Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 11
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Pochodna funkcji. Podstawowe wzory
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U (x0;d� ) punktu x0 i niech x ��U . Załóżmy,
że D�x =� x -� x0 ą� 0 . Wówczas wyrażenie
f (x) -� f (x0 ) f (x0 +� D�x) -� f (x0 )
=�
x -� x0 D�x
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 odpowiadającym przyrostowi argumentu o D�x.
Jeżeli istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego przy D�x �� 0 , to nazywamy ją pochodną funkcji
/
f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f (x0 ) .
Zatem
f (x0 +� D�x) -� f (x0 ) f (x) -� f (x0 )
/
f (x0 ) =� lim =� lim .
D�x��0 x ��x0
D�x x -� x0
O funkcji mającej pochodną w danym punkcie mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale I , gdy posiada pochodną w każdym punkcie tego
przedziału.
/
Przykład 1. Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć f (x0 ) , jeżeli:
a) f (x) =� x , b) f (x) =� x2 , c) f (x) =� sin x , d) f (x) =� ln x .
Rozwiązanie.
f (x0 +� D�x) -� f (x0) (x0 +� D�x) -� x0
/
a) f (x0) =� lim =� lim =� lim 1 =� 1.
D�x��0 D�x��0 D�x��0
D�x D�x
f (x0 +� D�x) -� f (x0 ) (x0 +� D�x)2 -� x0 2
/
b) f (x0 ) =� lim =� lim =�
D�x��0 D�x��0
D�x D�x
x0 2 +� 2x0D�x +� D�x2 -� x0 2 D�x(2x0 +� D�x)
=� lim =� lim =� lim (2x0 +� D�x) =� 2x0 .
D�x��0 D�x��0 D�x��0
D�x D�x
f (x0 +� D�x) -� f (x0 ) sin(x0 +� D�x) -� sin x0
/
c) f (x0 ) =� lim =� lim =�
D�x��0 D�x��0
D�x D�x
D�x 2x0 +� D�x D�x
2sin cos sin
2x0 +� D�x
2 2 2
=� lim =� lim cos =� cos x0 .
D�x��0 D�x��0
D�x
D�x 2
2
a� -� b� a� +� b� sin t
(W obliczeniach skorzystaliśmy ze wzoru: sina� -� sin b� =� 2sin cos i wzoru: lim =�1).
t��0
2 2 t
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
2
d) Niech x0 >� 0 . Wówczas
f (x0 +� D�x) -� f (x0 ) ln(x0 +� D�x) -� ln x0 1
/
f (x0 ) =� lim =� lim =� lim [ln(x0 +� D�x) -� ln x0 ] =�
D�x��0 D�x��0 D�x��0
D�x D�x D�x
1
xo x0
1 �� ł�
1
D�x ę�ć� 1 �� D�x ś�
ć� �� ć� ��
1 x0 +� D�x 1 D�x D�x 1
x0
�� �� �� ��
=� lim ln =� lim ln��1 +� =� lim ln��1 +� =� lim ln 1 +� =� ln e =� .
ę��� �� ś�
D�x��0
D�x x0 D�x��0 D�x x0 �� D�x��0 Ł� x0 �� D�x��0 ę��� x0 �� ś� x0
Ł� ł� ł�
ę�Ł� D�x ł� ś�
�� ��
Wzory podstawowe rachunku różniczkowego
1. (c)/ =� 0 , (c - dowolna stała),
2. (xa� )/ =� a�xa� -�1 , (a� - dowolna stała),
Najczęściej stosowane przypadki tego wzoru:
1 1 1
(x)/ =�1, (x2 )/ =� 2x, (x3 )/ =� 3x2 , ( x)/ =� , ( )/ =� -� ,
x
x2
2 x
1
3. (sin x)/ =� cos x , 4. (cos x)/ =� -� sin x , 5. (tgx)/ =� ,
cos2 x
1 1 1
6. (ctgx)/ =� -� , 7. (arcsin x)/ =� , 8. (arccos x)/ =� -� ,
sin2 x
1 -� x2 1 -� x2
1 1
9. (arctgx)/ =� , 10. (arcctgx)/ =� -� , 11. (ex )/ =� ex ,
1+� x2 1+� x2
1 1
x x
12. (a )/ =� a ln a , 13. (ln x)/ =� , 14. (loga x)/ =� .
x x ln a
Przykład 2. Obliczyć pochodną funkcji:
1 1
4
a) f (x) =� x7 , b) f (x) =� x x , c) f (x) =� , d) f (x) =� x , e) f (x) =� .
3
x3
x2
Rozwiązanie.
/
a) Stosując wzór o pochodnej funkcji potęgowej mamy f (x) =� (x7 )/ =� 7x7-�1 =� 7x6 .
3 3 1
-�1
3 3 3
/
2 2 2
b) Zapisując funkcję w postaci f (x) =� x mamy f (x) =� x =� x =� x .
2 2 2
3
/
c) Ponieważ f (x) =� x-�3 , to f (x) =� (x-�3 )/ =� -�3x-�3-�1 =� -�3x-�4 =� -� .
x4
1 1 1 3
-�1 -�
1 1 1
/
4 4 4 4
d) Nadając danej funkcji postać f (x) =� x otrzymujemy f (x) =� (x )/ =� x =� x =� .
4 4
44 x3
2 2 2 5
-� -� -� -�1 -�
2 2 2
/ /
3 3 3 3
e) Ponieważ f (x) =� x , to f (x) =� (x ) =� -� x =� -� x =� -� .
3
3 3
3 �� x5
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
3
2. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Iloraz różnicowy oraz pochodna funkcji w punkcie mają prostą interpretację geometryczną.
Z faktu, że równanie prostej przechodzącej przez
l
Y
punkty P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) ma przy x1 ą� x2 postać
M
y2 -� y1
f (x0 +�D�x)
y =� f (x)
y -� y1 =� (x -� x1)
x2 -� x1
M0 wynika, że równanie prostej siecznej przechodzącej
f (x0 )
przez punkty M (x0 , f (x0 )) i M (x0 +� D�x, f (x0 +� D�x))
0
leżące na krzywej y =� f (x) , wyraża się wzorem:
X
f (x0 +� D�x) -� f (x0 )
D�x
y -� f (x0 ) =� (x -� x0 ) .
D�x
x0 x0 +�D�x
Ilustrację geometryczną przedstawia rys.1.
Rys. 1
Z otrzymanego wzoru wynika, że współczynnik kierunkowy prostej M M , będący tangensem jej kąta
0
nachylenia do osi OX, jest równy ilorazowi różnicowemu funkcji f w punkcie x0 .
Załóżmy teraz, że D�x �� 0 ( x �� x0 ). Wówczas punkt M
l
l0
Y
zmierza po krzywej do punktu M , a sieczna przechodząca
0
M
przez punkty M0 i M dąży do pewnego granicznego poło-
f (x0 +�D�x)
y =� f (x)
żenia (patrz rys.2), którym jest prosta przechodząca przez M
0
i posiadająca współczynnik kierunkowy:
M0
f (x0 )
f (x0 +� D�x) -� f (x0 )
/
a =� lim =� f (x0 ) .
D�x��0
D�x
Prostą tę nazywamy styczną do krzywej y =� f (x) w punkcie
X
D�x
M (x0 , f (x0 )) .
x0 x0 +�D�x
Rys. 2
Twierdzenie. Funkcja f posiada pochodną w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje styczna do
wykresu tej funkcji w punkcie M (x0 , f (x0 )) , której równanie ma postać:
/
y -� f (x0 ) =� f (x0 )(x -� x0 ) .
Przykład 3. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) =� x2 w punkcie o odciętej x0 =� -�1.
Sporządzić wykres stycznej i funkcji.
/
Rozwiązanie. Mamy tutaj x0 =� -�1, f (x0 ) =�1, f (x0 ) =� 2x0 =� -�2 .
Y
Równanie szukanej stycznej przyjmie więc postać: y -�1 =� -�2(x +�1) ,
a po uporządkowaniu y =� -�2x -�1.
Ilustrację graficzną przedstawiono na rys.3.
y =� x2
1
X
-1
Rys. 3
y =� -�2x -� 1
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest ciągła w tym punkcie.
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
4
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład
Y
3
y =� x2
3
funkcja f (x) =� x2 jest ciągła w każdym punkcie, w szczególno-
ści w punkcie x0 =� 0 , lecz w punkcie tym pochodna nie istnieje
X
(wykres nie posiada stycznej w punkcie (0,0) ). Wykres funkcji
przedstawiony został na rys.4.
O
Rys. 4
2. Reguły różniczkowania
/
Twierdzenie. Jeżeli istnieją pochodne f (x) i g/ (x) , to
/ /
a) [ f (x) ą� g(x)]/ =� f (x) ą� g/ (x) , b) [k �� f (x)]/ =� k �� f (x) , gdzie k-stała,
/
/ /
ć� ��
f (x) f (x) �� g(x) -� f (x) �� g (x)
/
c) [ f (x) �� g(x)]/ =� f (x) �� g(x) +� f (x) �� g/ (x) , d) �� �� =� , o ile
�� ��
g(x)
[g(x)]2
Ł� ł�
g(x) ą� 0 .
Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji:
a) f (x) =� 4x5 , b) f (x) =� -�2 ln x , c) f (x) =� 2x2 +� 3ex , d) f (x) =� 5sin x -� 3 x , e) f (x) =� x2ex ,
x2 +� 2x -�1 sin x +� 2x2 2x2 cos x
f) f (x) =� 4x3 ln x , g) f (x) =� , h) f (x) =� , i) f (x) =� .
x +� 3 cos x
x3 +� 4
Rozwiązanie.
Na podstawie wzoru o pochodnej iloczynu funkcji przez stałą dostajemy
/
a) f (x) =� (4x5 )/ =� 4(x5 )/ =� 4 �� 5x4 =� 20x4 .
2
/
b) f (x) =� (-�2 ln x)/ =� -�2(ln x)/ =� -� .
x
Stosując dodatkowo wzór o pochodnej sumy lub różnicy funkcji mamy
/ x
c) f (x) =� (2x2 +� 3ex )/ =� 2 (x2 )/ +� 3(ex )/ =� 4x +� 3e .
3
/
d) f (x) =� (5sin x -� 3 x)/ =� 5(sin x)/ -� 3( x)/ =� 5cos x -� .
2 x
Korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy
/
e) f (x) =� (x2ex )/ =� (x2 )/ ex +� x2 (ex )/ =� 2xex +� x2ex =� (2x +� x2 )ex .
1
/
f) f (x) =� (4x3 ln x)/ =� (4x3 )/ ln x +� 4x3 (ln x)/ =�12x2 ln x +� 4x3 �� =�12x2 ln x +� 4x2 .
x
Na podstawie wzoru o pochodnej ilorazu funkcji mamy
/
ć�
x2 +� 2x -�1�� (x2 +� 2x -�1)/ (x +� 3) -� (x2 +� 2x -�1)(x +� 3)/
/
�� ��
g) f (x) =� =� =�
�� ��
x +� 3
(x +� 3)2
Ł� ł�
(2x +� 2)(x +� 3) -� (x2 +� 2x -�1) x2 +� 6x +� 7
=� =� .
(x +� 3)2 (x +� 3)2
/
ć� ��
sin x +� 2x2 �� (sin x +� 2x2 )/ cos x -� (sin x +� 2x2 )(cos x)/
/
��
h) f (x) =� =� =�
�� ��
cos x
cos2 x
Ł� ł�
(cos x +� 4x) cos x +� (sin x +� 2x2 )sin x
=� .
cos2 x
Stosując wzór o pochodnej ilorazu, a następnie iloczynu funkcji otrzymujemy
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
5
/
ć� ��
2x2 cos x (2x2 cos x)/ (x3 +� 4) -� (2x2 cos x)(x3 +� 4)/
/
�� ��
i) f (x) =� =� =�
�� ��
x3 +� 4 (x3 +� 4)2
Ł� ł�
(4x cos x -� 2x2 sin x)(x3 +� 4) -� (2x2 cos x)3x2
=� .
(x3 +� 4)2
Twierdzenie. Jeżeli u jest funkcją określoną i różniczkowalną w pewnym przedziale (a ;b)
i przekształcającą ten przedział w przedział ( c ; d ) oraz f jest funkcją różniczkowalną w przedziale ( c; d ) ,
to istnieje pochodna funkcji złożonej f o� u w każdym punkcie x ��( a ;b ) i wyraża się ona wzorem
/ /
( f o� u)/ (x) =� [ f (u (x))]/ =� f (u (x)) �� u (x) .
Uwaga. Powyższy wzór stosujemy najczęściej w przypadku, gdy f jest jedną z funkcji występujących
po lewej stronie wzorów podstawowych, natomiast u jest dowolną funkcją zmiennej x. Twierdzenie można
wtedy wyrazić w następujący sposób:
Jeżeli we wzorze podstawowym rachunku różniczkowego argument x zastąpić pewną funkcją u =� u (x) ,
to aby uzyskać pochodną takiej funkcji złożonej należy analogicznej modyfikacji dokonać po prawej stronie
/
wzoru i dodatkowo otrzymane wyrażenie pomnożyć przez u (x) .
Najczęściej używane wzory rachunku różniczkowego w postaci zmodyfikowanej
(we wzorach u =� u(x) oznacza dowolną funkcję zmiennej x)
1
2 / 2 / /
1. (u )/ =� 2u �� u 2. (u3 )/ =� 3u �� u , 3. ( u )/ =� �� u ,
2 u
1
/ / /
4. (sin u)/ =� cos u �� u , 5. (cosu)/ =� -� sin u �� u , 6. (tgu)/ =� �� u ,
cos2 u
1 1
/ / /
7. (arctgu)/ =� �� u , 8. (eu )/ =� eu �� u , 9. (ln u)/ =� �� u .
2
u
1 +� u
Przykład 5. Obliczyć pochodną funkcji:
2
a) f (x) =� sin 5x , b) f (x) =� 2x2 +� 3x +� 5 , c) f (x) =� ex +�3x-�2 , d) f (x) =� ln(3x +� 5) ,
4x +� cos 5x
2
e) f (x) =� arctg( x2 +� x) , f) f (x) =� sin x , g) f (x) =� e3x cos 2x , h) f (x) =� .
3x +� sin 2x
Rozwiązanie.
/
a) Przyjmując u =� 5x na podstawie wzoru 4. mamy f (x) =� (sin 5x)/ =� cos5x �� (5x)/ =� 5cos 5x .
b) Korzystając ze wzoru 3. dla u =� 2x2 +� 3x +� 5 mamy
1 4x +� 3
/
f (x) =� ( 2x2 +� 3x +� 5)/ =� (2x2 +� 3x +� 5)/ =� .
2 2x2 +� 3x +� 5 2 2x2 +� 3x +� 5
c) Stosując wzór 8. przy u =� x2 +� 3x -� 2 dostajemy
2 2 2
/
f (x) =� (ex +�3x-�2 )/ =� ex +�3x-�2 (x2 +� 3x -� 2)/ =� (2x +� 3)ex +�3x-�2 .
1 3
/
d) Na podstawie wzoru 9. przyjmując u =� 3x +� 5 mamy f (x) =� [ln(3x +� 5)]/ =� (3x +� 5)/ =� .
3x +� 5 3x +� 5
e) Ze wzoru 7. dla u =� x2 +� x dostajemy
1 2x +� 1
/
f (x) =� [arctg(x2 +� x)]/ =� (x2 +� x)/ =� .
1 +� (x2 +� x)2 1 +� (x2 +� x)2
/ 2
f) We wzorze 1. przyjmując u =� sin x dostajemy f (x) =� (sin x)/ =� 2sin x(sin x)/ =� 2sin x cos x =� sin 2x .
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
6
g) Korzystając najpierw ze wzoru o pochodnej iloczynu, a następnie o pochodnej funkcji złożonej mamy
/
f (x) =� (e3x cos 2x)/ =� (e3x )/ cos 2x +� e3x (cos 2x)/ =� e3x �� (3x)/ cos 2x +� e3x (-�sin 2x)(2x)/ =�
=� 3e3x cos 2x -� 2e3x sin 2x .
h) Stosując wzór o pochodnej ilorazu i pochodnej funkcji złożonej mamy
/
4x +� cos 5x (4x +� cos5x)/ (3x +� sin 2x) -� (4x +� cos 5x)(3x +� sin 2x)/
ć� ��
/
f (x) =� =� =�
�� ��
3x +� sin 2x
(3x +� sin 2x)2
Ł� ł�
(4 -� 5sin 5x)(3x +� sin 2x) -� (4x +� cos 5x)(3 +� 2 cos 2x)
=� .
(3x +� sin 2x)2
3. Pochodne wyższych rzędów
/ /
Przypuśćmy, że funkcja f posiada pochodną f w pewnym przedziale I oraz funkcja f jest róż-
/ //
niczkowalna na tym przedziale. Wówczas jej pochodną ( f )/ oznaczamy przez f i nazywamy drugą
pochodną lub pochodną drugiego rzędu funkcji f.
(n) (n-�1)
Podobnie określamy pochodną rzędu n (n-tą pochodną): f =� ( f )/ . Definicja ta ma więc charak-
ter indukcyjny.
//
Przykład 6. Wyznaczyć f (x) , jeżeli f (x) =� x arctg x .
x
/
Rozwiązanie. Ponieważ f (x) =� (x arctg x)/ =� (x)/ arctg x +� x(arctgx)/ =� arctg x +� , to na podstawie
1 +� x2
definicji drugiej pochodnej mamy:
x x 1 (x)/ (1 +� x2 ) -� x(1 +� x2 )/
//
f (x) =� (arctg x +� )/ =� (arctg x)/ +� ( )/ =� +� =�
1 +� x2 1 +� x2 1 +� x2 (1 +� x2 )2
1 1 +� x2 -� 2x2 1 1 -� x2 1 +� x2 +� 1 -� x2 2
=� +� =� +� =� =� .
1 +� x2 (1 +� x2 )2 1 +� x2 (1 +� x2 )2 (1 +� x2 )2 (1 +� x2 )2
///
Przykład 7. Wyznaczyć f (x) , jeżeli f (x) =� x3ex .
Rozwiązanie. Mamy tutaj kolejno
/ x x
f (x) =� (x3e )/ =� (x3 )/ ex +� x3 (ex )/ =� 3x2ex +� x3e =� (x3 +� 3x2 )ex ,
/ x x x x x x
f (x) =� [(x3 +� 3x2 )e ]/ =� (x3 +� 3x2 )/ e +� (x3 +� 3x2 )(e )/ =� (3x2 +� 6x)e +� (x3 +� 3x2 )e =� (x3 +� 6x2 +� 6x)e ,
/// x
f (x) =� [(x3 +� 6x2 +� 6x)ex ]/ =� (x3 +� 6x2 +� 6x)/ ex +� (x3 +� 6x2 +� 6x)(e )/ =�
=� (3x2 +� 12x +� 6)ex +� (x3 +� 6x2 +� 6x)ex =� (x3 +� 9x2 +� 18x +� 6)ex .
Przykład 8. Obliczyć kilka kolejnych pochodnych funkcji f (x) =� ln(1+� x) , a następnie podać wzór na
(n)
pochodną f (x) .
Rozwiązanie. Otrzymujemy tutaj kolejno
1
/ // ///
f (x) =� (ln(1 +� x))/ =� , f (x) =� [(1 +� x)-�1]/ =� -�1(1 +� x)-�2 , f (x) =� [-�(1+� x)-�2 ]/ =� 1�� 2(1+� x)-�3 ,
1 +� x
(4)
f (x) =� [1�� 2(1 +� x)-�3 ]/ =� -�1�� 2 �� 3(1 +� x)-�4 .
Ogólnie
(n)
f (x) =� (-�1)n-�1(n -�1)!(1+� x)-�n .