Schematy zastępcze linii

Schematy zastępcze linii

elektroenergetycznych

elektroenergetycznych

do obliczeń:

¾

Rozpływów prądów

¾

Spadków i strat napięcia

¾

Prądów zwarciowych

¾

Strat mocy i energii

2 / 29

Założenia

Założenia

1. Symetria obciążenia – każdy przewód prowadzi prąd o takiej

samej wartości skutecznej, a wektory prądów są przesunięte
względem siebie o 120

°.

2. Symetria elementu – wszystkie przewody fazowe są

jednakowo wykonane i usytuowane względem siebie i
względem ziemi.

Każda faza układu pracuje tak samo, schemat

zastępczy jest schematem jednofazowym

3 / 29

Napięć

=

=

=

1A

1A

2

1B

1A

1C

1A

U

U

U

a U

U

aU

=

=

=

1A

1A

2

1B

1A

1C

1A

I

I

I

a I

I

aI

U

C

U

A

U

AB

U

B C

U

C A

U

B

2

3

4

2

3

3

j

3

1

2

2

j

j

2

3

1

2

2

a e

j

a

e

e

j

π

π

− π

=

= − +

=

=

= − −

Układ symetryczny

Układ symetryczny

Prądów

4 / 29

Równania elementu 3

Równania elementu 3

-

-

fazowego

fazowego

Schemat układu

3-fazowego

(

)

(

)

(

)

=

−

+

+

=

−

+

+

=

−

+

+

A

AA

AB

AC

A

A

C

B

B

BA

BB

BC

B

A

B

C

C

CA

CB

CC

C

A

B

C

U

E

I Z

I Z

I Z

U

E

I Z

I Z

I Z

U

E

I Z

I Z

I Z

E

A

A

I

Z

AA

E

B

B

I

Z

BB

E

C

C

I

Z

CC

Z

AB

BC

Z

AC

Z

C

U

U

B

U

A

5 / 29

Równania elementu 3

Równania elementu 3

-

-

fazowego

fazowego

Δ =

U

Z I

W postaci macierzowej:

gdzie:

Impedancje własne

:

AA

BB

CC

s

Z

Z

Z

Z

=

=

=

Impedancje wzajemne:

AB

AC

BA

BC

CA

CB

m

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

=

=

=

=

=

=

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

Δ

=

−

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

−

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣ ⎦

A

A A

A B

A C

A

A

B

B A

B B

B C

B

B

C

C A

C B

C C

C

C

E

U

Z

Z

Z

I

E

U

;

Z

Z

Z

;

I

E

U

Z

Z

Z

I

U

Z

I

s

m

m

m

s

m

m

m

s

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

Z

6 / 29

Równania elementu 3

Równania elementu 3

-

-

fazowego

fazowego

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

−

=

+

+

=

+

+

=

−

−

=

+

+

=

+

+

=

−

−

=

+

+

=

+

+

=

−

2

2

A

s

m

m

s

m

m

s

m

A

A

A

A

A

A

2

2

B

m

m

m

s

m

s

m

B

B

B

B

B

B

s

2

2

C

m

m

s

m

m

s

s

m

C

C

C

C

C

C

E

U

I Z

a I Z

aI Z

I

Z

a Z

aZ

I

Z

Z

E

U

aI Z

I Z

a I Z

I aZ

Z

a Z

I Z

Z

E

U

a I Z

aI Z

I Z

I a Z

aZ

Z

I Z

Z

Przy symetrycznych prądach:

Strata napięcia w danej fazie zależy tylko od prądu tej fazy -

równania są od siebie niezależne, a macierz impedancji Z jest

macierzą diagonalną

Idea obwodu zastępczego jednofazowego

7 / 29

Idea obwodu zastępczego

Idea obwodu zastępczego

Wszystko trzeba robić tak prosto, jak to tylko jest możliwe, ale ani trochę prościej.

Albert Einstein

8 / 29

Schemat zastępczy linii

Schemat zastępczy linii

W schemacie zastępczym linii elektroenergetycznej uwzględnia się

następujące parametry:

ƒ

rezystancję R – związaną ze stratami mocy czynnej w
przewodach wiodących prąd

ƒ

reaktancję indukcyjną X – wynikającą z istnienia pola
magnetycznego wokół przewodów

ƒ

konduktancję G – odwzorowującą zjawisko upływności oraz ulotu
w liniach WN

ƒ

susceptancję B – wynikająca z istnienia pola elektrycznego
pomiędzy przewodami i ziemią

9 / 29

W ogólnym przypadku linię przesyłową zastępuje się schematem o
parametrach rozłożonych:

( )

( )

( )

( )

f1

f2

2 f

f2

1

2

f

U

U ch l

I Z sh l

U

I I ch l

sh l

Z

=

γ +

γ

=

γ +

γ

Równania linii długiej:

Schemat zastępczy linii

Schemat zastępczy linii

10 / 29

(

)(

)

γ =

=

+

+

k

k

k

k

k

k

Z Y

R

j X

G

jB

(

)

(

)

+

=

=

+

k

k

k

f

k

k

k

R

j X

Z

Z

Y

G

jB

Współczynnik rozchodzenia się fali:

Impedancja falowa:

Wielkości występujące w równaniach linii długiej:

Parametry dla całej linii:

(

)

(

)

=

⋅ =

+

⋅

=

⋅ =

+

⋅

k

k

k

k

k

k

Z

Z

l

R

j X

l

Y

Y

l

G

jB

l

Równania linii długiej

Równania linii długiej

l – długość linii
Z

k

, Y

k

– parametry kilometryczne

11 / 29

(

)

(

)

(

)

(

)

f1

f2

2

1

2

f2

Z

U

U ch

Z Y

I

sh

Z Y

Y

Y

I I ch

Z Y

U

sh

Z Y

Z

=

+

=

+

Po przekształceniach:

( )

( )

2

4

6

3

5

7

a

a

a

ch a

1

2!

4!

6!

a

a

a

sh a

a

3!

5!

7!

= +

+

+

+

= +

+

+

+

K

K

Funkcje hiperboliczne można rozwinąć w szeregi:

Równania linii długiej

Równania linii długiej

12 / 29

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

3

f1

f2

2

3

2 2

2

3

1

2

2

3

f2

Z Y

Z Y

Z Y

U

U

1

2

24

720

Z Y

Z Y

Z Y

I Z

1

6

120

5040

Z Y

Z Y

Z Y

I I 1

2

24

720

Z Y

Z Y

Z Y

U Y 1

6

120

5040

⎡

⎤

⎢

⎥

=

+

+

+

+

+

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

⎢

⎥

+

+

+

+

+

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

⎢

⎥

=

+

+

+

+

+

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

⎢

⎥

+

+

+

+

+

⎢

⎥

⎣

⎦

K

K

K

K

Po rozwinięciu w szeregi
równania linii długiej
przybierają postać:

Równania linii długiej

Równania linii długiej

13 / 29

( )

( )

( )

( )

f1

f2

2

f2

2

2

2

f2

2

1

2

f2

2

f2

2

2

2

f2

Z Y

Z Y

U

U

I Z U

I Z

2

6

Z Y

Z Y

U

I Z

24

120

Z Y

Z Y

I

I

U Y I

U Y

2

6

Z Y

Z Y

I

U Y

24

120

=

+

+

+

+

+

+

+

= +

+

+

+

+

+

+

K

K

Po uporządkowaniu:

Równania linii długiej

Równania linii długiej

W zależności od liczby
wyrazów uwzględnionych
w równaniach linii
otrzymuje się różne typy
schematów linii stosowane
w praktyce.

14 / 29

f1

f2

2 l

1

2

U

U

I R

I

I

=

+

=

Do linii I-go rodzaju zalicza się linie niskiego napięcia oraz kable
o napięciu znamionowym 6 kV o małych przekrojach.

Linia I rodzaju

Linia I rodzaju

15 / 29

f1

f2

2 l

1

2

U

U

I Z

I

I

=

+

=

Do linii II-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu
znamionowym do 30 kV oraz linie kablowe o napięciu
znamionowym do 15 kV włącznie.

Linia II rodzaju

Linia II rodzaju

Z

l

=R

l

+jX

l

16 / 29

l l

f1

f2

2

f2

l

l l

1

2

f2 l

2

Z Y

U

U

I Z U

2

Z Y

I I

U Y I

2

=

+

+

= +

+

W równaniach linii uwzględnia się trzy składniki:

Stosuje się dwa typy schematów zastępczych: typu

Π i T.

Do linii III-go rodzaju zalicza się linie napowietrzne o napięciu U

n

powyżej 30 kV i kablowe o napięciu U

n

powyżej 15 kV , o długości

nie przekraczającej 5% długości fali elektromagnetycznej.

Linia III rodzaju

Linia III rodzaju

17 / 29

Schemat
typu Π

Schemat
typu T

Linia III rodzaju

Linia III rodzaju

18 / 29

f

υ

λ =

Długość fali elektromagnetycznej wyraża się wzorem:

υ - prędkość rozchodzenia się fali
f – częstotliwość

Prędkość fali oblicza się w zależności od stałej kątowej linii

β

(

γ = α+jβ)

ω

υ=

β

ω- pulsacja

Linia III rodzaju

Linia III rodzaju

W linii bez strat R

l

= G

l

= 0 oraz:

α = 0

LC

β=ω

1

L C

υ=

19 / 29

Po podstawieniu przybliżonych wzorów na L i C :

a

L

ln

r

μ

≈

π

C

a

ln

r

πε

≈

0 0

r r

1

1

υ=

=

εμ

ε μ

ε μ

R – promień przewodu,
a – średnia odległość między przewodami

ε, μ - przenikalność elektryczna i magnetyczna środowiska,

w którym znajdują się przewody,

ε

0

,

μ

0

- przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni,

ε

r

,

μ

r

- przenikalność elektryczna i magnetyczna względna

otrzymuje się:

Linia III rodzaju

Linia III rodzaju

20 / 29

Ponieważ prędkość światła:

0

0 0

1

c

≈

ε μ

0

r

r

c

υ≈

ε μ

więc:

W linii napowietrznej bez strat

ε

r

=

μ

r

= 1, a zatem

υ ≅ c

0

≅ 300 000 km/s. Dla częstotliwości f = 50 Hz daje to długość

fali:

300000

6000 km

f

50

υ

λ = =

=

Ostatecznie długość linii przesyłowej, która może być opisana
równaniem III-go rodzaju nie powinna przekraczać 300 km –
w przypadku linii napowietrznej i 150 km – w przypadku kablowej.

Linia III rodzaju

Linia III rodzaju

21 / 29

Linie IV rodzaju to linie WN i NN o długościach przekraczających
5% długości fali elektromagnetycznej. Do ich opisu stosuje się
schemat o parametrach rozłożonych i pełne równania linii długiej
(slajd 9), z uwagi na falowy charakter zachodzących w nich
zjawisk.

Linia IV rodzaju

Linia IV rodzaju

Długość linii przesyłowej, która powinna być opisana równaniami
linii długiej przekracza 300 km – w przypadku linii napowietrznej
i 150 km – w przypadku kablowej.

22 / 29

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

Rezystancja

γ-

konduktywność (przewodność właściwa) przewodu, w m/

Ωmm

2

s – przekrój przewodu, w mm

2

k

1000

R

[ / km]

s

=

Ω

γ

miedź twarda: drut

γ = 55 m/Ωmm2, linka γ = 53 m/Ωmm

2

,

miedź miękka

γ = 56 m/Ωmm

2

,

aluminium twarde

γ = 34 m/Ωmm

2

,

aluminium miękkie

γ = 35 m/Ωmm

2

,

stal (zależnie od wytrzymałości)

γ = 5÷8 m/Ωmm

2

.

23 / 29

4

4

4

śr

śr

śr

k

b

b

b

L

2ln

0,5 10

4,6lg

0,5 10

4,6lg

10

r

r

0,779r

−

−

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Reaktancja indukcyjna

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

k

k

k

X

L

2 f L

[ / km]

=ω = π

Ω

4

śr

k

w

b

L

2ln

0,5

10

[H/ km]

r

−

⎛

⎞

=

+

μ

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

ω - pulsacja prądu, w rd/s (ω = 2πf),
L

k

– indukcyjność jednostkowa (kilometryczna) linii, w H/km

b

śr

– średni odstęp między przewodami, w cm,

r – promień przekroju przewodów, w cm,

μ - względna przenikalność magnetyczna materiału przewodowego.
Dla stosowanych praktycznie materiałów przewodowych (miedź, aluminium)

μ

w

= 1,

a wówczas:

24 / 29

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

3

śr

12 23 31

b

b b b

=

śr

b

b

=

Dla układu trójkąta równobocznego:

Dla układów niesymetrycznych:

Obliczanie średniego odstępu pomiędzy przewodami

Linia 2-torowa z symetrycznie względem
siebie rozmieszczonymi torami:

12 23 31 12' 23' 31'

3

śr

11' 22' 33'

b b b b b

b

b

b b

b

=

25 / 29

n 1

1

n

n

śr

r ' r c

−

= ⋅

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

4

4

śr

śr

k

b

b

1

1

L

2ln

10

4,6lg

10

r '

2n

r '

2n

−

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

⋅

=

+

⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Indukcyjność przewodów wiązkowych:

b

śr

– średni odstęp pomiędzy środkami geometrycznymi wiązek,

r – rzeczywisty promień przekroju przewodów,
n – liczba przewodów w wiązce,
c

śr

– średni geometryczny odstęp przewodu wiązki od pozostałych przewodów tej

samej wiązki

Dla linii WN można w przybliżeniu przyjąć:

dla linii napowietrznej X

k

= 0,4

Ω/km,

dla linii kablowej X

k

= 0,1

Ω/km

26 / 29

Konduktancja

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

śr

śr

fkr

p

a

p

a

b

b

U

21,1m m

r ln

48,9m m

r lg

[kV]

r

r

=

⋅

⋅δ⋅ ⋅

=

⋅

⋅δ⋅ ⋅

m

p

- współczynnik zależny od stanu powierzchni przewodu:

przewód jedno drutowy nowy m

p

= 1, stary m

p

= 0,93

÷0,98

linka m

p

= 0,83

÷0,87, przewód rurowy m

p

= 0,9

m

a

- współczynnik zależny od stanu pogody:

pogoda sucha, słoneczna m

a

= 1

pogoda deszczowa, mgła m

a

= 0,8

δ - współczynnik zależny od ciśnienia i temperatury powietrza:

w normalnych warunkach polskich przyjmuje się

δ = 1

r - promień przewodu, w cm
b

śr

- średnia odległość między przewodami, w cm

W praktyce uwzględniana, jeśli w linii występuje zjawisko ulotu, tj. gdy
napięcie robocze linii U

f

jest większe od napięcia krytycznego ulotu U

fkr

:

27 / 29

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

(

)

2

ul

f

f kr

śr

r

P

0,18

U U

[kW / km]

b

Δ

=

−

3

ul

k

2

f

P

G

10

[S / km]

U

−

Δ

=

⋅

Strata mocy spowodowana ulotem, na 1 km linii wyrażona jest wzorem:

Znając straty mocy spowodowane ulotem można obliczyć
konduktancję linii:

Zwiększanie napięcia krytycznego ulotu prowadzi do ograniczenia
tego zjawiska.

28 / 29

Susceptancja

C

k

– pojemność robocza linii

6

k

śr śr

2

2

śr

śr

0,02415

C

10

[F / km]

2h b

lg

r 4h

b

−

=

⋅

+

k

k

B

C

[S / km]

=ω⋅

6

k

śr

0,02415

C

10

[F / km]

b

lg

r

−

=

⋅

Jeśli h >> b

sr

h

sr

- średni odstęp przewodów od ziemi

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

29 / 29

a

2r

2R

Kabel 3-żyłowy z izolacją rdzeniową

(

)

(

)

6

w

k

3

2

2

2

2

6

6

0,0483

C

10

[F / km]

3a R

a

lg

r R

a

−

⋅ε

=

⋅

−

−

a – odstęp środka żyły od środka kabla
R – promień wewnętrzny płaszcza ołowianego
r – promień żyły

Obliczanie parametrów

Obliczanie parametrów

linii

linii

Kabel ekranowany lub trójpłaszczowy

6

w

k

0,02415

C

10

[F / km]

R

lg

r

−

ε

=

⋅