84 Â

WIAT

N

AUKI

Wrzesieƒ 1999

M

atematyka i sztuka majà ze so-
bà wiele wspólnego, jednak
najpi´kniejsze z tego wszyst-

kiego jest poj´cie symetrii. PodejÊcie ma-
tematyków do symetrii jest na potrzeby
wi´kszoÊci rodzajów sztuki wizualnej
nieco zbyt sztywne, daje si´ jednak ∏a-
two zastosowaç do form wykorzystujà-
cych powtarzajàce si´ wzory. Dobrze
znanymi przyk∏adami sà tapety, tkaniny
i mozaiki, które nierzadko bywajà praw-
dziwymi dzie∏ami sztuki. Mozaiki i tape-
ty zaprojektowane przez XIX-wieczne-
go brytyjskiego artyst´ Williama Morrisa
sà wystawione w londyƒskim Victoria
and Albert Museum. Kimona zdobione
naprawd´ wyjàtkowymi wzorami znaj-
dujà si´ w zbiorach Muzeum Tokijskie-
go, a z zawi∏ych dekoracji mozaikowych
s∏ynie hiszpaƒska Alhambra.

Mimo ˝e matematyczne podstawy sy-

metrii i uk∏adania kafelków opracowa-
no ju˝ dawno, ciàgle sà dokonywane
nowe odkrycia, cz´sto przez artystów.
Rosemary Grazebrook, wspó∏czesna
plastyczka brytyjska, wymyÊli∏a zadzi-
wiajàco prostà mozaik´, tyle˝ prak-
tycznà, co odmiennà od zwyk∏ych pro-
stokàtnych wzorów, ˝e uznano jà za
interesujàcà. Jest ponadto pomys∏owa i,
umiej´tnie zastosowana, pi´kna.

Matematyczna definicja symetrii jest

prosta, ale subtelna. Przekszta∏cenie
wzoru przez symetri´ go nie zmienia.
Na przyk∏ad „obrót o 90°” nie zmienia
kwadratu, a „odbicie lustrzane” nie
zmienia (od zewnàtrz) ludzkiej posta-
ci. Wzór mo˝e mieç wiele ró˝nych sy-
metrii: razem tworzà one jego grup´
symetrii.

Kafelki da si´ tak˝e u∏o˝yç na wiele

sposobów.Tradycyjnie najwi´ksze za-
interesowanie budzi wÊród matematy-
ków rodzaj oparty na dwuwymiarowej
kracie, czyli b´dàcy w zasadzie p∏askim
kryszta∏em. Jak na ironi´, regu∏y mate-
matyczne opracowano najpierw dla
znacznie trudniejszego przypadku trój-
wymiarowego, a dopiero du˝o póêniej
odniesiono je do dwóch wymiarów.
W roku 1891 rosyjski krystalograf J. S.
Fiodorow wykaza∏, ˝e kraty na p∏asz-
czyênie mogà si´ charakteryzowaç 17
ró˝nymi rodzajami symetrii [ilustracja
na stronie 86]. To samo dotyczy wzorów
tapet i tkanin. Brzmi to zapewne dziw-

nie, bo niemal w ka˝dym sklepie z wy-
posa˝eniem wn´trz znajdujà si´ prze-
cie˝ dziesiàtki grubych wzorników ta-
pet oraz mnóstwo stojaków ze wzorami
posadzek. A jednak w wi´kszoÊci przy-
padków cechami ró˝nicujàcymi sà ko-
lor, struktura i natura elementów wzo-
ru. Sà one wa˝ne dla klienta, ale nie
majà wp∏ywu na symetri´ wzoru, mogà
byç natomiast przez nià ograniczone.
Na przyk∏ad wzór ∏azienkowy z∏o˝o-
ny z kwadratowych kafelków z nary-
sowanà kaczkà ma identycznà syme-
tri´ jak podobny wzór z rysunkiem d∏u-
gich wodorostów – jeÊli tylko dodatko-
we rodzaje symetrii nie wyst´pujà w sa-
mych obrazkach.

Niektóre wzory nie wykazujà ˝adnej

wyraênej symetrii i nimi nie b´d´ si´ tu
zajmowa∏. Nale˝à do nich wa˝ne nowe
odkrycia, takie jak s∏ynny wzór Penro-
se’a pokrywajàcy ca∏à p∏aszczyzn´, który
nigdy nie powtarza si´ dok∏adnie w tym
samym u∏o˝eniu. Wzory, którymi si´ zaj-
miemy, oparte sà na „obszarze funda-
mentalnym” – wzorcowym fragmencie,
który powielany jest w nieskoƒczonoÊç
w dwóch niezale˝nych kierunkach. Wy-
obraêmy sobie na przyk∏ad powierzch-
ni´ pokrytà kwadratowymi kafelkami,
jakà spotyka w wielu ∏azienkach. Jed-
nak nasza wyimaginowana ∏azienka ma
Êciany nieskoƒczenie wielkie, wi´c wzór
nigdzie si´ nie koƒczy.

Wybierzmy jeden kafelek. Jego wzór

powtarza si´ zarówno w kierunku po-
ziomym, jak i pionowym, oraz w kom-
binacjach ich obu. JeÊli wi´c przesunie-
my ten kafelek o dowolnà ca∏kowità
wielokrotnoÊç boku kwadratu w prawo
lub w lewo, a potem podobnie pionowo
w gór´ lub w dó∏, to otrzymamy kafe-
lek identyczny. A wi´c wzór powtarza
si´ w dwóch ró˝nych kierunkach. W tym
przypadku sà one prostopad∏e, ale nie
jest to wymaganie ogólne.

Wyst´powanie takich dwóch kierun-

ków jest w∏aÊnie istotà kraty. Symetria
kratowa jest w∏aÊciwa tapetom i tka-
ninom, bo zwykle produkuje si´ je w
d∏ugich belach, w których ten sam wzór
wcià˝ si´ powtarza – najcz´Êciej dru-
kowany przez obracajàcy si´ b´ben lub
tkany przez maszyn´ powielajàcà usta-
lonà p´tl´. Gdy przykleja si´ tapet´ na
Êcian´ lub zszywa materia∏, aby po-
kryç wi´kszà powierzchni´, dopasowu-
je si´ zwykle wzory wzd∏u˝ z∏àczenia.
Ale nie musi to byç dok∏adne – powsta-
nie wtedy,,uskok”: papier jest przesu-
ni´ty w bok, a nast´pnie w gór´ lub w
dó∏ o pewnà sta∏à wielkoÊç. JeÊli wy-
st´puje uskok, krata powtarza si´ w
dwóch kierunkach, które nie sà wzajem-
nie prostopad∏e.

Warunek kratowoÊci nie jest równie

oczywisty w przypadku kafelków, b´-
dàcych pojedynczymi elementami, ale
stanowi ∏atwy schemat dla artysty, któ-
ry je uk∏ada. Kwadratowa krata ∏azien-
kowa ma kilka typów symetrii: obroty
o wielokrotnoÊci kàta prostego i odbi-
cie lustrzane wzgl´dem linii pionowych,
poziomych i przekàtnych, przechodzà-
cych przez Êrodek lub wierzcho∏ek ka˝-
dego kafla albo przez Êrodek jego kra-
w´dzi. Wzór z szeÊciokàtów foremnych
w postaci ,,plastra miodu” jest tak˝e kra-
tà, ale ma inne symetrie, w szczegól-
noÊci obroty o 60°. Dok∏adniejsze omó-
wienie wzorów kratowych mo˝na zna-
leêç w ksià˝ce Symmetry in Chaos (Sy-
metria w chaosie) Michaela Fielda i Mar-
tina Golubitsky’ego (Oxford Universi-
ty Press, 1992).

Grazebrook odkry∏a, ˝e pewien szcze-

gólny pi´ciokàtny kafelek mo˝e s∏u˝yç
jako podstawa wielu wzorów krato-
wych. Jego zasadniczà cechà jest po-
siadanie dwóch kàtów po 90° i trzech
po 120°, co pozwala u∏o˝yç zarówno
krat´ kwadratowà, jak i szeÊciokàtnà

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Sztuka eleganckiego uk∏adania kafelków

PI¢CIOKÑTNE KAFELKI, pokolorowane na jeden z pokazanych powy˝ej sposobów,

mogà utworzyç wzór kratowy albo same (na sàsiedniej stronie u góry),

albo w po∏àczeniu z szeÊciokàtami foremnymi (tam˝e na dole).

BRYAN CHRISTIE

Â

WIAT

N

AUKI

Wrzesieƒ 1999 85

BRYAN CHRISTIE; za zgodà ROSEMARY GRAZEBROOK

[ilustracja na poprzedniej stronie]. Kafelek
kwadratowy ma wy∏àcznie kàty proste,
daje si´ wi´c z niego u∏o˝yç tylko kilka
ró˝niàcych si´ od siebie krat. Cztery
pi´ciokàtne kafelki Grazebrook mo˝na
dopasowaç razem tak, by utworzy∏y
szeroki niski szeÊciokàt, pokrywajàcy
p∏aszczyzn´ podobnie jak ceg∏y w mu-
rze. Kafelki pi´ciokàtne uzupe∏nione
szeÊciokàtami foremnymi pozwolà uzy-
skaç 16 typów symetrii wzorów krato-

wych, czyli wszystkie z wyjàtkiem jed-
nego (pozostawiam czytelnikom przy-
jemnoÊç odkrycia, którego typu braku-
je oraz jak uzyskaç pozosta∏e 16.)

Grazebrook wpad∏a na pomys∏ tych

kafelków, czytajàc ten w∏aÊnie dzia∏,
a dok∏adniej jego prekursora – niezrów-
nanà rubryk´ Gier Matematycznych re-
dagowanà przez Martina Gardnera.
Podczas studiów doktoranckich w Lon-
don’s Royal College of Art koncentro-

wa∏a si´ na sztuce islamu na przyk∏a-
dzie Alhambry. Rozpocz´∏a pisanie dy-
sertacji zatytu∏owanej From Islam to
Escher and Onwards... (Od islamu do
Eschera i dalej...). (Czytelnikom zapew-
ne znane sà niezwyk∏e rysunki M. C.
Eschera, w których za kafelki pos∏u˝y-
∏y kszta∏ty zwierzàt u∏o˝one wed∏ug
matematycznych regu∏.) Grazebrook
wyczuwa∏a zwiàzek pomi´dzy sztukà
islamu a charakterystycznymi wzora-
mi Eschera, ale dopiero po lekturze ar-
tyku∏u Gardnera zda∏a sobie spraw´, ˝e
∏àczy je teoria 17 typów symetrii krato-
wych. Od tej chwili zacz´∏a badaç meto-
dy uzyskiwania islamskich wzorów za
pomocà ró˝nych opartych na kratach
siatek.

Grazebrook wprowadzi∏a dwa ró˝-

ne schematy kolorowania swoich pi´-
ciokàtnych kafelków. W pierwszym
z nich, nazwanym Pentland, wyró˝nia
si´ w kafelku trzy trójkàty. W drugim,
o nazwie Penthouse, dzieli si´ pi´cio-
kàt na cztery cz´Êci: dwa kwadraty, je-
den czworokàt w kszta∏cie latawca
i mniejszy pi´ciokàt. Mo˝na oczywiÊcie
dzieliç i kolorowaç kafelki na wiele in-
nych sposobów, ale ju˝ tylko te wystar-
czà, aby daç zadziwiajàcà ró˝norodnoÊç
deseni. Niektóre z nich, pokazane na
stronie 85, sà chronione prawem autor-
skim, a wzory kolorowania – zastrze-
˝one. W sprawie ich wykorzystania pro-
ducenci mogà kontaktowaç si´ z Gra-
zebrook (P.O. Box 328 Isleworth, TW7
6FB, U.K.).

T∏umaczy∏

Tomasz ˚ak

86 Â

WIAT

N

AUKI

Wrzesieƒ 1999

A

rtyku∏ o rzucaniu monety i koÊci
[,,Zniesienie prawa Êrednich”, czer-

wiec 1998] przyciàgnà∏ uwag´ Toma
Guldbrandsena z Lyngby w Danii. Przy-
puÊçmy, ˝e rzucasz kostkà i notujesz
liczb´ rzutów, których wynikami sà 1, 2,
3, 4, 5 i 6. Jakie jest prawdopodobieƒ-
stwo, ˝e w pewnym momencie liczba
poszczególnych wyników b´dzie jed-
nakowa? Guldbrandsen zauwa˝y∏, ˝e
mo˝e si´ tak zdarzyç tylko wtedy, gdy
liczba rzutów wynosi 6, 12, 18 itd., czy-
li stanowi wielokrotnoÊç 6. Znalaz∏ wzór
opisujàcy prawdopodobieƒstwo, ˝e po
rzucie 6n liczby wszystkich wyników
b´dà jednakowe. Uwzgl´dniajàc, ˝e
mogà one si´ zrównaç wi´cej ni˝ raz,
obliczy∏, ˝e prawdopodobieƒstwo wy-
nosi 0.021903735824 (do 12 miejsc
dziesi´tnych). Analogiczne prawdopo-
dobieƒstwo dla kostki o pi´ciu Êcianach
to 0.06469, dla czteroÊciennej – 0.2045,
a dla trójÊciennej – 1.

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE

WE WZORACH KRATOWYCH

wyró˝nia si´ 17 typów symetrii,

które po raz pierwszy opisa∏

w roku 1891 krystalograf

J. S. Fiodorow.

BRYAN CHRISTIE