Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

1. Definicja prawdopodobieństwa.

Jeżeli mamy Ω,S i spełnione są następujące warunki :
a) A∈S

P  A≥0 (Jeżeli zdarzenie A zawiera się w rodzinie S to prawdopodobieństwo A jest

większe równe 0)
b)Ω P(Ω)=1 (Jeżeli istnieje zbiór zdarzeń elementarnych to prawdopodobieństwo Ω jest równe
c)

(Jeżeli mamy i zdarzeń ,iloczyn i-ego z j-tym jest zbiorem pustym, i nie jest równe j, to suma
prawdopodobieństw jest prawdopodobieństwem sumy)
To funkcja ta jest przestrzenią prawdopodobieństw.

2. Własności dystrybuanty.

Dystrybuantą nazywany funkcję która spełnia 3 warunki :
- jest niemalejąca.

- lim

x⇒−∞

i lim

x⇒ ∞

są sobie równe dla funkcji f

- jest lewostronnie ciągła (granica funkcji w punkcie = punktowi) lim

x⇒ x

0

−

s

f  x= f  x

0



3. Sprawdzić, czy funkcja może F  x =

1





arctg  x 

1
2



być dystrybuantą rozkładu

prawdopodobieństwa.

f  x =

1





arctgx



2



1. F '  x=

1



∗

1

1 x

2



dla kazdego

x

∈ℝ

F '  x0

2.

lim

n −∞

1





arctg  x 



2



=

1





−

2





2



=

0

lim

n ∞

1





arctg  x 



2



=

1







2





2



=

1

3. z analizy funkcja arctg jest ciągła

f  x =

∫

∞

x

¿

F t

∞

≥

0

∫

−∞

∞

f t dt=1

a<b

F b−F a=

∫

∞

b

f t dt –

∫

−∞

a

f t dt=

∫

a

b

f t dt≥0

4. Udowodnić, że jeśli P jest rozkładem prawdopodobieństwa na R

1

to funkcja określona

By Perez

Strona 1 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

wzorem F  x = P −∞ ; x  ma własności:

1. F jest niemalejąca

2.

lim

x −∞

F  x=0

lim

x ∞

F  x=1

3. F jest lewostronnie ciągła

1.

x

1



x

2

A :−∞ ; x

1



B :−∞ ; x

2



C :x

1

; x

2



Zauważmy, że A∪C=B jeżeli A∩C =∅

P  A∪C=P  B ⇒ P  AP  B=P C 
F  x

1

−

F  x

2

=

P  −nieskończność ; x

2

−

P  −nieskończność ; x

1



idąc dalej

P  B P  A= P C = P  x

1

; x

2



0

funkcja

niemalejąca

2.

x

n

– ciag rosnący n elementowy , lim

x⇒ ∞



x

n

=∞

−∞

; x

1



, −∞ ; x

2



;−∞ ; x

3



....

x ∪

i=1

∞

−∞

; x

1

=−∞

;∞

lim

x⇒ ∞

F  x = lim

x⇒−∞

F  x

n

=

lim

n⇒ ∞

P −∞ ; x

n

=

P −∞ ;∞=1

x

n

malejący , lim

x⇒ ∞

x

n

lim

n⇒−∞

F  x=lim

n⇒ ∞

f  x

n

=

lim

n ⇒∞

P −∞ ; x

n

=

P ∅=0

3.

x

n

rosnacy lim

n⇒ ∞

x

n

=

x

0

lim x  x

−

0

F



x =lim

n ⇒ ∞

F  x

n

=

lim

n ⇒∞

P −∞ ; x

n

=

P −∞ ; x

0

=

F  x

0



F  x =

∫

−∞

x

f t dt

| f t≥0

|

∫

−∞

∞

f t dt=1

5. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

Jeśli P  B0 ,to P  A ∖ B P  A∖ B=

P  A∩ B

P  B

Dowód:
1 P  A/ B≥0

2. P ∖ B=

P ∖ B

P  B

=

P  B
P  B

=

1

3. A

1,

A

2,

A

3,

.... A

i

il A

j

=∅

i≠ j

By Perez

Strona 2 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin



A

i

∩

B∪ A

j

∩

B= A

i

∩

A

j

∩

B∩B=∅

mówimy , ze zdarzenie A nie zależy od B jeżeli P  A/ B=P  A wtedyi tylko wtedy gdy

P  A∩ B=P  A P  B

6. Udowodnić, że P ∅=0 .

∅∪∅∪∅∪

…∪∅=0

P ∅∪∅∪∅∪…∪∅=P ∅

∅∩∅=∅

zauważ, że zdarzenie niemożliwe samo się wyklucza.

P ∅P ∅P ∅...P ∅=P ∅ Jest to prawdziwe, gdy P ∅=0

7. Udowodnić, że P  A=1−P  A

P  A=1−P  A A∪ A= P  A∪A=P  A∩ A=∅ P  A P  A=1 P  A=1−P  A

8. Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń P  A∪B=P  AP  B−P  A∩B .

9. Udowodnić, że: jeśli A⊂ B to P  A≤P  B .

A⊂ B⇒ P  A≤P  B B= A∪ B ∖ A=A∪ B∩A

P  B=P  A∪ B∩ A=P  AP  B∩ A≥P  A

10.Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.

Tw:

A

1



i=1,2,3 ,...

A

1

∪

A

2

∪

…=

A

i

∩

A

j

=∅

i≠ j

P  A

i



0 – spelnia ten warunek

P  B=

∑

i

P  A

i



P  B / A

i



Dowód:

B=B∩

B∩ A

1

∪

A

2

∪

A

3

∪

...= B∩A

1

∪

B∩ A

2

∪

B∩A

3

∪

...= B∩A

i

∪

B∩A

j

=

B∩B∩A

i

∩

A

j

=

B∩∅=∅

P  B

P B∩A

1

∪

B∩ A

2

∪

...= P B∩ A

1



B∩A

2



B∩B

3



...= P A

1



P  B/ A1 P A

2



P  B/ A

2



P A

3



P  B/ A

3



…=

∑

i

P A

i



P  B/ A

i



By Perez

Strona 3 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

11.Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa.

Jeżeli zdarzenia A_i (i=1,2,3,...) tworzą układ zupełny zdarzeń, czyli:

A

1

∪

A

2

∪

A

3

∪

…= A

i

∩

A

j

=∅

i≠ j

P  A

i



0 Mamy zdarzenie B gdzie P  B0,

¿

dla każdego zdarzenia A

j

zachodzi równość.

P  A

j

/

B =

P  A

j



P  B/ A

j



∑

i

P



A

i



P  B / A

i



– wzór Baysa

Dow:

P  A

j

/

B=

P  A

j

∫

B

P



B=

P  A

j



P  B/ A

j



∑

i

P  B/ A

i



P  A

j

∫

B=P  A

j



P  B/ A

j



P  B0

P  A

i

/

B=

P  A

i



P  B / A

i



∑

i

P  B/ A

i



12.Definicja zmiennej losowej.

Zmienna losowa x, y, z- jest to funkcja rzeczywista

X  X : R

określona na przestrzeni zdarzeń



elementarnych mająca następującą własność: dla każdej liczby rzeczywistej

x ∈R

zbiór zdarzeń elementarnych

w, dla których

X wx

jest zdarzeniem, czyli jest elementem rodziny S

w :{ X w x}∈S

13.Udowodnić, że P a≤ X b=P  X b−P  X a  .

14.Rozkład Bernoulliego

metoda wykonywania doświadczeń. Bierzemy pewne doświadczenie i wykonujemy to pewną
ilość razy. Jako wyniki obieramy sukces i porażkę. Prawdopodobieństwo sukcesu i porażki musi
być takie samo.
n- liczba doświadczeń zgodnie z ww schematem
zdefiniujemy X – zmienna losowa
k =0,1,2,...,n – liczba sukcesów
zmienna losowa ma rozkład Bernouliego (dwumianowy), jeżeli

P  X =k = n

k



p

k



1− p

n−k

x

1



x

2



x

3



.. x

n

– suma jest tutaj określana jako liczba sukcesów.

By Perez

Strona 4 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

15.Rozkład Poissona

16.Rozkład normalny

Zmienna losowa o wartości oczekiwanej

E X

m

i wariancji

D

2

X

2

ma rozkład

normalny jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem

f X

1

2

e

x m

2

2

2

17.Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością

oczekiwaną 5 i odchyleniem standardowym 7.

f  X =

1





2 

e

−



x−m

2

2 

2

f  X =

1

7∗



2 

e

−



x−5

2

2∗7

2

19. Parametry zmiennych losowych (średnia, wariancja, odchylenie standardowe, mediana
i wartość modalna).

Zmienna typy ciągłego:
WARTOŚĆ OCZEKIWANA:

M=

∫

−∞

∞

x f  x dx

WARIANCJA



2

=

∫

−∞

∞



x−m

2

f  x dx

ODCHYLENIE STANDARDOWE

=



∫

−∞

∞



x−m

2

f  x dx

MEDIANA

Funkcja gęstości przyjmuje wartość

1
2

By Perez

Strona 5 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

MODALNA
MAX DLA FUNKCJI GĘSTOŚCI.
Zmienna typu skokowego:
Wartość oczekiwana m

m=

∑

i

x

i

⋅

p

i

- mnożymy wartość x z jego prawdopodobieństwem i dodajemy z kolejnym

mnożeniem x-a z jego prawdopodobieństwem.
Wariancja 

2

oraz odchylenie standardowe





2

=

∑

i



x

i

−

m

2

⋅

p

i

=



∑

i



x

i

−

m

2

⋅

p

i

Modalna – takie x_i dla którego p jest największe.
Mediana takie x_i spełniające następujący warunek.

P x

i

≤

1
2

≤

P ≤ x

i



17.Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe

σ

, to zmienna losowa Y =

X −m



ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

σ

m

X

Y

−

=

, (gdzie X- zm. los.)

2

2

)

(

,

)

(

σ

=

=

x

D

m

x

E

E Y

E

X m

1

E X

m

1

E X

m

1

m m

0

D

2

Y

D

2

X

m

1

2

D

2

X m

1

2

D

2

X

1

2

2

1

18.Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 5 i odchylenie standardowe

4, to zmienna losowa

Y =

X −5

4

ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

tego nie wiem

19.Twierdzenie Poissona (dowód)

Jeśli:

P= X =k =



n
k



p

k



1− p

n− k

k =0

oraz : p= pn  n

0

nn

0

np= 0

to:

lim

n

∞

P  X

n

=

k =



k

k !

e

−

Dowód:

lim

n

∞

P  X

n

=

k =lim

n

∞



n
k



p

k



1− p

n− k

idąc dalej

1

k !

lim

n

∞

n−k 1n−k 2⋅...⋅ n−1 n





n



k

⋅

1−



n



n− k

By Perez

Strona 6 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

równe jest

1

k !

lim

n ∞

n−k 1

n

⋅

n−k 2

n

⋅

...⋅

n−1

n

⋅

n
n

⋅

k



1−

x
n



n



1−

x
n



k

następnie



k

k !

lim

n ∞



1−

k −1

n



1−

k −2

n

⋅

...⋅1−

1
n

 =



k

k !

20.Zmienne losowe typu skokowego. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego.

Zmienną losową typu skokowego nazywamy taki zbiór przeliczalny X ∈R

1

dla którego

Px  X =1

21.Zmienne losowe typu ciągłego. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego.

Zmienne losowe typu ciągłego ,(zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych). Są one
charakteryzowane

przez

funkcję

gęstości

.

Rozkładami zmiennych losowych typu ciągłego są: jednostajny, normalny,wykładniczy.

22.Twierdzenie Linderberga-Levy’ego

jeżeli X

n

jest ciągiem zmiennych niezależnie losowych o takich samych rozkładach mających

wartość oczekiwaną m i wariancję D

2



X

n

=

2

, to ciąg losowy U

n

U

n

=

1





n



∑

k =1

n

X

k

−

mn

23.Określenie populacji i próby

POPULACJA – zbiór jednorodnych elementów różniących się między sobą tylko wartością
podanej cechy 
PRÓBA – pewnien podzbiór POPULACJI
powinna być: reprezentatywna oraz losowa

24.Zasady budowy szeregów rozdzielczych

Jak tworzyć szereg rozdzielczy
- szereg rozdz. ma nam ułatwić obliczenia
-najlepiej by te liczby (przedziały) były całkowicie zaokrąglanymi liczbami.
Musimy mieć 2 informacje:

R= X

max

−

X

min

- nazywamy 'resztą'

Przez k- liczba przedziału klasowych
h- długość przedziału

k⋅h≈ R

Liczba przedziałów nie powinna przekraczać 15 i nie powinna być mniejsza niż 6.

25.Definicja i własności estymatorów punktowych

Estymator jest oszacowaniem parametru zmiennych losowych
Szukamy takich estymatorów, które będą optymalne dla danej zmiennej losowej.
Estymator nie powinien być obciążony – (rozrzut jest zbyt duży) jeśli mamy parametr Q a jego
estymator to 

Q jest on nieobciążony gdy E( 

Q )=Q

Estymator powinien być zgodny lim

n → ∞

P ∣Q−

Q∣=1

n- ilość prób

By Perez

Strona 7 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin



– dowolna liczba rzeczywista większa od zera

Jeśli liczebność próby dąży do nieskończoności, to prawdopodobieństwo różnicy Q z estymatora
mniejsza od  jest równa jeden
Estymator powinien być najefektywniejszy

26.Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej

x=

1

n

∑

i=1

n

x

1

27.Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości

oczekiwanej.
28.Średnia arytmetyczna jest estymatorem:

1. zgodnym,

na

podstawie

twierdzenia

Chinczyna

lim

n

P

1

n

i 1

n

Xi m

1

2. nie

obciążonym

E X

E

1

n

i 1

n

E Xi

E X

m

najefektywniejszym (zakładamy, że rozkład cechy w populacji ma rozkład
normalny)

V X

V

1

n

i 1

n

Xi

1
n

2

i 1

n

V Xi

2

n

29.Udowodnić, że

D

2



x=



2

n

30.Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z

populacji o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.

E X

m

E X m

E X

E m

m m 0

D

2

X m

D

2

X

D

2

1

n

i 1

n

Xi

1

n

2

i 1

n

D

2

Xi

1

n

2

i 1

n

2

1

n

2

n

2

2

n

odchylenie standardowe

D

2

X

m

n

P

n

X

m

n

n

1

By Perez

Strona 8 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

P

U

X

m

n

U

1

stąd wynika:

U

X

m

n

U

U

n

X m U

n

X U

n

m

X U

n

co daje:

X

U

n

m X

U

n

31.Omówić zasady testowania hipotez statystycznych.

•

stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość

m

0, tzn:

H m m

0

0

:

=

wobec hipotezy alternatywnej:
1

0

H m m

1

0

:

≠

2

o

H m m

1

0

:

>

3

o

H m m

1

0

:

<

•

za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną

X

•

jeżeli

H

0 jest prawdziwa to statystyka o postaci:

n

m

X

U

σ

0

−

=

ma rozkład

( )

1

;

0

N

,

•

ustalamy wartość

u

α

(tzw. wartość krytyczna), której nie powinien przekraczać

moduł statystyki U, określając ją w taki sposób w rozkładzie

( )

1

;

0

N

, aby dla ustalonego

poziomu

α

zachodziła relacja:

(

)

α

α

=

≥

u

U

P

•

wartości zmiennej u spełniające nierówność

U

u

≥

α

są obszarem krytycznym

testu, tzn.:

λ

α

α

= − ∞ −

> ∪ <

+ ∞

(

;

;

)

u

u

2

2

32.

Obszar krytyczny

λ

(dwustronny)

•

ustalamy wartość

u

α

, której nie powinna przekraczać statystyka U, określając ją w

taki sposób w rozkładzie

( )

1

;

0

N

, aby dla ustalonego poziomu

α

zachodziła relacja:

(

)

α

α

=

≥

u

U

P

•

wartości zmiennej U spełniające nierówność

U

u

≥

α

stanowią obszar krytyczny

testu, tzn.:

λ

α

= 〈

+ ∞

u ;

)

Obszar krytyczny

λ

(prawostronny)

•

ustalamy wartość

u

α

, od której powinna być większa statystyka U, określając ją w

By Perez

Strona 9 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

taki sposób w rozkładzie

( )

1

;

0

N

, aby dla ustalonego poziomu

α

zachodziła relacja:

(

)

α

α

=

−

≤

u

U

P

•

wartości zmiennej U spełniające nierówność

U

u

≤ −

α

stanowią obszar krytyczny

testu, tzn.:

(

〉

−

∞

−

=

α

λ

u

;

Obszar krytyczny

λ

(lewostronny)

Jeżeli z próby uzyskamy taką wartość statystyki u, że
-

u

∈

λ

to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej,

-

u

∉

λ

to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

33.Podać przykład konstrukcji testu statystycznego dla wartości średniej.

Przypuśćmy, że mamy dokonać oceny jakości partii zapałek, liczącej 10000 pudełek.
Producent twierdzi, iż w każdym pudełku są 54 zapałki.

Zakładamy, że sprawdzono 100 pudełek i średnia ilość w nich wyniosła 51,21 , a odchylenie
standardowe w próbce równa się 2,45. Niech współczynnik istotności na poziomie którego
weryfikujemy hipotezę H

0

(m=54) wynosi 0,002. Wstawiając do wzoru otrzymujemy :

t

0,499

i w tablicach rozkładu normalnego odczytujemy t~3

Hipotezę odrzucamy, gdy

X

m

t

n

, a więc

54 51,21 2,79

3 2,45

100

0,735

,

czyli hipotezę odrzucamy.

34.Omówić test zgodności 

2

.

1. Formułujemy hipotezy:

H

0

:

F(X)

=

F

0

(X)

H

1

: F(X) <> F

0

(X) , gdzie F(X) oznacza dystrybuantę pewnego rozkładu hipotetycznego.

Możemy podać następujący algorytm postępowania:

1. Z rozkładu hipotetycznego, sformułowanego w hipotezie zerowej H

0

, wystarczy

dla każdego przedziału klasowego prawdopodobieństwo teoretycznego
przyjmowania wartości z tego przedziału przez badaną cechę
p

i

=P(x

i

<= ξ <= x

i+1

)= F

0

(x

i+1

) – F

0

(x

i

)

2. Wyznaczamy dla każdego przedziału liczebności teoretyczne n*p

i

, które powinny

wystąpić w n-elementowej próbie, gdyby rozkład populacji był zgodny z
rozkładem określonym w hipotezie zerowej H

0

.

3. Wyznaczymy różnice pomiędzy liczebnościami empirycznymi i teoretycznymi n

i

-

np

i

oraz wartość statystyki testowej

X

2

i 1

k

n i npi

2

npi

Jeżeli rozkład empiryczny nie będzie zgodny z rozkładem hipotetycznym
należy spodziewać się, że różnice n

i

-np

i

pomiędzy liczebnościami

empirycznymi i teoretycznymi będą znaczne. Postać statystyki testowej
sugeruje, że wówczas będzie ona przyjmować duże wartości. Duże
wartości statystyki

2

będą oznaczały, że hipotezę zerową należy

odrzucić.

Niech

2

oznacza wartość statystyki testowej wyznaczoną na podstawie

wyników próby. Hipotezę zerową odrzucamy, gdy prawdziwa jest

By Perez

Strona 10 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

nierówność

2

2

, gdzie

2

jest wartością odczytaną z tablic

rozkładu CHI dla ustalonego poziomu istotności

i (k-r-1) stopni

swobody ( r – liczba szacowanych z prób parametrów rozkładu
hipotetycznego, niezbędnych do wyznaczenia prawdopodobieństw
teoretycznych p

i

).

35.Omówić test zgodności λ-Kołmogorowa

1. Dla każdego prawego końca przedziału klasowego obliczamy wartości

dystrybuanty empirycznej i hipotetycznej.

2. Obliczamy wartość statystyki D

n

= sup

x

|F

n

(X) – F

0

(X)| , która następnie

przekształcamy do postaci

D

n

n

(statystyka testowa o rozkładzie

Kołmogorowa). Można się spodziewać, że duże wartości statystyki będą
świadczyły o dużych różnicach pomiędzy wartościami dystrybuanty empirycznej i
hipotetycznej.

Weryfikacja hipotezy sprowadza się do :

1. sformułowania hipotez
2. obliczenia dystrybuanty
3. obliczenia wartości statystyki
4. porównaniu z danymi z tablic:

0

(wtedy odrzucamy)

5. jeżeli rozkład empiryczny

F

n

X

F

0

X

to

D

n

~ 0

36.Omówić sposób konstrukcji prostej regresji.

By Perez

Strona 11 z 12

Metody probabilistyczne i statystyka - egzamin

37.Omówić metodę najmniejszych kwadratów i podać przykłady jej zastosowania.

By Perez

Strona 12 z 12