FILTRY ZE SKOC
CZON
ODPOWIEDZI

IMPULSOW

FIR od ang. Finite Impulse Response
Spis treści
1. Definicja filtru FIR
2. Charakterystyki częstotliwościowe
3. Filtry FIR z liniową charakterystyką fazową
4. Projektowanie filtrów przy pomocy szeregów Fouriera
5. Projektowanie filtrów przy pomocy DFT
6. Optymalizacyjne metody projektowania
7. Definicja filtru 2-D FIR
8. Filtry 2-D FIR z liniową charakterystyką fazową
1
Przykład filtracji dolnoprzepustowej
2
Graficzna prezentacja filtracji
N
N  rząd filtru
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
3
Graficzna prezentacja filtracji
N
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
N  rząd filtru
4
Definicja filtru FIR w dziedzinie czasu
N
swe(m)
swy(m)
{�hn}�
n=�0
swe(z) swy(z)
H(z)
N
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
swy (m) =� hm * swe (m)
5
Definicja filtru FIR w z-dziedzinie
N
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
N
wy
s (z) =� swy (m) z-�m =� hnswe (m -� n) z-�m =�
�� ����
m m n=�0
N N N
we we
=� hn swe (m -� n) z-�m =� hnz-�n s (z) =� s (z) hnz-�n
�� �� �� ��
n=�0 m n=�0 n=�0
wy we
s (z) =� H(z) s (z)
N wy
s (z)
-�n
H (z) =�
H (z) =�
��h z
n
we
n=�0
s (z)
6
Filtracja dyskretnego impulsu Diraca
N
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
7
Dyskretny impuls Diraca �� h0 , h1, h2, ..., hN, 0, 0, ...
Liniowość filtrów FIR
N
swy (m) =�
��h swe(m -� n)
n
n=�0
we we
swe (m) =� a� s1 (m) +� b� s2 (m)
we we
swy (m) =� hn a� s1 (m -� n) +� b� s2 (m -� n)
[� ]�
��
n
we we
=� a�
��h s1 (m -� n) +� b���h s2 (m -� n)
n n
nn
wy wy
swy (m) =� a� s1 (m) +� b� s2 (m)
8
Charakterystyki częstotliwościowe
filtrów FIR
N
swy (t) =�
��h swe (t -� nD�t)
n
n=�0
Ą� Ą�
N
wy
%5ńwy ( f ) =�
��h swe (t -� nD�t)e-�2p�jftdt
n
��s (t)e-�2p�jftdt =� ��
-�Ą� -�Ą�n=�0
N
j f nD�t
f =� f D�t =� f / f
p
=�
��h %5ńwe ( f )e-�2p�
n
n=�0
jq� ( f )
N
%5ńwy ( f )
H ( f ) �� H ( f ) i e
j f n
H ( f ) =� =�
��h e-�2p�
n
%5ńwe ( f )
n=�0
jq� ( f )
H( f ) =� A( f )e
N
H(z) =� Im(H ( f ))
��h z-�n
z =� e2p� j f n
q� ( f ) =� arc tg
n=�0
Re(H ( f ))
9
Filtry FIR z liniową charakterystyką fazową
jq� ( f )
H( f ) =� A( f )e
Im(H( f ))
dla
q�( f ) =� -�2p� f t� tg(q�( f )) =�
Re(H( f ))
N N N
j f n
H( f ) =�=�
��h e-�2p� ��h cos(2p� f n) -� j��h sin(2p� f n)
n n n
n=�0 n=�0 n=�0
N
N
-� hn sin(2p� f n)
�� -� hn sin(2p� f n)
��
-� sin 2p� f t�
(�)�
n=�0
n=�0
tg(q�( f )) =�
=�
N
�� N
cos 2p� f t�
(�)�
hn cos(2p� f n)
hn cos(2p� f n)
��
��
n=�0 n=�0
"� f ��[�0,1/ 2]�
10
Filtry FIR z liniową charakterystyką fazową
N
��h sin(2p� f t� ) cos(2p� f n) -� cos(2p� f t� ) sin(2p� f n) =� 0
[�]�
n
n=�0
"� f ��[�0,1/ 2]�
sin(a� -� b�) =� sin(a� )cos(b�) -� cos(a� )sin(b�)
N
"� f ��[�0,1/ 2]�
��h sin(�2p� f (t� -� n))�=� 0
n
n=�0
dla
N
hn =� hN -�n
t� =�
2
Czyli kąt nachylenia charakterystyki fazowej
a� =� -�arc tg(2p�t� ) =� -�arc tg(p� N )
11
Filtry FIR z liniową charakterystyką fazową
N
��h sin(2p� f t� ) cos(2p� f n) -� cos(2p� f t� ) sin(2p� f n) =� 0
[�]�
n
n=�0
"� f ��[�0,1/ 2]�
sin(a� -� b�) =� sin(a� )cos(b�) -� cos(a� )sin(b�)
N
"� f ��[�0,1/ 2]�
��h sin(�2p� f (t� -� n))�=� 0
n
n=�0
dla
N
hn =� hN -�n
t� =�
2
Sprawdzenie dla N parzystego
N / 2
N N
[�hn sin(�2p� f ( -� n))�+� hN -�n sin(�2p� f ( -� N +� n))�]�=� 0
��
2 2
n=�0
N / 2
N N
[�hn sin(�2p� f ( -� n))�-� hN -�n sin(�2p� f ( -� n))�]�=� 0 12
��
2 2
n=�0
Filtr z liniową charakterystyką fazową
N
j f n
H ( f ) =�
��h e-�2p�
n
N -�1
n=�0
2
H( f ) =� 2e-�p� j N f
(�)�
��h cos (2n +�1)p� f
n
n=�0
N -�1
2
A( f ) =� 2
(�)�
��h cos (2n +�1)p� f
n
n=�0
q�( f ) =�-�p� N f
jq� ( f )
H( f ) =� A( f ) e
13
Przykład filtru z liniową charakterystyką
fazową
14
Filtry FIR z afiniczną charakterystyką
fazową
q� ( f ) =� -�2p� f t� +�a�
p�
N
a� =� ą�
t� =�
2
2
hn =� -�hN -�n
15
Przykład filtru z afiniczną charakterystyką
fazową
16
Cztery typy symetrii odpowiedzi impulsowych
filtry rzędu filtry rzędu
parzystego nieparzystego
hn hn
z liniową
charakterystyką
fazową
0 1 2 3 4 n 0 1 2 3 n
hn hn
z afiniczną
charakterystyką
fazową
17
Założenia projektowe w dziedzinie
częstotliwości
Projektowanie filtrów przy pomocy
szeregów Fouriera
Charakterystyki
częstotliwościowe spełniają
Współczynniki szeregu
warunki
trygonometrycznego Fouriera
zad zad
Ą�
H ( f ) =� H (-� f )
j f n
zad
H ( f ) =�
��h e-�2p�
n
zad zad
n=�-�Ą�
q� ( f ) =�-�q� (-� f )
oblicza się ze wzoru
Zespolona charakterystyka
1/2
częstotliwościowa filtru ma
zad
hn =� H ( f ) e2p� j f n d f
��
postać
-�1/2
N
Ten wzór jest odwrotną
j f n
H ( f ) =�
��h e-�2p�
n
transformacją Fouriera !
n=�0
19
Projektowanie filtrów przy pomocy
szeregów Fouriera
Odpowiedz
impulsowa
spełnia warunki hn =� 0 dla:
Współczynniki szeregu
trygonometrycznego Fouriera
bo filtr ma być przyczynowy
n <� 0
Ą�
bo filtr ma być skończonego
n >� N
j f n
zad
H ( f ) =�
��h e-�2p�
n
rzędu
n=�-�Ą�
oblicza się ze wzoru
Zespolona charakterystyka
1/2
częstotliwościowa filtru ma
zad
hn =� H ( f ) e2p� j f n d f
��
postać
-�1/2
N
Ten wzór jest też odwrotną
j f n
H ( f ) =�
��h e-�2p�
n
transformacją Fouriera !
n=�0
20
Projektowanie filtrów przy pomocy
szeregów Fouriera
|Hzad| phas e(Hzad)
2 1
1
0
0
-1
-0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5
hn
phas e(Hzad)
1
0.5
0
-0.5
0 5 10 15
|H| phas e(H)
2 2
1
1
0
0
-1
-0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5
21
Projektowanie filtrów przy pomocy
odwrotnej DFT
Skoro
1/ 2
zad
hn =� H ( f )e2p� j f nd f
��
-�1/ 2
to
N
1
zad -�
hn =�
��H (�0,5k (N +�1))� wNkn
+�1
N +�1
k =�0
2p�
-� j
n =� 0,..., N
N +�1
wN +�1 =� e
22
Projektowanie filtrów przy pomocy DFT
|Hz a d| phas e(Hzad)
2 1
1
0
0
-1
-0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5
hn
1
0.5
0
-0.5
0 5 10 15
|H| pha s e (H)
2 1
0
1
-1
0
-2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4
23
2
Kryterium w przestrzeni LW (0, 1/ 2)
Qopt =� minQ
h
N
j f n
H ( f ) =�
1/ 2 ��h e-�2p�
n
2
n=�0
zad
Q(h0,L�,hN ) =�
��W ( f ) H ( f ) -� H ( f ) d f
0
W( f ) ł� 0
2
1/ 2
( N -�1) / 2
zad
Q(h0,...,h( N -�1) / 2 ) =� W ( f ) H ( f ) -� 2e-�p� j f N
��h cos(�p� f (2n +�1))� d f
n
��
n=�0
0
h =� hn :n =� 0,...,(N -�1) / 2
{�}�
jq� ( f )
H( f ) =� A( f ) e
1/ 2
zad
��a� f ) -� Azad ( f )]�2 +� (1-�a�)[�q� ( f ) -�q� ( f )]�2 ��
Q =� [�A( d f
�� ż�
��
0 Ł� a� Ł� 1
�� ��
0
24
Kryterium w przestrzeni CW (0, 1/ 2)
E( f ) =� W( f ) Azad ( f ) -� A( f )
(� )�
Q =� max E( f )
f
Qopt =� min max E( f )
h f
25
Przykład metody Parks-McClellan 1972 rok
Algorytm Remeza 1957 rok
E( f ) =� W( f ) Azad ( f ) -� A( f )
(� )�
Qopt =� min max E( f )
h f
1 10
wymagana waga
0. 5 5
charakterystyka
0 0
0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4
0. 5
0. 6
charakterystyka
błąd
0. 4 0
otrzymana
0. 2
0 -0 . 5
0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0 50. 1 0. 2 0. 3 0. 4
x 10
0. 5 1
odpowiedz

E(�f )�
0 0
impulsowa
-0 . 5 -1
0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0 5 10 15 20
26
odchyłki
d�=0,18
Twierdzenie Czebyszewa
M
Jeżeli
A( f ) =� 2
(�)�
��h cos (2n +� 1)p� f
n
n=�0
i istnieje conajmniej M +� 2 częstoliwości
0 <� f <� f <� L� <� f<� f <� 0,5
12 M +�1 M +�2
takich, że
E( f ) =� -�E( f )
ii+�1
dla i =1,..., M+1 oraz
E( f ) =� d� =� max E( f )
i
0Ł� f Ł�0.5
dla i =1,...,M+2,
to wtedy i tylko wtedy istnieje jeden zestaw współczynników
h0,L�, hM
dla których d� osiąga najmniejszą wartość.
27
Przykład 2
Filtr pasmowy zaprojektowany metodą Remeza
28
Optymalizacja w przestrzeni:
L2(�0,1 2)�
C(�0,1 2)�
1 1
Odpowiedz

0
0
impulsowa
-1
-1
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1. 5
1.5
1
1
Ch-ka
0. 5 0.5
amplitud.
0
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4
4
2
2
0
0
Ch-ka
-2
fazowa
-4
-2
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4
f f
Częstotliwość Częstotliwość
29
Projektowanie metodą programowania
liniowego
Ax ł� b
Azad ( f ) -�d� Ł� A( f ) Ł� Azad ( f ) +�d�
Q =� cT x
��
��A( f ) +� d� ł� Azad ( f )
��
��-� A( f ) +� d� ł� -� Azad ( f )
��
f �� 0 0,5 dla
[�]� k =� 12,...,K
,
k
30
Macierzowy zapis programowania liniowego
��
Ax ł� b
��A( f ) +� d� ł� Azad ( f )
��
��-� A( f ) +� d� ł� -� Azad ( f )
Q =� cT x
��
zad
cos(p� f ) cos(3p� f ) L� cos(Np� f ) 1/ 2
�� ł��� h0 ł� �� ł�
A ( f )
1 1 1
1
ę� ś� ę� ś�
L� L� L� L� L�
L�
ę� ś�
ę� ś�ę� h1 ś�
zad
ę� ś�
ę� ś�ę� ś�
cos(p� f ) cos(3p� f ) L� cos(Np� f ) 1/ 2
A ( f )
K K K
ę� ś� K
M�
2 ł� ę� ś�
ę�
zad
-� cos(p� f ) -� cos(3p� f ) L� -� cos(Np� f ) 1/ 2ś�ę�h ś�
ę� ś�
ę� ś�ę� N -�1 ś� -� A ( f 1 )
1 1 1
ę� ś�
ę� ś�ę� 2 ś�
L� L� L� L� L�
L�
ę� ś�
ę� ś�
zad
ę�-� cos(p� f K ) -� cos(3p� f K ) L� -� cos(Np� f K ) 1/ 2ś�ę� d� ś� ę�-� A ( f K )ś�
�� ���� �� �� ��
Q =� d�
31
Filtracja 2-D FIR
FILTR
32
Praktyka filtracji 2-D
(� )�
H1 zy
Dwa filtry
jednowymiarowe
zastępują filtr
dwuwymiarowy
H2(�zx)�
Graficzna prezentacja filtru 2-D FIR
h-�1,0
swe
swy
��� ��
h0,0
���
�� �� ��
h0,-�1
�� �� ��
34
Definicja filtru 2-D FIR
swy (k,l) =�
����h swe (k -� m,l -� n)
m,n
m n
wy wy -�k -�l
s (zx , zy ) =�
����s (k,l)zx zy
k l
wy we -�k -�l
s (zx , zy ) =�
�� ��h ����s (k -� m,l -� n)zx zy
m,n
(m,n) ��Rh k l
wy -�m -�n we
s (zx, zy ) =�
����h zx zy s (zx, zy )
m,n
(m,n)��Rh
-�m -�n
H (zx, zy ) =�
�� ��h zx zy
m,n
we
(m,n)
��M
wy we
s (zx, zy ) =� H(zx, zy )s (zx, zy )
35
Charakterystyki częstotliwościowe
filtru 2-D FIR
-�m
H (zx, zy ) =�
�� ��h zx z-�n
m,n y
we
(m,n)
��M
2p� j fy
oraz
zx =� e2p� j fx
zy =� e
-�2p� j( fx m+� f n) jq� ( fx , f )
y y
H ( fx , f ) =� =� A( fx , f )e
����h e
y m,n y
(m,n)��Rh
ć� ��
Im(�H( fx , f ))���
y
q� ( f , f ) =� arctg��
x y
�� ��
Re(�H ( f , f ))�ł�
x y
Ł�
��
Re2(�H ( f , f ))�+� Im2(�H ( fx , f ))�sin(q� ) dla q� ą� 0
x y y
��
��
A( f , f ) =�
Im(�H ( f , f ))�
��
x y
x y
��Re ( fx , f ))�
(�H dla q� =� 0
y
��
��
36
Filtry 2-D FIR z liniową charakterystyką
fazową
q� ( fx, fy ) =� -�2p�( fxt� +� fyt� )
x y
M N
����h sin(�2p� ( fxm +� f n))�
m,n y
m=�0 n=�0
tg(�- 2p� (fxt� +� f t� ))�=� -�
x y y
M N
����h cos(�2p� ( fxm +� f n))�
m,n y
m=�0 n=�0
"� fx, fy ��[�0,1/ 2]�
M N
����h sin 2p�[ f (t� -� m) +� f (t� -� n)] =� 0
mn (� x y )�
,
x y
m=�0 n=�0
t� =� N 2
t� =� M 2
y
x
hmn =� hM -�mN -�n
,,
37
Filtry 2-D FIR z afiniczną
charakterystyką fazową
p�
q� ( f , f ) =� -�2p� ( fxt� +� f t� ) ą�
x y x y y
2
M N
����h cos 2p�[ f (t� -� m) +� f (t� -� n)] =� 0
mn (� x y )�
,
x y
m=�0 n=�0
"� fx, fy ��[�0,1/ 2]�
t� =� N 2
t� =� M 2
y
x
hmn =� -�hM -�mN -�n
,,
38
Filtr górnoprzepustowy z afiniczną
charakterystyką fazową
39
Filtr z afiniczną charakterystyką fazową
40
Filtr dolnoprzepustowy z afiniczną
charakterystyką fazową
41