MODEL LINII DŁUGIEJ – zadania

1. Proces przejściowy w bezstratnej linii długiej jest określony następującymi zależnościami:

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

2

2

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=

gdzie:

T

l

T

m

ν

τ

=

=

,

'

'

1

C

L

=

ν

, impedancja falowa:

'

'

C

L

Z

f

=

, przewodność falowa:

f

f

Z

G

1

=

,

L’, C’ – parametry jednostkowe linii, T – okres modelowania, l – długość linii.

Podać sześć pierwszych próbek prądu na początku linii i

1

(k) przy zasilaniu linii w postaci napięcia

stałego: u

1

(k)=100(k) [V] w linii jak na rysunku.

Przyjąć następujące parametry: T=0,0001 [s], Z

f

=300 [Ω], m=3.



















:

W równaniu:

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=

napięcie u

1

(k) jest zadane, a należy wyznaczyć: u

1

(k–m) oraz i

2

(k–m)

Napięcie na końcu linii:

)

(

)

(

2

2

2

k

i

R

k

u

−

=

(uwaga: po prawej stronie występuje ‘–“ bowiem napięcie u

2

jest zastrzałkowane

zgodnie z prądem i

2

).

)

(

)

(

2

2

2

m

k

i

R

m

k

u

−

−

=

−

Prąd na końcu linii:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

2

2

1

1

2

2

m

k

i

m

k

u

G

k

i

R

G

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

f

f

−

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

)

(

)

(

)

(

)

1

(

1

1

2

2

m

k

i

m

k

u

G

k

i

R

G

f

f

−

−

−

−

=

+

)

(

)

1

(

1

)

(

)

1

(

)

(

1

2

1

2

2

m

k

i

R

G

m

k

u

R

G

G

k

i

f

f

f

−

+

−

−

+

−

=

)

2

(

)

1

(

1

)

2

(

)

1

(

)

(

1

2

1

2

2

m

k

i

R

G

m

k

u

R

G

G

m

k

i

f

f

f

−

+

−

−

+

−

=

−

Podstawiając uzyskane wyrażenia na napięcie i prąd na końcu linii do zależności na prąd z początku linii
uzyskujemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

2

(

)

1

(

1

)

2

(

)

1

(

1

)

(

)

2

(

)

1

(

1

)

2

(

)

1

(

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

1

m

k

i

R

G

R

G

m

k

u

R

G

R

G

G

k

u

G

m

k

i

R

G

m

k

u

R

G

G

R

G

k

u

G

m

k

i

R

G

k

u

G

m

k

i

m

k

i

R

G

k

u

G

k

i

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

−

+

−

+

−

+

−

+

=















−

+

−

−

+

−

−

+

=

−

−

+

=

−

−

−

−

−

=

Uwaga: powyższe wyprowadzenie można łatwiej przeprowadzić, wstawiając od samego początku podane
wartości, niż na wartościach ogólnych.

Podstawiając wartości liczbowe uzyskujemy:

(

)

(

)

)

6

(

2

1

600

)

6

(

100

300

)

(

100

)

2

(

)

1

(

1

)

2

(

)

1

(

1

)

(

)

(

1

1

2

2

1

2

2

1

1

−

+

−

+

=

−

+

−

+

−

+

−

+

=

k

i

k

k

m

k

i

R

G

R

G

m

k

u

R

G

R

G

G

k

u

G

k

i

f

f

f

f

f

f

Przyjmując, że przed podaniem napięcia (dla czasów ujemnych) prąd w linii nie płynie, uzyskamy:

k=0,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

0

(

2

1

600

)

6

0

(

100

300

)

0

(

100

)

0

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=1,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

1

(

2

1

600

)

6

1

(

100

300

)

1

(

100

)

1

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=2,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

2

(

2

1

600

)

6

2

(

100

300

)

2

(

100

)

2

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=3,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

3

(

2

1

600

)

6

3

(

100

300

)

3

(

100

)

3

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=4,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

4

(

2

1

600

)

6

4

(

100

300

)

4

(

100

)

4

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=5,

A

3

1

0

0

3

1

)

6

5

(

2

1

600

)

6

5

(

100

300

)

5

(

100

)

5

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k=6,

A

6

5

3

1

6

1

3

1

)

6

6

(

2

1

600

)

6

6

(

100

300

)

6

(

100

)

6

(

1

1

=

+

+

=

−

+

−

+

=

i

i

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

–2

–3

100

100(k)

9



































)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=

wobec tego, że:

0

)

(

)

(

2

2

=

−

=

m

k

u

k

u

uzyskujemy:

)

(

)

(

)

(

2

1

1

m

k

i

k

u

G

k

i

f

−

−

=

, a więc potrzeba wyznaczyć:

)

(

2

m

k

i

−

)

(

)

(

)

(

1

1

2

m

k

i

m

k

u

G

k

i

f

−

−

−

−

=

)

2

(

)

2

(

)

(

1

1

2

m

k

i

m

k

u

G

m

k

i

f

−

−

−

−

=

−

)

2

(

)

2

(

)

(

)

(

1

1

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

+

−

+

=

































)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=

wobec tego, że:

0

)

(

)

(

2

2

=

−

=

m

k

i

k

i

uzyskujemy:

)

(

)

(

)

(

2

1

1

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

=

, a więc potrzeba wyznaczyć:

)

(

2

m

k

u

−

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

2

2

=

−

−

−

−

=

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

stąd:

)

(

)

(

)

(

1

1

2

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

f

f

−

+

−

=

oraz:

)

2

(

)

2

(

)

(

1

1

2

m

k

i

m

k

u

G

m

k

u

G

f

f

−

+

−

=

−

)

2

(

)

2

(

)

(

)

(

1

1

1

1

m

k

i

m

k

u

G

k

u

G

k

i

f

f

−

−

−

−

=