Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 14
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W EKONOMII
1. Funkcje w zagadnieniach ekonomicznych
x -ð c
PrzykÅ‚ad 1. Przeprowadzić w zbiorze D =ð c; +ð Ä„ð) badanie funkcji TQ
rnquista T3 (x) =ð ax
x +ð b
przyjmując, że a, b, c są pewnymi stałymi dodatnimi.
RozwiÄ…zanie.
c
1 -ð
x -ð c x -ð c
x
Ponieważ lim ax =ð T3(c) =ð 0 , lim ax =ð lim ax =ð[Ä„ð ×ð1]=ð +ðÄ„ð , to funkcja nie posiada
b
x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð
x®ðc+ð
x +ð b x +ð b
1 +ð
x
asymptoty poziomej, może jednak posiadać asymptotę ukośną prawostronną.
c
1 -ð
T3 (x)
x -ð c
x
m =ð lim =ð lim a =ð lim a =ð a ,
b
x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð
x x +ð b
1 +ð
x
x -ð c -ð ax(b +ð c) -ð a(b +ð c)
n =ð lim [T3 (x) -ð mx] =ð lim [ax -ð x] =ð lim =ð lim =ð -ða(b +ð c) .
b
x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð x®ð+ðÄ„ð
x +ð b x +ð b
1 +ð
x
Prosta y =ð ax -ð a(b +ð c) jest asymptotÄ… ukoÅ›nÄ… prawostronnÄ….
ObliczajÄ…c pochodnÄ… funkcji dostajemy
x -ð c ax2 -ð acx (2ax -ð ac)(x +ð b) -ð (ax2 -ð acx)
(T3 (x))/ =ð (ax )/ =ð ( )/ =ð =ð
x +ð b x +ð b
(x +ð b)2
ax2 +ð 2abx -ð abc a(x2 +ð bx) +ð ab(x -ð c)
=ð =ð .
(x +ð b)2 (x +ð b)2
Ponieważ zarówno mianownik jak i licznik wyrażenia (który jest sumą wyrażeń dodatnich) są
w rozpatrywanym zbiorze dodatnie, to otrzymana pochodna jest dodatnia i tym samym T2 jest rosnÄ…ca
w przedziale D =ð c; +ð Ä„ð) .
a(x2 +ð bx) +ð ab(x -ð c)
a(2x +ð 2b)(x +ð b)2 -ð a(x2 +ð 2bx -ð bc) ×ð 2(x +ð b) 2a(x +ð b)(b2 +ð bc)
(T3(x))// =ð ( )/ =ð .
=ð
(x +ð b)2 (x +ð b)4 (x +ð b)4
Druga pochodna jest dodatnia w rozpatrywanym przedziale, zatem T3 jest wypukła.
Wykres funkcji przedstawia rys.1.
Y
x -ð c
T3(x) =ð ax
x +ð b
X
b+c
c
Rys. 1.
Wykład 14. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
2
W badaniach ekonomicznych ważne znaczenie ma tzw. funkcja logistyczna opisująca popyt na nowo
wprowadzone na rynek dobro w zależności od czasu t, określona wzorem:
a
f (t) =ð ,
1+ð be-ðct
gdzie a, c sÄ… staÅ‚ymi dodatnimi, b >ð 1.
PrzykÅ‚ad 2. Przeprowadzić badanie funkcji logistycznej w zbiorze D =ð 0; +ð Ä„ð) .
a a
RozwiÄ…zanie. ObliczajÄ…c granice na koÅ„cach przedziaÅ‚u dostajemy lim f (t) =ð lim =ð oraz
t®ð0+ð t®ð0+ð
1+ð b
1+ð be-ðct
a
lim f (t) =ð lim =ð a . Oznacza to, że funkcja posiada asymptotÄ™ poziomÄ… prawostronnÄ… y =ð a .
t®ð+ðÄ„ð t®ð+ðÄ„ð
1+ð be-ðct
a abce-ðct
/
Pochodna funkcji: f (t) =ð ( )/ =ð [a(1+ð be-ðct )-ð1]/ =ð -ða(1+ð be-ðct )-ð2 be-ðct (-ðc) =ð .
1+ð be-ðct (1+ð be-ðct )2
Otrzymana pochodna jest dodatnia w zbiorze D, zatem f jest rosnąca i nie posiada ekstremów.
abce-ðct abce-ðct (-ðc)(1+ð be-ðct )2 -ð abce-ðct ×ð 2 ×ð (1+ð be-ðct )be-ðct (-ðc)
//
f (t) =ð ( )/ =ð =ð
(1+ð be-ðct )2 (1+ð be-ðct )4
abc2e-ðct (1+ð be-ðct )[-ð1-ð be-ðct +ð 2be-ðct ] abc2e-ðct (-ð1+ð be-ðct )
Y
=ð =ð .
(1+ð be-ðct )4 (1+ð be-ðct )3
b-ð1
Znak drugiej pochodnej jest w rozpatrywanym zbiorze identyczny
h(t) =ð be-ðct -ð1
jak znak funkcji h(t) =ð be-ðct -ð1, której wykres przedstawiony jest
na rys.2.
+
X
_ _ _
lnb
c
Rys. 2.
Układamy tabelkę zmienności:
Y
ln b ln b
lnb
(0; ) ( ; +ð Ä„ð)
c c
t 0 c
a
/
+ +
f
// a
+ 0 
f
2
a
a
X
a a
f 1 +ð b
1+ð b 2
ln b
p.p.
c
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.3.
Rys. 3.
2. Zastosowanie rachunku różniczkowego w ekonomii
Niech K(x) będzie funkcją oznaczającą zależność kosztów produkcji od wielkości produkcji x.
K(x0 +ð Dðx) -ð K(x0 )
Załóżmy, że x0 Å‚ð 0, Dðx >ð 0 . Wówczas iloraz oznacza koszt przeciÄ™tny wytworzenia
Dðx
jednostki produktu przy zwiÄ™kszeniu produkcji o Dðx jednostek, przyjmujÄ…c jako wyjÅ›ciowÄ… produkcjÄ™ x0
jednostek.
Wykład 14. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
3
K(x0 +ð Dðx) -ð K(x0 )
/
Jeżeli K(x) jest funkcjÄ… różniczkowalnÄ…, to lim =ð K (x0 ) nazywamy kosztem
Dðx®ð0
Dðx
krańcowym.
/
Ze wzoru przybliżonego K(x0 +ð Dðx) -ð K(x0 ) ð K (x0 ) ×ð Dðx przyjmujÄ…c Dðx =ð1 otrzymujemy:
/
K(x0 +ð 1) -ð K(x0 ) ð K (x0 ) .
Z ostatniego wzoru wynika, że koszt krańcowy jest w przybliżeniu równy kosztowi, jaki należy ponieść, aby
zwiększyć produkcję o jednostkę.
Przykład 3. Całkowity koszt w złotych wyprodukowania w małej fabryce w ciągu tygodnia x artykułów
1
/
dany jest wzorem: K(x) =ð 50 +ð 5x -ð x2 . Obliczyć K(26) -ð K(25) i porównać z K (25) .
100
RozwiÄ…zanie.
1 1
Mamy tutaj K(26) -ð K (25) =ð 50 +ð 5 ×ð 26 -ð 262 -ð (50 +ð 5 ×ð 25 -ð 252 ) =ð 4,49 .
100 100
1 1
/ /
Ponieważ K (x) =ð 5 -ð x , to K (25) =ð 5 -ð =ð 4,5 . Jak widać obie wielkoÅ›ci różniÄ… siÄ™ nieznacznie.
50 2
W podobny sposób można interpretować pochodną w przypadku, gdy funkcja opisuje zależność dwóch
innych wielkości ekonomicznych: popyt-cena, wynagrodzenie -wydajność, utarg-ilość.
Niech f (x) będzie funkcją oznaczającą zależność kosztów produkcji od wielkości produkcji x.
f (x0 +ð Dðx) -ð f (x0 ) Dðx
Załóżmy, że x0 >ð 0, Dðx >ð 0 . Wówczas iloraz : nazywamy elastycznoÅ›ciÄ…
Dðx x0
przeciÄ™tnÄ… funkcji f w przedziale x0 ; x0 +ð Dðx i oznaczamy symbolem E.
f (x0 +ð Dðx) -ð f (x0 ) Dðx x0
/
Jeżeli f (x) jest funkcjÄ… różniczkowalnÄ…, to lim : =ð f (x0 ) ×ð nazywamy
Dðx®ð0
Dðx x0 f (x0 )
elastycznością funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy przez E(x0 ) .
Elastyczność funkcji w punkcie określa przybliżoną procentową zmianę wartości funkcji odpowiadającą
zmianie argumentu o 1%.
PrzykÅ‚ad 4. Obliczyć elastyczność funkcji f (x) =ð 3x -ð 6 .
x x x
/
RozwiÄ…zanie. Z okreÅ›lenia elastycznoÅ›ci mamy E(x) =ð f (x) =ð ×ð 3 =ð .
f (x) 3x -ð 6 x -ð 2
Tak wiÄ™c dla x =ð 4 elastyczność E(4) =ð 2 . Oznacza to, że jeżeli wartość x wzroÅ›nie o 1%, to wartość
funkcji wzrośnie o około 2%. (Tutaj wzrost argumentu funkcji o 1%, tzn. od wartości 4 do wartości 4,04
pociąga za sobą wzrost wartości funkcji od 6 do 6,12 czyli dokładnie o 2%).