Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 1
MACIERZE - lista zadań
1. Napisać macierz transponowaną macierzy:
1 -ð3 2
éðÅ‚ð
3 -ð 2 1 -ð3 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
a) A =ð , b) B =ð 4 0Å›ð , c) C =ð
[ð ]ð
Ä™ð5 1 Å›ð
Ä™ð-ð3 Å›ðÄ™ð2 1 4Å›ð , d) D =ð 1 0 2 .
ëð ûð ûð
Ä™ðÅ›ðëð
2 0 1ûð
ëð
2. Dane sÄ… macierze:
-ð10 2 1 3 -ð1 2 -ð3 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A =ð , B =ð , C =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð3 0 -ð1Å›ð .
3 1 -ð3Å›ð Ä™ð0 -ð3 2
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Obliczyć: a) 2A +ð 3B, b) C -ð 2A, c) (A +ð 2B) +ð 3C, d) AT -ð 2CT .
3. Dane sÄ… macierze:
2 -ð1 0 2 4 -ð2 1
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
1 -ð2 3
éðÅ‚ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
a) A =ð 1 3 1Å›ð , B =ð -ð1 0 , b) A =ð
Ä™ð2 1 -ð2Å›ð , B =ð Ä™ð 1 -ð3 Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
ëðûð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
2 1
ëð-ð2 1 3ûð Ä™ð 0 1 Å›ð ëð ûð
ëð ûð
Obliczyć C =ð AB . Czy wykonalne jest mnożenie BA ? Jeżeli tak, to je wykonać.
4. Sprawdzić, że AB Ä…ð BA w przypadku macierzy
1 -ð2 0 -ð2 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
1 3 3 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð3 Ä™ð Å›ð
a) A =ð , B =ð , b) A =ð 1 -ð2Å›ð , B =ð 1 2 1 .
Ä™ð Ä™ð1 2Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð2 1Å›ð ëð ûð
ûð
Ä™ð Å›ð
ëð2 0 3 Å›ð Ä™ð 2 1 -ð3ûð
ûð ëð
5. Pokazać na przykÅ‚adzie podanych macierzy, że (AB)C =ð A(BC)
1 2
éð Å‚ð
1 2 0 1 3
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
A =ð , B =ð , C =ð 1Å›ð .
Ä™ð Ä™ð
ëð-ð4 1Å›ð ëð-ð2 0 2Å›ð Ä™ð-ð2 Å›ð
ûð ûð
Ä™ð Å›ð
0 3ûð
ëð
6. Wykazać, że (AB)T =ð BT AT . Dowód przeprowadzić dla dowolnych macierzy stopnia 2.
1 2 -ð3 -ð1 3
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð4 Å›ð Ä™ð
7. Sprawdzić, że (AB)T =ð BT AT , jeżeli A =ð 1 1 , B =ð 2 -ð1Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð
ûð ëð ûð
ëð0 -ð1 2 Å›ð Ä™ð 0 2 Å›ð
8. PrzyjmujÄ…c, że A2 =ð A×ð A, An =ð An-ð1 ×ð A , obliczyć:
n
1 1 1 0 0
éð Å‚ð
4
0 1 0 0
éð Å‚ð
3
Ä™ð1 1 1 0 0Å›ð
1 0 0
éð Å‚ðÄ™ð0 0 1 0Å›ð
2 n
Ä™ð Å›ð
1 0 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1
Å›ð
Ä™ð Å›ð
a)
Ä™ð2 1Å›ð , b) Ä™ð0 1Å›ð , c) Ä™ð 1 0Å›ð , d) Ä™ð
Å›ðÄ™ð0 0 0 1, e) 1 1 1 0 0 .
Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ðÄ™ð
Å›ð
ëð1 1 1ûð
Ä™ð0 0 0 1 1Å›ð
ëð0 0 0 0ûð
Ä™ð0 0 0 1 1Å›ð
ëð ûð
Macierze lista zadań
2
Odpowiedzi
1 -ð3 2 1 2 1
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
3 5
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Ä™ð0Å›ð
1. a) AT =ð , b) BT =ð B =ð 4 0Å›ð , c) CT =ð 1Å›ð , d) DT =ð .
Ä™ð
Ä™ð-ð3 Å›ð Ä™ð-ð3 Å›ð Ä™ð Å›ð
ëð-ð2 1Å›ð
ûð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð Ä™ðûð
2 0 1ûð ëð 0 4ûð
ëð ëð2Å›ð
1 9 1 4 -ð3 -ð4 7 -ð3 0
éðÅ‚ð éð Å‚ð éðÅ‚ð
2. a) 2A +ð 3B =ð C , c) (A +ð 2B) +ð 3C =ð
Ä™ð6 -ð7 0Å›ð , b) -ð 2A =ð Ä™ð Å›ð Ä™ð12 -ð5 -ð2Å›ð ,
ëðûð ëð-ð3 -ð2 5 ûð ëðûð
-ð5 -ð3
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
d) AT -ð 2CT =ð 6 1 .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
2 -ð1ûð
ëð
5 8 0 5 -ð8
éð Å‚ð éð Å‚ð
2 10
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
3. a) AB =ð 5 , BA  niewykonalne, b) AB =ð , BA =ð -ð5 9 .
Ä™ð
Ä™ð-ð1 Å›ð Ä™ð-ð5 Å›ð
ëð-ð7 -ð3Å›ð
ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
4 -ð3 4
ëð-ð5 -ð5ûð ëð ûð
-ð4 -ð3 -ð2 1 5 -ð2
éð Å‚ðéð Å‚ð
6 8 -ð1 11
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð, Ä™ð Å›ð
4. a) AB =ð , BA =ð , b) AB =ð 3 7 BA =ð 9 0 -ð1 .
Ä™ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð-ð9 Å›ðÄ™ð Å›ð
ëð-ð5 -ð2Å›ð ëð-ð3 5 ûð
ûð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð
2 5 9
ëð ûðëð-ð1 -ð3 -ð11ûð
-ð4 1 7 -ð2 10 -ð6 14
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
5. AB =ð , BC =ð .
Ä™ð Ä™ð Å›ð, (AB)C =ð A(BC) =ð Ä™ð
6 -ð38Å›ð
ëð-ð2 -ð4 -ð10Å›ð ëð-ð2 2 ûð ëð ûð
ûð
a11 a12 b11 b12 a11b11 +ð a12b21 a21b11 +ð a22b21
éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
6. Niech A =ð .
Ä™ða a22 Å›ð, B =ð Ä™ðb b22 Å›ð. Wtedy (AB)T =ð BT AT =ð Ä™ða b12 +ð a12b22 a21b12 +ð a22b22 Å›ð
ëð 21 ûð ëð 21 ûð ëð 11 ûð
3 -ð5
éð Å‚ð
3 -ð2 -ð2
éðÅ‚ð
Ä™ð
7. AB =ð 13Å›ð , (AB)T =ð BT AT =ð .
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð2 Å›ð
ëð-ð5 13 5 ûð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð2 5 ûð
éð Å‚ð
3n-ð1 3n-ð1 3n-ð1 0 0
0 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
n-ð1
1 0 0
éðÅ‚ð
Ä™ð0 0 0 0Å›ð Ä™ð3 3n-ð1 3n-ð1 0 0 Å›ð
1 0 1 n
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð3
Ä™ð Å›ð
Ä™ð3n-ð1 3n-ð1 3n-ð11 0 0 Å›ð
8. a) , e) .
Ä™ð4 1Å›ð , b) Ä™ð0 1Å›ð , c) Ä™ð 1 0Å›ð , d)
Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 0 0
Ä™ð Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ðÅ›ð
0 0 0 2n-ð1 2n-ð1Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð6 3 1ûð Ä™ð
ëð0 0 0 0ûð Ä™ð 0 0 0 2n-ð1 2n-ð1Å›ð
ëð ûð
2