Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 12
PODSTAWOWE TWIERDZENIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ  lista zadań
1. Napisać różniczkę funkcji:
a) f (x) =ð cos3x , b) f (x) =ð ln(1+ð 5x) , c) f (x) =ð xe-ð x .
2. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
3
a) 24,8 , b) 8,4 , c) ln102 , d) arctg1,04 .
,
3. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y =ð f (x) w punkcie o odciÄ™tej x0 . SporzÄ…dzić wykres
funkcji i stycznej.
a) f (x) =ð x, xo =ð 4, b) f (x) =ð ex , xo =ð 0 , c) f (x) =ð ln x, x0 =ð1.
x
d) f (x) =ð x2 -ð 3x, x0 =ð1 , e) f (x) =ð x3 , x0 =ð1, f) f (x) =ð , x0 =ð 0 .
x +ð 1
4. Wyznaczyć przedziaÅ‚y monotonicznoÅ›ci i ekstrema funkcji: a) f (x) =ð x2 -ð x +ð 1,
x3 x2 1
b) f (x) =ð 2x3 -ð 3x2 +ð 3 , c) f (x) =ð -ð -ð 2x +ð , d) f (x) =ð x3 -ð 27x +ð 36 ,
3 2 3
1
e) f (x) =ð x4 -ð 8x2 +ð 16, f) f (x) =ð x3 +ð 3x2 -ð 9x +ð1 , g) f (x) =ð 4x3 -ð x4 , h) f (x) =ð x +ð ,
x
1
x
i) f (x) =ð x -ð 2ln x , j) f (x) =ð x2 -ð 2 ln x , k) f (x) =ð (x +ð 2)e-ð2x , l) f (x) =ð xe ,
1 x
m) f (x) =ð , n) f (x) =ð x +ð arctgx , o) f (x) =ð x2 ln x , p) f (x) =ð .
ln x
ex -ð1
5. Wyznaczyć przedziały wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia:
x x2 -ð 4x +ð 5
a) f (x) =ð x2 -ð 4x +ð 3, b) f (x) =ð , c) f (x) =ð x4 -ð 6x2 +ð 48 , d) f (x) =ð ,
x +ð 1 x -ð 2
ex ln x
e) f (x) =ð , f) f (x) =ð , g) f (x) =ð xarctgx , h) f (x) =ð ln2 x .
1 +ð x x
6. Obliczyć granice stosując regułę de l'Hospitala:
2
e2x -ð1 x2 -ð 3x +ð 2 x +ð ln x ln x sin 2x
a) lim , b) lim , c) lim , d) lim , e) lim ,
x®ð0 x®ð1 x®ð+ðÄ„ð x®ð1 x®ð0
sin x sinpðx
x2 -ð1 x2 2x2
1
ex -ð e-ð x sin x -ð x cos x e2x -ð1
x
f) lim , g) lim , h) lim , i) lim x ln x , j) lim xe ,
x®ð0 x®ð0 x®ð0
x®ð0+ð x®ð0+ð
sin x ln(1 +ð 2x)
x3
k) lim x2e-ð3x .
x®ð+ðÄ„ð
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej  lista zadań
2
Odpowiedzi
5dx
1. a) df =ð -ð3sin 3xdx , b) df =ð , c) df =ð (xe-ð x -ð e-ð x )dx .
1+ð 5x
1 1 1 61
3
2. a) 24,8 ð 5 +ð (-ð0,2) =ð 4,98 , b) 8,4 ð 2 +ð ×ð 0,4 =ð 2 +ð =ð ,
10 12 30 30
pð 1 pð +ð 0,08 3,22
c) ln1,02 ð 0, 02 , d) arctg1,04 ð +ð 0,04 =ð ð =ð 0,805 .
4 2 4 4
1
3. a) y =ð x +ð 1 b) y =ð x +ð1 c) y =ð x -ð1
4
Y
y =ð ex
y =ð x -ð 1
Y
1
Y
y =ð x +ð 1
4 y =ð ln x
y =ð x +ð 1
2
y =ð x X
1
X
X
1
4
c) y =ð -ðx -ð1, d) y =ð 3x -ð 2 , e) y =ð x .
=ð
Y y x3
Y
Y
y =ð x2 -ð 3x x
y=ð
+ð =ð
x 1 y x
1
1
X
X
1
3
1
-1
=ð -ð
y 3x 2
X
-2
y =ð -ðx -ð 1
1 1
/
4. a) f (x) =ð 2x -ð1. Funkcja roÅ›nie w przedziale ( ; +ð Ä„ð) , maleje w przedziale (-ðÄ„ð ; ) . W punkcie
2 2
1 1 3
x =ð funkcja osiÄ…ga minimum fmin =ð f ( ) =ð .
2 2 4
/
b) f (x) =ð 6x2 -ð 6x . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; 0) , (1; +ð Ä„ð) , maleje w przedziale ( 0;1) .
W punkcie x1 =ð 0 wystÄ™puje maksimum fmax =ð f (0) =ð 3 , w punkcie x2 =ð1 funkcja osiÄ…ga minimum
fmin =ð f (1) =ð 2 ,
/
c) f (x) =ð x2 -ð x -ð 2 . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; -ð1) , (2 ; +ð Ä„ð) , maleje w przedziale
3
( -ð1; 2 ) . W punkcie x1 =ð -ð1 wystÄ™puje maksimum fmax =ð f (-ð1) =ð , w punkcie x2 =ð 2 funkcja
2
osiÄ…ga
minimum fmin =ð f (2) =ð -ð3 ,
/
d) f (x) =ð 3x2 -ð 27 . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; -ð 3 ), ( 3 ; +ð Ä„ð ) , maleje w przedziale
(-ð 3 ; 3) . W punkcie x1 =ð -ð3 wystÄ™puje maksimum fmax =ð f (-ð3) =ð 90 , w punkcie x2 =ð 3 minimum
fmin =ð f (3) =ð -ð18 .
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej  lista zadań
3
/
e) f (x) =ð 4x3 -ð16x . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: ( -ð 2 ; 0 ) , ( 2; +ð Ä„ð) maleje w przedziaÅ‚ach:
(-ðÄ„ð ; -ð 2 ) , (0 ; 2) . W punkcie x1 =ð 0 funkcja osiÄ…ga maksimum fmax =ð f (0) =ð16 , w punktach
x2 =ð -ð2, x3 =ð 2 minima, przy czym fmin =ð f (-ð2) =ð f (2) =ð 0 .
/
f) f (x) =ð 3x2 +ð 6x -ð 9 =ð 3(x2 +ð 2x -ð 3) . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; -ð 3 ), (1; +ð Ä„ð ) , ma-
leje w przedziale (-ð 3 ;1) . W punkcie x1 =ð -ð3 wystÄ™puje maksimum fmax =ð f (-ð3) =ð 28 ,
w punkcie x2 =ð 1 minimum fmin =ð f (1) =ð -ð4 .
/
g) f (x) =ð12x2 -ð 4x3 =ð 4x2 (3 -ð x) . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; 0), (0 ; 3) , maleje
w przedziale (3; +ð Ä„ð) . W punkcie x =ð 3 funkcja osiÄ…ga maksimum fmax =ð f (3) =ð 27 .
1 x2 -ð1
/
h) f (x) =ð1 -ð =ð . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: (-ðÄ„ð ; -ð1), (1; +ð Ä„ð ) , maleje w przedzia-
x2 x2
Å‚ach: (-ð1; 0 ), ( 0 ;1) . W punkcie x1 =ð -ð1 funkcja osiÄ…ga maksimum fmax =ð f (-ð1) =ð -ð2 , w punkcie
x2 =ð1 minimum fmin =ð f (1) =ð 2 .
2 x -ð 2
/
i) f (x) =ð 1-ð =ð . Funkcja roÅ›nie w przedziale: (2 ; +ð Ä„ð ) , maleje w przedziale: ( 0 ; 2 ) .
x x
W punkcie x =ð 2 funkcja osiÄ…ga minimum fmin =ð f (2) =ð 2 -ð 2ln 2 .
2 2x2 -ð 2
/
j) f (x) =ð 2x -ð =ð . Funkcja maleje w przedziale ( 0;1) , roÅ›nie w przedziale (1; +ð Ä„ð) .
x x
W punkcie x =ð1 funkcja osiÄ…ga minimum fmin =ð f (1) =ð1 .
3 3
/
k) f (x) =ð e-ð2x (-ð2x -ð 3) . Funkcja roÅ›nie w przedziale: (-ðÄ„ð ; -ð ) , maleje w przedziale: (-ð ; +ð Ä„ð ) .
2 2
3 3 1
W punkcie x =ð -ð funkcja osiÄ…ga maksimum fmax =ð f (-ð ) =ð e3 .
2 2 2
1
x -ð1
/
x
l) f (x) =ð e . Funkcja roÅ›nie w przedziaÅ‚ach: ( -ð Ä„ð;0 ) , (1 ; +ð Ä„ð ) , maleje w przedziale ( 0;1) .
x
W punkcie x =ð1 osiÄ…ga minimum fmin =ð f (1) =ð e .
1
/
m) f (x) =ð -ð ex . Funkcja maleje w przedziaÅ‚ach: ( -ð Ä„ð;0 ) , ( 0; +ð Ä„ð ) .
x
(e -ð1)2
1
/
n) f (x) =ð1 +ð . Funkcja roÅ›nie w zbiorze R.
1 +ð x2
1 1 1
/
o) f (x) =ð 2x(ln x +ð ) . Funkcja roÅ›nie w przedziale ( ;+ð Ä„ð) , maleje w przedziaÅ‚ach: (0; ).
2
e e
1 1 1
W punkcie x =ð osiÄ…ga minimum fmin =ð f ( ) =ð -ð .
2e
e e
ln x -ð1
/
p) f (x) =ð . Funkcja roÅ›nie w przedziale ( e; +ð Ä„ð ) , maleje w przedziaÅ‚ach: ( 0;1), (1;e ) .
ln2 x
W punkcie x =ð e osiÄ…ga minimum fmin =ð f ( e ) =ð e .
//
5. a) f (x) =ð 2 . Funkcja jest wypukÅ‚a w dół na caÅ‚ej osi i nie ma punktów przegiÄ™cia.
-ð 2
//
b) f (x) =ð . Funkcja jest wypukÅ‚a w dół w przedziale: (-ð Ä„ð; -ð1) i wypukÅ‚a w górÄ™ w przedziale
(x +ð 1)3
(-ð1; +ð Ä„ð ) . Punktów przegiÄ™cia nie posiada.
//
c) f (x) =ð12x2 -ð12 . Funkcja jest wypukÅ‚a w dół w przedziaÅ‚ach: (-ð Ä„ð ; -ð1) , (1; +ð Ä„ð) i wypukÅ‚a
w górÄ™ w przedziale (-ð1;1 ) . Punkty: P1( -ð1, 43 ), P2 (1, 43 ) sÄ… punktami przegiÄ™cia.
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej  lista zadań
4
20(x -ð 2)
//
d) f (x) =ð .Funkcja jest wypukÅ‚a w górÄ™ w przedziale: (-ð Ä„ð ; 2 ) i wypukÅ‚a w dół w przedziale
(x -ð 2)4
( 2 ; +ð Ä„ð ) . Wykres nie posiada punktów przegiÄ™cia.
(x +ð 1)ex (x2 +ð 1)
//
e) f (x) =ð . Funkcja jest wypukÅ‚a w górÄ™ w przedziale: (-ð Ä„ð; -ð1) i wypukÅ‚a w dół
(x +ð 1)4
w przedziale (-ð1; +ð Ä„ð ) . Wykres nie posiada punktów przegiÄ™cia.
3
2 ×ð (ln x -ð )
// 2
f) f (x) =ð . Funkcja jest wypukÅ‚a w górÄ™ w przedziale: (0 ; e e ) i wypukÅ‚a w dół
x3
3
w przedziale (e e ; +ð Ä„ð ) . Punkt P( e e, ) jest punktem przegiÄ™cia.
2e e
2
//
g) f (x) =ð . Funkcja jest wypukÅ‚a w dół w caÅ‚ej dziedzinie.
(1 +ð x2 )2
2 ×ð (1 -ð ln x)
//
h) f (x) =ð . Funkcja jest wypukÅ‚a w dół w przedziale: ( 0 ; e ) i wypukÅ‚a w górÄ™ w prze-
x2
dziale (e ; +ð Ä„ð) . Punkt P( e ,1 ) jest punktem przegiÄ™cia.
1
1 1
6. a) 2, b) -ð , c) 0, d) -ð , e) 2 , f) 2, g) , h) 1, i) 0, j) +ð Ä„ð , k) 0.
2 pð
3