Pelczar A Równania różniczkowe w Polsce Zarys historii

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Seria II: WIADOMO´

SCI MATEMATYCZNE XXXVII (2001)

Andrzej Pelczar

(Kraków)

Równania różniczkowe w Polsce.

Zarys historii do połowy lat siedemdziesiątych XX wieku

1. Kilka uwag ogólnych.

Już na przełomie wieków XVI i XVII badano

zagadnienia, które obecnie można przedstawić w postaci równań różniczko-
wych. I tak np. Galileo Galilei (1564–1642) rozważał swobodne spadanie
ciał przy założeniu braku oporu ośrodka, a Ren´e Descartes (1596–1630)
badał pewne problemy optyki i doszedł do równania, które dziś zapisali-
byśmy w postaci prostego równania liniowego y

′

= by, gdzie b jest stałą.

Takie równania liniowe były zresztą badane de facto jeszcze wcześniej przez
Johna Napiera (

) (1550–1617), gdy wprowadzał pojęcie logarytmu (co nie

powinno zaskakiwać, bo przecież rozwiązaniami równań tego typu są funk-
cje wykładnicze, odwrotne do logarytmicznych). Napier nie mógł oczywiście
stosować (nie istniejącego wtedy) rachunku różniczkowego, nie mógł więc
używać równań różniczkowych. Rzeczywisty początek historii równań róż-
niczkowych trzeba datować na przełom wieków XVII i XVIII; podwaliny
pod ich teorię dali dopiero Isaac Newton (1642–1727) i Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646–1718), twórcy rachunku różniczkowego w naszym rozumieniu.
Od Leibniza pochodzi prawie na pewno termin: równanie różniczkowe.

Teorię równań różniczkowych budowano niejako „z kawałków”, zajmując

się rozwiązywaniem konkretnych zadań przy użyciu różnych metod. Wiele
badanych wówczas równań weszło do matematyki pod nazwami pochodzą-
cymi od nazwisk autorów najważniejszych wyników. Wymieńmy np. równa-
nia: Bernoulliego (od najstarszego z działających w XVII wieku braci, Ja-
coba Bernoulliego, żyjącego w latach 1654–1705), Riccatiego (1676–1754),
Clairauta (1713–1765) i wreszcie Eulera (1707–1783). Matematycy ci wnieśli
do nauki wielki wkład, którego tylko pewnymi częściami były wyniki badań
nad równaniami, noszącymi dziś ich imiona. W szczególności Leonhard Eu-
ler wszedł do historii nauki dzięki takim dokonaniom w matematyce i jej

(

) Spotyka się inne formy pisowni jego nazwiska, m.in.: Neper, Nepier, Naper; sto-

sujemy pisownię przyjętą w Biographies Index na internetowych stronach Department of
Mathematics, Cambridge University (http://www.dpmms.cam.ac.uk).

A. P e l c z a r

zastosowaniach oraz w ﬁzyce, które miały podstawowe znaczenie dla rozpo-
czynanego już w XVII wieku budowania zrębów ogólnych teorii matema-
tycznych, ujmujących coraz ogólniej i coraz bardziej systematycznie to, co
poprzednio badano wyrywkowo. W badaniach tych w odniesieniu do równań
różniczkowych próbowano, między innymi, ustalać pewne ich klasyﬁkacje.
Stawiano przy tym coraz ogólniejsze pytania dotyczące równań nie tylko
zwyczajnych, ale i cząstkowych. Wiek XVIII przyniósł już systematyczny
rozwój badań w tym zakresie; równania różniczkowe stają się jedną z głów-
nych części analizy. Autorzy obszernego zbioru opracowań na temat mate-
matyki XIX wieku [66], w części II poświęconej równaniom różniczkowym
zwyczajnym piszą, iż trudno znaleźć wybitnego matematyka tego okresu,
który nie zajmowałby się równaniami różniczkowymi. Zajmowano się na-
dal, przede wszystkim w zakresie równań zwyczajnych, różnymi metodami
rozwiązywania tych równań, stosując w szczególności wiele sposobów prze-
kształcania równań w celu uzyskania postaci rozwiązywalnych czyli „całko-
walnych przez kwadratury”. Osiągnięto sukcesy w rozwiązywaniu równań
liniowych. Szukano też rozwiązań wielu ważnych równań w postaci szere-
gów. I tak np. Euler w roku 1769 stwierdził, że rozwiązanie y = y(x) pew-
nego liniowego równania drugiego rzędu można znaleźć w postaci szeregu
y = x

x + . . .), gdzie wykładnik λ nie musi być liczbą całkowitą. Eu-

ler podał równanie kwadratowe dla wyznaczenia tego wykładnika i zbadał
własności rozwiązań w zależności od tego, jakie są pierwiastki wspomnia-
nego równania kwadratowego (por. np. [66]). Od Eulera pochodzi znana
powszechnie, obecnie klasyczna metoda aproksymacji rozwiązań problemów
początkowych. Zagadnienia ﬁzyki zmuszały do rozważania problemów brze-
gowych, zarówno dla równań zwyczajnych jak i cząstkowych.

Na przełomie XVIII i XIX stuleci równania różniczkowe zaczynają się

wyodrębniać z całości matematyki (ściślej, z analizy matematycznej) stając
się powoli osobną dziedziną. Regułą jest przy tym bardzo mocne ich po-
wiązanie z ﬁzyką. Przypomnijmy, że w wieku XVIII i w początkach wieku
XIX, działali: Jean le Rond d’Alembert (1717–1783), Joseph Louis Lagrange
(1736–1813), Pierre Simon Laplace (1749–1827), Johann Friedrich Pfaﬀ
(1765–1825), Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), Gaspar Monge
(1746–1818), „książę matematyków” Carl Friedrich Gauss (1777–1855), a nie-
co później Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) i Joseph Liouville (1809–
1882). Nazwiska ich znaczą kolejne etapy rozwoju matematyki w ogóle, a teo-
rii równań różniczkowych w szczególności. Przypomnijmy, że od Fouriera
pochodzi teoria szeregów trygonometrycznych, mająca fundamentalne zna-
czenie dla równań różniczkowych, a od Monge’a pierwsze obserwacje zwią-
zane z geometrycznymi aspektami ich teorii. Wchodząc w wiek XIX matema-
tyka dysponowała wieloma metodami rozwiązywania konkretnych równań
różniczkowych i dość zawansowanymi narzędziami analitycznymi. Wprowa-
dzano pewne klasyﬁkacje równań. Brak było jednak ogólnych, precyzyjnie

Równania różniczkowe w Polsce

sformułowanych i ściśle udowodnionych twierdzeń o istnieniu i jednoznacz-
ności rozwiązań; brak było generalnego ujęcia teorii; brak było wreszcie ja-
kościowego spojrzenia na wiele zagadnień, które takiego spojrzenia i ujęcia
wymagały.

Przechodząc do tego, co przyniósł wiek XIX, zacytujmy najpierw frag-

ment z pięknego eseju Lynna Arthura Steena [178]. Matematyka dziewiętna-
stowieczna rozwijała się szybko w dwu pozornie przeciwstawnych kierunkach.
Doskonaliła ona aparat rachunku różniczkowego i całkowego doprowadzając
go do precyzyjnego systemu analizy matematycznej , która umożliwiła roz-
wój potężnych teorii ﬁzyki matematycznej. Teorie te doprowadziły w końcu
do mechaniki kwantowej i teorii względności, a w konsekwencji do głębokiego
pojmowania podstawowych własności materii i przestrzeni. Jednocześnie jed-
nak matematyka tego okresu, poprzez energiczne badania sensu rachunku
różniczkowego i geometrii odkryła całe nowe światy matematyki w teoriach
zbiorów nieskończonych i nieeuklidesowych geometrii; teorie te doprowadziły
w końcu matematyków wieku XX do głębszego pojmowania podstaw swego
własnego przedmiotu.

To co powiedziano wyżej w odniesieniu do całej matematyki można

– mutatis mutandis – odnieść do omawianej tu jej części, do równań róż-
niczkowych. Z jednej bowiem strony rozwijano (i doskonalono) metody roz-
wiązywania poszczególnych równań, zwracając uwagę na powiązania z ﬁzyką
i dostarczając jej coraz precyzyjniejsze narzędzia badawcze, z drugiej zaś sta-
rano się stworzyć możliwie ścisłe fundamenty i zarysować ogólne ramy teo-
rii, tak by doprowadzić do głębszego pojmowania podstaw swego przedmiotu.
W związku z tym drugim nurtem zakończono w ostatnim ćwierćwieczu XIX
stulecia prace nad sformułowaniem i udowodnieniem podstawowych twier-
dzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań, o regularnej zależności rozwią-
zań od warunków początkowych, o klasie regularności rozwiązań. Pierwsze,
ważne etapy na tej drodze pokonano dzięki pracom Augustina Louisa Cau-
chy’ego (1789–1857), który położył ogromne zasługi przy budowie podstaw
całej analizy matematycznej. W teorii równań różniczkowych wprowadził
najpierw precyzyjnie określone pojęcie warunków początkowych (jak wia-
domo, mówimy dziś o problemach początkowych Cauchy’ego), a następnie
sformułował i udowodnił twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
problemów postaci

′

= f(x, y)

(1)

y(x

) = y

(2)
przy założeniu, że funkcja f z prawej strony równania (1) jest dostatecz-
nie regularna (jest klasy C

). Zastosował Cauchy metodę pochodzącą od

Eulera (zwaną teraz metodą łamanych Eulera). Stosował też metodę kolej-
nych przybliżeń, którą potem doskonalono i stosowano do rozmaitych, bar-
dzo ogólnych zagadnień. Metodę tę rozwijała potem także krakowska szkoła

A. P e l c z a r

Tadeusza Ważewskiego, o czym będzie mowa niżej. Już po śmierci Cau-
chy’ego, przy końcu trzeciego ćwierćwiecza XIX stulecia, teoria równań róż-
niczkowych wzbogaciła się, dzięki pracom Zoﬁi Kowalewskiej (1850–1891),
o twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań analitycznych dla pro-
blemów początkowych przy danych funkcjach analitycznych (podstawowy
rezultat nazywa się twierdzeniem Cauchy’ego–Kowalewskiej). Na twierdze-
nia o istnieniu rozwiązań przy znacznie słabszych założeniach regularności
prawych stron, poprawiające klasyczny wynik Cauchy’ego, trzeba było jesz-
cze nieco poczekać. W roku 1890 Giuseppe Peano (1858–1932) opublikował
dużą pracę [142] zawierającą dowód istnienia rozwiązań problemów typu
(1)–(2) przy założeniu – tylko – ciągłości funkcji f, co istotnie wzmacniało
twierdzenie Cauchy’ego, a równocześnie i dowód jednoznaczności rozwiązań
przy założeniu klasy C

funkcji f ze względu na drugą zmienną. Można

uznać, iż praca ta kończy pewien etap budowy podstaw teorii równań róż-
niczkowych (

W ostatniej ćwierci wieku XIX nastąpił też inny punkt zwrotny w hi-

storii równań różniczkowych zwyczajnych. W czasie, gdy kończono badania
dotyczące podstaw teorii i konstruowania analitycznych metod rozwiązywa-
nia równań, rozpoczęto budowanie tzw. jakościowej teorii równań różnicz-
kowych. Na jej gruncie powstała potem teoria układów dynamicznych. Ja-
kościowa teoria równań różniczkowych obejmuje problemy związane z wła-
snościami rozwiązań i zbiorów rozwiązań, których możemy nie mieć zapi-
sanych explicite w postaci konkretnych wzorów, wiedząc jednak, że prawe
strony badanych równań czynią zadość pewnym warunkom. Chodzi więc
o to, by odpowiedzieć na pytania o pewne własności rozwiązań, wiedząc, że
funkcje określające rozważane równania (w przypadku równania (1) jest to
funkcja f) mają znane nam własności, lecz nie mając wcale zagwarantowa-
nej rozwiązywalności badanych równań ani tym bardziej efektywnej postaci
rozwiązań. Do takich zagadnień należą pytania o zachowanie się rozwią-
zań równań zwyczajnych, gdy argument, interpretowany jako czas, dąży do
nieskończoności. Niektóre z takich pytań postawił precyzyjnie chyba jako
pierwszy Henri Poincar´e (1854–1912) rozważając rozwiązania, których wy-
kresy „skupiają się” wokół punktów odpowiadających rozwiązaniom stałym
(przedstawiając, opartą na sposobie tego „skupiania się”, klasyﬁkację punk-
tów stałych), względnie wokół wykresów rozwiązań okresowych i deﬁniując
w związku z tym pojęcie cyklu granicznego. Ze względów historycznych warto
podać dane bibliograﬁczne jego podstawowych prac obejmujących m.in. tę
tematykę: [161], [162]. Ma to pewne odniesienia do szeroko rozumianych

(

) Ta część twierdzenia Peano, która obejmowała twierdzenie Cauchy’ego o jedno-

znaczności rozwiązania, została następnie wzmocniona przez Rudolpha Ottona Lipschitza
(1832–1903), który zastąpił warunek zakładany przez Cauchy’ego i Peano warunkiem
słabszym, znanym dziś jako warunek Lipschitza.

Równania różniczkowe w Polsce

problemów stabilności, w których chodzi o to, czy małe zmiany na po-
czątku badanego procesu (małe zmiany warunków początkowych) skutkują
małymi, czy też dużymi zmianami gdy czas rośnie nieograniczenie. Warto
przypomnieć w tym miejscu, że jeden z problemów Hilberta (dokładniej:
druga część 16-go problemu), postawionych przez niego w roku 1900 doty-
czy właśnie cykli granicznych. Hilbert pytał czy rozważając układy równań
różniczkowych autonomicznych na płaszczyźnie

′

= f(u, v),

′

= g(u, v),

gdzie f i g są wielomianami, można oszacować od góry liczbę cykli granicz-
nych w zależności tylko od maksimum stopni f i g. Problem ten doczekał się
tylko częściowych rozwiązań, które uzyskano przy użyciu bardzo zaawanso-
wanych środków i po stu latach czeka on nadal na pełną odpowiedź.

Początki badań nad pewnymi problemami stabilności należy wiązać z pra-

cami Edwarda Johna Routha (1831–1907), który w ramach klasycznej me-
chaniki rozważał ruchy cząstek i ciał sztywnych, poświęcając wiele uwagi
stabilności położenia równowagi. Pewne rozważania dotyczące stabilności
pojawiały się fragmentarycznie już wcześniej (por. np. [42]), ale dopiero Ro-
uth poświęcił tej tematyce kilka prac, a ich wyniki zostały zauważone, co
znalazło swój wyraz w nagrodzeniu rezultatów jednej z jego prac (por. [168])
nagrodą Adamsa w roku 1877. Systematyczny rozwój teorii stabilności zapo-
czątkowany został jednak dopiero badaniami i wynikami Aleksandra Michaj-
łowicza Lapunowa (1857–1918). Wprowadził on szereg podstawowych pojęć
tej teorii i podał metody badawcze oparte na własnościach pewnych funkcji
malejących wzdłuż trajektorii, nazywanych teraz funkcjami Lapunowa (por.
[83]). Dzięki takiemu podejściu można w pewnych wypadkach rozstrzygać
o tym czy punkt równowagi jest, czy nie jest stabilny, badając znaki części
rzeczywistych pierwiastków charakterystycznych macierzy Jakobiego pra-
wych stron badanych układów równań; ma to oczywiście istotne znaczenie
praktyczne, gdyż podaje „rachunkowy przepis” postępowania, które w wielu
przypadkach rozstrzyga problemy stabilności.

Jakościowa teoria równań różniczkowych obejmuje też metody topolo-

giczne pochodzące m.in. od Tadeusza Ważewskiego (o czym będzie mowa
niżej) i wiele innych zagadnień dotyczących w szczególności istnienia i wła-
sności zbiorów granicznych, przedłużeń trajektorii, zbiorów przyciągających
(atraktorów) i odpychających, istnienia rozwiązań okresowych lub prawie
okresowych, pojawiania się (lub nie) zachowań chaotycznych.

Badając rozwój równań różniczkowych w Polsce, można dostrzec pewne

analogie między ich historią „w ogóle” i jej częścią polską. Najważniejszym
kartom tej historii, a także matematykom ją tworzącym od połowy XIX
wieku do, mniej więcej, trzeciej ćwierci wieku XX, poświęcone jest niniejsze
opracowanie.

A. P e l c z a r

2. Początki równań różniczkowych na ziemiach polskich.

Trudno

ustalić z całą pewnością, kto z zajmujących się matematyką i ﬁzyką w Pol-
sce jako pierwszy, z całą świadomością i znajomością przedmiotu, objął swą
działalnością naukową, względnie dydaktyczną lub wydawniczą, równania
różniczkowe. Należy przyjąć, że ci, którzy zetknęli się z analizą matema-
tyczną, musieli wcześniej czy później zająć się także – choćby fragmentarycz-
nie – teorią równań różniczkowych, jako jedną z jej zaawansowanych części.
Można np. przypuszczać, że równania różniczkowe pojawiły się (explicite lub
implicite) na wykładach Józefa Jakubowskiego (1743–1814), wykładowcy
matematyki w warszawskim Korpusie Kadetów. W roku 1771 ukazało się
dokonane przez Jakubowskiego tłumaczenie książki Etienne B´ezouta (1730–
1783) (

). W części III tej książki są podane elementy analizy (prawdopo-

dobnie po raz pierwszy w języku polskim). Od Jakubowskiego pochodzą pol-
skie terminy: różniczka, całka, rachunek różniczkowy, rachunek całkowy (

Można też przypuszczać, że równania różniczkowe nie były obce Janowi
Michałowi Hubemu (1737–1807), który w latach 1782–1794 był dyrekto-
rem Korpusu Kadetów. Na przełomie wieków XVIII i XIX wykładał mate-
matykę na Uniwersytecie Wileńskim Franciszek Milikont Narwojsz (1742–
1819). Program jego wykładów zamieszczony w książce Dianni i Wachułki
[44] wskazuje na to, iż równania różniczkowe „miały szansę” (a może nawet
powinny były) pojawić się w trakcie tych wykładów, co najmniej implicite.
Zapewne pojawiły się one w wykładach Zachariasza Niemczewskiego (1766–
1820) w początkach XIX w. Wykładał on na Uniwersytecie Wileńskim al-
gebrę i rachunek różniczkowy, m.in. na podstawie przetłumaczonego przez
siebie francuskiego podręcznika (którego autorem był Sylvestre Fran¸cois La-
croix (1765–1843)), a w programie były w szczególności „zrównania różni-
cowe”. Wiadomo, że równania różniczkowe, w tym także cząstkowe, znalazły
swe miejsce w wykładach Augustyna Frączkiewicza (1789–1883) na Uniwer-
sytecie Warszawskim. Przedstawiał on m.in. teorię Pfaﬀa równań cząstko-
wych pierwszego rzędu, a więc elementy najnowszych wówczas osiągnięć
w zakresie równań różniczkowych. Nie zajmował się jednak nimi jako ba-
dacz. Dodajmy jako ciekawostkę, że Frączkiewicz był uczniem Karola Hu-
bego (1766–1845), syna Michała, o którym była mowa wyżej; Karol Hube,
absolwent Korpusu Kadetów i uniwersytetu w Tybindze, był od roku 1810
profesorem Uniwersytetu Krakowskiego, na którym działał bardzo owocnie.
Wspomniani powyżej, przykładowo i dość wyrywkowo, matematycy polscy,
którzy zajmowali się (lub mogli się zajmować) równaniami różniczkowymi,
nie koncentrowali się jednak na pewno na ich teorii jako przedmiocie swych
badań naukowych (o ile w ogóle badania naukowe podejmowali).

(

) Nauka matematyki do użycia artyleryi francuskiey napisana przez p. B´ezout, a dla

pożytku pospolitego osobliwie dla korpusu artyleryi narodowey na język polski przełożona. . .

(

) Termin pochodna jest autorstwa Jana Śniadeckiego.

Równania różniczkowe w Polsce

W pierwszych latach XIX wieku działał chyba tylko jeden polski uczony,

którego nazwisko weszło (nie bez opóźnień zresztą) na trwałe do matema-
tyki, w tym i do teorii równań różniczkowych. Był nim Józef Hoene-Wroński
(1776–1853), osoba wybitna, o fascynującym życiorysie i szerokich, niekon-
wencjonalnych zainteresowaniach i poglądach ﬁlozoﬁcznych. Przybliżeniu
dzieła Hoene-Wrońskiego poświęcił wiele uwagi i wysiłku Samuel Dickstein
(1851–1939), starając się ułatwić odbiór ważnych rezultatów zapisywanych
przez Hoene-Wrońskiego w sposób zawikłany (zwłaszcza dla współczesnego
czytelnika). W teorii liniowych równań różniczkowych używa się, jak wia-
domo, wyznaczników nazywanych teraz wrońskianami.

Osiągnięcia Hoene-Wrońskiego miały dużą wagę, ale były dokonane w Pa-

ryżu, gdzie przebywał od roku 1800, i nie zmieniały obrazu ogólnie nader
niskiego poziomu badań naukowych (czy też ich braku) w zakresie mate-
matyki na ziemiach polskich w początkach XIX wieku. Dotyczy to w szcze-
gólności równań różniczkowych. Dlatego też początków ich historii w Polsce
należy szukać – jeśli się przyjmie, że ma być ona związana z badaniami
naukowymi – dopiero pod koniec XIX wieku. Oznacza to, że niemal sto
lat musiało upłynąć od czasu pierwszego zapoznawania się z podstawami
teorii równań różniczkowych, w niektórych przynajmniej ośrodkach na zie-
miach polskich, do rozpoczęcia prawdziwych badań. Tak duże opóźnienie
było konsekwencją ogólnej sytuacji kraju i wynikającej z niej sytuacji edu-
kacji w ogóle, a uczelni wyższych w szczególności. Dopiero działalność Ko-
misji Edukacji Narodowej zaczęła przynosić zmiany na lepsze. Działalność
ta miała swe długofalowe skutki także dla matematyki. Zahamowano regres
Akademii Krakowskiej i dokonano podstawowych reform, zaś troska o wła-
ściwe podręczniki znalazła odbicie w wydawaniu tłumaczeń dobrych książek
autorstwa wybitnych specjalistów europejskich i stymulowaniu polskich au-
torów; są to fakty dobrze znane. Ogromne zasługi dla tego dzieła położył
Jan Śniadecki (1756–1830). Przywiązywał wielką wagę do kształcenia w za-
kresie matematyki, astronomii i nauk przyrodniczych. Pierwszy w Polsce
docenił wagę rachunku prawdopodobieństwa. Jemu zawdzięcza Uniwersytet
Krakowski to, że udało się utrzymać (czy też odtworzyć) dwie katedry ma-
tematyki i zaczęto odrabiać zacofanie w naukach ścisłych i przyrodniczych.
Niestety, polityczny upadek kraju spowodował kolejny zastój, a nawet regres
w nauce polskiej. Dotyczyć to musiało także matematyki, a więc i dopiero
co „dotkniętych” przez polskich matematyków równań różniczkowych. Na
szczęście jednak ten regres nie był tak głęboki jak w okresie przed reformą
kołłątajowską, która zostawiła trwały ślad i umożliwiła start z wyższego
niż przed nią pułapu, gdy sytuacja zaczęła się poprawiać, głównie dzięki
zwiększaniu się liczby coraz wybitniejszych profesorów uniwersyteckich.

3. Równania różniczkowe na tle matematyki polskiej w XIX

wieku.

Przypomniawszy sytuację, w jakiej znajdowała się matematyka (wraz

A. P e l c z a r

z całą nauką) w Polsce na początku XIX wieku, przejdźmy od razu do jego
drugiej połowy, a nawet do końcowego 30-lecia, gdyż z punktu widzenia
niniejszego opracowania niczego specjalnie interesującego nie można odno-
tować w odniesieniu do lat wcześniejszych. Można powiedzieć, że w tym
okresie były cztery ośrodki polskiej myśli matematycznej: Warszawa, Kra-
ków, Lwów i. . . Paryż.

Zdzisław Opial pisze w swoim artykule [125]: Kapitalne znaczenie w dzie-

jach matematyki w Polsce miał bez wątpienia krótki żywot w latach 1862–
1869 Szkoły Głównej w Warszawie. Uczelni tej udało się w ciągu kilku zaled-
wie lat zaszczepić nowemu pokoleniu młodzieży polskiej szczere zamiłowanie
do nauk przyrodniczych i nie przemijający zapał do pracy społecznej. Swe
wykształcenie matematyczne zawdzięczają tej właśnie Szkole, m.in. wspo-
mniany już Samuel Dickstein (który magisterium robił już jednak w rosyj-
skim Uniwersytecie Warszawskim w roku 1876) oraz Władysław Gosiew-
ski (1844–1911) i Marian Baraniecki (1848–1895); byli oni też społeczni-
kami, o których zapale mówi powyższy cytat. Społecznikowski zapał Dick-
steina przejawiał się m.in. w tym, że prowadził w założonych przez sie-
bie i braci ﬁzyków, Władysława i Edwarda Natansonów, Wiadomościach
Matematyczno-Fizycznych dział przeglądów i recenzji prac matematycznych.
Jego zasługi w tym zakresie są nie do przecenienia; dotyczy to w bardzo
dużym stopniu równań różniczkowych. Dzięki tym trzem matematykom po-
wstały podwaliny pod przyszły ośrodek matematyki warszawskiej, który
potem – po około dwudziestoletniej przerwie – zasłynął jako miejsce, gdzie
zaistniała świetna polska szkoła matematyczna topologii i teorii mnogości
zbudowana już przez matematyków następnej, wspaniałej generacji.

Najwybitniejszym matematykiem działającym w Krakowie (jeśli chodzi

o pozycję naukową, to najwybitniejszym matematykiem na ziemiach pol-
skich w owym czasie) był Franciszek Karol Józef Mertens (1840–1929). Objął
stanowisko profesorskie w Krakowie w roku 1864, by po dziewiętnastu la-
tach przenieść się do Grazu, a potem do Wiednia. Był wybitnym specjalistą
w analitycznej teorii liczb; napisał jedną pracę z teorii równań różniczko-
wych, ale to był margines jego zainteresowań naukowych. Na miejsce Mer-
tensa przyszedł z Warszawy, w roku 1885, wspomniany już Baraniecki. Jego
oryginalna twórczość była skromna, miał zasługi wydawnicze i populary-
zatorskie oraz pedagogiczne. Najwybitniejszym uczniem Baranieckiego był
Stanisław Kępiński (1867–1908). Studiował w Krakowie w latach 1885–1889,
a w dwa lata później doktoryzował się na podstawie rozprawy o równaniach
różniczkowych drugiego rzędu. W roku 1896, po śmierci Baranieckiego, zo-
stał profesorem nadzwyczajnym, by w roku 1899 przenieść się na Politech-
nikę Lwowską. Kępiński zajmował się przede wszystkim równaniami róż-
niczkowymi (m.in. kontynuował prace nad tematyką rozprawy doktorskiej)

Równania różniczkowe w Polsce

i funkcjami analitycznymi. Jego działalność naukowa oznaczała w Krako-
wie – znowu, po przerwie spowodowanej odejściem Mertensa – powiew ma-
tematyki europejskiej, gdyż Kępiński był pod wpływem Felixa Christiana
Kleina (1844–1925), u którego studiował, jako stypendysta, w Getyndze.
Już we Lwowie Kępiński napisał bardzo dobry podręcznik z równań róż-
niczkowych [58]. W roku 1895 rozpoczął etatową pracę na Uniwersytecie
Jagiellońskim Kazimierz Paulin Żorawski (

), najpierw jako profesor nad-

zwyczajny, a od roku 1898 profesor zwyczajny; będzie o nim szerzej mowa
w dalszym ciągu.

We Lwowie były dwie dobre uczelnie: Uniwersytet i Szkoła Politech-

niczna. Wiemy już, że od roku 1899 pracował we Lwowie Stanisław Kępiń-
ski. Nie rozwinął tam znaczącej działalności naukowej; był obciążany obo-
wiązkami dziekańskimi i rektorskimi. Wcześniej, pierwszym z liczących się
matematyków, w kształtującym się na nowo w XIX wieku naukowym śro-
dowisku Lwowa, był profesor Uniwersytetu i Szkoły Politechnicznej, niezły
badacz i konstruktor „przyrządów matematycznych”, Wawrzyniec Żmurko
(1824–1889). Jednym z jego uczniów, na pewno najwybitniejszym, był Jó-
zef Puzyna (1856–1919), z kniaziowskiego rodu; jego członkowie „pisali się
z Kozielska”(

). Był wybitnym specjalistą w zakresie funkcji analitycznych,

ale napisał też pracę z teorii równań różniczkowych [164]. Od roku 1872
działał we Lwowie Władysław Zajączkowski (1837–1898), który studiował
w Krakowie i najpierw tu wykładał (jako docent prywatny w latach 1862–
1864), a potem działał w Warszawie. Zajmował się twórczo równaniami róż-
niczkowymi i był autorem kilku dość ważnych prac. Napisał też obszerny
podręcznik z tej teorii [230], który zasługuje na osobne omówienie przekra-
czające ramy niniejszego opracowania. Podręcznik ten wydany został w Pa-
ryżu, w roku 1877, „nakładem właściciela Biblioteki Kórnickiej, Przewod-
niczącego w Towarzystwach Naukowej Pomocy i Nauk Ścisłych w Paryżu”
[czyli Jana Kantego Działyńskiego (1829–1880)].

W Paryżu nie było oczywiście żadnej polskiej szkoły matematycznej, ale

był tam ośrodek skupiający ludzi, których działalność przyniosła doniosłe
owoce dla całej nauki polskiej, przede wszystkim zaś dla nauk ścisłych, a dla
matematyki w szczególności. W latach 1870–1882 działało tam z inicjatywy
i przy ﬁnansowym poparciu Jana Działyńskiego Towarzystwo Nauk Ścisłych

(

) Żorawski, „docent prywatny matematyki na c.k. Uniwersytecie Lwowskim” (we-

dług ówczesnej terminologii), został reskryptem z dnia 12 lutego 1894 . l:2453 ówczesnego
Ministra Wyznań i Oświecenia „ustanowiony prowizorycznym asystentem katedry mecha-
niki teorii maszyn w c.k. Szkole politechnicznej we Lwowie na rok szkolny 1893/4”; jak
napisano w piśmie Namiestnictwa we Lwowie z dnia 28 lutego 1894 roku, skierowanym do
Dziekanatu Wydziału Filozoﬁcznego UJ (Archiwum UJ, WF) uczyniono to, „pozostawia-
jąc mu uzyskaną veniam docendi na Uniwersytecie w Krakowie na bieżący rok szkolny”.

(

) W klasztorze fundacji Puzynów więzieni byli na przełomie lat 1939 i 1940 polscy

oﬁcerowie (por.: A. Płoski [159])

A. P e l c z a r

(Władysław Folkierski, Władysław Gosiewski, Edward Habich, Władysław
Kretkowski, Grakch Niewęgłowski, Adolf Sągajło i inni). Wydawano Pamięt-
nik Towarzystwa Nauk Ścisłych i patronowano wydawaniu książek; o jednej
z nich, podręczniku równań różniczkowych, była mowa wyżej. Trudno tu
przecenić rolę Jana Działyńskiego, zarówno inspiracyjną i organizacyjną,
jak i ﬁnansową.

Oprócz wspomnianych wyżej matematyków, którzy mieli swój udział

w rozwoju równań różniczkowych i działali w ośrodkach akademickich, na
uwagę zasługuje sylwetka Jana Władysława Stodółkiewicza (1856–1934).
Był on nauczycielem płockich szkół średnich. Napisał wiele prac z rów-
nań różniczkowych zwyczajnych (niemal wyłącznie linowych) oraz cząstko-
wych pierwszego rzędu, głównie o charakterze przyczynkowym. Wydał też
książkę, którą można uznać za zbiór zadań z równań różniczkowych. Prace
jego mieszczą się w nurcie szczegółowych badań specjalnych równań, można
powiedzieć – specjalnych przykładów (teraz powiedzielibyśmy, iż było to
rozwiązywanie szczegółowych zadań). Podobny charakter miało wiele prac
innych matematyków zajmujących się tą tematyką. Na prace syntetyczne
i ogólne, na istotny wkład matematyki polskiej do teorii, trzeba było pocze-
kać jeszcze kilkadziesiąt lat; w tym sensie można uznać, że polska historia
równań różniczkowych ma elementy analogiczne do ich „historii w ogóle”.

Próbując ująć ogólnie to, co powiedziano na temat kształtowania się pol-

skich ośrodków matematycznych w XIX wieku, można stwierdzić, iż pomimo
zahamowania procesu rozwojowego w pierwszej połowie tego stulecia, uparta
praca coraz szerszego grona uczonych i pedagogów doprowadziła do tego, że
w ostatnich jego dziesięcioleciach działały (i wzmacniały się) centra mate-
matyczne w Warszawie, Krakowie i Lwowie. Istniał też ośrodek w Wilnie
(osłabiony jednak w porównaniu do poprzednich okresów). Działało spe-
cyﬁczne środowisko paryskie. Były czasopisma matematyczne. Wydawano
podręczniki. Zrobiono też pewne istotne kroki organizacyjne, takie jak utwo-
rzenie w r. 1874 Seminarium Matematycznego na Uniwersytecie Jagielloń-
skim. Były wreszcie początki nowoczesnych badań i pewne istotne wyniki
(przede wszystkim Mertensa, także Puzyny oraz Żorawskiego; w zakresie
równań różniczkowych najważniejsze były wyniki Żorawskiego, a także Za-
jączkowskiego).

4. Równania i nierówności różniczkowe zwyczajne oraz cząst-

kowe pierwszego rzędu w pierwszej połowie i na początku drugiej
połowy XX wieku.

Rozpocząć wypada od wytłumaczenia niezbyt precy-

zyjnego określenia ram czasowych wymienionych w tytule tego ustępu. Jest
to nieprzypadkowe, gdyż ustalanie ostrej cezury czasowej byłoby sztuczne.
Widać to w szczególności w stosunku do ośrodka krakowskiego, gdzie np.
szkoła naukowa Tadeusza Ważewskiego, której początki trzeba odnieść do

Równania różniczkowe w Polsce

lat bezpośrednio powojennych z naturalnym odwołaniem się do lat trzydzie-
stych (oraz, co należy szczególnie podkreślić, lat wojny, gdy działał pod-
ziemny Uniwersytet Jagielloński), rozwijała się bardzo intensywnie w latach
pięćdziesiątych, a jej rozwój w latach następnych był jeszcze silniejszy. Dla-
tego też omawiane tu badania i działalność matematyków zajmujących się
równaniami różniczkowymi objęte są ramami czasowymi sięgającymi nawet
końca lat sześćdziesiątych. Przyjąłem bowiem zasadę, iż decydujące zna-
czenie powinno mieć merytoryczne połączenie tematyki badawczej zaczętej
w pierwszym półwieczu i kontynuowanej następnie w latach następnych,
a także naturalna ciągłość w omawianiu dokonań poszczególnych osób, co
do których prac nie ma sensu ustalać sztucznych progów czasowych. Ogólne
(lecz skrótowe) podsumowanie osiągnięć matematyki polskiej w zakresie
równań różniczkowych w trzecim ćwierćwieczu XX wieku, przedstawione
w ustępie 6, nie będzie w zasadzie – ze względu na przyjętą tam konwencję
bardzo syntetycznego ujęcia – powtarzać szczegółowo tego, co omawiane jest
tutaj; pojawią się tylko odwołania do wymienianych wcześniej nazwisk.

Powiedziano już, że w roku 1895 objął pierwszą katedrę matematyki

w Krakowie Kazimierz Paulin Żorawski (1866–1953) (

), który po studiach

w Warszawie uzyskał w roku 1888 stopień kandydata nauk matematycz-
nych, a potem po studiach w Lipsku i Getyndze, doktoryzował się (otrzymu-
jąc doktorat ﬁlozoﬁi) pod kierunkiem wybitnego matematyka norweskiego,
pracującego wówczas w Getyndze, Mariusa Sophusa Lie (1842–1899) (

a habilitował się we Lwowie. Żorawski kierował jedną z dwóch katedr mate-
matyki na Uniwersytecie Jagiellońskim do roku 1919, kiedy to przeniósł się
do Warszawy. Drugą katedrę objął w roku 1900 Stanisław Zaremba (1863–
1942), absolwent studiów technicznych w Petersburgu (dyplom inżynierski
w roku 1886), doktor matematyki Uniwersytetu Paryskiego (z roku 1889),
mieszkający i pracujący we Francji do roku 1899. Dłuższy pobyt we Francji
zostawił na sylwetce naukowej Zaremby wyraźny ślad. Współpracował m.in.
z tak wybitnymi specjalistami z teorii równań różniczkowych cząstkowych
jak Eduard Jean-Baptiste Goursat (1858–1936) i Paul Painlev´e (1863–1933)
i sam stał się powszechnie uznanym specjalistą w tej dziedzinie. Rozpoczęcie
działalności na Uniwersytecie Jagiellońskim przez Żorawskiego i Zarembę,
matematyków o formacjach ukształtowanych w ośrodkach zaliczanych wów-
czas do najważniejszych, oznaczało, dla Krakowa i dla ziem polskich, po-
czątek systematycznego uprawiania matematyki nowoczesnej w sensie ade-
kwatnym dla przełomu wieków XIX i XX. Był to początek systematycznego

(

) „. . . urodził się dnia 22 czerwca 1866 r. we wsi Szczurzynie, w guberni Płockiej

Królestwa Polskiego położonej”, jak mówi pierwsze zdanie życiorysu napisanego przezeń
własnoręcznie 25 października 1894 r. (Archiwum UJ, WF); zmarł w Warszawie 23 stycz-
nia 1953 r.

(

) Prace Żorawskiego, o których tu mowa, nawiązywały bezpośrednio do zastosowań

teorii grup Liego w równaniach różniczkowych.

A. P e l c z a r

prowadzenia badań i uzyskiwania wyników liczących się w świecie. Wysoką
ocenę wyników Zaremby potwierdzają wypowiedzi znakomitych uczonych
jemu współczesnych, ale także niedawne odniesienia do jego wyników do-
tyczących zastosowań równań różniczkowych w teorii „lepkosprężystości”
(visco-elasticity) w wydanej w roku 1965 encyklopedii ﬁzyki [203] i odnoto-
wana przez Aronszajna w [9] idea Zaremby użyta teraz w teorii reproducing
kernels. O tych odniesieniach i o pracach Zaremby w zakresie równań róż-
niczkowych cząstkowych będzie mowa szerzej w dalszym ciągu. W dziedzinie
równań różniczkowych zwyczajnych więcej do powiedzenia miał i więcej za-
interesowania okazywał Kazimierz Żorawski. Jest on autorem ważnych prac
dotyczących przekształcania pewnych równań, w taki sposób, że po prze-
kształceniu mają prostszą postać i można je rozwiązać lub łatwiej udowod-
nić istnienie rozwiązań. Część jego wyników antycypowała to, co po latach
objęto teorią układów dynamicznych. Powiedzmy o dwóch zagadnieniach.
Prace [249] i [250] dotyczą kryteriów pozwalających stwierdzić, czy równanie
(3)

y/dx

= F (x, y, dy/dx, d

y/dx

)

da się przeprowadzić w równanie
(4)

v/du

= 0

przez przekształcenie postaci x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) i konstrukcji takiego
przekształcenia (gdy spełnione są warunki zawarte w tych kryteriach). Za-
gadnieniu konstrukcji niezmienników różniczkowych dla układów równań
drugiego rzędu (z zastosowaniem do problemu równoważności takich ukła-
dów) poświęcone są prace [251] i [252]. Wyniki te są nader ważne, gdyż
jak pisze Władysław Ślebodziński (1884–1972) w artykule [199], zawierają
one implicite pewne dużo późniejsze rezultaty z teorii przestrzeni o koneksji
aﬁnicznej stworzonej przez Jahna Arnouldsa Schoutena i Hermanna Weyla.

Władysław Ślebodziński wypowiada też we wspomnianym artykule [199]

znamienną ocenę tego, co oznaczało dla matematyki polskiej rozpoczęcie na-
ukowej działalności w Krakowie przez Żorawskiego i Zarembę: Można zdaje
się powiedzieć, że z wystąpieniem tych dwóch wybitnych uczonych matema-
tyka polska przestała być wyłącznie konsumentem cudzych myśli i cudzych
wyników i że rozpoczął się od tej chwili jej czynny i twórczy udział w rozwoju
tej nauki.

Potrzebne wydaje się rozwinięcie tego wątku, z uwzględnieniem nie tylko

wyników uzyskanych osobiście przez Żorawskiego i Zarembę, ale także ich
wpływu na innych matematyków. Żaden z tych wybitnych uczonych nie
stworzył co prawda szkoły naukowej w klasycznym, wąskim rozumieniu tego
terminu, ale obaj stworzyli chyba coś więcej – prawdziwe, mocne środowi-
sko naukowe. Ich uczniowie (których w dużej części można uważać za ich
w s p ó l n y c h uczniów) stworzyli już „klasyczne” szkoły naukowe. I tak,

Równania różniczkowe w Polsce

Franciszek Leja (1885–1979), którego rozprawa doktorska u Żorawskiego do-
tyczyła tematyki równań różniczkowych, stworzył szkołę funkcji analitycz-
nych, Antoni Hoborski (1879–1940) i jego uczeń (ale także i uczeń Zaremby)
Stanisław Gołąb (1920–1980) byli twórcami szkoły geometrii różniczkowej,
a najwybitniejszy uczeń Zaremby, wspominany już poprzednio Tadeusz Wa-
żewski (1896–1972), zbudował szkołę naukową nazywaną przez specjalistów
Krakowską Szkołą Równań Różniczkowych. Zanim omówimy szerzej jego
działalność wspomnijmy jeszcze, że zarówno Hoborski jak i Gołąb napi-
sali pewne prace z teorii równań różniczkowych, ale było to na maginesie
ich zainteresowań geometrią różniczkową (w wypadku Gołąba, także i rów-
naniami funkcyjnymi). Równaniami różniczkowymi zajmował się Alfred Ro-
senblatt (1880–1947), pierwszy (i jedyny w pierwszym dwudziestoleciu dwu-
dziestego stulecia) asystent w Seminarium Matematycznym UJ, ale nie była
to główna dziedzina jego zainteresowań naukowych. Miał on na swym koncie
prace z równań zwyczajnych i cząstkowych rzędu pierwszego, a także równań
cząstkowych rzędu drugiego (o czym będzie jeszcze mowa w dalszym ciągu).
W latach 1930–1932 opublikował w Comptes Rendus de l’Acad´emie de Paris
kilka prac (por. [165]–[167]) o jednoznaczności rozwiązań problemów Cau-
chy’ego dla równań cząstkowych pierwszego rzędu, uogólniając jedno z kla-
sycznych twierdzeń Haara (por. [52]). Tematyką tą interesował się także Sta-
nisław Turski (1906–1986), który w pracy [206] nawiązał do wspomnianych
prac [165]–[167] Rosenblatta oraz [208] Ważewskiego. Równania różniczkowe
zupełne badał Władysław Nikliborc (1899–1948), który zaczął swą drogę na-
ukową we Lwowie, potem zaś działał w Krakowie. W pracy [114] zastosował
do równań zupełnych metodę kolejnych przybliżeń. Napisał też inne ważne
prace dotyczące metody kolejnych przybliżeń, w tym o równaniach mających
prawe strony spełniające warunek H¨oldera (por. [115]; wynik ten był refero-
wany przez autora podczas Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego
we Lwowie w roku 1927, por. [82]).

Tadeusz Ważewski, urodzony 24 września 1896 we wsi Wygnanka (po-

wiat Czortków, przedwojenne województwo tarnopolskie) uczęszczał do szkół
w Mielcu i Tarnowie. Po maturze w Tarnowie rozpoczął studia ﬁzyczne na
UJ w roku 1914, a następnie skierował swe zainteresowania ku matematyce
i studiował pod kierunkiem Stanisława Zaremby. Studia te odbywały się –
jak napisał w swym życiorysie przechowanym w Archiwum PAN (Oddział
w Krakowie) – „z przerwami wywołanymi służbą wojskową” (

). Początkowo

interesował się Ważewski topologią i teorią mnogości (i tej tematyki dotyczą
jego pierwsze prace). W latach 1921–1923 studiował w Paryżu i tam uzy-
skał doktorat (na podstawie rozprawy o dendrytach czyli kontinuach lokalnie

(

) Zachowała się legitymacja (nr 2174) stwierdzająca przydział służbowy sapera Wa-

żewskiego Tadeusza do „Komp. Zapas. Sap. N. 5”.

A. P e l c z a r

spójnych i nie zawierających żadnej krzywej zamkniętej); członkami komisji
egzaminacyjnej byli wybitni uczeni: Arnaud Denjoy (

) (1884–1974), ´

Emile

Borel (1871–1956) i Paul Montel (1876–1975). Można przypuszczać, że wy-
jazd do Paryża był naturalnym nawiązaniem do drogi naukowej Stanisława
Zaremby, który zapewne był także inspiratorem tego wyjazdu. Praca o kon-
tinuach prostowalnych przyniosła Ważewskiemu habilitację na UJ w r. 1927.
W roku 1933 został profesorem nadzwyczajnym. Aresztowany przez gestapo
6.XI.1939 r. w ramach „Sonderaktion Krakau”, został osadzony wraz z in-
nymi profesorami w obozie koncentracyjnym w Sachsenhausen. Po powrocie
do Krakowa włączył się w działalność tajnego Uniwersytetu. Jego uczniami
tego okresu byli m.in. Jacek Szarski (1921–1980) i Jan Mikusiński (1913–
1987) (

). W 1954 r. został Ważewski profesorem zwyczajnym. Był człon-

kiem korespondentem PAU; po powstaniu PAN został jej członkiem kore-
spondentem, a w roku 1957 członkiem zwyczajnym. Był prezesem Polskiego
Towarzystwa Matematycznego, które w roku 1967 nadało mu godność swego
członka honorowego; w tym samym roku UJ nadał mu doktorat honoris
causa.

Po początkowym okresie zainteresowań topologią i teorią mnogości, za-

czął Ważewski koncentrować swe zainteresowania na równaniach różnicz-
kowych i w tej dziedzinie uzyskał najbardziej znane rezultaty. Nie mogąc
omawiać ich wszystkich, wspomnijmy o wybranych. W serii prac z lat trzy-
dziestych (por. [208]–[215]) podał Ważewski bardzo ważne twierdzenia o ist-
nieniu i jednoznaczności rozwiązań problemów Cauchy’ego dla równań cząst-
kowych pierwszego rzędu i o oszacowaniach obszarów istnienia tych rozwią-
zań. Szczególne znaczenie mają te właśnie wyniki o oszacowaniach obszarów
istnienia, gdyż podają oszacowania najlepsze (nie można zagwarantować ist-
nienia w obszarach większych). Najbardziej znane, klasyczne już teraz wy-
niki Ważewskiego dotyczą zastosowań metod topologicznych w równaniach
różniczkowych (por. [216], [217], [222]). Podstawowe twierdzenie, zwane w li-
teraturze Twierdzeniem Retraktowym Ważewskiego (

), mówi o tym, że

z pewnych założeń o zachowaniu się rozwiązań na brzegu ustalonego zbioru
można wnioskować o istnieniu rozwiązania, które nie wychodzi z tego zbioru.

(

) Do jego nauczycieli należał m.in. Paul Painlev´e, z którym – jak to powiedziano

wyżej – współpracował wcześniej mistrz Ważewskiego, Stanisław Zaremba.

(

) Praca Mikusińskiego [105] o równaniach liniowych n-tego rzędu opublikowana

w pierwszym numerze Ann. UMCS została opatrzona przypisem informującym o tym,
że została wykonana w roku 1940, a publikuje się ją z opóźnieniem z powodu okupacji
niemieckiej.

(

) Nazwa „Twierdzenie Retraktowe” związana jest z tym, iż w dowodzie wykorzy-

stuje się twierdzenie mówiące o tym, że w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej brzeg
kuli (sfera) nie jest retraktem tej (domkniętej) kuli. Pojęcie retraktu pochodzi od Karola
Borsuka (1905–1982) (por. [37]).

Równania różniczkowe w Polsce

Jest to wynik piękny przez prostotę sformułowania, głębię treści matema-
tycznej, jasną ideę dowodu (który w najprostszych przypadkach „sam się
narzuca” jako intuicyjnie bardzo klarowny, a w przypadku ogólnym wy-
maga pomysłowego zastosowania zaawansowanego aparatu topologicznego)
oraz niebanalne zastosowania (

). Metoda dowodu tego twierdzenia, nazy-

wana w literaturze metodą topologiczną Ważewskiego, stała się podstawą do
bardzo istotnych uogólnień, które pozwoliły na zastosowanie aparatu topo-
logii algebraicznej (m.in. metod polegających na użyciu indeksu Conleya)
rozwijanego nadal intensywnie w teorii równań różniczkowych i układów
dynamicznych; cieszy to, że w tej dziedzinie mają dużo do powiedzenia mło-
dzi matematycy krakowscy, „wnukowie” i „prawnukowie” naukowi Tade-
usza Ważewskiego. Te wyniki Ważewskiego otwarły nowy rozdział w jako-
ściowej teorii równań różniczkowych. Miał też Ważewski swój udział w bu-
dowaniu podstaw teorii sterowania, gdy w latach pięćdziesiątych zauważył
(por.[223], [224]), iż prace [246] i [247] z lat trzydziestych Stanisława Kry-
styna Zaremby (

) (1903–1990), syna Stanisława Zaremby (a także prace

[96] i [97] matematyka francuskiego Andr´e Marchauda), o pewnych uogólnie-
niach równań różniczkowych, mogą, po stosownym przeformułowaniu, dać
podstawowe twierdzenia o istnieniu tzw. trajektorii optymalnych. Obecnie ta
tematyka wchodzi przede wszystkim w zakres teorii inkluzji różniczkowych.
W roku 1949 opublikował Ważewski prace [219] i [220] o asymptotycznej ko-
incydencji rozwiązań dwóch równań różniczkowych, które zwróciły uwagę na

(

) C. Olech, J. Szarski i Z. Szmydt w artykule [123], piszą: Solomon Lefschetz,

wybitny matematyk amerykański, wypowiedział w 1961 r. opinię, że metoda retraktowa
Ważewskiego jest najoryginalniejszym odkryciem w równaniach różniczkowych zwyczaj-
nych uzyskanym na świecie po wojnie. A przecież, kiedy ta opinia była wypowiadana, nie
wiedziano jeszcze jak wielki wpływ na rozwój jakościowej teorii równań różniczkowych bę-
dzie miała podstawowa idea Ważewskiego związana z warunkiem „silnego wychodzenia”
rozwiązań z danego zbioru przez punkty leżące na jego brzegu i jakie będą możliwości
uogólnień wynikające ze stosowania zaawansowanych metod topologii algebraicznej.

Książka [148] podsumowująca (na ponad 700 stronach druku) osiągnięcia matematyki

w pierwszej połowie XX wieku przedstawia na wstępie, w krótkim rozdziale pod tytułem
Guidelines 1900–1950 , którego autorami są Pierre Dugac, Beno Eckmann, Jean Mawhin
i Jean-Paul Pier, listy najważniejszych wyników i matematycznych wydarzeń naukowych,
które miały miejsce w kolejnych latach tego okresu; jest ich po kilkanaście w roku. Jako
jedno z takich, najważniejszych osiągnięć roku 1947, jest Ważewski topological principle
for ordinary diﬀerential equations (a w bogatym spisie literatury jest odesłanie do pracy
[216]). Dodajmy tu, że na liście najważniejszych osiągnięć matematycznych w roku 1931
znajduje się: „Borsuk K., Theory of retracts”.

(

) S.K.Zaremba po studiach w Krakowie był docentem na USB w Wilnie; po wojnie

mieszkał w Kanadzie i Walii (gdzie zmarł). Zajmował się wieloma dziedzinami matema-
tyki, w szczególności rachunkiem prawdopodobieństwa i statystyką, a także – w początko-
wym okresie swej kariery naukowej – równaniami różniczkowymi i ich uogólnieniami. Był
wybitnym taternikiem i alpinistą.

A. P e l c z a r

ważny aspekt jakościowy teorii równań zwyczajnych. Dwa lata później uka-
zała się ważna, a jak się wydaje niezbyt dobrze znana, praca [221] o „efekcie
naskórkowym” (tę trafną nazwę zaproponował Ważewski). Zawarte w niej
jest twierdzenie wzmacniające klasyczny wynik dotyczący nierówności róż-
niczkowych. Sformułujmy je. Niech ϕ będzie rozwiązaniem górnym równania
y

′

= f(x, y) przechodzącym przez punkt (x

, y

) określonym w przedziale I.

Dla ustalonego ε > 0 połóżmy:

A = I × (ϕ(t), ϕ(t) + ε)

(to jest właśnie „naskórek” o grubości ε).

Jeżeli ψ jest funkcją określoną w I, posiada prawą dolną pochodną Di-

niego, ψ(x

) ¬ y

i dla t takich, że (t, ψ(t)) ∈ A spełniona jest nierów-

ność: D

ψ(t) ¬ f (t, ψ(t)), to dla t ∈ I, t x

ma miejsce nierówność:

ψ(t) ¬ ϕ(t).

Wzmocnienie klasycznego twierdzenia polega na tym, że zakłada się nie-

równość spełnianą przez funkcję ψ niekoniecznie w całym przedziale I, lecz

ewentualnie w pewnym podzbiorze tego przedziału. Tej tematyce poświęcone
są m.in. dwie wczesne prace [109] i [110] Włodzimierza Mlaka (1931–1994),
do którego dorobku jeszcze nawiążemy (

Na zakończenie tego skrótowego przeglądu wybranych zagadnień, któ-

rymi zajmował się Tadeusz Ważewski, wspomnijmy o tym, co jest przed-
miotem pracy [218], której znaczenie zostało uwypuklone w powiązaniu ze
znaną hipotezą wielomianową. Nie mogąc wchodzić w szczegóły powiedzmy
jedynie, że użył Ważewski w tej pracy (chyba jako pierwszy) metod zaczerp-
niętych z teorii równań różniczkowych do badania zagadnienia globalnej od-
wracalności odwzorowań różniczkowalnych. Pojawiające się w związku z tym
– w naturalny sposób – równanie różniczkowe

′

= (f

′

(x))

−

gdzie f jest odwzorowaniem, którego odwracalność badamy, f

′

oznacza ja-

kobian f, a v jest wektorem niezależnym od czasu, nazywane jest teraz rów-
naniem Ważewskiego. Na temat tego równania i idei z pracy [218] ukazało
się już niemało prac różnych autorów (por. np. artykuł Czesława Olecha
[120], gdzie są też dane bibliograﬁczne prac innych matematyków).

Tadeusz Ważewski stworzył – jak to już powiedziano – szkołę naukową,

której uczestnicy kontynuowali badania Mistrza i poszerzali, bardzo nie-
raz znacznie, tematykę. Jacek Szarski stał się współtwórcą teorii nierów-
ności różniczkowych. Już jego rozprawa habilitacyjna z roku 1947, O pew-
nych nierównościach związanych z równaniami różniczkowymi cząstkowymi,
która następnie została podzielona i opublikowana jako prace [183] i [184],
przyniosła ważne wyniki dotyczące tematu wymienionego w tytule oraz ich

(

) Kompletna lista jego publikacji jest załączona do artykułu Zoﬁi Pawlikowskiej-

Brożek [141].

Równania różniczkowe w Polsce

zastosowań do dowodów twierdzeń o jednoznaczności rozwiązań problemów
początkowych dla równań cząstkowych pierwszego rzędu. Jacek Szarski po-
szedł drogą rozpoczętą przez Ważewskiego, by stać się następnie wybitnym
specjalistą, autorem pierwszej monograﬁi [186] z zakresu nierówności róż-
niczkowych, dziedziny nowej w latach czterdziestych. Miał też bardzo ważny
udział w rozwoju ogólnej teorii równań różniczkowych cząstkowych rzędu
pierwszego typu parabolicznego. Piękny skrypt [187] zawiera zarys podstaw
ważnej części teorii równań cząstkowych pierwszego rzędu, opartej na po-
jęciu charakterystyki (wstęg charakterystycznych). Nieco później, w latach
sześćdziesiątych i siedemdziesiątych, zajmował się też równaniami i nierów-
nościami różniczkowo-funkcyjnymi i różniczkowo- funkcjonalnymi (por. np.
prace [189]–[193]). Zdzisław Opial (1930–1974) w swym bogatym dorobku
zawarł wyniki z wielu działów równań i nierówności różniczkowych. Wśród
bardzo ważnych rezultatów są m.in. piękne twierdzenia o problemach brze-
gowych dla równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego i o rozwiąza-
niach okresowych. O wadze jego wyników dotyczących nierówności różnicz-
kowych i całkowych świadczy np. to, że ukazała się książka [2] poświęcona
j e d n e j pracy Opiala [127] i pracom innych autorów do niej nawiązują-
cych. Włodzimierz Mlak zajmował się – niezależnie od innych zagadnień
(w tym, spoza teorii równań różniczkowych, przede wszystkim ważnymi czę-
ściami teorii przestrzeni Hilberta) – m.in. równaniami w przestrzeniach Ba-
nacha, nieskończonymi układami nierówności i równań różniczkowych (por.
np. [111]–[113]). Zoﬁa Mikołajska-Mlakowa (1923–1993) (

) uzyskała wy-

niki dotyczące m.in. asymptotycznych własności rozwiązań (por. np. [101],
[102]) i miała swój udział w rozwoju teorii optymalnego sterowania i inkluzji
różniczkowych nazywanych przez Ważewskiego równaniami orientorowymi.
Bardzo ważne wyniki w tej dziedzinie należą do Andrzeja (w zakonie Bene-
dyktynów – Bernarda) Turowicza OSB (1904–1989), który udowodnił m.in.
twierdzenia o tzw. quasi-trajektoriach układów sterowania (por. w szczegól-
ności [204], [205]), a także Zdzisława Opiala i Zbigniewa Kowalskiego (1924–
1992), który zajmował się także metodami różnicowymi dla równań różnych
typów. Bardzo ważne rezultaty z zakresu ogólnie rozumianych metod ja-
kościowych w teorii równań różniczkowych są również autorstwa Czesława
Olecha, a także Andrzeja Lasoty, których wyniki z tej i wielu innych dzie-
dzin równań i nierówności różniczkowych weszły na stałe do literatury ma-
tematycznej. Andrzej Lasota, udowodnił też pewne modyﬁkacje twierdzeń
Fredholma dotyczących ogólnych przestrzeni wektorowych i zastosował je
do równań różniczkowych otrzymując piękne rezultaty (

). Zajmował się

(

) Por. artykuł [140] Zoﬁi Pawlikowskiej-Brożek (wraz z listą publikacji Z. Mikołaj-

skiej-Mlakowej).

(

) Było to już wprawdzie w latach sześćdziesiątych (por. [84] i [85]), ale ze względu

na chęć ujęcia w możliwie całościowym zarysie szkoły naukowej Tadeusza Ważewskiego
wydaje się celowym wspomnieć o tym tutaj (por. także niżej cytat z opracowania [1]).

A. P e l c z a r

później (i zajmuje nadal) zagadnieniami z pogranicza teorii równań różnicz-
kowych i wielu innych dziedzin matematyki, a nawet szerzej, z pogranicza
matematyki i innych nauk (kieruje Zakładem Biomatematyki Uniwersytetu
Śląskiego). Andrzej Pliś (1929–1991) miał wielki udział w rozwoju teorii
równań cząstkowych pierwszego rzędu, w szczególności przy użyciu metody
charakterystyk (por. [150]); od niego pochodzi pojęcie wstęgi charaktery-
stycznej drugiego rzędu. Pliś był autorem zaskakujących przykładów poka-
zujących, że pewne założenia w klasycznych twierdzeniach są niezbędne.
W szczególności podał przykład takiego układu równań zwyczajnych, że
każdy punkt obszaru, w którym układ ten jest rozważany, jest punktem le-
wostronnej jednoznaczności i prawostronnej niejednoznaczności (por. [156])
oraz zaskakujący przykład liniowego układu równań cząstkowych pierwszego
rzędu o regularnych współczynnikach, dla którego problem Cauchy’ego nie
ma jednoznacznego rozwiązania (por. [151]) (

). Był też autorem interesu-

jących wyników dotyczących całek pierwszych równań różniczkowych (por.
[154], [155]); tematyka ta była przedmiotem wcześniejszych badań Tadeusza
Ważewskiego i Jacka Szarskiego (

). Otrzymał też Pliś wyniki dotyczące

metody retraktowej. Tadeusz Ważewski i jego uczniowie zajmowali się też
metodą kolejnych przybliżeń; kilka wyników z tego zakresu należy do kla-
sycznych już rezultatów teorii. Wspomniany wyżej Jan Mikusiński, który
po krótkim pobycie w Krakowie pracował w Lublinie, Poznaniu, Wrocławiu
i Katowicach, był autorem teorii zwanej teraz teorią operatorów Mikusiń-
skiego, mającej duże znaczenie dla równań różniczkowych i ich zastosowań;
monograﬁa [108] doczekała się wielu wydań w różnych językach. Podstawy
swej teorii przedstawił Mikusiński już w latach 1947–1949 w dwóch obszer-
nych pracach [106] i [107].

Wspomniano, z konieczności bardzo skrótowo, o wybranych dokonaniach

Tadeusza Ważewskiego jako uczonego. Trzeba tu jednak koniecznie dodać,
że był on wspaniałym nauczycielem. Miał wyjątkowy dar doskonałego wy-
kładania oraz kierowania i stymulowania pracami młodych adeptów nauki.
Umiał tak podsuwać problemy, że nie będąc trywialnymi i wymagając du-
żego, twórczego wysiłku, dawały się jednak rozwiązać i pozwalały na odno-
szenie pierwszych sukcesów. Tadeusz Ważewski był prawdziwym Mistrzem
dla swych uczniów, wymagającym (jednak wymagał najwięcej od siebie), ale
i cieszącym się z każdego osiągnięcia uczniów. Zbudowana przezeń szkoła
naukowa powstała w oparciu zarówno na potencjale naukowym jak i na

(

) Do tych i innych wyników Andrzeja Plisia nawiążemy jeszcze przy końcu para-

grafu 7.

(

) Dotyczyła jej w szczególności rozprawa doktorska Szarskiego z roku 1945. Wcze-

śniej zagadnieniami z tego zakresu zajmował się w Krakowie Witold Wilkosz (1891–1941);
równania różniczkowe były jedną z wielu dziedzin matematyki, którymi się zajmował (lecz
nie stanowiły głównego pola jego zainteresowań).

Równania różniczkowe w Polsce

relacjach między Mistrzem i uczniami. Szkoła ta sięga swoimi początkami
lat wojny, gdy działał podziemny Uniwersytet Jagielloński (wtedy zaczęła
się naukowa współpraca Szarskiego z Ważewskim), by rozkwitnąć po wojnie.
W tym miejscu przypomnijmy raz jeszcze o tragicznych wydarzeniach rozpo-
czętych 6 listopada 1939 r. aresztowaniem profesorów Uniwersytetu Jagiel-
lońskiego i Akademii Górniczej; profesorowie ci przeszli potem gehennę obo-
zów koncentracyjnych. Wśród aresztowanych wówczas było sześciu matema-
tyków, o których była mowa wyżej: Stanisław Gołąb (AG), Antoni Hoborski
(AG), Franciszek Leja (UJ), Stanisław Turski (UJ), Tadeusz Ważewski (UJ)
i Witold Wilkosz (UJ) oraz Adam Bielecki (UJ), o którym będzie mowa ni-
żej. Witold Wilkosz został zwolniony po trzech dniach ze względu na stan
zdrowia (zmarł 3 marca 1941 r.). Pozostali zwalniani byli w roku 1940 lub
1941; szczególnie tragiczny był los Antoniego Hoborskiego, który zwolniony
formalnie z obozu w Sachsenhausen 8 lutego 1940, nie był w stanie opuścić
obozu ze względu na wycieńczenie i odmrożenia (z częściową amputacją)
stóp i zmarł tam następnego dnia. Ci, którzy wrócili, włączyli się do taj-
nego nauczania w różnych formach (mieszkający w Krakowie na poziomie
akademickim, mieszkający poza Krakowem Franciszek Leja w gimnazjum
w Leżajsku). Dla równań różniczkowych okres wojny, pomimo wszystkich
okupacyjnych okoliczności, przyniósł m.in. opublikowane po wojnie wyniki
Ważewskiego, Szarskiego i Mikusińskiego (por. przypis 11).

Wracając do zasadniczego toku rozważań o równaniach różniczkowych

należy omówić badania w tej dziedzinie kilku innych, poza już przedstawio-
nymi, wybitnych matematyków.

Do osiągnięć matematyki polskiej powinno się zaliczać, przynajmniej

równolegle z zaliczaniem ich do osiągnięć matematyki niemieckiej, wyniki
Leona Lichtensteina (1878–1933), urodzonego w Warszawie, w której ukoń-
czył edukację średnią maturą w roku 1894, absolwenta politechniki w Char-
lottenburgu, doktora nauk technicznych tej uczelni (z roku 1908), doktora
ﬁlozoﬁi uniwersytetu berlińskiego (z roku 1909), habilitowanego w Charlot-
tenburgu w roku 1910, profesora tamże do roku 1920, a następnie profesora
uniwersytetu w Lipsku, członka czynnego Saskiej Akademii Nauk, Polskiej
Akademii Umiejętności oraz Lwowskiego Towarzystwa Naukowego, redak-
tora naczelnego Mathematische Zeitschrift, współredaktora (od roku 1923)
Prac Matematyczno-Fizycznych. Lista jego publikacji dotyczących równań
różniczkowych, przede wszystkim cząstkowych, obejmuje (według Hugona
Steinhausa, por. [179]) 26 pozycji (pierwsza z roku 1909, ostatnia z roku
1932), nie licząc prac z hydrodynamiki, astronomii i mechaniki nieba oraz
teorii potencjału, które także – ze zrozumiałych powodów – co najmniej za-
haczają o teorię równań różniczkowych. Dochodzą do tego książki, z których
jedna [92] poświęcona jest równaniom całkowym i całkowo-różniczkowym,
oraz artykuły w dziełach zbiorowych, w tym m.in. rozdział o równaniach

A. P e l c z a r

różniczkowych typu eliptycznego w encyklopedii matematycznej z roku 1924
(por. [93]). Wprawdzie najważniejsze wyniki Lichtensteina z dziedziny rów-
nań różniczkowych dotyczą przede wszystkim równań cząstkowych (będzie
o nich mowa niżej), ale i teoria równań zwyczajnych ma mu wiele do za-
wdzięczenia. W pracy [91] zastosował bezpośrednią metodę wariacyjną po-
chodzącą od Hilberta do problemów brzegowych dla równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego, otrzymując także ważne rezultaty dotyczące
rozwiązań okresowych. Wynikom tym poświęca kilka stron Jean Mawhin
w opracowanym przez siebie rozdziale Boundary value problems for nonli-
near ordinary diﬀerential equations: from successive approximations to to-
pology książki [148]. O działalności naukowej Leona Lichtensteina traktuje
ciekawy artykuł [54] Ernsta H¨oldera, syna Otto H¨oldera (

), stanowiący

przekład (dokonany przez Adama Piskorka) tekstu napisanego w roku 1979
z okazji setnej rocznicy urodzin Lichtensteina.

Lista matematyków polskich zajmujących się bardzo żywo rozwijającą

się w pierwszej połowie XX wieku teorią równań różniczkowych zwyczaj-
nych i równań cząstkowych rzędu pierwszego, a także lista tematów, przed-
stawione wyżej, są dalekie od kompletności. Wspomnieć trzeba w szczegól-
ności o Lublinie, gdzie pracował Mieczysław Biernacki (1891–1959), który
m.in. otrzymał warunki konieczne i dostateczne na to, by istniało rozwią-
zanie równania liniowego rzędu n o stałych współczynnikach, przybierające
w danych k punktach zadane z góry wartości (por. [30]), a także intere-
sujące twierdzenia o zachowaniu się rozwiązań różnych równań liniowych,
gdy czas dąży do nieskończoności (por. np. [32]) (

), a doktorant Tadeusza

Ważewskiego, profesor Uniwersytetu im. Marii Curie-Skłodowskiej, Adam
Bielecki (

), stworzył szkołę naukową, z której wyszli m.in. Jan Kisyński,

który uzyskał m.in. ważne rezultaty w teorii równania cząstkowego hiper-
bolicznego rzędu drugiego oraz równań w przestrzeniach Banacha (o czym
będzie jeszcze mowa) i Kazimierz Goebel, którego główne rezultaty doty-
czą teorii punktów stałych w przestrzeniach metrycznych. Wydawane przez

(

) Którego nazwisko związano ze znanym warunkiem, słabszym od klasycznego wa-

runku Lipschitza. Leon Lichtenstein i Otto H¨older współpracowali w Lipsku w latach
dwudziestych i trzydziestych XX wieku.

(

) Lista prac Mieczysława Biernackiego obejmuje łącznie 88 pozycji, z których 10

dotyczy równań różniczkowych. Wnikliwe omówienie tych 10 prac znajduje się w artykule
[29] A. Bieleckiego, który napisał na wstępie, że: „. . . cette dizaine travaux contient des
r´esultats de rare valeur”. Dorobek Biernackiego omówił też Jan Krzyż w artykule [72].

(

) Adam Bielecki jest m.in. autorem ciekawej i użytecznej modyﬁkacji jednej z kla-

sycznych metod dowodu twierdzenia o istnieniu rozwiązań problemów Cauchy’ego (por.
[28]). Jego skrypt-podręcznik [27] zawiera, jako pierwszy chyba w języku polskim, elementy
teorii równań różniczkowo-funkcyjnych. Jest autorem prac o metodzie topologicznej Wa-
żewskiego w zastosowaniu do „równań paratyngensowych” (por. trzy duże prace [24]–[26])
i prac o innych zagadnieniach teorii równań różniczkowych, w tym m.in. na temat szaco-
wania odległości zer rozwiązań oscylujących oraz kryteriów jednoznaczności.

Równania różniczkowe w Polsce

UMCS Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska w swej Sectio A,
Mathematica zamieszczały od samego początku, od numeru 1 w roku 1946,
ważne prace z teorii równań różniczkowych, stając się pod koniec lat czter-
dziestych XX wieku jednym z głównych polskich czasopism prezentujących
tę tematykę. W ośrodku poznańskim Władysław Orlicz (1903–1990), wywo-
dzący się ze środowiska lwowskiego, zbudował szkołę analizy funkcjonalnej.
Na początku drugiej połowy dwudziestego stulecia Poznań stał się też waż-
nym ośrodkiem równań różniczkowych i jest nim nadal. Sam Orlicz, którego
wybitne dokonania w analizie funkcjonalnej są powszechnie znane, równa-
niami różniczkowymi zajmował się okazjonalnie; w roku 1932 udowodnił,
że zbiór funkcji stanowiących „prawe strony” równań zwyczajnych, które
nie mają własności jedyności rozwiązań problemów Cauchy’ego, jest pierw-
szej kategorii Baire’a w stosownej przestrzeni funkcyjnej (por. [136]), a wraz
z Andrzejem Alexiewiczem (1917–1996), już po wojnie, przeniósł ten wy-
nik na przypadek równań cząstkowych rzędu drugiego typu hiperbolicznego
(por. [4]). W Poznaniu pracował Zygmunt Butlewski (1907–1980) (

), który

zajmował się równaniami zwyczajnymi; uzyskał m.in. wyniki dotyczące roz-
wiązań ograniczonych i oscylujących (por. np. [40], gdzie zastosowano m.in.
metodę z pracy M. Biernackiego z lat trzydziestych [31]). W latach 50-
tych przybywało ośrodków badających omawiane w tym miejscu równania
zwyczajne (przede wszystkim: Warszawa, a także Wrocław, Toruń, Zielona
Góra). W Warszawie działał Witold Pogorzelski (1895–1983); zajmował się
głównie równaniami cząstkowymi wyższych rzędów i równaniami całkowymi;
o jego dokonaniach będzie jeszcze mowa w dalszym ciągu. W Gdańsku Wa-
cław Pawelski (1914–1980) zajmował się m.in. nierównościami różniczko-
wymi cząstkowymi pierwszego rzędu (por. [138], [139]). Zgrupował on kilku
matematyków, którzy zajęli się zarówno klasycznymi równaniami różniczko-
wymi, jak i nieco później równaniami różniczkowo-funkcyjnymi, w tym także
równaniami różniczkowo-funkcyjnymi cząstkowymi rzędu drugiego (i wyż-
szych) typu hiperbolicznego, o czym można tu wspomnieć uprzedzając nieco
– ze względu na pokrewieństwo metod stosowanych w teorii tych równań do
metod używanych w teorii równań zwyczajnych – to, co będzie omawiane
w następnym ustępie. Równaniami takimi w Gdańsku zajął się w szczegól-
ności Marian Kwapisz, a równaniami cząstkowymi pierwszego i wyższych
rzędów typu parabolicznego oraz nierównościami różniczkowymi cząstko-
wymi zajmował się Piotr Besala (1928–1998). Metody topologii algebra-
icznej zastosowane zostały do teorii równań różniczkowych i teorii inkluzji
różniczkowych przez Andrzeja Granasa oraz jego uczniów i współpracow-
ników, Kazimierza Gębę i Lecha Górniewicza oraz ich uczniów. Rozwijano
zresztą pewne fragmenty samej topologii algebraicznej. Metody te są teraz

(

) Omówienie dorobku naukowego Zygmunta Butlewskiego przedstawił Dobiesław

Bobrowski w artykule [33].

A. P e l c z a r

z powodzeniem stosowane i rozwijane także w ośrodku krakowskim (co im-
plicite nawiązuje do idei Tadeusza Ważewskiego, o czym już wspomniano
wyżej).

Wielu matematyków, których główne zainteresowania nie koncentrowały

się wcale na teorii równań różniczkowych, miało jednak twórcze z nią kon-
takty; np. Czesław Ryll-Nardzewski podał pewne oszacowania odległości zer
rozwiązań oscylujących, a w pracy [169] określił pewne własności asympto-
tyczne rozwiązań równań liniowych n-tego rzędu.

Kończąc w ten sposób próbę zarysowania historii równań zwyczajnych

i cząstkowych pierwszego rzędu do mniej więcej połowy minionego stulecia,
przejdziemy do równań cząstkowych wyższych rzędów.

Trzecie ćwierćwiecze XX wieku scharakteryzowane będzie skrótowo, za-

równo w odniesieniu do równań zwyczajnych jak i cząstkowych przez przy-
toczenie na zakończenie tego opracowania syntezy zawartej w materiałach
II Kongresu Nauki Polskiej i krótkich komentarzy do niej.

5. Równania różniczkowe cząstkowe rzędów wyższych niż pierw-

szy.

Za początek historii prawdziwych badań w Polsce w zakresie równań

cząstkowych rzędu drugiego i rzędów wyższych, wypada uznać działalność
Stanisława Zaremby. Był to początek wspaniały, wprowadzający od razu
matematykę polską na arenę międzynarodową. Wymaga więc omówienia
szerszego niż tylko wymieniającego hasła i tematy.

Stanisław Zaremba urodził się 3 września 1863 roku w miejscowości Ro-

manówka na Ukrainie, zmarł w Krakowie 22 listopada 1942 r. Ukończył stu-
dia inżynierskie w Instytucie Technologicznym w Petersburgu, potem zaś
odbył studia matematyczne we Francji i uzyskał w Paryżu doktorat w roku
1889, przedstawiając rozprawę doktorską Sur un probl`eme concernant l’´etat
caloriﬁque d’un corps homog`ene ind´eﬁni, w której przedstawił rozwiązanie
zagadnienia stanowiącego przedmiot konkursu ogłoszonego przez Paryską
Akademię Nauk w roku 1858. W roku 1861 Riemann przedstawił Akade-
mii wyniki swoich badań na ten temat, ale jak piszą Ważewski i Szarski
w artykule [225], rozprawa Riemanna nie została jednak nagrodzona, gdyż
zawierała tylko szkicowane dowody, które nie miały dostatecznej siły prze-
konującej. (. . .) Zaremba pokazał, że uwadze Riemanna uszły pewne klasy
rozwiązań problemu oraz podał dowody dla przypadków rozpatrywanych przez
Riemanna. Praca ta zapoczątkowała naukową karierę Zaremby i wyznaczyła
główne pole jego zainteresowań, związanych przede wszystkim z problemami
pochodzącymi z ﬁzyki. Był – jak piszą Ważewski i Szarski (por. [225]) –
pierwszym w Polsce matematykiem, który w skali międzynarodowej repre-
zentował ten rodzaj badań matematycznych. W tym kierunku, po przyjeździe
do Krakowa miał trudne przed sobą zadanie. W przeciwieństwie do sytuacji,
która panowała za granicą, w Polsce przed Zarembą nie było tradycji tego ro-
dzaju badań i z tego powodu trudno było pozyskiwać dla nich adeptów. Przed

Równania różniczkowe w Polsce

przyjazdem do Krakowa (w roku 1900 (

)), opublikował Zaremba kilka

ważnych prac z zakresu równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego,
typu eliptycznego, pracując w charakterze – co warto podkreślić – profesora
szkół średnich w Digne, Nimes i Cahors. W szczególności, w pracy [232]
opisał własności funkcji Greena w przestrzeni trójwymiarowej, które pozwo-
liły na udowodnienie, że funkcja określona jako całka z iloczynu pochodnej
normalnej tej funkcji Greena i danej funkcji ciągłej σ jest rozwiązaniem pro-
blemu Dirichleta z obłożeniem σ, a także przedstawił dyskusję przypadku
nieciągłego obłożenia. Praca ta cytowana jest, jako jedna z podstawowych
dla tej tematyki, w przekrojowym artykule [177].

Praca [233] poświęcona jest metodzie kolejnych przybliżeń dla równania

(5)

∆u = f

x, y, z, u,

∂u
∂x

∂u
∂y

∂u

∂z

Chcąc scharakteryzować krótko i bez wchodzenia w szczegóły techniczne

inne osiągnięcie Zaremby posłużmy się cytatem z artykułu Tadeusza Ważew-
skiego i Jacka Szarskiego [225]: Pod wpływem pewnych idei pochodzących od
Poincar´ego, rozwinął Zaremba w całej serii prac swój prosty i piękny pomysł,
który okazał się przełomowym w teorii równań typu eliptycznego. Pomysł ten
pozwolił mu rozstrzygnąć wiele problemów wówczas jeszcze nie rozwiązanych
lub rozstrzygniętych tylko w szczególnych przypadkach. Pomysł ten polegał
na rozwiązywaniu problemu Dirichleta względnie Neumanna dla równania
(6)

∆u + ξu = 0

tzw. metodą średnich arytmetycznych Neumanna przy pomocy uogólnionego
potencjału warstwy pojedynczej względnie podwójnej; potencjały uogól-
nione (wprowadzone przez Zarembę) powstają z newtonowskich przez za-
stąpienie funkcji 1/r funkcją {exp(−µr)}/r, gdzie µ jest pierwiastkiem rów-
nania µ

+ ξ = 0 mającym część rzeczywistą dodatnią.

Tematyka pierwszych prac Zaremby zaczerpnięta z problematyki, jaką

zajmowali się podówczas najwybitniejsi matematycy francuscy, zdetermi-
nowała kierunki jego badań w przyszłości. Pobyt Zaremby we Francji za-
owocował zresztą sentymentem do tego kraju i to nie tylko poprzez istotne
kontakty naukowe. Jego żona Henriette, z domu Cauvin (1866–1953), była
Francuzką.

Po przybyciu do Krakowa zajmował się Zaremba nadal równaniami elip-

tycznymi uzyskując wiele ważnych rezultatów w pracach, spośród których
wymieńmy przykładowo [236]–[242]. Najważniejsze wyniki dotyczą problemu
Dirichleta (który był już tematem najwcześniejszych prac Zaremby [231]
i [232]). Temu problemowi poświęcił swe wystąpienie na IV Międzynarodo-
wym Kongresie Matematyków w Rzymie w 1908 r. (por. [241]). Rozwijając

(

) Jego pierwszy wykład odbył się 22 października, a poświęcony był pojęciu granicy

i całce niewłaściwej.

A. P e l c z a r

funkcje harmoniczne w szeregi funkcji fundamentalnych (por. [235]), wpro-
wadził Zaremba w pracach [240] i [241] do metody bezpośredniej rachunku
wariacyjnego, pochodzącej od Hilberta, rozwiązania uogólnione, co okazało
się nader ważne (por. przedmowę do polskiego wydania książki Jeana Ma-
whina [98]). W pracy [242] podany został przykład obszaru, dla którego
liniowy problem Dirichleta nie ma rozwiązań; według Mawhina [98] jest to
pierwszy taki przykład w literaturze (

). To, co zrobił Zaremba w zakresie

tej tematyki, można skomentować najlepiej cytatem z powoływanej wyżej
książki Jeana Mawhina (

): Zdaniem Bouliganda (por. [39], ref. za [98])

wkład Zaremby w rozwój teorii problemu Dirichleta jest taki sam, jak Po-
incar´ego i Lebesgue’a. Problemom Dirichleta i Neumanna poświęcona jest
praca [244], w której rozwinięto pomysł z pracy [240] polegający na zastąpie-
niu wyjściowego problemu Dirichleta przez inny problem brzegowy. W pracy
[241] Zaremba dał początek metodzie rzutów ortogonalnych. Metoda ta zo-
stała potem rozwinięta przez Ottona Marcina Nikodyma (1889–1974) (por.
[117], [118]) i Hermanna Weyla (1885–1955) i stała się jedną z klasycznych
metod badania problemów Dirichleta (

Pewne rezultaty Zaremby dotyczące równań eliptycznych i funkcji Gre-

ena bywały niejako „na nowo odkrywane”. W roku 1950 N. Aronszajn
w pracy [9] zwrócił uwagę na to, że pewien ważny nurt badań nad tzw. ją-
drami reprodukującymi (reproducing kernels) został zapoczątkowany przez
Zarembę w pracach [237] i [238] na temat problemów brzegowych dla funk-
cji harmonicznych i biharmonicznych. Zaremba wprowadził tam funkcje na-
zywane teraz jądrami reprodukującymi, ale nie nadał im żadnej specjalnej
nazwy. Teraz jest to już cała teoria (

(

) Zaremba został wymieniony w książce [148] (omówionej w drugiej części przy-

pisu 13) jako autor pierwszego takiego przykładu umieszczonego na liście najważniejszych
osiągnięć matematyki w roku 1909; jako inne osiągnięcie tego roku uznano wprowadzoną
przez Zarembę metodę projekcji ortogonalnych w teorii problemu Dirichleta.

(

) Skorzystano tutaj kilkakrotnie z komentarzy na temat prac Zaremby z przed-

mowy do książki [98]. Warto z tej przedmowy przytoczyć jeszcze cytat dotyczący innego
fragmentu wkładu matematyków polskich w rozwój równań różniczkowych: Na szczególną
uwagę zasługuje krótka nota S. Mazura i J. Schaudera przedstawiona na Międzynarodowym
Kongresie Matematyki w Oslo w 1936 r. dotycząca podejścia wariacyjnego do problemów
nieliniowych {chodzi o notę [99]}. Stanisław Mazur (1905–1981), jeden ze współtwórców
lwowskiej szkoły matematycznej, po wojnie pracował w Łodzi i Warszawie; trudno tu
przypominać – nawet ograniczając się do najważniejszych – jego osiągnięcia w analizie
funkcjonalnej, teorii funkcji rzeczywistych i innych dziedzinach.

(

) Nikodym udowodnił też m.in. twierdzenie o istnieniu w każdym domkniętym

i wypukłym podzbiorze przestrzeni Hilberta jedynego elementu o najmniejszej normie
(por. [116]), co – jak słusznie zauważyła Alicja Derkowska w biograﬁi Nikodyma [43] –
było jednym z elementów podstaw przyszłej teorii sterowania.

(

) W kwietniu 2000 r. odbyła się w Krakowie międzynarodowa konferencja pod

hasłem 90 years of the reproducing kernel property, zorganizowana przez Katedrę Analizy
Funkcjonalnej UJ kierowaną przez prof. Franciszka Hugona Szafrańca.

Równania różniczkowe w Polsce

Zaremba zajmował się też równaniami typów innych iż eliptyczne.

W szczególności na VII Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Stras-
burgu w roku 1920 swe wystąpienie poświęcił równaniu Fouriera
(7)

∆

u − ∂u/∂t = 0;

u = u(x, t), x = (x

, . . . , x

W 1915 roku rozważając równanie hiperboliczne fali sferycznej zastoso-

wał Zaremba po raz pierwszy pewien sposób oceny całki z sumy kwadratów
pierwszych pochodnych rozwiązania tego równania. Pomysł ten, jak piszą
Ważewski i Szarski [225], wykorzystali potem Friedrichs i Lewy. Nierówności
te uogólnił następnie Juliusz Schauder; okazały się one podstawowymi dla
rozwoju teorii równań hiperbolicznych.

Warto w tym miejscu dodać, że na wspomnianym Kongresie Stanisław

Zaremba był nie tylko czynnym uczestnikiem przedstawiającym swe wy-
niki naukowe, ale oﬁcjalnie reprezentował matematyków polskich i w imie-
niu Polski podpisał dokument powołujący do życia Międzynarodową Unię
Matematyczną (International Mathematical Union) (

), potwierdzając nie-

jako to, co napisał Ślebodziński w artykule [199] w dalszym ciągu cytowa-
nego wyżej tekstu mówiącego o znaczeniu działań Żorawskiego i Zaremby
w Krakowie. Odnosiło się to wprawdzie do pierwszych lat XX stulecia, ale
– jak widać – miało pewne odniesienie (powiedzmy – częściowe, gdyż siła
matematyki polskiej opierała się już wtedy także na mocnych ośrodkach
w Warszawie i Lwowie, a nazwiska osób tworzących te ośrodki były już
dobrze znane) jeszcze i do roku 1920: Ówczesne warunki polityczne spra-
wiły, że przez kilkanaście lat Stanisław Zaremba i Kazimierz Żorawski byli
jedynymi reprezentantami matematyki wobec zagranicy. Stanisław Zaremba
był jeszcze raz zaangażowany w sprawy organizacyjne na szerokiej płasz-
czyźnie międzynarodowej, gdy został powołany do komisji mającej się zająć
stałą współpracą międzynarodową w zakresie matematyki, zgodnie z decy-
zją Zgromadzenia Ogólnego Międzynarodowej Unii Matematycznej podjętą
w czasie Kongresu Matematyków w Z¨urichu w roku 1932. Do komisji tej we-
szli: F. Severi (Rzym) jako przewodniczący, P. S. Aleksandrow (Moskwa),
H. Bohr (Kopenhaga), L. Fej´er (Budapeszt), G. Julia (Paryż), L. J. Mordell
(Manchester), E. Terradas (Madryt), Ch. de la Vall´ee Poussin (Louvain),
O. Veblen (Princeton), H. Weyl (Getynga) i S. Zaremba (Kraków). Samo
zestawienie nazwisk osób wchodzących do tej komisji mówi o prestiżu, jakim
musiał się cieszyć Zaremba. Dodajmy, że został on jednym z wiceprzewod-
niczących Kongresu w Z¨urichu (przewodniczącym został Feuter z Z¨urichu,
a pozostałymi wiceprzewodniczącymi: E. Cartan, H. Weyl, O. Veblen i F. Se-
veri).

(

) Stało się to 20 września 1920 r. Państwami-założycielami były: Belgia, Czecho-

słowacja, Francja, Grecja, Japonia, Polska, Portugalia, Serbia, Stany Zjednoczone, Wielka
Brytania, Włochy.

A. P e l c z a r

Charakterystyczną cechą naukowej aktywności Stanisława Zaremby były

jego stałe zainteresowania problemami z zakresu ﬁzyki teoretycznej; można
powiedzieć, że duża część prac dotyczyła bezpośrednio lub pośrednio ﬁzyki
(w szczególności, gdy chodziło o ważne zastosowania wyników „czysto ma-
tematycznych” w ﬁzyce). Wśród prac z ﬁzyki teoretycznej wymienić można
przykładowo notę [243] (a także pracę [239]). Był też Zaremba autorem
prac z teorii relaksacji i krystalograﬁi. Tematyka prac z zakresu teorii tar-
cia wewnętrznego, lepkosprężystości (visco-elasticity), podwójnego odbicia
i relaksacji, stała się przedmiotem gorących polemik naukowych między Sta-
nisławem Zarembą i wybitnym ﬁzykiem Władysławem Natansonem. Spór
dotyczył zarówno zakresu przybliżeń i stopnia ścisłości, jak i interpreta-
cji wyników. Przez kilka lat ukazywały się na łamach Biuletynu Akademii
Umiejętności artykuły polemiczne obu tych uczonych, aż wreszcie – wyraź-
nie zniecierpliwiona – redakcja Sekcji Nauk Matematyczno-Przyrodniczych
Biuletynu dołączyła do numeru marcowego z roku 1904 krótką notkę takiej
treści: La Classe des Sciences math´ematiques et naturelles de l’Acad´emie de
Cracovie a decid´e de ne publier, dans son Bulletin aucun nouvel article rela-
tif a la pol´emique qui s’est engag´ee entre M. Natanson et M. Zaremba. Warto
poświęcić więcej uwagi jednemu z głównych przedmiotów sporu, którym
było dokonane przez Natansona, a skrytykowane przez Zarembę, uogólnienie
na przypadek trójwymiarowy jednowymiarowej (pochodzącej od Maxwella)
teorii lepkosprężystości. Czas pokazał – jak napisali C. Truesdell i W. Noll
w encyklopedii Handbuch der Physik w roku 1965 (por. [203]) – że to Za-
remba miał rację, jakkolwiek nie znalazło to właściwego odbicia w literaturze
przedmiotu: While the decision of time has been wholly for Zaremba, it has
come late, and the vast literature on ,,plasticity” ignores it.

Wspomniana encyklopedia używa konsekwentnie terminu forma Zaremby

–Jaumanna na określenie zasady niezmienniczości pewnego podstawowego
równania występującego we wspomnianej teorii (

Kończąc to szkicowe i pobieżne omówienie kilku nurtów działalności na-

ukowej Stanisława Zaremby, dobrze będzie przytoczyć wybrane opinie o nim,
pochodzące od współczesnych mu wybitnych matematyków.

W cytowanym już wielokrotnie artykule [225] czytamy: Znamienna jest

opinia Henryka Lebesgue’a, który wyraził się, że Zaremba nie ogłosił żad-
nej pracy niepotrzebnie. Istotnie, wśród prac Zaremby, z których wiele ma
podstawowe znaczenie w matematyce, nie ma prac o charakterze przyczynko-
wym. Jacques Hadamard w liście gratulacyjnym nadesłanym z okazji uroczy-
stości nadania Zarembie godności doktora honoris causa UJ w dniu 1 lutego

(

) Obszerne omówienie prac Zaremby z ﬁzyki teoretycznej, a także prac Żorawskiego,

który napisał kilka artykułów z tego zakresu, znajduje się w artykułach Bronisława Śred-
niawy [200], [201].

Równania różniczkowe w Polsce

1930 roku (

), napisał m.in. Głębokie, pochodzące od niego [Zaremby] uogól-

nienie przekształciło niedawno podstawy teorii potencjału i stało się natych-
miast punktem wyjścia do badań młodych matematyków szkoły francuskiej.
I wreszcie cytat z listu Charlesa Emila Picarda nadesłanego z tej samej oka-
zji: Zaremba jest jednym z najznamienitszych matematyków naszych czasów.
Jego piękne prace z teorii równań różniczkowych i teorii funkcji harmonicz-
nych są podziwiane przez wszystkich zajmujących się analizą.

Stanisław Zaremba przywiązywał ogromną wagę do tego, by powstawały

polskie podręczniki. Sam był autorem kilku. Nie lekceważył też popularyza-
cji. Jako przykład takiej jego działalności można podać artykuł [245] z roku
1931.

Wspomniany poprzednio Leon Lichtenstein uzyskał wiele istotnych wy-

ników dotyczących równań cząstkowych. Wnikliwe omówienie jego rezulta-
tów z tego zakresu przedstawił Juliusz Schauder w artykule [176]. Arty-
kuł ten zaczyna się od stwierdzenia, że należy przede wszystkim zwrócić
uwagę na twórczość Lichtensteina w dziedzinie równań cząstkowych rzędu
drugiego typu eliptycznego (

), gdyż: Był on jednym z pierwszych budow-

niczych tej teorii, nadając tu niejednokrotnie kierunek dalszym badaniom
([176], str. 149). Pierwsze prace Lichtensteina z tego zakresu dotyczą pro-
blemu Dirichleta dla równań eliptycznych liniowych o współczynnikach speł-
niających warunek H¨oldera (i dwóch zmiennych niezależnych). Inne ważne
wyniki dotyczą równań samosprzężonych. Dla równań quasiliniowych udo-
wodnił Lichtenstein m.in. twierdzenie o analityczności rozwiązań klasy C

jeśli współczynniki są analityczne (por. [90]), wzmacniając tym samym wy-
nik S. Bernsteina z [18], który zakładał trzykrotną różniczkowalność rozwią-
zania. W cytowanej już (przy omawianiu równań zwyczajnych) pracy [91]
zastosował Lichtenstein metody wariacyjne do równań cząstkowych. Prace
Lichtensteina na ten temat, a także prace z hydrodynamiki są obszernie

(

) Warto przytoczyć nazwiska matematyków, którzy byli obecni na tej uroczysto-

ści, albo nadesłali listy lub telegramy gratulacyjne; byli to m.in.: Stefan Banach, Wilhelm
Blaschke, Emile Borel, Georges Bouligand, Elie Cartan, Arnaud Denjoy, Maurice Fr´echet,
Guido Fubini, Jacques Hadamard, Bronisław Knaster, Henri Lebesgue, Beppo Levi, Tul-
lio Levi-Civit´a, Leon Lichtenstein, Franciszek Leja, Stefan Mazurkiewicz, Paul Montel,
Paul Painlev´e, Giuseppe Peano, Emile Picard, Fr´ed´eric Riesz, Wacław Sierpiński, Hugo
Steinhaus, Leonida Tonelli, Vito Volterra.

(

) Zajmował się jednak także i równaniami innych typów; podczas Pierwszego Pol-

skiego Zjazdu Matematycznego we Lwowie (7–10 września 1927) wygłosił odczyt O za-
stosowaniach metody Fourier’a do równań różniczkowych typu hiperbolicznego. Dodajmy,
że Lichtenstein był członkiem Komitetu Honorowego tego Zjazdu. Członkami Komitetu
Honorowego byli też m.in.Stanisław Zaremba i Kazimierz Żorawski oraz Władysław Na-
tanson i Tadeusz Banachiewicz (którzy jednak nie byli obecni na Zjeździe – Zaremba
z powodu poważnej choroby; o nieobecności pozostałych, a także kilku innych wybitnych
uczonych, S. Warhaftman przedstawiający w II tomie Mathesis Polskiej , sprawozdanie ze
Zjazdu, pisze z żalem jako o rzeczy, która raziła).

A. P e l c z a r

cytowane przez Louisa Nirenberga w opracowanym przez niego rozdziale
Partial Diﬀerential Equations in the First Half of the Century książki [148].
W książce tej na liście najważniejszych osiągnięć roku 1915 (str. 9) wymie-
niono przy nazwisku Lichtensteina: Hilbert space techniques in the calculus
of variations.

Do dorobku matematyki polskiej w zakresie równań różniczkowych zali-

czyć trzeba także i to, co zrobił w tym zakresie Nachman Aronszajn (1907–
1980). Urodzony w Warszawie, odbył studia na Uniwersytecie Warszawskim,
gdzie w roku 1929 doktoryzował się (

), w latach trzydziestych przebywał

w Paryżu, w czasie wojny był w Wojsku Polskim, od roku 1942 oddelego-
wany z Armii Polskiej – jak pisze Paweł Szeptycki w artykule [194] – do
admiralicji brytyjskiej dla prac nad zagadnieniami matematycznymi związa-
nymi z działaniami wojennymi, potem zaś, od roku 1949 pracował w Sta-
nach Zjednoczonych. Wśród wielu wątków jego działalności badawczej były
także równania różniczkowe (którymi zaczął się interesować po przyjeździe
do Francji). Wspomniana uprzednio (przy omawianiu dorobku Zaremby)
praca [9] nawiązywała do wcześniejszych z tej tematyki (pierwszą z nich była
praca [7]); ich rezultaty znalazły bezpośrednie zastosowania w teorii równań
eliptycznych (por. prace [8] i [10], które – jak pisze P.Szeptycki w cytowanym
artykule [194] – zawierają być może pierwszy dowód istnienia funkcji Gre-
ena dla ogólnych zagadnień brzegowych dla równań eliptycznych wysokiego
rzędu). Inny nurt badawczy, o którym należy tu wspomnieć, był związany
z metodami przybliżania wartości własnych zagadnień brzegowych. Począ-
tek dała praca [16]; po niej, w ciągu 33 lat, ukazało się ponad dwadzieścia
prac dotyczących tej tematyki lub z nią luźniej związanych, a ostateczną
wersję wypracowanej metody zawiera praca wspólna z R. D. Brownem [14].
Dodajmy, że metoda ta okazała się bardzo efektywna w pracy [13] o rów-
naniach zwyczajnych; mowa jest o niej w tym miejscu, a nie w rozdziale
o równaniach zwyczajnych, właśnie ze względu na użytą w niej metodę.

Na koniec lat dwudziestych i lata trzydzieste XX wieku przypada dzia-

łalność Juliusza Pawła Schaudera (1896–1943), którego znany powszechnie
dorobek dotyczy przede wszystkim analizy funkcjonalnej, ale obejmuje także
m.in. bardzo ważne prace z równań różniczkowych. Przypomnijmy przede
wszystkim, że Schauder jest autorem podstawowego twierdzenia o punktach
stałych odwzorowań ciągłych przeprowadzających zwarte i wypukłe pod-
zbiory przestrzeni Banacha w siebie (por. [172]; wcześniejsza, słabsza wersja
w pracy [170]). Twierdzenie to – jak dobrze wiadomo – stosowane do odpo-
wiednich przestrzeni funkcyjnych pozwala na uzyskiwanie twierdzeń o ist-
nieniu rozwiązań równań różniczkowych wielu typów; ma też wiele innych,

(

) Pod kierunkiem Stefana Mazurkiewicza, na podstawie rozprawy O metryce i me-

tryzacji.

Równania różniczkowe w Polsce

ogromnie ważnych zastosowań (

). Juliusz Schauder napisał ważne prace na

temat równań różniczkowych cząstkowych, w tym m.in. o równaniach hiper-
bolicznych (por. [174], [175]) (

) oraz eliptycznych (por. np. [171] i [173]).

Podczas wspomnianego już Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego
we Lwowie wygłosił referat Rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych
rzędu drugiego typu eliptycznego (przy danych warunkach brzegowych) w oto-
czeniu całki szczególnej (por. [82], str. 146). Powiedzmy krótko, że Schauder
pierwszy wprowadził do teorii równań różniczkowych zaawansowane me-
tody analizy funkcjonalnej i zastosował w niej ogólne twierdzenia (w tym
twierdzenie o punktach stałych) z teorii ogólnych przestrzeni funkcyjnych.
Aparatu analizy funkcjonalnej użył w ten sposób, że twierdzenia o punk-
tach stałych zastosował do odpowiednich równań całkowych równoważnych
równaniom różniczkowym rozważanym wraz z zadanymi warunkami począt-
kowymi i brzegowymi (

). Był też Schauder współautorem pracy [89] napi-

sanej wspólnie z Jeanem Lerayem, która okazała się, jak wiadomo, jednym
z podstawowych elementów pozwalających na zastosowania metod topolo-
gii algebraicznej w teorii równań różniczkowych, przede wszystkim równań
cząstkowych. Badania równań różniczkowych oparte na tych metodach zna-
lazły się później w pracach matematyków polskich (o czym wspomniano już
mówiąc o Andrzeju Granasie i jego współpracownikach).

Jacek Szarski, o którym była mowa w związku z równaniami zwyczaj-

nymi i cząstkowymi rzędu pierwszego oraz nierównościami różniczkowymi,
ma też swój udział w rozwoju teorii równań cząstkowych rzędów wyższych
i związanych z nimi nierówności różniczkowych. Jeden z ciekawych rezulta-
tów dotyczących równań cząstkowych drugiego rzędu prawie-liniowych za-
wiera praca [185] o tzw. konoidzie charakterystycznej.

Szereg wyników dotyczących równań eliptycznych rzędu drugiego, rów-

nania biharmonicznego oraz równania parabolicznego rzędu drugiego, otrzy-
mał wspomniany już poprzednio Alfred Rosenblatt. Stanisław Turski, także

(

) W tym kontekście trzeba przypomnieć o Stefanie Banachu (1892–1945). Gdyby

w wieku XIX dysponowano twierdzeniem Banacha o punkcie stałym (przypomnijmy pracę
[17]), to dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań problemów Cauchy’go
przy stosownych założeniach o prawych stronach rozważanych równań byłby podany
w kilku, może w kilkunastu, linijkach. Dodajmy, że Banach miał też bezpośredni udział
w rozwoju równań różniczkowych. Zastosował swoje wyniki z analizy funkcjonalnej do
dowodu nowego twierdzenia o ciągłej zależności rozwiązań liniowych równań cząstkowych
i pochodnych tych rozwiązań od warunków brzegowych.

(

) Fragment rozumowania w pracy [174] zawierał pewną lukę, którą zauważył i usu-

nął Jacek Szarski [182].

(

) Wspominana już dwukrotnie książka [148] (por. przypisy 13 i 25) wymienia wśród

najważniejszych osiągnięć matematyki w roku 1935: „Schauder J., Functional analytic
approach to hyperbolic equations”, a w roku 1934: „Cacciopoli R., Schauder J., Elliptic
linear equations with H¨olderian coeﬃcients”.

A. P e l c z a r

wspomniany uprzednio, udowodnił w połowie lat trzydziestych (por. [207])
istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Darboux dla równania cząst-
kowego typu hiperbolicznego rzędu drugiego przy założeniach znacznie słab-
szych od przyjmowanych poprzednio. Franciszek Leja, który, jak to już powie-
dziano, w swej pracy doktorskiej zajął się tematyką Żorawskiego, potem zaś
stał się wybitnym specjalistą w zakresie funkcji analitycznych zespolonych,
uzyskał, przy użyciu swej niezwykle płodnej metody punktów ekstremalnych,
rezultaty dotyczące problemu Dirichleta, w tym charakteryzację punktów re-
gularnych. Był też autorem wyników o problemie Dirichleta z warunkiem
brzegowym nieciągłym; referat na ten temat wygłosił na VI Zjeździe Matema-
tyków Polskich, który odbył się w dniach 20–23 września 1948 r. w Warszawie
(por. [88], gdzie znajdują się odsyłacze do innych jego prac, w szczególności
do pracy [87], w której udowodniono zbieżność do funkcji Greena ciągów
postaci

(log |L

, gdzie L

są wielomianami Lagrange’a).

Wspomniany uprzednio Witold Pogorzelski uzyskał wiele wyników doty-

czących równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego i parabolicz-
nego stosując rezultaty z teorii równań całkowych. Między innymi rozwiązał
tzw. uogólniony problem Poincar´ego dla równania Laplace’a oraz nieliniowy
problem Hilberta dla funkcji harmonicznych.

Po drugiej wojnie światowej pracował w Krakowie Mirosław Krzyżański

(1907–1965), najpierw na Politechnice Krakowskiej (na początku były to
Wydziały Politechniczne AGH), zaś od 1 września 1952 – na Uniwersyte-
cie Jagiellońskim (

). W latach 1936–1940 uczył matematyki w gimnazjum

OO. Pijarów w Wilnie utrzymując kontakty z Uniwersytetem Stefana Ba-
torego; w roku akademickim 1938/1939 prowadził na tym Uniwersytecie
wykłady zlecone z równań różniczkowych. W roku 1934 uzyskał stypendium
Funduszu Kultury Narodowej, co umożliwiło mu studia pod kierunkiem Ju-
liusza Schaudera. Napisali wspólnie pracę [79]. Rozprawa habilitacyjna [74],
przedstawiona na Uniwersytecie Jagiellońskim w roku 1948, dotyczyła rów-
nań eliptycznych w obszarach nieograniczonych (

). W tym samym roku

(

) Profesorem zwyczajnym na UJ został 29 grudnia 1960 r.

(

) Rozwinięcie metod zastosowanych w tej pracy zawiera praca [76], w której autor

rozważa równania eliptyczne i paraboliczne w obszarach nieograniczonych. Równaniom pa-
rabolicznym w obszarze nieograniczonym poświęcona jest praca [73], opublikowana 1941 r.
w USA. Interesujące jest to, że w przypisie odsyłającym do prac Picone i Tichonowa z lat
1929 i 1935 znajduje się dodatkowe zdanie: „Cf. aussi le travail r´ecent de M. F. G. Dressel,
The fundamental solution of the parabolic equation, Duke Mathematical Journal, Tome 7
(1940), pp. 186–203. M. Krzyżański był wtedy w Wilnie i jeśli można przyjąć, że prace
przesłał albo jeszcze wtedy, gdy Wilno miało kontakty z USA (względnie Europą Zachod-
nią) albo jakimś sposobem potem, to trudno uznać, że mógł mieć dostęp w roku 1940 do
najnowszych publikacji zachodnich; może więc przytoczony dopisek jest autorstwa redakcji
lub kogoś, kto pracę przekazał (Picone?).

Krzyżański interesował się także równaniami z nieograniczonymi współczynnikami

(por. pracę [77] i wspólną z Andrzejem Szybiakiem [80]).

Równania różniczkowe w Polsce

przedstawił na VI Zjeździe Matematyków Polskich mało znaną, a ciekawą
pracę o rozwiązaniach równania parabolicznego z nieciągłym warunkiem na
charakterystyce (por. [75]). Bolesław Szaﬁrski w swym eseju [181] tak cha-
rakteryzuje działalność i wyniki Krzyżańskiego. Równania różniczkowe typu
parabolicznego i eliptycznego były główną dziedziną badań profesora Krzy-
żańskiego. Wiele prac dotyczy istnienia, jednoznaczności i zasady ekstre-
mum dla rozwiązań problemów brzegowych. W pracach tych bardzo często
pojawia się tzw. dzielnik tłumiący. Stał się on, wraz z zasadą ekstremum,
eleganckim, bo prostym i sugestywnym narzędziem do badania jednoznacz-
ności problemów brzegowych. Dzielnik tłumiący i zasada ekstremum odgry-
wają również istotną rolę w pracach na temat asymptotycznego zachowa-
nia się rozwiązań parabolicznych. Wyniki tu uzyskane pozostają w ścisłym
związku z badaniami matematyków włoskich (M. Picone), którym Mirosław
Krzyżański często składał wizyty naukowe. Zespół prac na temat rozwiązań
podstawowych równań parabolicznych wymaga szczególnej uwagi. Są w nich
zawarte metody konstrukcji, dowody twierdzeń o istnieniu, jednoznaczno-
ści rozwiązań i nieujemności rozwiązań podstawowych. Twierdzenia doty-
czą również sytuacji, kiedy współczynniki równania nie są ograniczone. Ale
przede wszystkim prace te stanowią pomost między dwiema dziedzinami ma-
tematyki: teorią równań różniczkowych i teorią prawdopodobieństwa. Chodzi
o to, że wiele procesów stochastycznych, dla których naturalnym językiem
jest teoria prawdopodobieństwa, daje się opisać i badać za pomocą rów-
nań różniczkowych o pochodnych cząstkowych typu parabolicznego. Pierwszy,
który fakt ten dostrzegł, był ﬁzyk Marian Smoluchowski, profesor Uniwer-
sytetu Jagiellońskiego (

). Z punktu widzenia procesów stochastycznych nie

każde rozwiązanie równania typu parabolicznego jest interesujące. Ale inte-
resujące są właśnie rozwiązania podstawowe tych równań. Dzięki temu prace
profesora Krzyżańskiego dotyczące rozwiązań podstawowych równań parabo-
licznych miały istotne znaczenie.

Dziełem życia Mirosława Krzyżańskiego i właściwie podsumowaniem

jego badań jest monograﬁa Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

(

) Przytoczmy za esejem Andrzeja Fulińskiego [49] kilka informacji o tym wybitnym

ﬁzyku. Marian Smoluchowski (1872–1917) studiował w Wiedniu i uzyskał doktorat w roku
1895, ze specjalnym wyróżnieniem, a następnie przebywał w Paryżu, Glasgow i Berlinie,
gdzie rozpoczął badania nad kinetyczną teorią gazów. W r. 1897 uzyskał w Wiedniu veniam
legendi, w r. 1903 został profesorem zwyczajnym na Uniwersytecie Lwowskim, w r. 1913
objął katedrę na Uniwersytecie Jagiellońskim; w latach 1916–1917 był dziekanem, tuż
przed śmiercią został wybrany rektorem UJ (ale funkcji już nie objął; w latach 1917–1918
rektorem UJ był Kazimierz Żorawski). Był zapalonym alpinistą i narciarzem. W histo-
rii ﬁzyki Marian Smoluchowski ma zapewnione miejsce jako ten, który położył zasadnicze
zasługi w dowodzeniu prawdziwości atomistycznej budowy materii /. . ./. Trzeba tu przy-
pomnieć – o czym dziś się już na ogół nie pamięta – że kiedyś „hipoteza molekularna”
wymagała dowodów i że pierwsze dowody były oparte na stworzone przez Smoluchowskiego
teorii ruchów Browna i ﬂuktuacji (cytat z [49], str. 461–462).

A. P e l c z a r

w dwóch częściach (por. [78]), z której ciągle korzystają matematycy zaj-
mujący się równaniami cząstkowymi.

6. Równania różniczkowe w trzecim ćwierćwieczu XX stulecia.

Przed skrótowym omówieniem najważniejszych wyników z tego okresu przy-
toczyć może warto pewne dane liczbowe obrazujące aktywność publikacyjną
matematyków polskich w zakresie równań różniczkowych. W pierwszych
dziesięciu tomach Annales Polonici Mathematici (

), pisma, które poświę-

cało i poświęca najwięcej miejsca szeroko rozumianej analizie, znalazło się
ogółem 279 prac, z których 110 (czyli niemal 40%) dotyczyło równań róż-
niczkowych i było napisanych przez autorów polskich. Do tych 110 prac
należy dodać takich kilka prac autorów z innych krajów, które związane
były bezpośrednio z badaniami polskimi (w tym prace doktorantów zagra-
nicznych studiujących w Polsce). Te wybrane (ale istotne, ze względu na
charakter czasopisma) dane obrazują, przynajmniej częściowo, „rozwój ilo-
ściowy” teorii równań różniczkowych w pierwszych latach drugiej połowy
XX wieku.

Omówienie najważniejszych dokonań w matematyce polskiej, w tym w za-

kresie równań różniczkowych, w latach 1951–1971 zawierają materiały [1].
W szczególności rozdział Stan i perspektywy rozwojowe matematyki opraco-
wany przez Zbigniewa Ciesielskiego zawiera opis sytuacji matematyki pol-
skiej na początku ostatniego trzydziestolecia XX wieku. Podrozdział tego
rozdziału Rozwój i osiągnięcia matematyki w Polsce w latach 1951–1971 ,
w ustępie Równania różniczkowe z teorią sterowania, ujmuje syntetycznie
to, co zrobiono w zakresie interesującej nas tematyki. Zapewne najwłaściw-
szym więc będzie posłużenie się tym materiałem poprzez wybrane cytaty.
Pozwolą one na pewnego rodzaju podsumowanie obejmujące także część
tego, co omówiono bardziej szczegółowo w paragrafach poprzednich, z od-
wołaniem się do działań i osiągnięć niektórych ze wspominanych wcześniej
matematyków.

Na wstępie stwierdza się, że: Ośrodek krakowski ma głębokie tradycje

w analizie klasycznej, na gruncie których T. Ważewski w okresie powojen-
nym stworzył szkołę równań różniczkowych. Osiągnięcia tej szkoły zaliczyć
należy do najpoważniejszych sukcesów matematyki polskiej w okresie powo-
jennym. Duże zasługi w rozwoju tej dyscypliny mają także: w Krakowie –
J. Szarski i M. Krzyżański, w Warszawie – K. Maurin i W. Pogorzelski
oraz w Lublinie – A. Bielecki.

Po kilku uwagach ogólnych przedstawiono następnie w omawianym pod-

rozdziale (

) najważniejsze osiągnięcia w dziale równań różniczkowych cząst-

(

) Tomy: I (1955), II (1955), III (1956), IV (1957–1958), V (1958–1959), VI (1959),

VII (1960), VIII (1960), IX (1960–1961), X (1961–1962).

(

) Materiały [1], str.42 i 43.

Równania różniczkowe w Polsce

kowych: A. Pliś rozwinął teorię charakterystyk oraz skonstruował nieoczeki-
wany przykład układu równań cząstkowych o gładkich współczynnikach, dla
którego problem Cauchy’ego nie ma jednoznacznego rozwiązania, W. Pogo-
rzelski rozwinął zastosowania równań całkowych do teorii równań parabo-
licznych i teorii zagadnień brzegowych funkcji analitycznych. B. Bojarski
uzyskał wyniki dotyczące równań eliptycznych dwuwymiarowych z mierzal-
nymi współczynnikami i zastosował je do odwzorowań quasi-konforemnych.
Ponadto istotny wkład w rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych
wnieśli: J. Szarski (nierówności różniczkowe paraboliczne), M. Krzyżański
(równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu), K. Maurin, H. Marcin-
kowska (metody przestrzeni Hilberta), J. Mikusiński (zastosowania rachunku
operatorowego do równań różniczkowych cząstkowych), Z. Szmydt, A. Pel-
czar, A. Lasota, J. Kisyński (równania hiperboliczne o dwóch zmiennych
niezależnych), J. Kisyński (teoria półgrup operatorów w zastosowaniu do
problemu Cauchy’ego), P. Besala (równania paraboliczne w obszarach nie-
ograniczonych), Z. Kowalski, S.Łojasiewicz (metody różnicowe), T. Bałaban
(zagadnienia mieszane dla równań hiperbolicznych), A. Piskorek, W. Żakow-
ski, J. Wolska-Bochenek (zastosowania równań całkowych w teorii równań
cząstkowych).

Omawianie równań zwyczajnych zaczęto od stwierdzenia, że: Bujny roz-

wój tego działu w Polsce jest ściśle związany ze szkołą krakowską. Najważ-
niejsze sukcesy tej szkoły, to metoda retraktowa Ważewskiego (. . .), rozwi-
nięcie teorii nierówności różniczkowych oraz liczne wyniki z zagadnień brze-
gowych. (. . .) W jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych, w ba-
daniach punktów osobliwych i przebiegu asymptotycznego rozwiązań, metoda
topologiczna T. Ważewskiego znajduje piękne zastosowanie. Wymienić tu
należy wyniki A. Bieleckiego, S. Łojasiewicza, C. Klucznego, Z. Mikołajskiej-
Mlakowej , C. Olecha, A. Pelczara, A. Plisia, Z. Szmydt, K. Tatarkiewicza,
T. Ważewskiego. Globalną asymptotyczną stabilność układów dynamicznych
w dwu i więcej wymiarach badali: C. Olech i inni. Sukcesem szkoły Wa-
żewskiego jest teoria nierówności różniczkowych (. . .). Wychodząc z prac
T. Ważewskiego teorię tę rozwijali: S. Łojasiewicz , W. Mlak, C. Olech,
Z. Opial, A. Pliś, J. Szarski. Teorię nierówności cząstkowych ujął w osob-
nej monograﬁi J. Szarski. Rezultaty typu oscylacyjnego i rezultaty dotyczące
algebraicznych własności rozwiązań uzyskali: M. Biernacki, Z. Butlewski,
A. Lasota, J. Mikusiński, Z. Opial. Wyniki z zakresu rozwiązań okresowych
i prawie okresowych (. . .) uzyskali także A. Lasota, Z. Mikołajska-Mlakowa,
C. Olech, Z. Opial. W zakresie nowych metod w problemach brzegowych dla
równań różniczkowych zwyczajnych prace prowadzili: A. Bielecki, A. La-
sota i Z. Opial. Prowadzono także badania dotyczące istnienia rozwiązań
równań różniczkowych zwyczajnych, ich jednoznaczności i zbieżności me-
tody kolejnych przybliżeń, równań różniczkowych zwyczajnych. (. . .) Zadzi-
wiający przykład równania jednoznacznego lewostronnie i niejednoznacznego

A. P e l c z a r

prawostronnie podał A. Pliś. Wyjaśniono znaczenie założenia monotonicz-
ności funkcji porównawczej pojawiającej się w twierdzeniach o jednoznacz-
ności rozwiązań i zbieżności kolejnych przybliżeń – C. Olech, A. Pliś. Inne
wyniki w tej dziedzinie uzyskali m.in. A. Bielecki, J. Kisyński, A. Lasota,
W. Mlak, T. Ważewski, S. Szuﬂa. Metody algebraiczne w teorii równań
różniczkowych zwyczajnych stosowali W. Kierat, J. Mikusiński, D. Przewor-
ska-Rolewicz (

). (. . .) T. Ważewski zainicjował badania nad metodą pola

orientorowego w teorii sterowania optymalnego i wprowadził pojęcie quasi-
trajektorii. Prace te były kontynuowane przez C. Olecha, A. Plisia, A. Tu-
rowicza. Teoria równań różniczkowych z przesuniętym argumentem była
rozwijana przez A. Bieleckiego, B. Krzyżową, Z. Mikołajską-Mlakową,
D. Przeworską-Rolewicz oraz innych matematyków środowiska warszawskie-
go, katowickiego i lubelskiego.

Omówienie teorii sterowania (

), wiążącej się ściśle z równaniami róż-

niczkowymi, rozpoczyna ogólny komentarz na temat nieznacznego ilościowo,
ale pozytywnie ocenianego w świecie, udziału w niej matematyki polskiej.
Następnie stwierdza się, że: Z uzyskanych rezultatów należy odnotować prace
C.Olecha dotyczące liniowych problemów optymalnych i związanej z nimi
teorii całkowania funkcji wielowartościowych, rezultaty C.Olecha i A.Lasoty
związane z zagadnieniami istnienia rozwiązań optymalnych. S.Rolewicz ba-
dał istnienie sterowania czasowo-optymalnego dla rodzin operatorów lino-
wych w przestrzeniach Banacha. Ponadto optymalnemu sterowaniu prace
poświęcili K. Malanowski i A. Manitius.

Zestawienia te wymagają pewnych komentarzy i uzupełnień narzucają-

cych się teraz, gdy można się wypowiadać z odleglejszego „dystansu czaso-
wego”. Trzeba przede wszystkim zwrócić uwagę na to, że dla rozwoju teo-
rii równań różniczkowych ogromne znaczenie mają podstawowe twierdzenia
Stanisława Łojasiewicza z teorii dystrybucji, a także algebraiczne podejście
przez teorię operatorów Jana Mikusińskiego. Naturalnym będzie więc zacy-
towanie w tym miejscu fragmentu przywołanych wyżej materiałów z II Kon-
gresu Nauki Polskiej [1] (str. 40): Wyniki S. Łojasiewicza, w szczególności
rozwiązanie problemu dzielenia dystrybucji przez funkcje analityczne (

zalicza się do największych indywidualnych osiągnięć matematyki w okresie
powojennym. Wypracowane przez Łojasiewicza do tego celu subtelne metody
miały daleko idące konsekwencje w teorii równań różniczkowych cząstkowych
i analizie różniczkowej oraz stanowiły punkt wyjścia do stworzenia przez
niego teorii zbiorów semi-analitycznych. Rozwinięta zostaje teoria operato-
rów J. Mikusińskiego (

) powszechnie nazywanych jego imieniem. Teoria ta

(

) Por. książkę [163].

(

) Por. [1], str. 44 i 45.

(

) Por. [94].

(

) Por. wspomnianą już monograﬁę [108]. Zwięzłe omówienie teorii Mikusińskiego

przedstawił Władysław Kierat w artykule [59].

Równania różniczkowe w Polsce

stanowi trwały wkład matematyki polskiej w naukę światową. (. . .) Na wy-
różnienie zasługuje także opracowanie podstaw teorii ciągowej dystrybucji –
P. Antosik , J. Mikusiński, R. Sikorski. Twierdzenie o dzieleniu dystrybu-
cji pozwoliło na uzyskanie twierdzeń o istnieniu rozwiązań dystrybucyjnych
wielu równań liniowych, dla których przedtem nie było metod rozwiązy-
wania, a które teraz można było rozwiązywać przy użyciu transformacji
Fouriera.

Takie syntetyczne opracowanie, z jakiego skorzystano powyżej, nie może

oczywiście podawać zbyt wielu szczegółów dotyczących np. danych biblio-
graﬁcznych. Brak miejsca nie pozwala na szerokie uzupełnianie tych da-
nych. Warto jednak dodać, że spośród wymienianych wyżej autorów naj-
ważniejszych osiągnięć, Zdzisław Opial napisał około 70 prac z zakresu
równań i nierówności różniczkowych, a także nierówności całkowych będą-
cych w ścisłym związku z teorią nierówności różniczkowych. Wspomniane
w cytowanych fragmentach opracowania [1] jego wyniki dotyczące proble-
mów brzegowych wiążą się z zagadnieniem istnienia rozwiązań okresowych
i prawie-okresowych; jako przykłady wymieńmy prace [129]–[132] dotyczące
tych tematów. Jednym z najważniejszych, spośród wielu ważnych, wyników
dotyczących równań drugiego rzędu jest twierdzenie z pracy [134] o ciągłej
zależności rozwiązań od prawej strony (w topologii L

) równania drugiego

rzędu. Frapujący przykład równania zwyczajnego y

′

= f(x, y) o prawej stro-

nie prawie okresowej ze względu na x, dla którego wszystkie rozwiązania są
ograniczone, ale żadne nie jest prawie okresowe, podał Opial w pracy [135].

Wiele prac Opiala zainspirowało innych autorów (a spektakularnym przy-

kładem jest praca [127], o której była już mowa). Trzeba koniecznie dodać, że
Zdzisław Opial był także autorem ważnych artykułów i opracowań z historii
matematyki; odnotowano tu dwie pozycje [125] i [126] (z których zresztą
korzystano przy pisaniu tego artykułu). Wnikliwe omówienie działalności
naukowej Zdzisława Opiala można znaleźć w artykule [86].

Szerszego omówienia wymagają wyniki Andrzeja Plisia. Była już mowa

(w paragraﬁe 4) o zaskakujących przykładach równań, dla których nie ma
jednoznaczności rozwiązań. Trzeba powiedzieć, że rezultaty te (oraz ich póź-
niejsze modyﬁkacje, w tym z lat 1959 i 1961, dotyczące równań eliptycznych)
były wielokrotnie cytowane w oryginalnych pracach i różnych monograﬁach,
a niektóre były referowane na słynnym seminarium Bourbaki’ego w Paryżu.
W pracy [157] skonstruowany jest przykład równania eliptycznego czwar-
tego rzędu o współczynnikach klasy C

∞

w R

, dla którego rozwiązania pro-

blemu Cauchy’ego nie są jednoznaczne oraz inny przykład takiego równa-
nia, dla którego nie istnieje rozwiązanie problemu Cauchy’ego określone na
sferze jednostkowej, a także przykłady równań na płaszczyźnie, czwartego
rzędu, eliptycznych, o współczynnikach zespolonych klasy C

∞

, dla których

problem Cauchy’ego nie ma jednoznacznego rozwiązania. Wyrazem mię-
dzynarodowego uznania dla osiągnięć Andrzeja Plisia z lat pięćdziesiątych

A. P e l c z a r

i początku lat sześćdziesiątych, było zaproszenie go do wygłoszenia referatu
na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Sztokholmie w roku 1962
(por. [158]).

Na szczególne podkreślenie zasługują osiągnięcia Czesława Olecha w teo-

rii sterowania (

Na początku lat siedemdziesiątych zintensyﬁkowano badania problemów,

w których poszukuje się rozwiązań uogólnionych (w odpowiednich przestrze-
niach Sobolewa, rozwiązań dystrybucyjnych). Prace na ten temat pisały
m.in. Hanna Marcinkowska i Zoﬁa Szmydt, które ujęły obszerne partie ma-
teriału z tej tematyki w swych świetnych książkach [95] i [197]. Dodajmy, że
równaniami w sensie „prawie wszędzie” zajął się jako chyba pierwszy w Pol-
sce Witold Wilkosz (1891–1941) w 1927 roku (por. [226]). Istotne uwagi na
temat równań o prawych stronach spełniających warunki Carath´eodory’ego
(analizując pewne warunki równoważne warunkom Carath´eodory’ego) przed-
stawił Zdzisław Opial w pracy [133].

Do informacji o badaniach Witolda Pogorzelskiego trzeba dodać, że pod-

sumowanie jego osiągnięć zawarte jest w czterotomowej monograﬁi [160],
w której przedstawione są jego główne rezultaty dotyczące równań parabo-
licznych i eliptycznych (

W roku 1962 ukazała się obszerna praca [15] N. Aronszajna, A. Krzywic-

kiego i J. Szarskiego zawierająca ważne i mocne rezultaty o przedłużalno-
ści rozwiązań pewnych równań eliptycznych na rozmaitościach Riemanna.
Autorzy nawiązali w niej do kilku wcześniejszych prac Aronszajna (por.
[11], [12]).

Jako dalsze uzupełnienie potraktujmy, właściwy tu, cytat z artykułu

Stanisława Hartmana (1914–1992) [53]: W szkole W. Pogorzelskiego uzy-
skano wiele twierdzeń o istnieniu rozwiązań problemów nieliniowych dla
równań eliptycznych, parabolicznych i równań hydrodynamiki (W. Pogorzel-
ski, H. Grużewska, A. Piskorek, J. Wolska-Bochenek i inni). Wiele prac
poświęcono teorii rozwiązań podstawowych dla równań eliptycznych i para-
bolicznych (szkoła Pogorzelskiego oraz M. Krzyżański i A. Szybiak (

)).

Uzyskano zastosowania stochastyczne równań parabolicznych (M. Krzyżań-
ski, H. Grużewska). Własnościami linii węzłów drgającej membrany zajmo-
wał się F.Barański (

Informację o wynikach Piotra Besali o równaniach cząstkowych w obsza-

rach nieograniczonych uzupełnić wypada odesłaniem do kilku przynajmniej

(

) Spośród wielu prac o podstawowym znaczeniu wymieńmy obszerny artykuł o eks-

tremalnych rozwiązaniach problemów sterowania [122].

(

) O działalności Witolda Pogorzelskiego mówi artykuł [229]; por. też np. [188].

(

) O ich wynikach w tym zakresie wspomniano przy omawianiu działalności M. Krzy-

żańskiego (por. [80]).

(

) Artykuł [53] omawia wprawdzie lata 1945–1965, ale przedstawiony cytat dotyczy

de facto lat 1950–1965.

Równania różniczkowe w Polsce

jego prac z tego zakresu [19]–[22] i uzupełnić uwagą, że interesujące wy-
niki otrzymał także dla równań z nieograniczonymi współczynnikami (por.
[23] oraz prace wspólne z D. G. Aronsonem [5], [6]). Całość dorobku Piotra
Besali omawia szczegółowo Zdzisław Kamont w artykule [56]. Wśród wyni-
ków Zbigniewa Kowalskiego przypomnieć należy m.in. rezultaty dotyczące
metod aproksymacyjnych dla pewnych równań „nie rozwiązanych względem
pochodnej”:

′

= f(x, y, y, y

′

);

por. np. [67] i [68]. Metody aproksymacyjne (różnicowe, metody siatek, me-
toda Czapłygina i inne) stosowane były do różnych problemów przez m.in.
Andrzeja Plisia, Włodzimierza Mlaka, Mariana Malca, Stanisława Brzych-
czego i wielu innych autorów.

Problemy brzegowe i istnienie rozwiązań okresowych były przedmiotami

prac wielu autorów; poza matematykami wymienionymi w opracowaniu [1]
zajmował się takimi zagadnieniami Stanisław Sędziwy, który w szczegól-
ności otrzymał istotne wyniki dotyczące rozwiązań okresowych i cykli gra-
nicznych dla równań rzędów wyższych niż jeden. Rozwiązania oscylacyjne
równań zwyczajnych badał w Poznaniu Dobiesław Bobrowski. Zbigiew Po-
lniakowski (1925–1977), który doktorat uzyskał w roku 1962 u Władysława
Orlicza, zajmował się zagadnieniami asymptotycznych własności rozwiązań
pewnych równań zwyczajnych, liniowych, rzędu drugiego i rzędów wyższych,
w związku z tzw. twierdzeniami odwrotnymi teorii sumowalności (

W pracach o równaniach cząstkowych rzędu drugiego typu hiperbolicz-

nego stosowano zarówno twierdzenie Schaudera o punktach stałych jak i me-
todę kolejnych przybliżeń w różnych wariantach; por. np. [60], [61], [62], [63],
[195], [196].

Adam Piskorek, o którego wynikach dotyczących zastosowań równań cał-

kowych do równań różniczkowych cząstkowych jest mowa w cytowanym
fragmencie opracowania [1] (

), jest autorem szeregu prac z teorii rów-

nań cząstkowych, w szczególności o równaniach parabolicznych w obszarach
niecylindrycznych.

W rozwoju teorii odwzorowań quasi-konforemnych w związku z rów-

naniami eliptycznymi miał swój udział, oprócz wspomnianego w powyżej
przytoczonym cytacie z opracowania [1] Bogdana Bojarskiego, także Tade-
usz Iwaniec (por. ich wspólną pracę [35], a także ciekawy artykuł przeglą-
dowy [36]).

(

) Omówienie dorobku naukowego Zbigniewa Polniakowskiego zawiera artykuł [137]

Władysława Orlicza.

(

) Por. książkę [149], w której są dwa rozdziały poświęcone równaniom różniczkowym

cząstkowym.

A. P e l c z a r

100

Powinno się wreszcie powiedzieć, że z perspektywy czasu wykraczają-

cego poza omawiany powyżej okres widać, iż pewne badania zapoczątko-
wane w Krakowie przez Tadeusza Ważewskiego dały impulsy owocujące na-
dal wynikami uzyskiwanymi zarówno przez bezpośrednich i pośrednich jego
uczniów, jak i przez bardzo wielu innych matematyków z ośrodków polskich
i zagranicznych. O metodzie topologicznej i jej zastosowaniach, uogólnie-
niach oraz jej konsekwencjach dla rozwoju innych metod, wymagających
kolejnych, wyższych poziomów abstrakcji (w tym metod topologii algebra-
icznej) była już mowa (

). Klasyczna metoda kolejnych przybliżeń była

intensywnie badana, rozwijana i używana w różnych wariantach przez ma-
tematyków polskich, przede wszystkim krakowskich, od samego początku
ich zainteresowania równaniami różniczkowymi. Tadeusz Ważewski uwypu-
klił pewne jej aspekty, proponując bardzo istotne modyﬁkacje klasycznych
schematów; modyﬁkacje te, rozwijane potem przez innych, służyły i służą
do uzyskiwania nowych rezultatów zarówno w teorii równań różniczkowych
zwyczajnych i cząstkowych, jak i różniczkowo-funkcyjnych i różniczkowo-
funkcjonalnych. W naturalnym związku z tą metodą były i są badania nad
warunkami gwarantującymi jednoznaczność rozwiązań problemów początko-
wych i brzegowych. Analizę pewnej klasy tych warunków przedstawił Cze-
sław Olech w pracy [121] kończąc pewien etap badań, a kilka lat później
wspólna praca Olecha i Plisia [124], o której jest implicite mowa w cytowa-
nym fragmencie opracowania [1], zamknęła właściwie cały rozdział teorii.

Pewne uzupełnienia dotyczą rezultatów, które nie mogły już być ob-

jęte materiałami II Kongresu Nauki Polskiej, gdyż zostały opublikowane
co prawda jeszcze w latach 70-tych, ale już po Kongresie. Trzeba tu wy-
mienić w szczególności rezultaty Bolesława Szaﬁrskiego z teorii turbulencji
(por. [180]). Okazały się one bardzo ważne dla zastosowań. W roku 1978
ukazała się w Kijowie książka dwóch autorów Ju. T. Borszczewskiego i S. N.
Rudina [38], której obszerna część jest oparta na tych wynikach Szaﬁrskiego
i jest poświęcona ich zastosowaniom. Powiedzieć trzeba przy tej okazji, że
równania ﬁzyki matematycznej były badane przez wielu matematyków pol-
skich. W latach sześćdziesiątych ukazały się m.in. prace Andrzeja Krzywic-
kiego o równaniu Naviera–Stokesa (por. [69], [70]).

Powinno się dodać, że równaniami cząstkowymi parabolicznymi zajmo-

wali się – poza osobami już wymienionymi – m.in. Irena Łojczyk-Królikiewicz

(

) Jako uzupełnienie bibliograﬁczne do tego co powiedziano w cytowanym wyżej

opracowaniu [1], dodajmy np. odesłanie do prac [3], [64], [65], [143], [152], [202], a także
wspomniane już prace [24]–[26]. Licząc publikacje z tego zakresu (nawet dość wąsko ro-
zumianego) trzeba już używać liczb trzycyfrowych. Wiele poważnych prac traktujących
o zastosowaniach topologii algebraicznej w równaniach różniczkowych, np. o indeksie Con-
ley’a i jego modyﬁkacjach przypomina na początku o idei Ważewskiego i deﬁnicjach po-
chodzących od niego (np. punktów wyjścia, punktów silnego wyjścia rozwiązań z danego
zbioru).

Równania różniczkowe w Polsce

101

w Krakowie, Jan Chabrowski w Katowicach (por. pracę [41] o równaniach
z nieograniczonymi współczynnikami), Włodzimierz Bodanko (1937–1970)
w Częstochowie (

) i Tadeusz Rumak w Rzeszowie, a równaniami eliptycz-

nymi Jan Bochenek w Krakowie (

). Równania cząstkowe hiperboliczne

rzędu drugiego i wyższych były badane, poza ośrodkami wymienionymi
w opracowaniu [1], w Gdańsku (por. pracę [81] Mariana Kwapisza, Bole-
sław Palczewskiego i Wacława Pawelskiego o zagadnieniu typu problemu
Darboux dla równania trzeciego rzędu). Równania różniczkowe w przestrze-
niach Banacha były badane przez matematyków krakowskich, a także przez
Stanisława Szuﬂę w Poznaniu i Jana Kisyńskiego (por. w szczególności ob-
szerną pracę [62] o operatorach Greena dla abstrakcyjnych problemów Cau-
chy’ego) oraz Kazimierza Goebla w Lublinie.

Do informacji o badaniach nad równaniami różniczkowo-funkcyjnymi,

w szczególności nad równaniami z przesuniętym argumentem, dodajmy, że
oprócz wymienionych w opracowaniu [1] ośrodków, zaczęto je prowadzić
także w Gdańsku i Zielonej Górze (

). Przypomnieć należy tutaj, że równa-

niami i nierównościami różniczkowo-funkcyjnymi i różniczkowo-funkcjonal-
nymi zajmował się Jacek Szarski; była o tym mowa przy omawianiu szkoły
Tadeusza Ważewskiego. Zoﬁa Mikołajska-Mlakowa otrzymała wyniki doty-
czące rozwiązań okresowych równań z opóźnieniem (np. [103]) oraz, stosując
metodę topologiczną Ważewskiego, twierdzenia o „asymptotycznej równo-
ważności” rozwiązań równań z opóźnieniem różniących się „o małą pertur-
bację” (por. [104]).

Trzeba też dodać, że na początku lat siedemdziesiątych z powodzeniem

zastosowano w Krakowie metodę Ważewskiego w teorii równań różniczko-
wych cząstkowych rzędu pierwszego uzyskując analogon klasycznego twier-
dzenia retraktowego. Podjęto też w Krakowie badania nad ogólną teorią
stabilności dla topologicznych układów dynamicznych (których teoria wyra-
sta w naturalny sposób z jakościowej teorii równań różniczkowych) oraz ich
uogólnień, uzyskując m.in. twierdzenia charakteryzujące pewne własności
stabilności przy pomocy uogólnionych funkcji Lapunowa.

Gładkim układom dynamicznym poświęcił większość swych prac i opu-

blikowaną w roku 1982 książkę Wiesław Szlenk (1935–1995), który swą ka-
rierę naukową związał z Uniwersytetem Warszawskim (

(

) Do interesującej pracy [34] W. Bodanki nawiązują autorzy pracy [6].

(

) Pewne specjalne równania eliptyczne badali w Krakowie m.in. także Feliks Ba-

rański i Jan Musiałek.

(

) Prowadzili je m.in. wspomniany już poprzednio Marian Kwapisz i Bolesław Pal-

czewski, a potem Zdzisław Kamont i Jan Turo w Gdańsku, Michał Kisielewicz w Zielonej
Górze oraz – poza wymienionymi w [1] – Włodzimierz Mlak, Józef Myjak i Zdzisław Den-
kowski w Krakowie, a także Kazimierz Zima, Tadeusz Dłotko i Jan Błaż w Katowicach.
Podsumowaniem ważnego nurtu badań z tego zakresu jest książka [55].

(

) O Wiesławie Szlenku napisał Tomasz Nowicki [119].

A. P e l c z a r

102

W nurcie badań nad metodami algebraicznymi znalazły się prace Ry-

szarda Bittnera (1927–1998), o którego działalności mówi artykuł [100].

Dla teorii równań różniczkowych ogromne znaczenie mają twierdzenia

o punktach stałych. Wiele z tych twierdzeń pojawiło się właśnie z inspiracji
pochodzących od równań różniczkowych i całkowych. Nie ma tu miejsca
na szerokie ich omawianie. Właściwe natomiast wydaje się wspomnienie
o publikacjach podsumowujących pewne nurty badawcze z tego zakresu; są
nimi w szczególności książki Jamesa Dugundji’ego i Andrzeja Granasa [48],
Kazimierza Goebla i Williama Kirka [50] oraz Lecha Górniewicza [51].

Kończąc omawianie polskiej historii równań różniczkowych na mniej wię-

cej połowie lat siedemdziesiątych (co podyktowane jest zarówno brakiem
miejsca na to, by omówić ostatnie ćwierćwiecze XX stulecia, jak i tym, że
do tego, aby w sposób bezdyskusyjny wybrać i właściwie ocenić najważ-
niejsze wyniki tego okresu i przedstawić je w sposób kompletny powinno
się mieć możliwość ich oglądu z nieco większego dystansu czasowego), pra-
gnę tylko wspomnieć o tym, że do historii, niestety przedwcześnie zakoń-
czonej, przeszły rezultaty kilku matematyków działających w ostatnich la-
tach, którzy mieli już na swym koncie ważne wyniki, a przed sobą świetną
przyszłość. Bogdan Ziemian (1953–1997) zajmował się zaawansowanymi teo-
riami problemów dotyczących równań różniczkowych m.in. w związku z teo-
rią uogólnionych funkcji analitycznych. Jego osiągnięcia są wielkiej warto-
ści i zyskały mu międzynarodowe uznanie (

). Pewnym podsumowaniem

znacznej części wyników jego badań jest rozprawa [248]. Marcin Poźniak
(1963–1996) uzyskał subtelne rezultaty dotyczące zastosowań metod topo-
logii algebraicznej w układach dynamicznych, a Konstanty Holly (1954–
1998) miał ważkie wyniki z zakresu równań różniczkowych ﬁzyki mate-
matycznej.

7. Kilka uzupełnień i próba krótkiego podsumowania.

Teoria

równań różniczkowych obejmuje zagadnienia bardzo różne, na wielu „po-
ziomach abstrakcji” i stopniach ogólności. Ogromna część tematyki tej teo-
rii czerpie impulsy z problemów ﬁzycznych, przyrodniczych i technicznych.
Ogromna także część jej rezultatów ma bezpośrednie lub pośrednie zasto-
sowania; służy do opisu szeroko rozumianych zjawisk przyrody. Zwracali-
śmy już na to uwagę przy omawianiu m.in. prac Stanisława Zaremby, Wi-
tolda Pogorzelskiego czy Leona Lichtensteina (

). Dla kompletności obrazu

(

) Obszerne omówienie dorobku Bogdana Ziemiana znajduje się w artykule Zoﬁi

Szmydt [198].

(

) Także inni wybitni matematycy, o których była mowa wyżej, interesowali się

bezpośrednimi zastosowaniami równań różniczkowych; np. Stanisław Gołąb i Jacek Szarski
zajmowali się pewnymi równaniami całkowo-różniczkowymi opisującymi ruch materiałów
sypkich (szczegółowe referencje można znaleźć w [145]).

Równania różniczkowe w Polsce

103

powinno się jednak dodać informacje o wielu innych pracach z zastosowań
równań różniczkowych, włączając w to także niektóre prace typowo apli-
kacyjne, w tym, w szczególności inżynierskie, jak również podać, choćby
fragmentarycznie, bibliograﬁę prac ściśle matematycznych, których auto-
rami byli np. inżynierowie. Rozsadziłoby to jednak ramy tego artykułu
(i przekraczałoby zapewne kompetencje autora). Ograniczę się więc tylko
do przypomnienia, że spośród zajmujących się technicznymi zastosowaniami
równań różniczkowych Marek Burnat jest autorem prac z równań cząstko-
wych, a Stefan Drobot (1913–1998), który był zarówno matematykiem jak
i inżynierem, napisał nie tylko wiele prac technicznych, ale także, wspól-
nie z Janem Mikusińskim, prace o jednoznaczności rozwiązań równań róż-
niczkowych (w związku z teorią operatorów Mikusińskiego; por. [46], [47]).
Był także Drobot autorem prac z historii matematyki, np. o Janie Śniadec-
kim. Napisał również (por. [45]) o Maksymilianie Tytusie Huberze (1872–
1950), znanym inżynierze mechaniku, którego działalność naukowa była
związana z zastosowaniami równań różniczkowych (

). Trwały ślad w pol-

skiej (a chyba i nie tylko polskiej) historii zastosowań równań różniczko-
wych zostawił Witold Wolibner (1902–1961). Zajmował się m.in. hydro-
dynamiką. Na szczególną uwagę zasługuje praca [227] z roku 1937, doty-
cząca właśnie tej tematyki. Podane jest w niej – jak piszą A. Krzywicki
i J. Zamorski w artykule [71] – pozytywne rozwiązanie zagadnienia istnie-
nia dla nieskończenie długiego czasu rozwiązania równań opisujących ruch
płaski cieczy doskonałej , zapełniającej dowolny stały obszar przy dowolnym
lokalnie całkowalnym rozkładzie początkowym wiru. Jest to pierwszy nielo-
kalny wynik w przypadku tak skomplikowanych równań nieliniowych jak rów-
nania hydrodynamiki, którym poświęcono tyle prac – w pierwszym rzędzie
wymienić należy liczne prace Leona Lichtensteina – a które nie posuwały
się poza dowody istnienia lokalnego rozwiązań. Tego rodzaju wynik należy
uważać za wielki sukces, jeśli weźmie się pod uwagę, że nie dysponowano
wówczas takimi narzędziami jak metody topologiczne Leraya–Schaudera, po-
wstałe w roku następnym. Omawiana praca z innego jeszcze względu za-
sługuje na uwagę. Jeśli porównamy ją z ówczesnymi pracami innych au-
torów, traktującymi podobny temat, uderzyć nas musi jej nasycenie tre-
ścią hydrodynamiczną; kolejne lematy wyrażają własności: rozkładu wirów,
prędkości lub przemieszczeń cząstek cieczy. Po przerwie wojennej Wolib-
ner wraca do pracy naukowej zaczynając w r. 1947 pracę na Uniwersy-
tecie Wrocławskim; z tego okresu pochodzi m.in. kolejna praca z zakresu
hydrodynamiki [228]. Wolibner zajął się też odtworzeniem pewnych wyni-
ków Lichtensteina z hydrodynamiki, które nie zostały opublikowane przez
autora.

(

) Artykuł o Stefanie Drobocie napisali Wacław Kasprzak i Rościsław Rabczuk [57].

A. P e l c z a r

104

Po tych uzupełnieniach spróbujmy przedstawić bardzo krótkie podsumo-

wanie sprowadzające się do przypomnienia wybranych nurtów badawczych
w zakresie równań różniczkowych uprawianych w Polsce. Początek twór-
czego udziału matematyki polskiej w rozwoju teorii równań różniczkowych
odnieść trzeba do działalności Kazimierza Paulina Żorawskiego i Stanisława
Zaremby. Można chyba powiedzieć, że ich działalność od razu zarysowała
dwa najważniejsze nurty badawcze: jakościowej teorii równań zwyczajnych
(mającej swe odniesienia do prac Żorawskiego stosującego idee Liego) oraz
teorii równań różniczkowych cząstkowych, w szczególności równań drugiego
rzędu (ze znaczącymi w skali międzynarodowej wynikami Zaremby, co przed-
stawiono dość szczegółowo wyżej). Doszedł do tego potem jeszcze nurt badań
nad równaniami cząstkowymi rzędu pierwszego (rozpoczęty przez Tadeusza
Ważewskiego, którego wyniki weszły na stałe do literatury; potem ważny
wkład wniósł Andrzej Pliś). Nurt jakościowy rozwinięty w Krakowie zaowo-
cował przede wszystkim klasycznymi wynikami Ważewskiego (metoda topo-
logiczna Ważewskiego, twierdzenie retraktowe, a także „efekty naskórkowe”)
i przyczynił się do rozwoju badań oraz osiągnięcia istotnych rezultatów w za-
kresie teorii optymalnego sterowania. Dalszy rozwój tego nurtu przyniósł
wyniki dotyczące rozwiązań okresowych i prawie okresowych oraz proble-
mów brzegowych dla równań zwyczajnych, a także istotne rezultaty z teorii
stabilności i pokrewnych zagadnień dotyczących nie tylko równań różniczko-
wych, ale i ogólnych układów dynamicznych. Po upływie kilku dekad od po-
wstania metod topologicznych Ważewskiego, jego idee powróciły w postaci
wyraﬁnowanych metod topologii algebraicznej. Dodajmy tu, że matematyka
polska może się poszczycić podstawowym wkładem w rozwój teorii nierów-
ności różniczkowych (przypomnijmy monograﬁę Jacka Szarskiego); rezulta-
tów z tego zakresu używano do badań nad jednoznacznością rozwiązań oraz
zbieżnością metod kolejnych przybliżeń.

Nurt badań nad równaniami cząstkowymi rzędu drugiego objął w szcze-

gólności podstawowe zagadnienia problemu Dirichleta (wyniki Zaremby)
oraz inne zagadnienia dotyczące równań eliptycznych i parabolicznych, zwią-
zanych w znacznej mierze (ale nie tylko) z tzw. ﬁzyką matematyczną (por.
w szczególności prace Wacława Pogorzelskiego i Mirosława Krzyżańskiego).
Uzyskano też istotne wyniki z zakresu równań hiperbolicznych.

Szerzej nieco o tym, co zrobiono po roku 1950, mówi cytowane w po-

przednim ustępie syntetyczne opracowanie [1].

Trzeba też przypomnieć o wynikach dotyczących równań różniczkowych

w przestrzeniach Banacha oraz badaniach różnego typu rozwiązań uogól-
nionych, a także o algebraicznych podejściach do teorii równań różniczko-
wych, z których najważniejsze, stanowiące już teraz klasyczną teorię, zostało
zaproponowane przez Jana Mikusińskiego. Niejako „specjalnością” krakow-
ską stały się frapujące przykłady czy też „kontr-przykłady” (przypomnijmy
przykłady Stanisława Zaremby i Andrzeja Plisia).

Równania różniczkowe w Polsce

105

Należy pamiętać o tym, że podstawowe znaczenie dla rozwoju teorii rów-

nań różniczkowych miały i mają twierdzenia o punktach stałych (Stefana
Banacha i Juliusza Schaudera), a także – w odniesieniu do równań liniowych
w sensie dystrybucyjnym – twierdzenie o dzieleniu dystrybucji (Stanisława
Łojasiewicza). Mówiąc o historii równań różniczkowych trzeba koniecznie
o tym przypomnieć.

Poruszony na początku ustępu wątek zastosowań i związków z „prak-

tyką” skłania do stwierdzenia, że teoria równań różniczkowych dostarcza
dobrych argumentów tym, którzy skłonni są mówić o „matematycznym
uporządkowaniu świata”. Dlatego też na zakończenie przytoczmy charak-
terystyczne wyjątki z wypowiedzi dwóch matematyków z różnych epok.

Jan Brożek (1585–1652), wybitny matematyk i astronom krakowski:

„Zgoła kto pokornie wszystkie rzeczy upatruje, musi to przyznać, że rząd
tego świata dziwnym i mądrym porządkiem idzie, a gdzie ordo, tam musi
być wszystko pod liczbą, pod miarą i pod wagą, a to wszystko ﬁlozofowie
jednym słowem geometrią zwali i rachunek w niej zamykając”.

I trzysta lat później Tadeusz Ważewski: „(. . .) cała przyroda ma oblicze

matematyczne. Bez matematyki nie można by dokładnie ująć ilościowo praw
przyrody. Szybki rozwój techniki datuje się dopiero od chwili wynalazku ra-
chunku różniczkowego i całkowego (. . .) Potrzeby ﬁzyki i techniki wysuwają
ustawicznie zagadnienia, do których rozwiązania potrzeba nowych środków
matematycznych. Znalezienie tych środków jest zadaniem matematyków”.

Z zadania tego dobrze wywiązywali się matematycy, o których była mowa

w tym artykule.

Opracowanie niniejsze oparte jest w znacznym stopniu na artykule autora Polska hi-

storia równań różniczkowych, który ukaże się w Sprawozdaniach Komisji Historii PAU;
pewne partie wspomnianego artykułu są „wchłonięte” tutaj bez zmian (co dzieje się za
wiedzą i zgodą Redakcji tych Sprawozdań), inne zostały dość znacznie zmienione i po-
szerzone. Wykorzystano też maszynopis autora „Polska historia równań różniczkowych
zwyczajnych i równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu” oraz artykuły [144]–
[147], a także artykuł Matematyka w Polsce u początków PTM (i nieco wcześniej ) ogło-
szonym w Wiadomościach Matematycznych, 31 (1996), str. 138–115. Oprócz literatury
cytowanej tutaj explicite, korzystano z literatury cytowanej w przywołanych pracach,
a także z opracowań [125], [126], [188], [225], rezygnując z odsyłaczy wtedy, gdy cho-
dziło o drobne szczegóły lub sprawy powszechnie znane. Dane biograﬁczne konfrontowano
z cennym słownikiem Uczeni polscy XIX–XX stulecia autorstwa Andrzeja Śródki (wyd.
Arles, t. I–IV, Warszawa, 1994, 1995, 1997, 1998). Autor dziękuje profesorowi Janowi
Rychlewskiemu za zwrócenie uwagi na omówienie prac S. Zaremby w książce [203], pro-
fesorowi Andrzejowi Krzywickiemu za kilka cennych sugestii, które ulepszyły powyższy
tekst, a inżynierowi Michałowi Kurdzielowi z Mielca za pomoc w dotarciu do źródeł ar-
chiwalnych, które pozwoliły na weryﬁkacje pewnych danych biograﬁcznych. Szczególne
podziękowania kieruje autor pod adresem profesora Romana Dudy za wnikliwe uwagi re-
dakcyjne oraz ostry ołówek korektorski i poprawienie wielu błędów literowych w tekście
autorskim.

A. P e l c z a r

106

Bibliografia

[1] II Kongres Nauki Polskiej , Materiały Kongresowe, Sekcja I Nauk Matematycznych,

Warszawa, czerwiec 1973.

[2] R. P. A g a r w a l, P. Y. H. P a n g, Opial Inequalities with Applications in Diﬀer-

ential and Diﬀerence Equations, Kluwer, Dordrecht–Boston–London, 1995.

[3] F. A l b r e c h t, Remarque sur un th´eor`eme de T. Ważewski relatif a l’allure asymp-

totique des int´egrales des ´equations diﬀ´erentielles, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III
2 (1954), 315–318.

[4] A. A l e x i e w i c z, W. O r l i c z, Some remarks on the existence and uniqueness

of solution of the hyperbolic equation

∂

∂x∂y

= f

x, y, z,

∂z

∂x

∂z
∂y

, Studia Math. 15

(1956), 201–215.

[5] D. G. A r o n s o n, P. B e s a l a, Parabolic equations with unbounded coeﬃcients,

J. Diﬀerential Equations 3 (1967), 1–14.

[6] D. G. A r o n s o n, P. B e s a l a, Uniqueness of positive solutions of parabolic equa-

tions with unbounded coeﬃcients, Colloq. Math. 18 (1967), 125–135.

[7] N. A r o n s z a j n, La th´eorie des noyaux reproduisants et ses applications I , Proc.

Cambridge Philos. Soc. 39 (1943), 133–154.

[8] N. A r o n s z a j n, Reproducing and pseudo-reproducing kernels and their application

to partial diﬀerential equations of physics, Studies in Partial Diﬀerential Equations,
Harvard University Graduate School of Engineering, Cambridge, Techn. Report 5
(1948).

[9] N. A r o n s z a j n, Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc. 68 (1950),

337–404.

[10] N. A r o n s z a j n, Green’s functions and reproducing kernels, Proc. of the Sympo-

sium on Spectral Theory and Diﬀerential Problems, Oklahoma, A. and M. College,
Stillwater, Oklahoma (1951), 355–411.

[11] N. A r o n s z a j n, Sur l’unicit´e du prolongement des solutions des ´equations aux

d´eriv´ees partielles elliptiques du second ordre, C. R. Acad. Sci. Paris 242 (1956),
723–725.

[12] N. A r o n s z a j n, A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial

diﬀerential equations or inequalities of second order, J. Math. Pures Appl. 36 (1957),
235–249.

[13] N. A r o n s z a j n, On a problem of Hermann Weyl in the theory of singular Sturm–

Liouville equation, Amer. J. Math. 79 (1957), 611–622.

[14] N. A r o n s z a j n, R. D. B r o w n, Finite dimensional perturbations of spectral

problems and variational approximation methods for eigenvalue problems I ; Finite
dimensional Perturbations, Studia Math. 36 (1970), 1–76.

[15] N. A r o n s z a j n, A. K r z y w i c k i, J. S z a r s k i, A unique continuation theo-

rem for exterior diﬀerential forms on Riemannian manifolds, Ark. Mat. 4 (34) (1962),
417–453.

[16] N. A r o n s z t a j n, A. W e i n s t e i n, Sur la convergence d’un proc´ed´e variation-

nel d’approximation dans la theorie des plaques encastr´ees, C. R. Acad. Sci. Paris 204
(1937), 96–98.

[17] S. B a n a c h, Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leurs applications

aux ´equations int´egrales, Fund. Math. 3 (1922), 133–181.

Równania różniczkowe w Polsce

107

[18] S. N. B e r n s t e i n, Sur la nature analytique des solutions de certaines ´equations

aux d´eriv´ees partielles du second ordre, Math. Ann. 59 (1904), 20–76.

[19] P. B e s a l a, On solution of Fourier’s ﬁrst problem for a system of nonlinear

parabolic equations in an unbounded domain, Ann. Polon. Math. 13 (1963), 247–
265.

[20] P. B e s a l a, On solutions of ﬁrst order partial diﬀerential equations deﬁned in an

unbounded zone, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 12 (1964),
95–99.

[21] P. B e s a l a, Limitations of solutions of non-linear parabolic equations in unbounded

domains, Ann. Polon. Math. 17 (1965), 25–47.

[22] P. B e s a l a, On partial diﬀerential inequalities of the ﬁrst order, Ann. Polon. Math.

25 (1971), 145–148.

[23] P. B e s a l a, On the existence of a fundamental solution for a parabolic diﬀerential

equation with unbounded coeﬃcients, Ann. Polon. Math. 29 (1975), 403–409.

[24] A. B i e l e c k i, Sur certaines conditions n´ecessaires et suﬃsantes pour l’unicit´e des

solutions des systemes d’´equations au paratingent, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska
Sect. A 2 (1948), 49–106.

[25] A. B i e l e c k i, Extension de la m´ethode du r´etracte de T. Ważewski aux ´equations

au paratingent, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 9 (1955), 37–61.

[26] A. B i e l e c k i, Certaines propri´et´es topologiques des ´equations au paratingent, Ann.

Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 9 (1955), 63–79.

[27] A. B i e l e c k i, Równania różniczkowe zwyczajne i pewne ich uogólnienia, skrypt

PAN, Warszawa 1961.

[28] A. B i e l e c k i, Une remarque sur la m´ethode de Banach–Cacciopoli–Tikhonov dans

la th´eorie des ´equations diﬀ´erentielles ordinaires, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III
4 (1956), 261–264.

[29] A. B i e l e c k i, Sur les travaux de Mieczysław Biernacki de la th´eorie des ´equations

diﬀ´erentielles, Colloq. Math. 9 (1962), 372–377.

[30] M. B i e r n a c k i, Sur un probl`eme d’interpolation relatif aux ´equations diﬀ´eren-

tielles lin´eaires, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 164–214.

[31] M. B i e r n a c k i, Sur l’´equation diﬀ´erentielle x

′′

+ A(t)x = 0, Prace Mat.-Fiz. 40

(1933), 163–171.

[32] M. B i e r n a c k i, Sur l’´equation diﬀ´erentielle y

(4)

+ A(x)y = 0, Ann. Univ.

M. Curie-Skłodowska Sect. A 6 (1953), 65–78.

[33] D. B o b r o w s k i, Zygmunt Butlewski (1907–1980), Wiadom. Mat. 25 (2) (1984),

243–245.

[34] W. B o d a n k o, Sur le probl`eme de Cauchy et les probl`emes de Fourier pour les

´equations paraboliques dans un domaine non born´e, Ann. Polon. Math. 18 (1966),
79–94.

[35] B. B o j a r s k i, T. I w a n i e c, Quasiconformal mappings and non-linear elliptic

equations in two variables I , II , Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom.
Phys. 22 (1974), 473–478, 479–484.

[36] B. B o j a r s k i, T. I w a n i e c, Problemy analitycznej teorii odwzorowań quasikon-

foremnych, Wiadom. Mat. 23 (1981), 145–160.

[37] K. B o r s u k, Theory of Retracts, Monograf. Mat. 44, PWN, Warszawa 1967.
[38] Ju. T. B o r s z c z e w s k i j, S. N. R u d i n, Uprawlenije turbulentnym pogranicz-

nym słojem, Kijew 1978.

[39] G. B o u l i g a n d, Fonctions harmoniques. Principes de Picard et Dirichlet, Memo-

rial de Sciences Math´ematiques, Paris, fasc. XI, Gauthier-Villars, 1926.

A. P e l c z a r

108

[40] Z. B u t l e w s k i, Sur les int´egrales d’un syst`eme d’´equations diﬀ´erentielles, Ann.

Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 4 (1950), 73–104.

[41] J. C h a b r o w s k i, Sur la construction de la solution fondamentale de l’´equation

parabolique aux coeﬃcients non born´es, Colloq. Math. 21 (1970), 141–148.

[42] W. K. C l i f f o r d, Contribution to stability theory, Proc. London Math. Soc. 2

(1868), 60–61.

[43] A. D e r k o w s k a, Otton Marcin Nikodym (1889–1974), Wiadom. Mat. 25 (1)

(1983), 75–83.

[44] J. D i a n n i, A. W a c h u ł k a, Tysiąc lat polskiej myśli matematycznej , PZWS,

Warszawa 1963.

[45] S. D r o b o t, L’oeuvre scientiﬁque de M. T. Huber (4.I.1872–9.XII.1950), Colloq.

Math. 3 (1955), 62–72.

[46] S. D r o b o t, J. M i k u s i ń s k i, Sur l’unicit´e des solutions des quelsques ´equations

diﬀ´erentielles dans les espaces abstraits, II , Studia Math. 11 (1949), 38–40.

[47] S. D r o b o t, J. M i k u s i ń s k i, Sur l’unicit´e des solutions des quelques equations

diﬀ´erentiells, Transactions of the common 3

Congress of the Czechoslovak Mathe-

matical Society and 7

Congress of the Polish Mathematicians in Prague (1949),

183–184.

[48] J. D u g u n d j i, A. G r a n a s, Fixed Point Theory, vol. I , Monograf. Mat. 61,

PWN, Warszawa 1982.

[49] A. F u l i ń s k i, Marian Smoluchowski (1872–1917), [w:] Wydział Matematyki i Fi-

zyki, Złota Księga, 600-lecie Odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000, 457–
465.

[50] K. G o e b e l, W. A. K i r k, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wyd.

UMCS, Lublin 1999 [wyd. ang. Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge
1990].

[51] L. G ó r n i e w i c z, Topological ﬁxed point theory of multivalued mappings, Kluwer

Academic Press, Dodrecht–Boston–London, 1999.

[52] A. H a a r, ¨

Uber Eindeutigkeit und Analyzit¨at der L¨osungen partieller Diﬀerential-

gleichungen, Atti del Congresso internazionale dei matematici, Bologna 1928, vol. III,
str. 5.

[53] S. H a r t m a n, Osiągnięcia naukowe XX-lecia w zakresie matematyki, Wiadom.

Mat. 8 (1965), 1–21.

[54] E. H ¨o l d e r, Działalność naukowa Leona Lichtensteina (z okazji setnej rocznicy

urodzin), Wiadom. Mat. 24 (1982), 187–202.

[55] Z. K a m o n t, Hyperbolic Functional Diﬀerential Inequalities and Applications,

Kluwer Academic Press, 1999.

[56] Z. K a m o n t, Równania różniczkowe paraboliczne w pracach Profesora Piotra Be-

sali, Wiadom. Mat. 35 (1999), 55–80.

[57] W. K a s p r z a k, R. R a b c z u k, Stefan Drobot (1913–1998), [w:] Z żałobnej

karty, Wiadom. Mat. 35 (1999), 212–216.

[58] S. K ę p i ń s k i, Podręcznik równań różniczkowych ze szczególnym uwzględnieniem

potrzeb techników i ﬁzyków; cz. I. Równania różniczkowe zwyczajne, cz. II. Równania
różniczkowe cząstkowe, Lwów 1907.

[59] W. K i e r a t, O algebraicznej teorii Mikusińskiego równań różniczkowych, Wiadom.

Mat. 28 (1988), 52–56.

[60] J. K i s y ń s k i, Sur l’existence et l’unicit´e des solutions des probl`emes classiques

relatifs `a l’´equation s = F (x, y, z, p, q), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
11 (1957), 74–112.

Równania różniczkowe w Polsce

109

[61] J. K i s y ń s k i, Sur la convergence des approximations successives pour l’´equation

∂

∂x∂y

= f

x, y, z,

∂z
∂x

∂x
∂y

, Ann. Polon. Math. 7 (1960), 233–240.

[62] J. K i s y ń s k i, Sur les op´erateurs de Green des probl`emes de Cauchy abstraits,

Studia Math. 23 (1964), 285–328.

[63] J. K i s y ń s k i, A. P e l c z a r, Comparison of solutions and successive approxi-

mations in the theory of the equation ∂

z/∂x∂y = f (x, y, z, ∂z/∂x, ∂z/∂y), Disserta-

tiones Math. 76 (1970), 3–74.

[64] C. K l u c z n y, Sur certaines families de courbes en relation avec la th´eorie des

´equations diﬀ´erentielles ordinaires. I , Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
15 (1960), 13–40.

[65] C. K l u c z n y, Sur certaines familles de courbes en relation avec la th´eorie des

´equations diﬀ´erentielles ordinaires. II , Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A
16 (1961), 5–18.

[66] A. N. K o l m o g o r o v, A. P. Y u s h k e v i c h [red.], Mathematics of the 19th

Century. Constructive Function Theory. Ordinary Diﬀerential Equations. Calculus of
Variations. Theory of Diﬀerences, Birkh¨auser, Basel–Boston–Berlin, 1998; tłumacze-
nie z języka rosyjskiego – Roger Cooke {część 2 autorstwa N. I. Simonowa i S. S.
Demidowa}.

[67] Z. K o w a l s k i, A diﬀerence method of solving the diﬀerential equation y

′

h(x, y, y, y

′

), Ann. Polon. Math. 16 (1966), 121–148.

[68] Z. K o w a l s k i, The polygonal method of solving the diﬀerential equation y

′

f (x, y, y, y

′

), Ann. Polon. Math. 19 (1967), 173–204.

[69] A. K r z y w i c k i, On a new ﬁnite-diﬀerence scheme for the Navier–Stokes equation,

Bull.Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 15 (1967), 385–388.

[70] A. K r z y w i c k i, O. A. Ł a d y ż e n s k a j a, Mietod sietok dla niestacjonarnych

urawnienij Navier–Stokesa, Trudy Mat. Inst. im. W. A. Stiekłowa 92 (1962), 93–99.

[71] A. K r z y w i c k i, J. Z a m o r s k i, Witold Wolibner, 1902–1961 , Wiadom. Mat.

6 (1962), 1–6.

[72] J. K r z y ż, Mieczysław Biernacki 26.III.1891–21.IX.1959 , Wiadom. Mat. 5 (1962),

1–14.

[73] M. K r z y ż a ń s k i, Sur les solutions des ´equations du type parabolique d´etermin´ees

dans une r´egion illimit´ee, Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 911–915.

[74] M. K r z y ż a ń s k i, Sur le probl`eme de Dirichlet pour l’´equation lin´eaire du type

elliptique dans un domaine non born´e, Atti Acad. Naz. Lincei 4 (1948), 408–416.

[75] M. K r z y ż a ń s k i, Sur les solutions de l’´equation aux d´eriv´ees partielles du type pa-

rabolique, discontinues sur la caract´eristique, VI Zjazd Matematyków Polskich, War-
szawa 20–23.IX.1948, Dodatek do Rocznika Polskiego Towarzystwa Matematycznego,
tom XXII, Kraków 1950, 48–49.

[76] M. K r z y ż a ń s k i, Sur le second probl`eme aux limites pour les ´equations lin´eaires

aux deriv´ees partielles du type elliptique et parabolique dans un domaine born´e, Ann.
Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 5 (1951), 1–21.

[77] M. K r z y ż a ń s k i, Evaluation des solutions de l’´equation lin´eaire du type para-

bolique `a coeﬃcients non born´es, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom.
Phys. 11 (1962), 253–260.

[78] M. K r z y ż a ń s k i, Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego, cz. I , Biblio-

teka Matematyczna tom 15, PWN, Warszawa 1957, cz. II , Biblioteka Matematyczna
tom 21, PWN, Warszawa 1962.

[79] M. K r z y ż a ń s k i, J. S c h a u d e r, Quasilineare Diﬀerentialgleichungen zweiter

Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randweraufgaben, Studia Math. 6
(1936), 162–189.

A. P e l c z a r

110

[80] M. K r z y ż a ń s k i, A. S z y b i a k, Construction et l’´etude de la solution fonda-

mentale de l’´equation lin´eaire parabolique dont le dernier coeﬃcient est non born´e,
Atti. Acad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 8 (1959), 1–10.

[81] M. K w a p i s z, B. P a l c z e w s k i, W. P a w e l s k i, Sur l’existence et l’unicit´e

des solutions de certaines ´equations diﬀ´erentielles du type u

xyz

= f(x, y, z, u, u

, u

), Ann. Polon. Math. 11 (1961), 75–106.

[82] Księga Pamiątkowa Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego, Lwów, 7–10.IX.

1927 , Dodatek do „Annales de la Soci´et´e Polonaise de Math´ematique”, Kraków,
1929.

[83] A. M. L a p u n o w, Obszczaja zadacza ob ustoicziwosti dwiżenia, Charkiw 1892;

Probl`eme g´eneral de la stabilit´e de mouvement, Ann. Math. Stud. 17, Princeton Univ.
Press, Princeton 1927 [przedruk wydania tłumaczenia francuskiego].

[84] A. L a s o t a, Sur une g´en´eralisation du premier th´eor`eme de Fredholm, Bull. Acad.

Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 11 (1963), 89–94.

[85] A. L a s o t a, Une g´en´eralisation de premier th´eor`eme de Fredholm et ses appli-

cations `a la th´eorie des ´equations diﬀ´erentielles ordinaires, Ann. Polon. Math. 18
(1966), 65–77.

[86] A. L a s o t a, C. O l e c h, Zdzisław Opial – a mathematician, 1930–1974 , Ann.

Polon. Math. 51 (1990), 7–20.

[87] F. L e j a, Sur les suites de polynˆomes, les ensembles ferm´es et la fonction de Green,

Ann. Soc. Polon. Math. 12 (1933), Kraków 1934, 57–71.

[88] F. L e j a, O problemie Dirichleta przy obłożeniu nieciągłym, VI Zjazd Matematy-

ków Polskich, Warszawa 20–23.IX.1948, Dodatek do Rocznika Polskiego Towarzystwa
Matematycznego Tom XII, Kraków 1950.

[89] J. L e r a y, J. S c h a u d e r, Topologie et ´equations fonctionnelles, Ann. Sci. ´

Ecole

Norm. Sup. 51 (1934), 45–78.

[90] L. L i c h t e n s t e i n, ¨

Uber den analytischen Charakter der L¨osungen regul¨arer zwei-

dimensionaler Variationspprobleme, Bull. Int´ernat. Acad. Polon. Sci. Cracovie (1913),
915–941.

[91] L. L i c h t e n s t e i n, ¨

Uber einige Existenzprobleme der Variationsrechnung. Me-

thode der unendlichviele Variablen, J. Reine Angew. Math. 145 (1915), 24–85.

[92] L. L i c h t e n s t e i n, Vorlesungen ¨uber einige Klasse nichtlinearen Intergralglei-

chungen und Integro-Diﬀerentialgleichungen nebst Anwendungen, Julius Springer,
Berlin 1931.

[93] L. L i c h t e n s t e i n, Neuere Entwicklung der Theorie partieller Diﬀerentialglei-

chungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, [w:] Encyklopedie der mathemati-
schen Wissenschaften, II C 12, B. G. Teubner, Leipzig 1924, 1277–1334.

[94] S. Ł o j a s i e w i c z, Sur le probl`eme de la division, Rozprawy Mat. 22 (1961).
[95] H. M a r c i n k o w s k a, Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, Biblio-

teka Matematyczna, tom 43, PWN, Warszawa 1972.

[96] A. M a r c h a u d, Sur les champs de demi-droites et les ´equations diﬀ´erentielles du

premier ordre, Bull. Soc. Math. France 62 (1934), 1–38.

[97] A. M a r c h a u d, Sur les champs continus de demi-cˆones convexes et leurs int´e-

grales, Compositio Math. 3 (1936), 89–127.

[98] J. M a w h i n, Metody wariacyjne dla nieliniowych problemów Dirichleta, WN-T,

Warszawa 1994 (tyt. oryg. Probl`emes de Dirichlet variationnels non lin´eaires, Mont-
r´eal, 1987; tłum. z francuskiego D. P. Idczak, A. Nowakowski, S. Walczak).

[99] S. M a z u r, J. S c h a u d e r, ¨

Uber ein Prinzip in der Variationsrechnung, Comptes

Rendus du Congres Int´ernational des Math´ematiciens, Oslo 1936, vol. II, 65.

Równania różniczkowe w Polsce

111

[100] E. M i e l o s z y k, E. S a d o w s k a, Z. S m e n t e k, Ryszard Bittner (1927–

1998), Wiadom. Mat. 35 (1999), 183–187.

[101] Z. M i k o ł a j s k a, Sur l’allure asymptotique des int´egrales des syst`emes d’´equa-

tions diﬀ´erentielles au voisinage d’un point asymptotiquement singulier, Ann. Polon.
Math. 1 (1954), 277–305.

[102] Z. M i k o ł a j s k a, Sur une propri´et´e asymptotique des int´egrales d’une ´equation

diﬀ´erentielle du second ordre, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 2 (1954), 309–313.

[103] Z. M i k o ł a j s k a - M l a k, Sur l’existence d’une solution p´eriodique d’une ´equa-

tion diﬀ´erentielle du premier ordre avec un param`etre retard´e, Ann. Polon. Math.
23 (1970), 25–36.

[104] Z. M i k o ł a j s k a - M l a k, Sur l’´equivalence asymptotique de l’´equation non per-

turb´e et l’´equation perturb´e dans le cas des ´equations diﬀ´erentielles avec le param`etre
retard´e, Ann. Polon. Math. 29 (1974), 119–132.

[105] J. M i k u s i ń s k i, Sur les int´egrales de quelques ´equations diﬀ´erentielles lin´eaires,

Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 1 (2) (1946), 23–40.

[106] J. M i k u s i ń s k i, L’anneau alg´ebrique et ses applications dans l’analyse fonction-

nelle (Premi`ere partie), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 2 (1947), 1–47.

[107] J. M i k u s i ń s k i, L’anneau alg´ebrique et ses applications dans l’analyse fonction-

nelle (Deuxi`eme partie), Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 3 (1949), 1–84.

[108] J. M i k u s i ń s k i, Rachunek operatorów, Monograf. Mat. 30, PWN, Warszawa

1957.

[109] W. M l a k, On the epidermic eﬀect for ordinary diﬀerential inequalities of the ﬁrst

order, Ann. Polon. Math. 3 (1956), 37–40.

[110] W. M l a k, The epidermic eﬀect for partial diﬀerential inequalities of the ﬁrst order,

Ann. Polon. Math. 3 (1956), 157–164.

[111] W. M l a k, Diﬀerential inequalities in linear spaces, Ann. Polon. Math. 5 (1958),

95–101.

[112] W. M l a k, Diﬀerential inequalities with unbounded operators in Banach spaces,

Ann. Polon. Math. 9 (1961), 101–111.

[113] W. M l a k, C. O l e c h, Integration of inﬁnite systems of diﬀerential inequalities,

Ann. Polon. Math. 12 (1962), 105–112.

[114] W. N i k l i b o r c, Sur les ´equations lin´eaires aux diﬀ´erentielles totales, Studia

Math. 1 (1929), 41–49.

[115] W. N i k l i b o r c, Sur l’application de la m´ethode des approximations successives

dans la th´eorie des ´equations diﬀ´erentielles, Studia Math. 1 (1929), 201–209.

[116] O. N i k o d y m, Sur le principe de minimum dans le probl`eme de Dirichlet, Ann.

Soc. Polon. Math. 10 (1931), 120–121.

[117] O. N i k o d y m, Sur une classe de fonctions consid´er´ees dans l’´etude du probl`eme

de Dirichlet, Fund. Math. 21 (1933), 129–150.

[118] O. N i k o d y m, Sur un th´eor`eme de M. S. Zaremba concernant les fonctions har-

moniques, J. Math. Pures Appl. 12 (1933), 95–109.

[119] T. N o w i c k i, Wiesław Szlenk (1935–1995), Wiadom. Mat. 33 (1997), 204–206.
[120] C. O l e c h, On the Ważewski Equation, Univ. Iagel. Acta Math. 36 (1998), 55–64.
[121] C. O l e c h, Remarks concerning criteria for uniqueness of solutions of ordinary

diﬀerential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 8
(1960), 661–666.

[122] C. O l e c h, Extremal solutions of a control system, J. Diﬀerential Equations 2

(1966), 74–101.

[123] C. O l e c h, J. S z a r s k i, Z. S z m y d t, Tadeusz Ważewski (1896–1972), Ann.

Polon. Math. 29 (1974), 1–13.

A. P e l c z a r

112

[124] C. O l e c h, A. P l i ś, Monotonicity assumptions in uniqueness criteria for diﬀer-

ential equations, Colloq. Math. 18 (1967), 43–57.

[125] Z. O p i a l, Zarys dziejów matematyki w Uniwersytecie Jagiellońskim w drugiej

połowie XIX wieku, [w:] Studia z dziejów katedr Wydziału Matematyki, Fizyki,
Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, red. S. Gołąb, Kraków 1964, 59–74.

[126] Z. O p i a l, Dzieje nauk matematycznych w Polsce, [w:] Studia i materiały z dziejów

nauki polskiej , ser. B, Zeszyt 10 (1966), Zakład Historii Nauki i Techniki PAN, 137–
166.

[127] Z. O p i a l, Sur une in´egalit´e, Ann. Polon. Math. 8 (1960), 29–32.
[128] Z. O p i a l, Sur les int´egrales oscillantes de l’´equation diﬀ´erentielle u

′′

+ a(t)u

′

b(t)u = 0, Ann. Polon. Math. 4 (1958), 308–313.

[129] Z. O p i a l, Nouvelles remarques sur l’´equation diﬀ´erentielle u

′′

+ a(t)u = 0, Ann.

Polon. Math. 6 (1959), 75–81.

[130] Z. O p i a l, Sur un crit`ere d’oscillation des int´egrales de l’´equation diﬀ´erentielle

(Q(t)x

′

)

′

+ f(t)x = 0, Ann. Polon. Math. 6 (1959), 99–100.

[131] Z. O p i a l, Sur l’existence des solutions p´eriodiques de l’´equation diﬀ´erentielle du

second ordre, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 7 (1959),
71–75.

[132] Z. O p i a l, Sur les solutions p´eriodiques et presque-p´eriodiques de l’´equation diﬀ´e-

rentielle x

′′

+ kf(x)x

′

+ g(x) = kp(t), Ann. Polon. Math. 7 (1960), 151–156.

[133] Z. O p i a l, Sur l’´equation diﬀ´erentielle du premier ordre dont le second membre

satisfait aux conditions de Carath´eodory, Ann. Polon. Math. 8 (1960), 23–28.

[134] Z. O p i a l, Sur la d´ependance des solutions d’un syst`eme d’´equations diﬀ´erentielles

de leurs second membres. Applications aux syst`emes presque autonomes, Ann. Polon.
Math. 8 (1960), 75–89.

[135] Z. O p i a l, Sur une ´equation diﬀ´erentielle presque-p´eriodique sans solutions presque-

p´eriodiques, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 9 (1961), 673–676.

[136] W. O r l i c z, Zur Theorie der Diﬀerentialgleichung y

′

= f(x, y), Bull. Int. Acad.

Polon. Sci. S´er. A (1932), 201–218.

[137] W. O r l i c z, Zbigniew Polniakowski (1925–1977), Wiadom. Mat. 25 (2) (1984),

247–252.

[138] W. P a w e l s k i, Appr´eciation du domaine d’existence de l’int´egrale d’un systeme

involutif d’´equation aux d´eriv´ees partielles du premier odre, Ann. Polon. Math. 2
(1955), 29–36.

[139] W. P a w e l s k i, Remarque sur des in´egalit´es mixtes entre les int´egrales des ´equa-

tions aux d´eriv´ees partielles du premier ordre, Ann. Polon. Math. 11 (1962), 309–326.

[140] Z. P a w l i k o w s k a - B r o ż e k, Zoﬁa Mikołajska-Mlak (1923–1993), Wiadom.

Mat. 30 (2) (1994), 283–286.

[141] Z. P a w l i k o w s k a - B r o ż e k, Włodzimerz Mlak (1931–1994), Wiadom. Mat.

31 (1995), 183–187.

[142] G. P e a n o, D´emonstration de l’int´egrabilit´e des ´equations diﬀ´erentielles ordina-

ires, Math. Ann. 30 (1890), 182–228.

[143] A. P e l c z a r, A local version of the generalized retract theorem of Ważewski with

applications in the theory of partial diﬀerential equations of the ﬁrst order, Ann.
Polon. Math. 36 (1975), 11–28.

[144] A. P e l c z a r, Wybrane karty z polskiej historii równań różniczkowych, Prace Ko-

misji Historii Nauki PAU 1 (1999), 23–38.

[145] A. P e l c z a r, On a functional-diﬀerential equation (in a historical context), Opus-

cula Math. 19 (1999), 46–61.

Równania różniczkowe w Polsce

113

[146] A. P e l c z a r, Stanisław Zaremba (1863–1942), Kazimierz Paulin Żorawski (1866–

1953), [w:] Wydział Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Aka-
demii Krakowskiej, Kraków 2000.

[147] A. P e l c z a r, Tadeusz Ważewski (1896–1972), uczony i nauczyciel, [w:] Wydział

Matematyki i Fizyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Akademii Krakowskiej, Kra-
ków 2000, 341–356.

[148] J.-P. P i e r [red.], Development of Mathematics 1900–1950 , Birh¨auser Verlag, Basel–

Boston–Berlin, 1994.

[149] A. P i s k o r e k, Równania całkowe. Elementy teorii i zastosowań, WN-T, War-

szawa, I wyd. 1971, II wyd. 1980.

[150] A. P l i ś, Characteristics of nonlinear partial equations, Bull. Acad. Polon. Sci.

Cl. III 2 (1954), 125–129.

[151] A. P l i ś, The problem of uniqueness for the solution of a system of partial diﬀer-

ential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 2 (1954), 55–57.

[152] A. P l i ś, On a topological method for studying the behavior of the integrals of

ordinary diﬀerential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 4 (1956), 415–418.

[153] A. P l i ś, On characteristics of partial diﬀerential equations, Bull. Acad. Polon. Sci.

Cl. III 5 (1957), 957–958.

[154] A. P l i ś, The problem of non-local existence of solutions of linear partial diﬀerential

equations of the ﬁrst order, Ann. Polon. Math. 2 (1957), 271–293.

[155] A. P l i ś, On the problem of non-local existence for ﬁrst integrals of a system of

ordinary diﬀerential equations, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 3 (2) (1955), 63–67.

[156] A. P l i ś, One-sided non-uniqueness in ordinary diﬀerential equations, Bull. Acad.

Polon. Sci. Cl. III 5 (1957), 583–588.

[157] A. P l i ś, A smooth linear elliptic diﬀerental equation without any solution in a

sphere, Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 599–617.

[158] A. P l i ś, Unique continuation theorems for solutions of partial diﬀerential equa-

tions, [w:] Proceedings of the International Congress of Mathematicians 15–22 Au-
gust 1962, Institut Mittag-Leﬄer, Djursholm, Sweden, 1963, 397–402.

[159] A. P ł o s k i, O dziele Józefa Puzyny „Teorya Funkcyj Analitycznych”, [w:] Mate-

matyka XIX wieku, Materiały z II Ogólnopolskiej Szkoły Historii Matematyki, red.
S. Fudali, Szczecin 1988, 237–244.

[160] W. P o g o r z e l s k i, Równania całkowe i ich zastosowania, PWN, Warszawa,

tom 1, 1953, tom 2, 1958, tom 3, 1960, tom 4, 1970.

[161] H. P o i n c a r ´e, M´emoire sur les courbes d´eﬁnies par une ´equation diﬀ´erentielle,

J. Math. Pures Appl. 7 (1881), 375–422; 8 (1882), 251–286; 1 (4) (1885), 167–244;
2 (4) (1886), 151–217. Por. także Ouvres, vol. 1, Paris 1928, str. 3–84, 99–158, 167–
222.

[162] H. P o i n c a r ´e, M´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´eleste, 3 tomy, Paris 1892–

1899.

[163] D. P r z e w o r s k a - R o l e w i c z, Equations in linear spaces, PWN, Warszawa

1968.

[164] J. P u z y n a, Zastosowanie równań całkowych do tworzenia równań różniczkowych

zwyczajnych rzędu pierwszego i drugiego i równań różniczkowych cząstkowych rzędu
pierwszego – Anwendung der Integralgleichungen an Bildung der ordin¨aren Diﬀeren-
tialgleichungen ersten und zweiten Ordnung und der partieller Diﬀerentialgleichun-
gen ersten Ordnung, Bull. Int´ernat. Acad. Polon. Sci. Cl. Sci. Math. Nat. Sect. A
(1913), 1–45.

[165] A. R o s e n b l a t t, Sur l’unicit´e des solutions des ´equations aux d´eriv´ees partielles

du premier ordre, C. R. Acad. Paris, S´eance du 20 octobre 1930, 647–648.

A. P e l c z a r

114

[166] A. R o s e n b l a t t, Sur l’unicit´e des solutions des ´equations aux d´eriv´ees partielles

du premier ordre, C. R. Acad. Paris, S´eance du 8 juin 1931, 1431–1433.

[167] A. R o s e n b l a t t, Sur l’unicit´e des solutions des ´equations aux d´eriv´ees partielles

du premier ordre, C. R. Acad. Paris, S´eance du 17 octobre 1932, 641–642.

[168] E. J. R o u t h, A Treatise of the Stability of a Given State of Motion, Particularly

Steady Motion, Macmillan and Co., London 1877.

[169] C. R y l l - N a r d z e w s k i, Sur la d´eriv´ee logarithmique des fonctions monotones,

Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A. 4 (1950), 9–12.

[170] J. S c h a u d e r, Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen, Mathesis

26 (1927), 47–65, 417–431.

[171] J. S c h a u d e r, Sur les ´equations lin´eaires du type elliptique `a coeﬃcients continus,

C. R. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 1366–1368.

[172] J. S c h a u d e r, Der Fixpunktsatz in Funktionalr¨aumen, Studia Math. 2 (1930),

171–180.

[173] J. S c h a u d e r, ¨

Uber lineare elliptische Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung,

Math. Z. 38 (1934), 257–379.

[174] J. S c h a u d e r, Das Anfangsproblem einer quasilinearen hyperbolischen Diﬀeren-

tialgleichung zweiter Ordnung in belibieger Anzahl von unabh¨angigen Ver¨anderlichen,
Fund. Math. 24 (1935), 213–246.

[175] J. S c h a u d e r, Gemischte Randweraufgaben bei partiellen Diﬀerentialgleichungen

vom hyperbolischen Typus, Studia Math. 6 (1936), 190–198.

[176] J. S c h a u d e r, Twórczość Leona Lichtensteina w dziedzinie równań różniczkowych

cząstkowych, Mathesis Polska VIII (1933), Nr 9–10, Zeszyt poświęcony pamięci Prof.
Leona Lichtensteina, 149–156.

[177] A. S o m m e r f e l d, Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Diﬀerential-

gleichungen, [w:] Enzyklop¨adie der Mathematischen Wissenschaften, Band II, Leip-
zig 1907, 505–570.

[178] L. A. S t e e n, Matematyka dzisiaj , [w:] Matematyka współczesna. Dwanaście ese-

jów, red. L. A. Steen, PWN, Warszawa 1983, str. 13–24 (tłum. z: Mathematics Today.
Twelve Informal Essays, ed. L. A. Steen, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,
Berlin, 1978).

[179] H. S t e i n h a u s, Leon Lichtenstein. Wspomnienie pośmiertne, Mathesis Polska,

VIII (1933), Nr 9–10, Zeszyt poświęcony pamięci Prof. Leona Lichtensteina, 131–142.

[180] B. S z a f i r s k i, Diﬀusion by turbulent movements, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III

19 (8) (1971).

[181] B. S z a f i r s k i, Mirosław Krzyżański (1907–1965), [w:] Wydział Matematyki i Fi-

zyki, Złota Księga, 600-lecie odnowienia Akademii Krakowskiej, Kraków 2000, 363–
368.

[182] J. S z a r s k i, Remarque sur un travail de J. Schauder, Ann. Polon. Math. 6 (1959),

157–160.

[183] J. S z a r s k i, Sur certains syst`emes d’in´egalit´es diﬀ´erentielles aux d´eriv´ees partiel-

les du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 21 (1948), 8–25.

[184] J. S z a r s k i, Sur certaines in´egalit´es entre les int´egrales des ´equations diﬀ´erentielles

aux d´eriv´ees partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 22 (1949), 2–33.

[185] J. S z a r s k i, Evaluation du domaine de r´egularit´e du cono¨ıde caract´eristique, Ann.

Soc. Polon. Math. 24 (1953), 85–110.

[186] J. S z a r s k i, Diﬀerential Inequalities, Monograf. Mat. 43, PWN, wyd. I, Warszawa

1965, wyd. II, Warszawa 1967.

Równania różniczkowe w Polsce

115

[187] J. S z a r s k i, Characteristics and Cauchy Problem for Non-linear Partial Diﬀeren-

tial Equations of the First Order, University of Kansas, Department of Mathematics,
Technical Report 21 (1959) [preprint].

[188] J. S z a r s k i, Osiągnięcia matematyków polskich w dziedzinie równań różniczko-

wych, [w:] W. W. Stiepanow, Równania różniczkowe (tłum. z ros. A. Goetz, S. Dro-
bot, R. Hampel), PWN, Warszawa 1956, Przypis II, 479–481.

[189] J. S z a r s k i, Sur un syst`eme non lin´eaire d’in´egalit´es diﬀ´erentielles contenant des

fonctionnelles, Colloq. Math. 16 (1967), 141–145.

[190] J. S z a r s k i, Uniqueness of solutions of a mixed problem for parabolic diﬀerential-

functional equations, Ann. Polon. Math. 28 (1973), 57–65.

[191] J. S z a r s k i, Strong maximum principle for nonlinear parabolic diﬀererntial-func-

tional inequalities, Ann. Polon. Math. 29 (1974), 207–214.

[192] J. S z a r s k i, Strong maximum principle for nonlinear parabolic diﬀerential-func-

tional equations in arbitrary domains, Ann. Polon. Math. 31 (1975), 197–203.

[193] J. S z a r s k i, Inﬁnite systems of parabolic diﬀerential-functional inequalities, Bull.

Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 28 (1980), 477–481.

[194] P. S z e p t y c k i, Nachman Aronszajn (1907–1980), Wiadom. Mat. 25 (1) (1983),

89–96.

[195] Z. S z m y d t, Sur l’existence de solutions de ceratins noveaux probl`emes pour un

syst`eme d’´equations diﬀ´erentielles hyperboliques du second ordre `a deux variables
ind´ependentes, Ann. Polon. Math. 4 (1957), 40–60.

[196] Z. S z m y d t, Sur un noveaux type de probl`emes pour un syst`eme d’´equations

diﬀ´erentielles hyperboliques du second ordre `a deux variables ind´ependantes, Bull.
Acad. Polon. Sci. Cl. III 4 (1957), 57–61.

[197] Z. S z m y d t, Transformacja Fouriera i równania różniczkowe liniowe, Biblioteka

Matematyczna, tom 44, PWN, Warszawa 1972.

[198] Z. S z m y d t, Bogdan Ziemian (1953–1997), Wiadom. Mat. 35 (1999), 153–165.
[199] W. Ś l e b o d z i ń ski, Kazimierz Żorawski, [w:] Studia z dziejów katedr Wydziału

Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, red. S. Gołąb, Kraków
1964, 87–101.

[200] B. Ś r e d n i a w a, History of theoretical physics at Jagellonian University in Cra-

cow in XIXth century and in the ﬁrst half of XXth century, Zesz. Nauk. UJ, Prace
Fizyczne 24 (1985).

[201] B. Ś r e d n i a w a, Współpraca matematyków, ﬁzyków i astronomów w Uniwersyte-

cie Jagiellońskim w XIX i pierwszej połowie XX wieku, [w:] Studia z historii astro-
nomii, ﬁzyki i matematyki w Uniwersytecie Jagiellońskim, Zesz. Nauk. UJ, Prace
Fizyczne 25 (1986), 53–82.

[202] K. T a t a r k i e w i c z, Sur l’allure asymptotique des solutions de l’´equation diﬀ´eren-

tielle du second ordre, Ann. Univ. M. Curie-Skłodowska Sect. A 7 (1953), 19–81.

[203] C. T r u e s d e l l, W. N o l l, The Non-Linear Field Theories of Mechanics, [w:]

Encyclopedia of Physics/Handbuch der Physik, red. S. Fl¨uge, tom III, część 3,
Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1963.

[204] A. T u r o w i c z, Sur les trajectoires et quasi-trajectoires des syst`emes de commande

non lin´eaire, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962), 529–
531.

[205] A. T u r o w i c z, Sur les zones d’´emision des trajectoires et des quasi-trajectoires

des syst`emes de commande non lin´eaires, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math.
Astronom. Phys. 11 (1963), 47–50.

[206] S. T u r s k i, Sur l’unicit´e et la limitation des integrales des ´equations aux deriv´ees

partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 12 (1933), 81–86.

A. P e l c z a r

116

[207] S. T u r s k i, O pewnym uogólnieniu twierdzeń o istnieniu i jednotliwości całek rów-

nań hiperbolicznych typu

∂

∂x∂y

= f

x, y, z,

∂z
∂x

∂z
∂y

, Dodatek do Rocznika PTM,

Kraków 1935.

[208] T. W a ż e w s k i, Sur l’unicit´e et la limitation des int´egrales des ´equations aux

d´eriv´ees partielles du premier ordre, Atti Accad. Naz. Lincei 1933, 372–376.

[209] T. W a ż e w s k i, O zasięgu całek równań cząstkowych rzędu pierwszego, [w:] Pa-

miętnik XIV Zjazdu Lekarzy i Przyrodników w Poznaniu, 11–15 IX 1934, 187–194.

[210] T. W a ż e w s k i, Sur le domaine d’existence des int´egrales de l’´equation aux d´eri-

v´ees partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 13 (1934), 1–9.

[211] T. W a ż e w s k i, Sur l’´equation aux d´eriv´ees partielles du premier ordre essentiel-

lement non-lin´eaire, Ann. Soc. Polon. Math. 13 (1934), 10–12.

[212] T. W a ż e w s k i, Sur l’appr´eciation du domaine d’exist´ence des int´egrales de l’´equa-

tion aux d´eriv´ees partielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math. 14 (1935),
149–177.

[213] T. W a ż e w s k i, Sur l’unicit´e et la limitation des int´egrales de certains syst`emes

d’´equations aux d´eriv´ees partielles du premier ordre, Ann. Mat. Pura Appl. S´er. IV
15 (1937), 155–158.

[214] T. W a ż e w s k i, Sur le probl`eme de Cauchy r´elatif `a un syst`eme d’´equations aux

d´eriv´ees partielles, Ann. Soc. Polon. Math. 15 (1936), 101–127.

[215] T. W a ż e w s k i, ¨

Uber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Dif-

ferentialgleichungen erster Ordnung, Math. Z. 43 (1938), 522–532.

[216] T. W a ż e w s k i, Sur un principe topologique de l’examen de l’allure asymptotique

des int´egrales des ´equations diﬀ´erentielles ordinaires, Ann. Soc. Polon. Math. 20
(1947), 279–313.

[217] T. W a ż e w s k i, Une m´ethode topologique de l’examen du ph´enom`ene asympto-

tique relativement aux ´equations diﬀ´erentielles ordinaires, Atti Accad. Naz. Lincei
Ser. VIII 3 (1947), 210–215.

[218] T. W a ż e w s k i, Sur l’´evaluation du domaine d’existence des fonctions implicit´es

r´eelles ou complexes, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 81–120.

[219] T. W a ż e w s k i, Sur la co¨ıncidence asymptotique des int´egrales de deux syst`emes

d’´equations diﬀ´erentielles, Bull. Acad. Polon. Sci. Lett. S´er. A Sci. Math. Nat.
(1949), 147–150.

[220] T. W a ż e w s k i, Sur certaines conditions de co¨ıncidence asymptotique des int´e-

grales des deux syst`emes d’´equations diﬀ´erentielles, C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie
Cl. III 42 (1949), 198–203.

[221] T. W a ż e w s k i, Certaines propositions de caract`ere “epidermique” relatives aux

in´egalit´es diﬀ´erentielles, Ann. Soc. Polon. Math. 24 (1951), 1–12.

[222] T. W a ż e w s k i, Sur une m´ethode topologique de l’examen de l’allure asymptoti-

que des int´egrales des ´equations diﬀ´erentielles, [w:] Proceedings of the International
Congress of Mathematicians 1954, 3 (1956), 132–139.

[223] T. W a ż e w s k i, Syst`emes de comande et ´equations au contingent, Bull. Acad.

Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 9 (1961), 151–155.

[224] T. W a ż e w s k i, Sur une g´en´eralisation de la notion des solutions d’une ´equation

au contingent, Bull. Acad. Polon. Sci. S´er. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962),
11–15.

[225] T. W a ż e w s k i, J. S z a r s k i, Stanisław Zaremba, [w:] Studia z Dziejów Ka-

tedr Wydziału Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego, pod red.
S. Gołąba, Kraków 1964, 103–117.

Równania różniczkowe w Polsce

117

[226] W. W i l k o s z, La th´eorie des quasi-´equations, C. R. Soc. Polon. Math. Sect.

Cracovie (19.XI.1927), Ann. Soc. Polon. Math. 6 (1927), 120.

[227] W. W o l i b n e r, Un th´eor`eme sur l’existence du mouvement plan d’un ﬂuide par-

fait, homogene, incompressible, pendant un temps inﬁniment long, Math. Z. 37
(1933), 698–726.

[228] W. W o l i b n e r, Sur le mouvement plan du liquide visqueux, incompressible, en-

tourant une courbe simple ferm´ee, Studia Math. 12 (1951), 279–285.

[229] J. W o l s k a - B o c h e n e k, A. P i s k o r e k, In Memory of Witold Pogorzelski,

Ann. Polon. Math. 16 (1964–1965), 1–16.

[230] W. Z a j ą c z k o w s k i, Wykład nauki o równaniach różniczkowych, Paryż 1877.
[231] S. Z a r e m b a, Contribution `a la th´eorie de la fonction de Green, Bull. Soc. Math.

France 24 (1896), 19–24.

[232] S. Z a r e m b a, Sur le probl`eme de Dirichlet, Ann. Ecole Norm. (3) 14 (1897),

251–258.

[233] S. Z a r e m b a, Sur la m´ethode des approximations successives de M. Picard,

J. Math. Pures Appl. (5) 3 (1897), 311–329.

[234] S. Z a r e m b a, Sur l’´equation aux d´eriv´ees partielles et les fonctions harmoniques,

Ann. ´

Ecole Norm. (3) 6 (1899), 427–465.

[235] S. Z a r e m b a, Sur le d´eveloppement d’une fonctions arbitraire en une s´erie proc´e-

dent suivant les fonctions harmoniques, J. Math. Pures Appl. 6 (1900), 47–72.

[236] S. Z a r e m b a, Sur l’int´egration de l’´equation ∆u + ξu = 0, J. Math. Pures Appl.

8 (5) (1902), 59–117.

[237] S. Z a r e m b a, L’´equation biharmonique et une classe remarquable de fonctions

fondamentales harmoniques, Bull. Int´ernat. Acad. Sci. Cracovie Cl. Sci. Math. Nat.
1907 (3), 147–196.

[238] S. Z a r e m b a, Le probl`eme biharmonique restreint, Ann. ´

Ecole Norm. 26 (3)

(1909), 337–404.

[239] S. Z a r e m b a, Sur le calcul num´erique des fonctions demand´ees dans le probl`eme

de Dirichlet et le probl`eme hydrodynamique, Bull. Int´ernat. Acad. Sci. Cracovie Cl.
Sci. Math. Nat. 1909 (2), 125–195.

[240] S. Z a r e m b a, Sur le principe de minimum, Bull. Int´ernat. Acad. Polon. Sci.

Cracovie Cl. Sci. Math. Nat. 7 (1909), 197–264.

[241] S. Z a r e m b a, Sur un principe de Dirichlet, Atti del IV Congresso Internazionale

dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908), II: Communicazioni delle sezioni I e II,
Roma 1909, 194–199.

[242] S. Z a r e m b a, Sur le principe de Dirichlet, Acta Math. 34 (1911), 293–316.
[243] S. Z a r e m b a, Sur un groupe de transformations qui se pr´esentent en ´electrodyna-

mique, Ann. Soc. Polon. Math. 6 (1929), 8–49.

[244] S. Z a r e m b a, Sur un probl`eme toujurs possible comprenant `a titre de cas parti-

culier le probl`eme de Dirichlet et celui de Neumann, J. Math. Pures Appl. 6, no. 9
(1927), 313–344.

[245] S. Z a r e m b a, Pogląd na współczesny stan teorji potencjału, Mathesis Polska VI

(1931), Nr 7–8, 131–145.

[246] S. K. Z a r e m b a, O równaniach paratyngensowych, Dodatek do Rocznika PTM

9 (1935), 1–22.

[247] S. K. Z a r e m b a, Sur certaines familles de courbes en relation avec la th´eorie des

´equations diﬀ´erentielles, Ann. Soc. Polon. Math. 15 (1936), 83–100.

[248] B. Z i e m i a n, Generalized analytic functions with applications to singular ordinary

and partial diﬀerential equations, Dissertationes Math. 354 (1996).

A. P e l c z a r

118

[249] K. Ż o r a w s k i, O całkowaniu pewnej kategorii równań różniczkowych zwyczaj-

nych rzędu trzeciego, Rozprawy Akademii Umiejętności, Wydział Matematyczno-
Przyrodniczy, seria II, 34 (1898), 141–205.

[250] K. Ż o r a w s k i, ¨

Uber Diﬀerentialinvarianten gewisser Systeme gew¨onlicher Dif-

ferentialgleichungen gegen¨uber Punktransformationen, Bull. Int´ernat. Acad. Polon.
Sci. Cracovie Cl. Sci. Math. Nat. 1915, 241–274.

[251] K. Ż o r a w s k i, O jistych diﬀerenci´alnich invariantech systemu obyˇcejnych diﬀe-

rentialnich rovnic druh´eho poˇr´ada, Rozpravy ˇ

Ceske Akademie, 2, 1915.

[252] K. Ż o r a w s k i, ¨

Uber gewisse Diﬀerentialinvarianten der Systeme gew¨ohnlicher

Diﬀerentialgleichungen zweiter Ordnung, Bulletin de l’Acad´emie de Bˆoh`eme, 20,
1915.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ZARYS HISTORII PRZEMIAN TURYSTYKI W POLSCE AŻ DO DNIA DZISIEJSZEGO
Zarys historii Prokuratury w Polsce, lokal
Niejednorodne liniowe rownania rozniczkowe
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
Bołt W Równania Różniczkowe
II. Zarys historycznego kszta towania sie Chin wspo czesnych, współczesne Chiny - Artur Wysocki
Zarys historii
raport3 Równania różniczkowe zwyczajne
Metody Komputerowe i Numeryczne, Równania różniczkowe zwyczajne
9 Rownania rozniczkowe id 4845 Nieznany (2)
anch1012 rownania rozniczkowe
Kochański P, Kortyka P Sposoby rozwiązywania prostych równań różniczkowych zwyczajnych
Szereg Fouriera przyklady, SiMR, Studia inżynierskie, Semestr II 2, Równania różn

więcej podobnych podstron