POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Laboratorium Teorii Pola Elektromagnetycznego Ćwiczenie nr: 1 Temat: Model linii elektroenergetycznej.
Rok akademicki: 2012/2013 Wydział elektryczny Studia: dzienne magisterskie Nr grupy: E-7
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zagadnieniami występującymi w pracy linii energetycznej w warunkach zmieniającego się obciążenia.

1. Wiadomości teoretyczne:

Rozważymy model linii energetycznej trójfazowej pracującej przy obciążeniu symetrycznym, ze źródłami napięciowymi i odbiornikami połączonymi w gwiazdę. W taki przypadku napięcie między punktami gwiazdowymi źródła napięcia i odbiornika równe jest zeru. W związku z powyższym do przedstawienia pracującego całego układu wystarczająca jest analiza napięciowo- prądowa jednej fazy. Jeżeli założymy, że będzie to linia rozdzielcza średniego napięcia 15 kV, to można przyjąć, że schemat zastępczy takiej linii składa się z rezystancji oraz indukcyjności przewodu. Schemat tak zdefiniowanej linii energetycznej pokazano na rysunku.

Oznaczenia na powyższym schemacie to odpowiednio: U₁ – napięcie fazowe na początku linii, U_L – spadek napięcia na linii, U₂ – spadek napięcia na jednej fazie odbiornika, R_L – rezystancja linii, L_L – indukcyjność linii, Z₀ – impedancja odbiornika.

Podstawowym warunkiem jaki musi spełniać poprawnie działająca sieć energetyczna jest utrzymanie stałej wartości skutecznej napięcia U₂ na odbiorniku. przedstawionego wzorem:

= − (R₁+jωL₁)=

Powyższe równanie można przedstawić graficznie za pomocą wykresu wskazowego umieszczonego poniżej (lewy wykres). Różnica algebraiczna wartości skutecznych napięć na początku i końcu linii U₁ - U₂ jest to spadek napięcia ΔU_L, natomiast różnicę algebraiczną wartości zespolonych tych napięć − (lub geometryczną różnicę wartości skutecznych) definiuje się jako stratę napięcia U_L. Wielkości te prezentuje poniższy wykres znajdujący się po prawej stronie.

Podczas pracy linii energetycznej powszechnym zjawiskiem jest występowanie zmian impedancji obciążenia Z₀ wynikające ze zmieniającego się zapotrzebowania na energię przez odbiorców komunalnych oraz zakłady produkcyjne.

Zmiany obciążenia Z₀ muszą powodować zmiany wartości skutecznej napięcia U₂ na zaciskach odbiornika. Najważniejszym warunkiem pracy linii energetycznej jest utrzymywanie wartości skutecznej napięcia na zaciskach odbiornika U₂ w pewnych dopuszczalnych granicach. Napięcie to musi znajdować się w przedziale ±10% wartości znamionowej. Aby utrzymywać stałą wartość skuteczną napięcia U₂ na wyjściu (odbiorniku) konieczne jest regulowanie napięcia U₁ na początku linii.

Zależność napięcia U₁ od obciążenia linii można określić z wykresu pracy linii w oparciu o powyższy wykres wskazowy.

Impedancja linii energetycznej Z_L ma wartość stałą, zależną od konstrukcji linii. Zakładając stałą wartość skuteczną napięcia U₂ na odbiorniku przyjęto, że napięcie U₂ na wykresie wskazowym jest wskazem odniesienia, zatem U₂ = U₂e^j0.

Impedancję obciążenia możemy określić przez podanie wartości skutecznej napięcia na odbiorniku U₂, wartości prądu I płynącego przez odbiornik oraz kąta φ₀ pomiędzy wskazami U₂ i I. Jest ona wyrażona wzorem:

$$= \frac{U_{2}}{I}e^{j\varphi_{0}}$$

Natomiast spadek napięcia na linii:

= = Z₁e^jφ₁Ie^−jφ₀₁ = ZIe^{j(φ₁ − φ₀₁)}

Zakładając, że wartość skuteczna prądu będzie stała (I = const), a zmieniać się będzie kąt φ₀ pomiędzy wskazami napięcia na odbiorniku U₂ a prądem I, to wskaz napięcia U_L zakreśli półokrąg o środku w punkcie końcowym wskazu napięcia U₂
i promieniu U_L = Z_LI, co zaprezentowano na poniższym rysunku:

Kąt φ₀ zmienia się od 90⁰ dla obciążenia indukcyjnego, poprzez φ₀=0 dla obciążenia rezystancyjnego, do –90⁰ dla obciążenia pojemnościowego. Zmiana wartości skutecznej prądu I, spowoduje także zmianę promienia półokręgu U_L. Z powyższego wykresu pracy linii energetycznej można określić wartość skuteczną napięcia U₁ na początku linii.

1. Przebieg ćwiczenia:

1. Schemat połączeń:

   1. Przebieg pomiarów:

Połączyć układ pomiarowy zgodnie z schematem przedstawionym powyżej. Do linii dołączyć odbiorniki o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym oraz rezystancyjno-pojemnościowym. Odpowiednie rezystory zostały szeregowo połączone
z cewkami/kondensatorami. Wartości parametrów poszczególnych odbiorników znajdują się tabelach. Dokonano pomiarów napięć U₁, U_L oraz prądów I dla odpowiednich odbiorników. W trakcie wykonywania pomiarów utrzymywano stałą wartość napięcia U2 = 87 [V]. Pomiary zamieszczono w poniższych tabelach .

1. Zestawienie wyników pomiarów:

Lp.	U2	U1	UL	I	Odbiornik RL
-	[V]	[V]	[V]	[A]	-
1.	87	95,0	10,80	1	R = 87Ω, L = 0 mH R = 87Ω = (47 + 33 + 6,8 + 0.22)
2.	87	95,0	10,76	1	R = 86,7Ω, L = 26 mH R= 84.7Ω = (47 + 33 + 4.7) + 2 Ω cewki
3.	87	96,0	11,00	1	R = 86 Ω, L = 36 mH R = 80 Ω = (47+33) + 6 Ω cewki
4.	87	97,5	11,10	1	R=74 Ω, L = 145 mH R=66 Ω=(47+15+3.3+0.47+0.22)+6 Ω cewki
5.	87	98,0	11,00	1	R = 58 Ω, L = 206 mH R = 48 = (47 + 1) + 10 Ω cewki
6.	87	97,0	11,10	1	R = 22 Ω, L = 268 mH R = 9 Ω = (6.8 + 2.2) + 13 Ω cewki

Lp.	U2	U1	UC	I	Odbiornik RC
-	[V]	[V]	[V]	[A]	-
1.	87	94,0	11	1	R = 86,4Ω, C = 210 µF R = 86,4Ω = (47 + 33 + 4,7 + 1 + 0,47 + 0,22) C=4·50 µF + 10 µF
2.	87	92,0	11	1	R = 82,2Ω, C = 109.3 µF R = 82,2Ω = 47 + 33 + 2,2 C = 109,3µF = 2·50µF + 6,3 + 3
3.	87	90,0	11	1	R = 75,52 Ω, C=74 µF R = 75,52 Ω = 47 + 15 + 10 + 3,3 + 0,22 C = 74 µF = 50 + 20 + 4 µF
4.	87	87,5	11	1	R = 67,2 Ω, C = 57.3 µF R = 67,2Ω = 47 + 15 + 4,7 + 0,47 C = 57,3µF = 50 + 6,3 + 1 µF
53.	87	86,0	11	1	R = 56,22 Ω, C=47,3 µF R = 56,22 Ω = 47 + 6,8 + 2,2 + 0,22 C = 47,8µF = 40 + 6,3 + 1 µF
6.	87	83,0	11	1	R = 43,47 Ω, C = 42 µF R = 43,47 Ω =33 + 10 + 0,47 C = 42 µF = 40 + 2 µF

1. Obliczenia analityczne dla odbiornika RL:

Obliczanie wartości pulsacji:

$$\omega = 2\text{πf} = 2 \bullet 3,14 \bullet 50 = 314\ \frac{\text{rad}}{s}$$

Obliczanie impedancji linii energetycznej:

=R + jωL = 7, 5 + 8, 2j = 11, 09e^j47, 43 Ω

Obliczanie impedancji odbiornika:

₀ = R + jωL [Ω]

₀₁ = 87e^j0

₀₂ = 86, 7 + 8, 2j = 87, 09e^j5, 4

₀₃ = 86 + 11, 3j = 86, 74e^j7, 48

₀₄ = 74 + 45, 53j = 86, 88e^j31, 60

₀₅ = 58 + 64, 68j = 86, 88e^j48, 12 

₀₆ = 22 + 84, 15j = 86, 98e^j75, 35

Obliczanie prądów płynących przez linię:

$${}_{1} = \left( {}_{0} + {}_{L} \right) = > = \frac{{}_{1}}{{}_{0} + {}_{L}}\lbrack A\rbrack$$

$$= \frac{95,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87} = 1,002e^{- 4,939} \approx 1e^{- 5j} = > \ I_{1} \approx 1$$

$$= \frac{95,0}{{11,09e}^{j47,43} + {87,09e}^{j5,4}} = 0,994e^{- 9,853j} \approx 1e^{- 10j} = > \ I_{2} \approx 1$$

$$= \frac{96,0}{{{11,09e}^{j47,43} + 86,74e}^{j7,48}} = 1,005e^{- 11,755j} \approx 1,01e^{- 11,8j} = > \ I_{3} \approx 1,01$$

$${= \frac{97,5}{{11,09e}^{j47,43} + {86,88e}^{j31,60}} = 0,999e^{- 33,37j} \approx 1e^{- 33j} = > \ I_{4} \approx 1\backslash n}{= \frac{98,0}{{{11,09e}^{j47,43} + 86,88e}^{j48,12\ }} = 1,0003e^{- 48,04j} \approx 1e^{- 48j} = > \ I_{5} \approx 1}$$

$$= \frac{97,0}{{{11,09e}^{j47,43} + 86,98e}^{j75,35}} = 1,0008e^{- 72,27j} \approx 1e^{- 72j} = > \ I_{6} \approx 1$$

Obliczanie napięć na odbiornikach:

₂ = ₁ − (R_L−jωL_L) = [V]

₂₁ = 1e^−5j • 87 = 87e^−j5 = >U₂₁ ≈ 87

₂₂ = 1e^−10j • 87, 09e^j5, 4 = 87e^−j4, 6 = >U₂₂ ≈ 87

U₂₃ = 1e^−11, 8j • 86, 74e^j7, 48 = 87e^−j4, 3 = >U₂₃ ≈ 87

₂₄ = 1e^−33j • 86, 88e^j31, 60 = 87e^−j1, 4 = >U₂₄ ≈ 87

₂₅ = 1e^−48j • 86, 88e^j48, 12  = 87e^j0, 12 = >U₂₅ ≈ 87

₂₆ = 1e^−72j • 86, 98e^j75, 35 = 87e^j3, 35 = >U₂₆ ≈ 87

Obliczanie spadków napięcia na linii:

= = Z₁e^jφ₁Ie^−jφ₀₁ = ZIe^{j(φ₁ − φ₀₁)}[V]

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^−5j = 11, 09e^j42, 43 = >U_L1 ≈ 11, 09

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^−10j = 11, 09e^j37, 43 = >U_L2 ≈ 11, 09

= = 11, 09e^j47, 43 • 1, 01e^−11, 8j = 11, 09e^j35, 63 = >U_L3 ≈ 11, 09

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^−33j = 11, 09e^j14, 43 = >U_L4 ≈ 11, 09

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^−48j = 11, 09e^−j0, 57 = >U_L5 ≈ 11, 09

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^−72j = 11, 09e^−j24, 57 = >U_L6 ≈ 11, 09

1.4. Zestawienie wyników obliczeń dla odbiornika RL:

Lp.	U2	U1	UL	I	Odbiornik RL
-	[V]	[V]	[V]	[A]	-
1.	87e^−j5	95, 0	11, 09e^j42, 43	1e^−5j	R = 87Ω, L = 0 mH R = 87Ω = (47 + 33 + 6,8 + 0.22)
2.	87e^−j4, 6	95, 0	11, 09e^j37, 43	1e^−10j	R = 86,7Ω, L = 26 mH R= 84.7Ω = (47 + 33 + 4.7) + 2 Ω cewki
3.	87e^−j4, 3	96, 0	11, 09e^j35, 63	1, 01e^−11, 8j	R = 86 Ω, L = 36 mH R = 80 Ω = (47+33) + 6 Ω cewki
4.	87e^−j1, 4	97, 5	11, 09e^j14, 43	1e^−33j	R=74 Ω, L = 145 mH R=66 Ω=(47+15+3.3+0.47+0.22) + 6 Ω cewki
5.	87e^j0, 12	98, 0	11, 09e^−j0, 57	1e^−48j	R = 58 Ω, L = 206 mH R = 48 = (47 + 1) + 10 Ω cewki
6.	87e^j3, 35	97, 0	11, 09e^−j24, 57	1e^−72j	R = 22 Ω, L = 268 mH R = 9 Ω = (6.8 + 2.2) + 13 Ω cewki

1.5. Obliczenia analityczne dla odbiornika RC:

Obliczanie impedancji odbiornika:

$${}_{0} = R + \frac{j}{\text{ωC}}\ \lbrack\Omega\rbrack$$

₀₁ = 86, 4 − 15, 17j = 87, 7e^−j10

₀₂ = 82, 2 − 29, 14j = 87, 2e^−j20

₀₃ = 75, 52 − 43, 03j = 87, 7e^−j43, 03

₀₄ = 67, 2 − 55, 58j = 87, 2e^−j39

₀₅ = 56, 22 − 67, 33j = 87, 7e^−j50

₀₆ = 43, 47 − 75, 83j = 87, 4e^−j60

Obliczanie prądów płynących przez linię:

$${}_{1} = \left( {}_{0} + {}_{L} \right) = > = \frac{{}_{1}}{{}_{0} + {}_{L}}\lbrack A\rbrack$$

$$= \frac{94,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87,7e^{- j10}} = 0,998e^{4,302j} \approx 1e^{4,3j} = > \ I_{1} \approx 1$$

$$= \frac{92,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87,2e^{- j20}} = 0,999e^{13,611j} \approx 1e^{13,6j} = > \ I_{2} \approx 1$$

$$= \frac{90,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87,7e^{- j43,03}}1,019e^{35,81j} \approx 1,02e^{35,8j} = > \ I_{3} \approx 1,02$$

$${= \frac{87,5}{{11,09e}^{j47,43} + 87,2e^{- j39}} = 0,987e^{31,82j} \approx 0,99e^{31,8j} = > \ I_{4} \approx 0,99\backslash n}{= \frac{86,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87,7e^{- j50}} = 0,988e^{42,735j} \approx 0,99e^{42,7j} = > \ I_{5} \approx 0,99}$$

$$= \frac{83,0}{{11,09e}^{j47,43} + 87,4e^{- j60}} = 0,979e^{52,827j} \approx 0,98e^{52,8j} = > \ I_{6} \approx 0,98$$

Obliczanie napięć na odbiornikach:

₂ = ₁ − (R_L−jωL_L) = [V]

₂₁ = 1e^4, 3j • 87, 7e^−j10 = 87, 7e^−j5, 7 = >U₂₁ ≈ 87, 7

₂₂ = 1e^13, 6j • 87, 2e^−j20 = 87, 2e^−j6, 4 = >U₂₂ ≈ 87, 2

U₂₃ = 1, 02e^35, 8j • 87, 7e^−j43, 03 = 89, 5e^−j7, 23 = >U₂₃ ≈ 89, 5

₂₄ = 0, 99e^31, 8j • 87, 2e^−j39 = 86, 3e^−j7, 2 = >U₂₄ ≈ 86, 3

₂₅ = 0, 99e^42, 7j • 87, 7e^−j50 = 86, 8e^−j7, 3 = >U₂₅ ≈ 86, 8

₂₆ = 0, 98e^52, 8j • 87, 4e^−j60 = 85, 7e^−j7, 2 = >U₂₆ ≈ 85, 7

Obliczanie spadków napięcia na linii:

= = Z₁e^jφ₁Ie^−jφ₀₁ = ZIe^{j(φ₁ − φ₀₁)}[V]

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^4, 3j = 11, 09e^j51, 73

= = 11, 09e^j47, 43 • 1e^13, 6j = 11, 09e^j60, 93

= = 11, 09e^j47, 43 • 1, 02e^35, 8j = 11, 31e^j83, 23

= = 11, 09e^j47, 43 • 0, 99e^31, 8j = 10, 98e^j79, 23

= = 11, 09e^j47, 43 • 0, 99e^42, 7j = 10, 98e^j88, 13

= = 11, 09e^j47, 43 • 0, 98e^52, 8j = 10, 87e^j100, 23

1.6. Zestawienie wyników obliczeń dla odbiornika RC:

Lp.	U2	U1	UL	I	Odbiornik RC
-	[V]	[V]	[V]	[A]	-
1.	87, 7e^−j5, 7	94, 0	11, 09e^j51, 73	1e^4, 3j	R = 86,4Ω, C = 210 µF R = 86,4Ω = (47 + 33 + 4,7 + 1 + 0,47 + 0,22) C=4·50 µF + 10 µF
2.	87, 2e^−j6, 4	92, 0	11, 09e^j60, 93	1e^13, 6j	R = 82,2Ω, C = 109.3 µF R = 82,2Ω = 47 + 33 + 2,2 C = 109,3µF = 2·50µF + 6,3 + 3
3.	89, 5e^−j7, 23	90, 0	11, 31e^j83, 23	1, 02e^35, 8j	R = 75,52 Ω, C=74 µF R = 75,52 Ω = 47 + 15 + 10 + 3,3 + 0,22 C = 74 µF = 50 + 20 + 4 µF
4.	86, 3e^−j7, 2	87, 5	10, 98e^j79, 23	0, 99e^31, 8j	R = 67,2 Ω, C = 57.3 µF R = 67,2Ω = 47 + 15 + 4,7 + 0,47 C = 57,3µF = 50 + 6,3 + 1 µF
5.	86, 8e^−j7, 3	86, 0	10, 98e^j88, 13	0, 99e^42, 7j	R = 56,22 Ω, C=47,3 µF R = 56,22 Ω = 47 + 6,8 + 2,2 + 0,22 C = 47,8µF = 40 + 6,3 + 1 µF
6.	85, 7e^−j7, 2	83, 0	10, 87e^j100, 23	0, 98e^52, 8j	R = 43,47 Ω, C = 42 µF R = 43,47 Ω =33 + 10 + 0,47 C = 42 µF = 40 + 2 µF

1.7. Obliczenia analityczne dla napięcia znamionowego fazowego linii energetycznej SN:

Wartości przyjęte do obliczeń:

Impedancja linii: =R + jωL = 7, 5 + 8, 2j = 11, 09e^j47, 43 Ω,

Prąd płynący przez linię: I = 60 A,

Kąt pomiędzy wskazami: φ ₀ =  45,

Napięcie znamionowe linii energetycznej SN: U₂ = 8670 V.

Obliczanie straty napięcia _L:

_L = •_L = 60e^−j45 • 11, 09e^j47 = 665, 4e^j2, 43V

Obliczanie wartości napięcia na początku linii:

₁ = ₂ + _L = 8670 + 665, 4e^j2, 43 = 9334, 8e^j0, 173V

4. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników

• 4 mierniki uniwersalne

• odbiornik pojemnościowy

• odbiornik indukcyjny

• odbiornik rezystancyjny

• autotransformator

• model linii elektroenergetycznej

• płytka złączeniowa

5. Wnioski i uwagi końcowe:

Napięcie U₂, które podczas wykonywania pomiarów utrzymywaliśmy na równym poziomie, pokrywa się z niewielkim błędem z napięciem U_{2 ,} którego wartości uzyskano podczas obliczeń teoretycznych. Również wartości zmierzonego prądu I, płynącego przez daną linię, pokrywają się(z niewielkim błędem) z wartościami obliczonymi dla tego prądu I wg pomiarów U₁. Zachodzi to zarówno dla odbiorników RL, jak i RC. Drobne różnice miedzy wartościami pomiarów, a obliczeń mogą być spowodowane niedokładnością aparatury pomiarowej, jak i niedokładnością samych odczytów, zaokrągleniami podczas obliczeń lub innymi czynnikami zewnętrznymi.

6. Literatura:

[1] Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNT, Warszawa 2001,

[2] Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, WNT, Warszawa 1973,

[3] Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWN, Warszawa 1995,