Tomasz Downarowicz
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechnika WrocÃlawska
50-370 WrocÃlaw

WrocÃlaw, kwiecie´

n 2011

Analiza Funkcjonalna WPPT IIr.

WykÃlad 4: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste i zespolone)

1. ILOCZYN SKALARNY

Definicja. Iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej V nad ciaÃlem R (lub C) to
funkcja

h·, ·i : V × V → C

speÃlniaj¸aca warunki:
1) hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0
2) hx, yi = hy, xi
3) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi
4) hαx, yi = αhx, yi

Iloczyn skalarny zadaje norm¸e wzorem kxk =

p

hx, xi . Istotnie, wida´c natychmiast

warunek na zero oraz jednorodno´s´c. Podaddytywno´s´c wyniknie z nier. Schwartza:

Twierdzenie (Nier´owno´s´c Schwartza)

|hx, yi| ≤ kxkkyk

Dow´od: Je´sli y = 0 to nier´owno´s´c jest trywialna. W innym wypadku, kÃladziemy
t =

hx,yi

kyk

2

. Wtedy

0 ≤ hx − ty, x − tyi = hx, xi − hx, tyi − hty, xi + hty, tyi =

kxk

2

− ¯thx, yi − thx, yi + |t|

2

kyk

2

= kxk

2

− 2

|hx, yi|

2

kyk

2

+

|hx, yi|

2

kyk

2

,

co po uproszczeniu i pomno˙zeniu przez kyk

2

daje tez¸e. ¤

Teraz mo˙zemy wykaza´c podaddytywno´s´c normy:

kx + yk

2

= kxk

2

+ hx, yi + hy, xi + kyk

2

= kxk

2

+ 2Re(hx, yi) + kyk

2

≤

kxk

2

+ 2|hx, yi| + kyk

2

≤ kxk

2

+ 2kxkkyk + kyk

2

= (kxk + kyk)

2

.

Definicje.
Przestrze´

n unitarna to przestrze´

n z iloczynem skalarnym i zadan¸a przeze´

n norm¸a.

Przestrze´

n Hilberta to przestrze´

n unitarna zupeÃlna.

Fakt. Mamy ci¸agÃlo´s´c iloczynu skalarnego (jako funkcji dw´och zmiennych) w normie:

x

n

k k

−→ x, y

n

k k

−→ y =⇒ hx

n

, y

n

i → hx, yi.

2

Dow´od: Mamy:

|hx

n

, y

n

i − hx, yi| = |hx

n

, y

n

i − hx

n

, yi + hx

n

, yi − hx, yi| =

|hx

n

, y

n

− yi + hx

n

− x, yi| ≤ kx

n

kky

n

− yk + kx

n

− xkkyk −→

−→ kxk · 0 + 0 · kyk = 0,

gdzie ostatnia nier´owno´s´c wynika z nier´owno´sci Schwartza, a zbie˙zno´s´c kx

n

k → kxk

wynika z ci¸agÃlo´sci normy. ¤

Fakt. (Nier´owno´s´c r´ownolegÃloboku) Norma zadana przez iloczyn skalarny speÃlnia
nast¸epuj¸acy warunek:

kx + yk

2

+ kx − yk

2

= 2kxk

2

+ 2kyk

2

(Interpretacja: suma kwadrat´ow przek¸atnych r´ownolegÃloboku jest r´owna sumie
kwadrat´ow jego bok´ow.)

Dow´od: Trzeba napisa´c kwadraty norm jako iloczyny skalarne, po lewej stronie
wymno˙zy´c i skr´oci´c. ¤

Twierdzenie. Je´sli norma w jakiej´s przestrzeni unormowanej speÃlnia warunek
r´ownolegÃloboku, to istnieje tam iloczyn skalarny zgodny z t¸a norm¸a.

Dow´od: Iloczyn skalarny wprowadzamy wzorem:

Re(hx, yi) =

1
2

(kx + yk

2

− kxk

2

− kyk

2

)

Im(hx, yi) =

1

2i

(kx − iyk

2

− kxk

2

− kyk

2

)

Sprawdzenie aksjomat´ow iloczynu skalarnego – na ´cwiczeniach. ¤

2. ORTOGONALNO´

S ´

C.

Definicja. Powiemy, ˙ze dwa wektory s¸a ortogonalne je´sli ich iloczyn skalarny jest
zero:

x⊥y ⇐⇒ hx, yi = 0.

Uwaga: Wektor zerowy jest ortogonalny do ka˙zdego wektora. Ortogonalno´s´c parami
element´ow dowolnego zbioru nie zawieraj¸

acego zera implikuje niezale˙zno´s´c tego

zbioru (ale nie odwrotnie).

3. RZUT ORTOGONALNY.

Niech A ⊂ V b¸edzie podzbiorem przestrzeni unitarnej i niech x ∈ V . Powiemy, ˙ze x
jest ortogonalny do A, co zapiszemy x⊥A je´sli x⊥y dla ka˙zdego y ∈ A. Z liniowo´sci
i ci¸agÃlo´sci iloczynu skalarnego wynika, ˙ze wtedy r´ownie˙z x⊥Lin(A).
Niech teraz W oznacza domkni¸et¸a podprzestrze´

n przestrzeni unitarnej V i niech

x ∈ V .

Definicja. Rzutem ortogonalnym x na W nazywamy wektor x

W

∈ W speÃlniaj¸acy

(x − x

W

)⊥W .

3

Rzut ortogonalny, o ile istnieje, jest jednoznaczny: gdyby x − w

1

⊥W i x − w

2

⊥W ,

gdzie w

1

, w

2

∈ W , to x − w

1

− x + w

2

= w

1

− w

2

⊥W , a to oznacza, ˙ze w

1

− w

2

jest

ortogonalny sam do siebie, co z kolei oznacza, ˙ze jest to wektor zerowy.
Je´sli x ∈ W , to oczywi´scie x

W

= x. P´o´zniej wyka˙zemy, ˙ze w przestrzeni Hilberta

rzut ortogonalny dowolnego wektora na dowoln¸a podprzestrze´

n domkni¸et¸a istnieje.

Najpierw zajmiemy si¸e przypadkiem, gdy W = Lin{x

1

, . . . , x

n

}, gdzie x

1

, . . . x

n

s¸a parami ortogonalne i unormowane. Zauwa˙zmy, ˙ze w takim przypadku ka˙zdy
wektor w ∈ W , zapisuje si¸e jednoznacznie jako w =

P

n
i=1

a

i

x

i

. I wtedy jego norma

wylicza si¸e nast¸epuj¸aco:

kwk

2

= hw, wi = h

n

X

i=1

a

i

x

i

,

n

X

j=1

a

j

x

j

i =

n

X

i,j=1

a

i

¯a

j

hx

i

, x

j

i =

n

X

i=1

a

i

¯a

i

hx

i

, x

i

i =

n

X

i=1

|a

i

|

2

,

czyli

kwk =

v

u

u

t

n

X

i=1

|a

i

|

2

.

(Jest to Twierdzenie Pitagorasa.)

Zbadamy teraz rzut ortogonalny na tak¸a przestrze´

n W . Mianowicie, wtedy, dla

dowolnego x ∈ V mamy

x

W

=

n

X

i=1

hx, x

i

ix

i

.

Faktycznie, x

W

∈ W oraz niech y ∈ W , y =

P

n
i=1

α

i

x

i

. Obliczmy

hx − x

W

, yi =

*

x,

n

X

i=1

α

i

x

i

+

−

*

n

X

i=1

hx, x

i

ix

i

,

n

X

i=1

α

i

x

i

+

=

n

X

i=1

¯

α

i

hx, x

i

i −

n

X

i=1

hx, x

i

i¯

α

i

1 = 0.

Liczby hx, x

i

i nazywamy wsp´oÃlczynnikami Fouriera dla x wzgl¸edem ukÃladu ortonor-

malnego {x

1

, . . . , x

n

}.

Fakt 1. Suma kwadrat´ow wsp´oÃlczynnik´ow Fouriera x nie przekracza kxk

2

.

Dow´od: Faktycznie

kxk

2

= hx, xi = hx−x

W

+x

W

, x−x

W

+x

W

i = kx−x

W

k

2

+0+0+kx

W

k

2

≥ kx

W

k

2

=

n

X

i=1

hx, x

i

i

2

. ¤

4

Niech teraz {x

1

, x

2

, . . . } b¸edzie ci¸agiem element´ow unormowanych i parami ortog-

onalnych. z powy˙zszego lematu wynika natychmiast, ˙ze ci¸ag hx, x

i

i jest sumowalny

z kwadratem i suma kwadrat´ow nie przekracza kwadratu normy x.

Fakt 2. Je´sli teraz mamy ci¸ag liczb α

i

sumowalny z kwadratem, to ci¸ag sum

sko´

nczonych

P

n
i=1

α

i

x

i

jest podstawowy w normie.

Dow´od: Faktycznie, kwadrat normy r´o˙znicy mi¸edzy n-t¸a a m-t¸a tak¸a sum¸a wynosi

m

X

i=n+1

α

2

i

,

a to jest dowolnie maÃle je´sli n i m s¸a dostatecznie du˙ze. ¤

Fakt 3. Kwadrat normy elementu b¸ed¸acego granic¸a takiego szeregu (o ile istnieje)
jest r´owny sumie kwadrat´ow wsp´oÃlczynnik´ow.

Dow´od: Faktycznie, kwadrat normy sumy sko´

nczonej jest r´owny odpowiedniej

sumie sko´

nczonej kwadrat´ow liczb α

i

a norma jest ci¸agÃla, wi¸ec w granicy otrzy-

mamy ˙z¸adan¸a r´owno´s´c. ¤

Twierdzenie. Niech V b¸edzie przestrzeni¸a Hilberta i niech {x

1

, x

2

. . . } b¸edzie

ukÃladem ortonormalnym. Niech W = Lin({x

1

, x

2

. . . }). Wtedy rzut ortogonalny

dowolnego elementu x ∈ V na W wyra˙za si¸e wzorem

x

W

=

∞

X

n=1

hx, x

n

ix

n

.

Kwadrat normy x

W

wynosi

P

n

hx, x

n

i

2

i nie przekracza kxk

2

.

Dow´od: Z Faktu 1 wynika, ˙ze szereg wsp´oÃlczynnik´ow Fouriera hx, x

n

i jest sumowalny

z kwadratem i suma tego szeregu nie przekracza kwadratu normy x. Dalej, z
Faktu 2 i zupeÃlno´sci wynika, ˙ze szereg w definicji x

W

jest zbie˙zny, czyli element

x

W

jest poprawnie zdefiniowany. Sprawdzimy, ˙ze jest on rzutem ortogonalnym x

na przestrze´

n domkni¸et¸a W . Po pierwsze, nale˙zy on do tej przestrzeni. Dalej, dla

dowolnie ustalonego n

0

obliczmy

hx − x

W

, x

n

0

i =

*

x −

∞

X

n=1

hx, x

n

ix

n

, x

n

0

+

= hx, x

n

0

i −

∞

X

n=1

hx, x

n

ihx

n

, x

n

0

i =

hx, x

n

0

i − hx, x

n

0

ihx

n

0

, x

n

0

i = 0.

Zatem x − x

W

⊥{x

1

, x

2

, . . . }, a to implikuje, ˙ze x − x

W

⊥W . Wz´or na norm¸e x

W

wynika z Faktu 3, a oszacowanie z pierwszego zdania dowodu. ¤

UWAGA: Je´sli ci¸ag {x

i

} rozpina caÃl¸a przestrze´

n V (w sensie domkniecia), to

oczywi´scie x

W

= x i wtedy mamy wz´or

(*)

x =

X

n

hx, x

n

ix

n

oraz kxk

2

=

X

n

hx, x

n

i

2

.

5

Wynika z tego, ˙ze w przestrzeni Hilberta ka ˙zdy przeliczalny ukÃlad ortonor-
malny liniowo g¸esty {x

n

} jest baz¸

a topologiczn¸

a. Powy˙zsza reprezentacja x

w tej bazie nazywa si¸e rozwini¸eciem x w szereg Fouriera wzgl¸edem bazy {x

n

}.

4. ORTOGONALIZACJA GRAMMA–SCHMIDTA

Twierdzenie. Niech {y

1

, y

2

. . . } b¸edzie ci¸agiem liniowo niezale˙znym w przestrzeni

unitarnej. Wtedy istnieje ci¸ag ortonormalny {x

1

, x

2

, . . . } taki, ˙ze dla ka˙zdego n,

Lin{y

1

, . . . , y

n

} = Lin{x

1

, . . . , x

n

} (w szczeg´olno´sci Lin{y

1

, y

2

. . . } = Lin{x

1

, x

2

. . . }).

Dow´od: Zauwa˙zmy, ˙ze ci¸ag {y

n

} jako niezale˙zny nie zawiera zera. Zatem mo˙zna

dzieli´c przez ky

n

k.

Krok 1. x

1

=

y

1

ky

1

k

.

Krok n+1. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze skonstruowali´smy ukÃlad ortonormalny x

1

, . . . , x

n

o ˙z¸adanych

wÃlasno´sciach (rozpinanie tych samych przestrzeni przez pocz¸atkowe kawaÃlki ci¸agu,
co dla y

1

, . . . , y

n

). Mamy wskaza´c x

n+1

tak, aby Lin{y

1

, . . . , y

n+1

} = Lin{x

1

, . . . , x

n+1

}.

Definiujemy

x

n+1

=

y

n+1

− (y

n+1

)

W

ky

n+1

− (y

n+1

)

W

k

,

gdzie W = Lin{y

1

, . . . , y

n

}(= Lin{x

1

, . . . , x

n

} z zaÃlo˙zenia indukcyjnego). W mi-

anowniku nie wyst¸epuje zero, gdy˙z y

n+1

jest niezale˙zny od {y

1

, . . . , y

n

}, zatem nie

nale˙zy do W , st¸ad (y

n+1

)

W

6= y

n+1

. Zdefiniowany wektor ma wi¸ec norm¸e 1, jest or-

togonalny do W , a wi¸ec do wszystkich x

1

, . . . x

n

. Z wektor´ow x

1

, . . . , x

n+1

mo˙zna

uzyska´c y

n+1

jako kombinajc¸e liniow¸a (najpierw mo˙zna uzyska´c (y

n+1

)

W

bo ten

nale˙zy do W , a potem dodaj¸ac do x

n+1

pomno˙zony przez mianownik z powy˙zszej

definicji odtworzymy y

n+1

.) Zatem y

n+1

∈ Lin{x

1

, . . . , x

n+1

} (no i oczywi´scie

x

n+1

∈ Lin{y

1

, . . . , y

n+1

}), co wobec r´owno´sci przestrzeni rozpi¸etych przez wek-

tory do numeru n daje r´owno´s´c przestrzeni rozpi¸etych przez wektory do numeru
n + 1. ¤

5. ISTNIENIE BAZY ORTONORMALNEJ W O´

SRODKOWEJ PRZESTRZENI

HILBERTA.

Twierdzenie. W przestrzeni Hilberta istnieje maksymalny zbi´or ortonormalny B.
Mamy wtedy Lin(B) = V . W przypadku o´srodkowym zbi´or B jest co najwy˙zej
przeliczalny (czyli wtedy jest on baz¸a topologiczn¸a).

Dow´od: Rozpatrzmy rodzin¸e zbior´ow ortonormalnych (nie koniecznie przeliczal-
nych) uporz¸adkowan¸a rosn¸aco przez inkluzj¸e. ÃLatwo wida´c, ˙ze suma tej rodziny jest
te˙z zbiorem ortonormalnym. Zatem w´sr´od zbior´ow ortonormalnych ka˙zdy Ãla´

ncuch

ma kres g´orny. Z lematu Kuratowskiego–Zorna wynika istnienie maksymalnego
zbioru ortonormalnego B. Zauwa˙zmy, ˙ze odlegÃlo´s´c dw´och wektor´ow ortonormal-
nych zawsze wynosi

√

2, zatem ka˙zdy ukÃlad ortonormalny jest zbiorem

√

2-rozdzie-

lonym. W przypadku o´srodkowym zbi´or rozdzielony (z jak¸a´s staÃl¸a) mo˙ze by´c co
najwy˙zej przeliczalny.
Teraz poka˙zemy, ˙ze B rozpina caÃl¸a przestrze´

n. Je´sli istnieje x nie nale˙z¸acy do

W = Lin(B), to rzutujemy go na W i wtedy x 6= x

W

. Zatem 0 6= x − x

W

⊥W .

6

Wtedy B ∪ {

x−x

W

kx−x

W

k

} jest zbiorem ortonormalnym wi¸ekszym do B, co przeczy

maksymalno´sci. ¤

Zwerbalizujmy jeszcze raz co zostaÃlo pokazane: W ka ˙zdej o´srodkowej przestrzeni
Hilberta istnieje ortonormalna baza topologiczna. Nazywamy j¸a po prostu
baz¸a przetrzeni Hilberta. Ka ˙zdy element rozwija si¸e w szereg Fouriera i ma
norm¸e jak we wzorach (*).

Je´sli zostanie czas:
PrzykÃlady: R

n

, l

2

, L

2

([0, 2π]), L

2

(R). Przypomnie´c o´srodkowo´s´c. Zatem ka˙zda z

nich ma baz¸e ortonormaln¸a. Wskaza´c te Ãlatwe bazy. Pokaza´c, ˙ze {1, cos nx, sin nx}
jest baz¸a w L

2

([0, 2π]) ortogonaln¸a (trzeba j¸a jeszcze unormowa´c). W tym celu

trzeba skorzysta´c z Tw. Weierstrassa (zob. Musielak, str. 73 Tw. 9.6), z tego ˙ze
jednostajna zbie˙zno´s´c implikuje w L

2

, i z tego, ˙ze f. ci¸agÃle le˙z¸a g¸esto. Ortogonalno´s´c

wynika ze wzor´ow na g´orze str. 74. W L

2

(R) baz¸a jest na przykÃlad suma baz na

odcinkach [2kπ, (2 + 1)kπ] (przedÃlu˙zonych zerowo na caÃle R).

7. Izomorfizm przestrzeni Banacha, izomorfizm unitarny.
Twierdzenie. Ka˙zde dwie o´srodkowe przesterznie Hilberta s¸a unitarnie izomor-
ficzne.