Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 1
MACIERZE
1. Pojęcie macierzy. Równość macierzy
MacierzÄ… o wymiarze m ´ð n nazywamy prostokÄ…tnÄ… tablicÄ™ liczb zapisanych w m wierszach
i n kolumnach. Liczby tworzÄ…ce macierz nazywamy elementami macierzy.
2 -ð1 0
éðÅ‚ð
Przykład 1. Tablica liczb:
Ä™ð1 4 3Å›ð jest macierzÄ… o wymiarze 2 ´ð 3 . Tworzy jÄ… 6 liczb zapisanych
ëðûð
w dwóch wierszach i trzech kolumnach.
Macierze oznaczać będziemy krótko dużymi literami: A, B, C, ... . W przypadku ogólnym wypisując
elementy macierzy używać będziemy do tego celu  rdzennej litery z dwoma wskaz
nikami u dołu, z których
pierwszy określa numer wiersza , w którym znajduje się ten element, drugi - numer kolumny, np.:
a11 a12 Kð a1n
éð Å‚ð
Ä™ða a22 Lð a2n Å›ð
21
Ä™ð Å›ð
A =ð =ð [ðaij]ð .
m´ðn
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð
Ä™ð Å›ð
am2 Kð amn ûð
ëðam1
Dwie macierze A =ð[ðaij ]ð i B =ð[ðbij ]ð uznajemy za równe, gdy majÄ… ten sam wymiar, tzn. m =ð k ,
m´ðn k´ðl
n =ð l , oraz odpowiednie ich elementy sÄ… równe, tzn. aij =ð bij dla dowolnych i Îð{1, 2,..., m} ,
j Îð{1, 2,..., n} .
Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem O
(lub [ð0 ]ð , jeżeli zachodzi potrzeba zaznaczenia jej wymiaru).
m´ðn
0 0 0
éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 2. Macierz O =ð [ð0 ]ð =ð
2´ð3 Ä™ð0 0 0Å›ð jest macierzÄ… zerowÄ… wymiaru 2 ´ð 3.
ëð ûð
2. Macierze kwadratowe
Macierz nazywamy kwadratowÄ…, jeżeli liczba jej wierszy i liczba jej kolumn jest taka sama ( tzn. m =ð n ).
TÄ™ jednakowÄ… liczbÄ™ m =ð n nazywamy wtedy stopniem macierzy.
W macierzy kwadratowej A wyróżniamy przekÄ…tnÄ… głównÄ…. TworzÄ… jÄ… elementy aij , dla których i =ð j .
éðÅ‚ð
2 1 0
Ä™ðÅ›ð
PrzykÅ‚ad 3. Macierz A =ð 1 -ð2 3 jest macierzÄ… kwadratowÄ… stopnia 3, której głównÄ… przekÄ…tnÄ…
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
0 4 1
Ä™ðÅ›ð
ëðûð
stanowią wyróżnione elementy.
Macierz, w której wszystkie elementy znajdujące się nad lub pod główną przekątną są równe zeru,
nazywamy odpowiednio: macierzą trójkątną dolną lub macierzą trójkątną górną. Macierz spełniającą
jednocześnie oba warunki nazywamy macierzą diagonalną.
Wykład 1. Macierze
2
Jeżeli w macierzy diagonalnej elementy leżące na głównej przekątnej są jedynkami, to macierz
nazywamy jednostkową i oznaczamy symbolem I ( lub I , jeżeli zachodzi potrzeba zaznaczenia jej
n
stopnia).
1 0 0 1 2 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð0 Å›ð
PrzykÅ‚ad 4. Macierze A =ð 3 2 0Å›ð , B =ð 5 2 sÄ… macierzami trójkÄ…tnymi stopnia 3, pierwsza
Ä™ð-ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 0 4ûð ëð0 0 3
ëð ûð
- trójkątną dolną, druga  trójkątną górną.
2 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0
PrzykÅ‚ad 5. Macierz A =ð 0 0Å›ð jest macierzÄ… diagonalnÄ… stopnia 3.
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 1ûð
1 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
PrzykÅ‚ad 6. Macierz I =ð jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia 4.
Ä™ð Å›ð
0 0 1 0
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 0 1ûð
3. Działania na macierzach. Własności
Macierz powstałą z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny (z zachowaniem kolejności)
nazywamy macierzÄ… transponowanÄ… macierzy A i oznaczamy symbolem AT , operacjÄ™ zamiany
nazywamy transponowaniem macierzy. Operację transponowania można wykonać na każdej macierzy.
2 1 0
éð Å‚ð
2 3 0
éð Å‚ð
Ä™ð
PrzykÅ‚ad 7. Wyznaczyć macierz transponowanÄ… macierzy: A =ð 3 0 2Å›ð oraz B =ð
Ä™ð1 0 4Å›ð .
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð1 1 4ûð
RozwiÄ…zanie. WpisujÄ…c elementy pierwszego wiersza kolejno do kolumny pierwszej, drugiego  do drugiej,
2 3 -ð1 2 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 Å›ð Ä™ð3
trzeciego  do trzeciej, otrzymamy AT =ð 0 1 . W podobny sposób otrzymamy: BT =ð 0Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
ëð0 2 4 Å›ð ëð0 4ûð
ûð
Iloczynem macierzy A =ð[ðaij ]ð przez liczbÄ™ rzeczywistÄ… lð nazywamy takÄ… macierz B =ð[ðbij ]ð , że
m´ðn m´ðn
bij =ð lðaij dla i Îð{1, 2,..., m} , j Îð{1, 2,..., n}. Zapisujemy wówczas B =ð lð A .
2 1
éð Å‚ð
Ä™ð3
PrzykÅ‚ad 8. Niech A =ð 0Å›ð . Obliczyć B =ð 2A .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 4ûð
RozwiÄ…zanie. Z przyjÄ™tej definicji wynika, że macierz B =ð 2A powstaje z macierzy A przez pomnożenie
4 2
éð Å‚ð
Ä™ð6
każdego jej elementu przez 2. StÄ…d B =ð 2A =ð 0Å›ð .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 8ûð
Macierz (-ð1) ×ð A =ð[ð-ð aij ]ð oznaczamy krótko symbolem -ð A i nazywamy macierzÄ… przeciwnÄ… do A.
m´ðn
Wykład 1. Macierze
3
SumÄ… macierzy A =ð[ðaij ]ð i B =ð[ðbij ]ð nazywamy macierz C =ð[ðcij ]ð , takÄ… że cij =ð aij +ð bij
m´ðn m´ðn m´ðn
dla i Îð{1, 2,..., m} , j Îð{1, 2,..., n}. Zapisujemy wówczas C =ð A +ð B .
Uwaga. Dwie macierze można do siebie dodać, jeżeli mają ten sam wymiar. Aby je dodać należy
zsumować odpowiednie elementy.
1 3
éð Å‚ð
2 3 0 0 2 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
PrzykÅ‚ad 9. Niech A =ð
Ä™ð1 0 4Å›ð , B =ð Ä™ð3 2 4Å›ð , C =ð Ä™ð-ð2 2Å›ð . Obliczyć: a) A + B , b) B + C.
Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ð
4 0ûð
ëð
2 +ð 0 3 +ð 2 0 +ð1 2 5 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
RozwiÄ…zanie. a) A +ð B =ð
Ä™ð1+ð 3 0 +ð 2 4 +ð 4Å›ð =ð Ä™ð4 2 8Å›ð , b) B + C  dziaÅ‚anie niewykonalne.
ëð ûð ëð ûð
RóżnicÄ… macierzy A =ð[ðaij ]ð i B =ð[ðbij ]ð nazywamy macierz C =ð[ðcij ]ð , gdzie cij =ð aij -ð bij
m´ðn m´ðn m´ðn
dla i Îð{1, 2,..., m} , j Îð{1, 2,..., n}. Zapisujemy wówczas C =ð A -ð B .
Uwaga. Odejmowanie macierzy (wyłącznie tego samego wymiaru) odbywa się poprzez odjęcie
odpowiednich elementów.
1 3
éð Å‚ð
2 3 0 0 2 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð
PrzykÅ‚ad 10. Niech A =ð
Ä™ð1 0 4Å›ð , B =ð Ä™ð3 2 4Å›ð , C =ð Ä™ð-ð2 2Å›ð . Obliczyć: a) A  B, b) C  A.
Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ð
4 0ûð
ëð
2 -ð 0 3 -ð 2 0 -ð1 2 1 -ð1
éðÅ‚ð éð Å‚ð
RozwiÄ…zanie. a) A -ð B =ð , b) C  A - dziaÅ‚anie niewykonalne.
Ä™ð1-ð 3 0 -ð 2 4 -ð 4Å›ð =ð Ä™ð Å›ð
ëðûð ëð-ð2 -ð2 0 ûð
Własności dodawania macierzy i mnożenia przez liczbę
Dla dowolnych macierzy A, B, C oraz macierzy O tego samego wymiaru m ´ð n i dowolnych liczb
rzeczywistych lð, mð zachodzÄ… warunki:
1. (A +ð B) +ð C =ð A +ð (B +ð C) .
2. A +ð B =ð B +ð A .
3. A +ð O =ð O +ð A .
4. A +ð (-ðA) =ð (-ðA) +ð A =ð O .
5. lð(A +ð B) =ð lð A +ð lðB .
6. (lð+ð mð)A =ð lð A +ð mð A .
7. (lðmð)A =ð lð(mð A) .
Iloczynem macierzy A =ð[ðaij ]ð przez macierz B =ð[ðbij]ð nazywamy macierz C =ð[ðcij ]ð , gdzie
m´ðn n´ðk m´ðk
cij =ð ai1b1 j +ð ai2b2 j +ð ai3b3 j +ð...+ð ainbnj dla i Îð{1, 2,..., m} , j Îð{1, 2,..., k }. Zapisujemy wówczas C =ð AB .
Uwaga. Mnożenie macierzy A przez macierz B jest wykonalne, jeżeli ilość kolumn w macierzy A jest
równa iloÅ›ci wierszy w macierzy B. Aby otrzymać element cij macierzy C =ð AB należy pomnożyć kolejno
elementy i-tego wiersza macierzy A przez elementy j-tej kolumny macierzy B (pierwszy przez pierwszy,
drugi przez drugi,...), a następnie dodać otrzymane iloczyny.
Wykład 1. Macierze
4
1 2 3 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð
PrzykÅ‚ad 11. Niech A =ð 2 1 0Å›ð , B =ð 2 1Å›ð . Obliczyć C = AB.
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
3 1 2ûð ëð-ð1 2ûð
ëð
Rozwiązanie. Wykonamy mnożenie macierzy posługując się tzw. schematem Falka.
Pierwszą z macierzy (A) umieszczamy po lewej stronie schematu, drugą (B) u góry po prawej. Wtedy
w dolnym prawym rogu schematu powstanie macierz iloczynowa (AB).
Poniżej, w obrÄ™bie schematu, zilustrowano jak otrzymuje siÄ™ element c11 macierzy C =ð AB . W tym celu
należało wziąć pierwszy wiersz macierzy A i odpowiednio pomnożyć przez pierwszą kolumnę macierzy B.
c11 =ð W1K1 =ð1×ð1+ð 2×ð 2 +ð 3×ð (-ð1) =ð 2 .
Aby otrzymać kolejne elementy macierzy C = AB należy
éð
1 0Å‚ð
mnożyć odpowiednio przez siebie: wiersze macierzy A przez
B
Ä™ð Å›ð
kolumny macierzy B:
2 1Å›ð
Ä™ð
A
c12 =ð W1K2 =ð1×ð 0 +ð 2×ð1+ð 3×ð 2 =ð 8,
Ä™ð
-ð1 2Å›ð
ëð ûð
c21 =ð W2K1 =ð 2×ð1+ð1×ð 2 +ð 0×ð (-ð1) =ð 4,
éðÅ‚ð éð
c22 =ð W2K2 =ð 2 ×ð0 +ð1×ð1+ð 0 ×ð 2 =ð1,
1 2 3 2 8Å‚ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
c31 =ð W3K1 =ð 3×ð1+ð1×ð 2 +ð 2 ×ð (-ð1) =ð 3,
2 1 0 4 1
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
AB
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð c32 =ð W3K2 =ð 3×ð0 +ð1×ð1+ð 2 ×ð 2 =ð 5.
3 1 2 3 5Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð
ëðûð ëð ûð
Dalsze własności działań na macierzach
W poniższych warunkach A, A1, A2 oznaczajÄ… dowolne macierze wymiaru m ´ð n , B, B1, B2 -
dowolne macierze wymiaru n ´ð k , C - dowolnÄ… macierz wymiaru k ´ð p , In , Im - macierze jednostkowe
stopnia odpowiednio n i m, lð - oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ rzeczywistÄ…:
8. A(BC) =ð (AB)C .
9. lð(AB) =ð (lð A)B .
10. (A1 +ð A2 )B =ð A1B +ð A2B .
11. A(B1 +ð B2 ) =ð AB1 +ð AB2 .
12. AIn =ð A =ð Im A .
Uwaga. Dla macierzy A i B warunek AB =ð BA nie musi zachodzić. Dotyczy to nie tylko macierzy
dowolnego wymiaru (nie zawsze oba iloczyny istnieją), ale również macierzy kwadratowych. Fakt ten
oznacza, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
3 1 -ð1 2
éð Å‚ð éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 12. Niech A =ð , B =ð . Wykazać, że AB Ä…ð BA .
Ä™ð2 0Å›ð Ä™ð
2 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Rozwiązanie. Poniżej wykonano oba mnożenia posługując się schematem Falka:
-ð1 2 3 1
éð Å‚ð
B
Aéð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð2 0Å›ð
2 1Å›ð
A
ëð ûð ëð ûð
B
3 1 -ð1 7 -ð1 2 1 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð2 0Å›ð Ä™ð Ä™ð Å›ð
= BA
= AB 2 1Å›ð Ä™ð8 2
ëð ûð ëð-ð 2 4Å›ð ëð ûð ëð ûð
ûð
Wykład 1. Macierze
5
-ð1 7 1 -ð1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ponieważ AB =ð , BA =ð , to AB Ä…ð BA .
Ä™ð Ä™ð8 2 Å›ð
ëð-ð2 4Å›ð ëð ûð
ûð
3 1 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 13. Niech A =ð , I =ð . Obliczyć AI oraz IA.
Ä™ð2 0Å›ð Ä™ð0 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Rozwiązanie. Poniżej wykonano oba mnożenia posługując się schematem Falka:
1 0 3 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
I
A
Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð2 0Å›ð
A
ëð ûð ëð ûð
I
3 1 3 1 1 0 3 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
= A
Ä™ð2 0Å›ð Ä™ð2 0Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð2 0Å›ð = A
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Mamy zatem AI =ð IA =ð A .
Uwaga. Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy podobną rolę, jak liczba 1 w mnożeniu liczb.
Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową, n  liczbą naturalną.
Potęgi macierzy definiujemy następująco:
A1 =ð A, An =ð An-ð1 ×ð A dla n Å‚ð 2 .
1 -ð 2 1
éð Å‚ð
Ä™ð3
PrzykÅ‚ad 14. Niech A =ð 2 1Å›ð . Obliczyć A2 .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 1 2ûð
1 -ð 2 1 1 -ð 2 1 -ð 5 -ð 5 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð3 Ä™ð3 Ä™ð
RozwiÄ…zanie. A2 =ð A ×ð A =ð 2 1Å›ð ×ð 2 1Å›ð =ð 9 -ð1 7Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Å›ð Å›ð
ëð0 1 2ûð Ä™ð 1 2ûð Ä™ð 3 4 5ûð
ëð0 ëð
1 2
éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 15. Niech A =ð . Wyznaczyć An .
Ä™ð0 1Å›ð
ëð ûð
RozwiÄ…zanie. Kolejno mamy:
1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 6
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A2 =ð A ×ð A =ð ×ð =ð , A3 =ð A2 ×ð A =ð ×ð =ð ,
Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
1 6 1 2 1 8 1 2n
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A4 =ð A3 ×ð A =ð ×ð =ð . Wnioskujemy zatem, że An =ð .
Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1Å›ð Ä™ð0 1 Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð