Kolokwium 2 Matematyka - 07.01.2013

, wersja A

(1) (4p) Dla cia

ι

gu a

n

:=

2n + 1

4n − 1

i :=

1

72

znale´

z´

c N takie, ˙ze dla ka˙zdego n > N zachodzi nier´

owno´

s´

c

a

n

−

1

2

< .

(2) Obliczy´

c granice cia

ι

g´

ow lub wykaza´

c, ˙ze nie sa

ι

zbie˙zne: a

n

:=

3n

4

+

√

n + sin(n)

11n

4

+ n + 1

(1p),

b

n

:=

1

√

n

2

+ n + 1 −

p

n

2

− n +

√

n

(1p), c

n

:=

cos(3n

4

+ 11)

√

n

2

+ n + 1

(1p).

(3) (4p) Dla jakiej warto´

sci liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=

(

x

2

−5x+6

√

x−2(x−3)

dla

x > 3

2x + a

dla

x ≤ 3

jest cia

ι

g la? (odpowied´

z

prosze

ι

uzasadni´

c).

(4) Obliczy´

c pochodne funkcji: f (x) := 2x

2

+

4

√

x +

7

x

3

(1p), g(x) :=

2x

2

+ 3x

x + 2

(2p) , h(x) :=

q

x

2

+

p

x

2

+ 1

(2p).

Kolokwium 2 Matematyka - 07.01.2013

, wersja B

(1) (4p) Dla cia

ι

gu a

n

:=

n + 4

3n − 1

i :=

1

81

znale´

z´

c N takie, ˙ze dla ka˙zdego n > N zachodzi nier´

owno´

s´

c

a

n

−

1

3

< .

(2) Obliczy´

c granice cia

ι

g´

ow lub wykaza´

c, ˙ze nie sa

ι

zbie˙zne: a

n

:=

n

5

+

√

n + 1 + cos(n)

6n

5

+ n + 1

(1p),

b

n

:=

1

√

n

2

+ 2n + 1 −

p

n

2

− n +

√

2n

(1p), c

n

:=

cos(3n

4

+ 11)

√

n

2

+ n + 1

(1p).

(3) (4p) Dla jakiej warto´

sci liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=

(

x

2

−x−2

√

x−1(x−2)

dla

x > 2

ax + 1

dla

x ≤ 2

jest cia

ι

g la? (odpowied´

z

prosze

ι

uzasadni´

c).

(4) Obliczy´

c pochodne funkcji: f (x) := x

4

+

5

√

x +

3

x

(1p), g(x) :=

3x

2

+ 2x

x

3

+ 2

(2p) , h(x) :=

q

x

2

+ 2

p

x

2

− 1

(2p).

Kolokwium Matematyka - 07.01.2013

, wersja C

(1) (3p) Dla cia

ι

gu a

n

:=

2n − 1

3n + 2

i :=

1

90

znale´

z´

c N takie, ˙ze dla ka˙zdego n > N zachodzi nier´

owno´

s´

c

a

n

−

2

3

< .

(2) Obliczy´

c granice cia

ι

g´

ow lub wykaza´

c, ˙ze nie sa

ι

zbie˙zne: a

n

:=

3n

4

+

√

n + sin(n)

11n

4

+ n + 1

(1p),

b

n

:=

6

√

n

2

+ n + 1 −

p

n

2

− 2n +

√

n + 1

(1p), c

n

:=

sin(n

2

+ n + 1)

√

n

2

+ n + 1

(1p).

(3) (4p) Dla jakiej warto´

sci liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=

(

x

2

+x−6

√

3x−2(x−2)

dla

x > 2

ax + a

dla

x ≤ 2

jest cia

ι

g la? (odpowied´

z

prosze

ι

uzasadni´

c).

(4) Obliczy´

c pochodne funkcji: f (x) :=

x

3

3

+

5

√

x +

7

x

3

(1p), g(x) :=

2x

2

+ 3x

3x + 2

(2p) , h(x) :=

q

x

2

−

p

x

2

+ 1

(2p).