej funkcji. W tym przypadku będziemy
szukali transformaty odwrotnej funkcji 1/ , którą możemy wyznaczyć z tablic, i która daje w wyniku
funkcję skoku jednostkowego . Nie pozostaje nic więcej niż wynik tej transformacji przemnożyć
przez człon ,tj.
W tym miejscu zatrzymujemy się i zastępujemy człon
przez sam argument
1
1
Inną metodą może być podstawienie
I następne wyznaczenie transformaty odwrotnej ze
względu na :
1
Wynik uproszczonej transformacji przemnażamy przez
człon
Uwaga! Jak nie należy interpretować zależności . Załóżmy, że dysponujemy
funkcją:
1
Zauważmy, że sumy musimy poszukać przy każdym miejscu gdzie znajduje się . Jak widać w
powyższym przypadku na pierwszy rzut oka nie ma to miejsca. Ale zauważmy, że możemy funkcję
przedstawić jako:
1
Teraz możemy pozbyć się stałej ale tylko z członów i obliczyć transformatę odwrotną tak
powstałej funkcji, tj.
1
Błędem była by interpretacja, że człon występuje tylko pod kwadratem i obliczanie
transformaty funkcji:
1
Zauważmy, że o wiele wygodniejszym sposobem jest podstawienie , przy którym nie
musimy się zastanawiać do jakiej postaci sprowadzić funkcję, wynik takiego podstawienia zawsze da
prawidłową formę.
Wróćmy do naszego podstawowego problemu, tj. wyznaczenie transformaty odwrotnej funkcji:
1 1
Zauważmy, że w przypadku, gdy 0 dostajemy:
1
Jak Państwo zapewne pamiętają transformata odwrotna takiej funkcji wynosi:
1
sin
"
"
Zatem rozwiązanie naszego układu w tym szczególnym przypadku miało by charakter oscylacyjny, co
w pewien sposób zgadza się z naszym postrzeganiem tego zjawiska. Załóżmy jednak znowu, że 0.
Czy w takim przypadku drgania naszej masy również będą miały charakter oscylacyjny? Intuicyjnie
spodziewamy się, że tak ale dodatkowo powinno występować tłumienie, które będzie z czasem
redukowało amplitudę drgań.
Pierwszy krok  Zakładamy, że rozwiązanie będzie miało charakter oscylacyjny:
1
Ale jak widzimy mianownik tej funkcji nie jest tożsamy z mianownikiem . Brakuje członu z .
Zauważmy jednak, że:
1 1
2
Już odpowiada naszym wymaganiom, tj. można znalez
ć taką parę , dla której zachodzi
tożsamość:
2
Co nie jest trudne, wystarczy jedynie przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach aby
otrzymać układ równań postaci:
2
Którego rozwiązaniem jest:
2 4
Dobrze, tylko po co to wszystko? Zauważmy, że wiemy już że postać funkcji :
1
Jest poprawna. Nasuwa się pytanie, czy już tej chwili jesteśmy w stanie obliczyć transformatę
odwrotną tej funkcji? Wróćmy ponownie do zależności , tj:
Jak pamiętamy aby sprawdzić, czy warto użyć tej zależności, można dokonać podstawienia
aby pozbyć się stałej stojącej przy , jeżeli jesteśmy w stanie obliczyć transformatę tak powstałej
funkcji to warto wziąć tą zależność pod uwagę.
1 1
Transformata odwrotna funkcji wyniesie:
1
sin
Nas jednak interesuje transformata nie funkcji ale , zgodnie z zależnością wynik
uzyskany z transformacji funkcji należy przemnożyć przez człon , tj.
sin
I to jest nasz ostateczny wynik. Sprawdz
my teraz, czy ma on jakikolwiek sens fizyczny. Przypomnijmy,
że współczynniki oraz związane są z parametrami układu poprzez następujące zależności.
2 2 4 4
Rozważmy różne przypadki:
a) 0; w takiej sytuacji redukuje się nam człon tłumiący , a parametr . Drgania
są nietłumione a ich charakter jest ściśle oscylacyjny i opisany jest funkcją sinus.
b) 0; W takim przypadku drgania są tłumione. Ze względu na fakt, że tłumienie to opisane
jest członem im większa wartość współczynnika , tym większe tłumienie.
Zgadza się to zatem z intuicyjnym postrzeganiem tego zjawiska.
Problemy do samodzielnego opracowania:
1. Mając dane równanie różniczkowe w postaci przedstawionej poniżej, wyznacz zależność
algebraiczną , gdzie oraz są wielomianami. Założyć zerowe warunki
początkowe.
a)
b)
Gdzie: impuls Diraca, funkcja skoku jednostkowego
2. W rozważanym przypadku zachodzi:
1 1
Załóżmy, że istnieją takie zmienne oraz spełniające tożsamość:
2
Proszę wyznaczyć przy użyciu parametrów oraz . Analizując wynik
proszę zinterpretować sens fizyczny parametru . Co dzieje się z drganiami, gdy 0?