Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 6
CI
GI I SUMY
1. Ciągi liczbowe
Ciągiem nieskończonym ( krótko: ciągiem ) nazywamy funkcję f, która odwzorowuje zbiór liczb natu-
ralnych N w pewien niepusty zbiór X. Wartość f (n) tej funkcji dla argumentu n nazywamy n-tym wyra-
zem ciągu lub wyrazem ogólnym ciągu i oznaczamy przez an . Ciąg zapisujemy krótko w postaci (an ) ,
lub podając kilka jego początkowych wyrazów: a1,a2 ,a3 ,a4 ,... .
Jeżeli zamiast zbioru N rozpatrywać pewien skończony podzbiór początkowych liczb naturalnych, to
funkcję nazywamy ciągiem skończonym.
Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym.
Ciąg określa się najczęściej definiując jego n-ty wyraz.
n
Przykład 1. Wyznaczyć cztery początkowe wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a) an =� , b)
2n +� 1
an =� 2n . Rozwiązanie. Podstawiając w każdym ze wzorów kolejno n =�1, 2, 3, 4, ... dostajemy odpowiednio
1 2 3 4
a) , , , , ..., b) 2, 4, 8,16, .... .
3 5 7 9
Ciągi można również określać rekurencyjnie podając k jego początkowych wyrazów: a1,a2 ,a3,...,ak
oraz definiując wyraz an , n ł� k +� 1, w zależności od k wyrazów poprzednich.
Przykład 2. Wypisać następne trzy wyrazy ciągu określonego następująco: a) a1 =� 2, an =� an-�1 +� n dla
n ł� 2 , b) a1 =�1, a2 =�1, an =� an-�1 +� an-�2 dla n ł� 3 .
Rozwiązanie.
a) Stosując dany wzór dla n =� 2 mamy a2 =� a1 +� 2 =� 2 +� 2 =� 4 , dla n =� 3 dostajemy a3 =� a2 +� 3 =� 4 +� 3 =� 7 ,
dla n =� 4 otrzymujemy a4 =� a3 +� 4 =� 7 +� 4 =�11. Ciąg ma więc postać: 2, 4, 7,11, ... .
b) Postępując podobnie mamy a3 =� a2 +� a1 =�1 +� 1 =� 2 , a4 =� a3 +� a2 =� 2 +� 1 =� 3, a5 =� a4 +� a3 =� 3 +� 2 =� 5 .
Tak więc ciąg ma postać: 1,1, 2, 3, 5, ... .
Przykład 3. Wykazać, że każdy ciąg o wyrazie ogólnym postaci an =� C �� 3n +� 2n , gdzie C jest dowolną
stałą, spełnia tzw. równanie rekurencyjne: an+�1 -� 3an =� -�4n +� 2 .
Rozwiązanie. Mamy tutaj an+�1 =� C �� 3n+�1 +� 2(n +� 1) . Zatem an+�1 -� 3an =� C �� 3n+�1 +� 2(n +� 1) -� 3C �� 3n -� 6n =�
=� 3C �� 3n +� 2n +� 2 -� 3C �� 3n -� 6n =� -�4n +� 2 .
Przykład 4. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym an =� 2 �� (-�3)n +� 2n spełnia równanie rekurencyjne:
an+�1 +� 3an =� 5 �� 2n z warunkiem początkowym a1 =� -�4
Rozwiązanie. Ponieważ an+�1 =� 2 �� (-�3)n+�1 +� 2n+�1 , to an+�1 +� 3an =� 2 �� (-�3)n+�1 +� 2n+�1 +� 6 �� (-�3)n +� 3 �� 2n =�
=� -�6 �� (-�3)n +� 2 �� 2n +� 6 �� (-�3)n +� 3 �� 2n =� 5 �� 2n . Ponadto a1 =� 2 �� (-�3) +� 2 =� -�4 .
Wykład 6. Ciągi i sumy.
2
Ciąg (an ) nazywamy rosnącym , jeżeli każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego, tzn.
an+�1 >� an dla każdego n�� N . Jeżeli natomiast każdy następny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego,
tzn. an+�1 <� an dla każdego n�� N , to ciąg nazywamy malejącym .
Ciągi rosnące albo malejące obejmujemy wspólnym określeniem: ciągi (ściśle) monotoniczne.
Uwaga. W praktyce badając monotoniczność ciągu warto badać różnicę an+�1 -� an . Jeżeli an+�1 -� an >� 0
dla każdego n�� N , to ciąg jest rosnący, jeżeli natomiast an+�1 -� an <� 0 dla każdego n�� N , to ciąg jest male-
jący.
3n +� 2
Przykład 5. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an =� .
2n +� 3
3(n +�1) +� 2 3n +� 5
Rozwiązanie. Mamy tutaj an+�1 =�=� .
2(n +�1) +� 3 2n +� 5
3n +� 5 3n +� 2 (3n +� 5)(2n +� 3) -� (3n +� 2)(2n +� 5) 5
Stąd an+�1 -� an =� -� =� =� .
2n +� 5 2n +� 3 (2n +� 5)(2n +� 3) (2n +� 5)(2n +� 3)
Otrzymana różnica jest dodatnia przy każdym n�� N . Tym samym ciąg jest rosnący.
2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ciągiem arytmetycznym o różnicy r, jeżeli dla każdego n �� N spełniony
jest warunek: an+�1 -� an =� r .
Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r wyraża się wzorem
an =� a1 +� (n -�1)r .
Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ciągiem geometrycznym o ilorazie q ą� 0 , jeżeli dla każdego n �� N speł-
Wyraz ogólny ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 o ilorazie q wyraża się wzorem
an =� a1qn-�1 .
an+�1
niony jest warunek: =� q .
an
2 4 8
Przykład 6. Wyznaczyć wzór na wyraz ogólny ciągu: a) 2, 5, 8,11, ... , b) 1,-� , ,-� , ... ,
3 9 27
3 5 7 9
c) , , , , ... .
4 8 16 32
Rozwiązanie.
a) Mamy tutaj a2 -� a1 =� a3 -� a2 =� a4 -� a3 =� ... =� 3 . Dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r =� 3
i pierwszym wyrazie a1 =� 2 . Wyraz ogólny ciągu ma więc postać: an =� 2 +� (n -�1) �� 3 =� 3n -�1.
a2 a3 a4 2
b) W tym przypadku =� =� =� ... =� -� . Oznacza to, że ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
a1 a2 a3 3
2 2
q =� -� i pierwszym wyrazie a1 =� 1. Wyraz ogólny jest więc postaci: an =� (-� )n-�1 .
3 3
Wykład 6. Ciągi i sumy.
3
an
c) Wyraz ogólny ciągu można zapisać w postaci cn =� , gdzie an jest n-tym wyrazem ciągu arytmetycz-
bn
nego o pierwszym wyrazie a1 =� 3 i różnicy r =� 2 , bn jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o
pierwszym wyrazie b1 =� 4 i ilorazie q =� 2 . Stąd an =� 3 +� (n -�1) �� 2 =� 2n +� 1,
2n +�1
bn =� 4 �� 2n-�1 =� 22 �� 2n-�1 =� 2n+�1 . Ostatecznie cn =� .
2n+�1
3. Zachowanie się wyrazów ciągu dla dużych n
Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an ) i piszemy lim an =� g , jeżeli w dowolnym otoczeniu tej liczby
n��Ą�
leżą wszystkie wyrazy ciągu, z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby (prawie wszystkie wyrazy cią-
gu). Interpretację granicy ciągu przedstawia rys.1.
Ciąg posiadający granicę nazywamy ciągiem zbieżnym.
Uwaga. Jeżeli dla każdego e� >� 0 istnieje liczba naturalna n0 , taka że an -� g <� e� dla n ł� n0 , to
lim an =� g .
n��Ą�
Tu leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu
g -� e� g +� e�
g
an
a2 a3 a4
a1
0
Rys. 1
Niektóre granice wykorzystywane w teorii ciągów
Granice Przykłady
Jeżeli c jest stałą, to limc =� c .
lim0 =� 0, lim1 =� 1, lim 2 =� 2
n��Ą�
n��Ą� n��Ą�
n��Ą�
1 1 1 1 1
Jeżeli k jest stałą dodatnią, to lim =� 0. lim =� 0, lim =� 0, lim =� 0, lim =� 0
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n
nk n2 n��Ą� n3 n��Ą�
n
1 1 3
Jeżeli q jest stałą z przedziału ( -� 1;1) , to lim qn =� 0 .
lim( )n =� 0, lim(-� )n =� 0, lim( )n =� 0
n��Ą�
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
2 5 4
n
Jeżeli a jest stałą dodatnią, to lim a =�1.
2
n n
n
n��Ą�
lim 2 =� 1, lim 5 =� 1, lim =� 1
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
5
1
n
lim n =� 1 . lim(1 +� )n =� e .
n��Ą� n��Ą�
n
Twierdzenie. Jeżeli lim an =� a i lim bn =� b , to
n��Ą� n��Ą�
an
a
1. lim(an ą� bn ) =� a ą� b , 2. lim(an ��bn ) =� a ��b , 3. lim = o ile bn ą� 0 dla n�� N, b ą� 0 .
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
bn b
1 +� 3n+�2 n +� 1
n
Przykład 7. Obliczyć granice: a) lim 2 �� n2 , b) lim , c) lim( )4n .
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n
5n
Wykład 6. Ciągi i sumy.
4
Rozwiązanie.
1 +� 3n+�2 1 3
n
n n
a) lim 2 �� n2 =� lim 2 �� lim n �� lim n =� 2 ��1��1 =� 2 . b) lim =� lim[( )n +� 9 �� ( )n]=� 0 +� 9 �� 0 =� 0 .
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
5 5
5n n��Ą�
n +� 1 1
c) lim( )4n =� lim[(1 +� )n ]4 =� e4 .
n��Ą� n��Ą�
n n
Ciąg nazywamy rozbieżnym do plus nieskończoności i piszemy lim an =� +�Ą� , jeżeli od dowolnej licz-
n��Ą�
by M większe są prawie wszystkie wyrazy ciągu (rys.2).
Uwaga. Jeżeli dla każdego M istnieje liczba naturalna n0 , taka że an >� M dla n ł� n0 , to lim an =� +�Ą� .
n��Ą�
Tu leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu
a2 a3 a4 an
M
a1
0
Rys. 2
Podobnie, ciąg nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy lim an =� -�Ą� , jeżeli od do-
n��Ą�
wolnej liczby M mniejsze są prawie wszystkie wyrazy ciągu.
O ciągu rozbieżnym do plus lub minus nieskończoności mówimy, że ma granicę niewłaściwą
Niektóre granice niewłaściwe w teorii ciągów
Granice Przykłady
Jeżeli k jest stałą dodatnią, to lim nk =� +�Ą� . lim n =� +�Ą�, lim n2 =� +�Ą�, lim n3 =� +�Ą�, lim n =� +�Ą� .
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
Jeżeli q jest stałą większą od 1, to lim qn =� +�Ą� . lim 2n =� +�Ą�, lim 3n =� +�Ą�, lim( 2)n =� +�Ą� .
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
Przytoczymy teraz pewne twierdzenia podające niektóre związki między granicami właściwymi i niewła-
ściwymi.
1
Twierdzenie. Jeżeli (an ) jest ciągiem, dla którego lim an =� +�Ą� , to lim =� 0 .
n��Ą� n��Ą�
an
Uwaga. Twierdzenie to będziemy stosować w następującej postaci symbolicznej: [+�1 ]=� 0 lub bardziej
Ą�
a
ogólnie [Ą�]=� 0 (a oznacza dowolną granicę właściwą, Ą� - granicę niewłaściwą).
Twierdzenie. Jeżeli (an ) jest ciągiem zbieżnym do granicy a, natomiast (bn ) - ciągiem rozbieżnym do
+� Ą� , to lim(an +� bn ) =� +�Ą�, lim(an -� bn ) =� -�Ą� .
n��Ą� n��Ą�
Uwaga. Zapis powyższych warunków w postaci symbolicznej: [a +� Ą�]=� +�Ą� , [a -� Ą�]=� -�Ą� .
+� Ą� , gdy a >� 0,
��
Inne twierdzenia zapisane w podobny sposób: [Ą� +� Ą�]=� +�Ą� , [a �� (+�Ą�)]=�
��
��-� Ą� , gdy a <� 0.
Wykład 6. Ciągi i sumy.
5
Następującym symbolom utworzonym w podobny sposób, jak w powyższych uwagach, nie moż-
na przypisać jednoznacznej wartości:
[Ą�], [0], [0 �� Ą�], [Ą� -� Ą�], [1Ą�], [00], [Ą�0].
Ą� 0
Symbole te nazywamy nieoznaczonymi.
Uwaga. Jeżeli w trakcie obliczeń symbolicznych w rachunku granic wystąpią symbole nieoznaczone, to wy-
rażenie należy odpowiednio przekształcić, aby usunąć nieoznaczoność.
3n +� 2 6n2 +� 4n +� 2 7n +� 5
Przykład 8. Obliczyć granice: a) lim , b) lim , c) lim ,
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n +� 5
n2 +� 5
n2 +� 3
2 �� 3n +� 2n 2n+�2 +� 5
d) lim , e) lim .
n��Ą� n��Ą�
3n +� 1 2n +� 1
Rozwiązanie. We wszystkich tych przykładach przy próbie bezpośredniego obliczenia granicy otrzymujemy
symbol nieoznaczony [Ą�]. W celu usunięcia nieoznaczoności wystarczy licznik i mianownik każdego
Ą�
z ułamków podzielić przez takie wyrażenie, które zadecydowało o rozbieżności danego mianownika.
4 2
2
8 +� +�
3 +�
2
3n +� 2 3 8n2 +� 4n +� 2 6
n
n n
a) lim =�[Ą�]=� lim =� =� 3, b) lim =�[Ą�]=� lim =� =� 4 ,
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
5 5
n +� 5 Ą� 1 Ą� 2
2n2 +� 5
1 +� 2 +�
n
n2
5
7 +�
7n +� 5 7n +� 5 7n +� 5 7
n
c) lim =�[Ą�]=� lim =� lim =� lim =� =� 7 ,
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
Ą� 1
3 3 3
n2 +� 3
n2 (1 +� ) n �� 1 +� 1 +�
2
n2 n n2
5
2
4 +�
2 +� ( )n
2 �� 3n +� 2n 2n+�2 +� 5 4 �� 2n +� 5
3 2n
d) lim =�[Ą�]=� lim =� 2 , e) lim =�[Ą�]=� lim =� lim =� 4 .
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
1 1
Ą� Ą�
3n +� 1 2n +� 1 2n +� 1
1 +� ( )n 1 +� ( )n
3 2
1
n
Jeżeli (an ) jest dowolnym ciągiem takim, że lim an =� +�Ą� , to lim(1 +� )a =� e .
n��Ą� n��Ą�
an
n +� 5 n +� 3
Przykład 9. Obliczyć granice: a) lim( )3n , b) lim( )4n .
n��Ą� n��Ą�
n n +� 2
15
n
ć� ��
n +� 5 5 1
5 ��
Rozwiązanie. a) lim( )3n =� lim(1 +� )3n =� lim��(1 +� ) =� e15 .
n
n��Ą� n��Ą� n��Ą��� ��
n n
Ł� 5 ł�
Wykład 6. Ciągi i sumy.
6
12
n
�� ł�
ę�ć� 1 �� 3 ś�
ę���1 +� n �� ś�
4n 4n
ę��� �� ś�
n+�3 3
ć� �� ć�1+� ��
n +� 3 ę�Ł� 3 ł� ś� e12
�� ��
b) lim( )4n =� lim�� n �� =� lim�� n �� =� lim =� =� e4 .
8
�� �� ��1+� ��
n+�2 2
n��Ą� n��Ą� n��Ą� n��Ą�
n
n +� 2 �� �� �� �� e8
�� ł�
Ł� n ł� Ł� n ł�
ę�ć� 1 �� 2 ś�
ę���1 +� n �� ś�
ę��� �� ś�
ę�Ł� 2 ł� ś�
�� ��
4. Sumy skończone
Niech będzie dany dowolny ciąg, którego wyrazy są liczbami (lub funkcjami liczbowymi). Sumę
n
a1 +� a2 +� a3 +� ... +� an wyrazów tego ciągu oznaczamy symbolem i czytamy:  suma ak od k =�1
k
��a
k =�1
do k =� n  .
n
Litera k występująca w symbolu nazywa się wskaz
nikiem sumacyjnym lub wskaz
nikiem bieżącym.
k
��a
k =�1
n
Uwaga. Aby obliczyć wartość sumy dla jakiejkolwiek wartości n należy zamiast wskaz
nika su-
k
��a
k =�1
macyjnego podstawić kolejno 1, 2, 3, ..., n i obliczyć sumę powstałych w ten sposób wyrazów
a1, a2 , a3 , ..., an .
5 4 6 5
1 k
2
Przykład 10. Obliczyć sumy: a) , b) , c) -�1) , d) .
��k �� ��(3k ��
k +� 2
2k
k =�1 k =�1 k =�1 k =�1
Rozwiązanie.
5
2
a)
��k =�12 +� 22 +� 32 +� 42 +� 52 =�1 +� 4 +� 9 +� 16 +� 25 =� 55 ,
k =�1
4
1 1 1 1 1 20 +� 15 +� 12 +� 10 57 19
b) =� +� +� +� =� =� =� ,
��
k +� 2 3 4 5 6 60 60 20
k =�1
6
c)
��(3k -�1) =� 2 +� 5 +� 8 +� 11 +� 14 +� 17 =� 57 ,
k =�1
5
k 1 2 3 4 5 16 +� 16 +� 12 +� 8 +� 5 57
d) =� +� +� +� +� =� =� .
��
2 4 8 16 32 32 32
2k
k =�1
n n
Uwaga. Wybór litery oznaczającej wskaz
nik sumacyjny nie jest istotny. Symbole , ozna-
k
��a ��a j
k =�1 j=�1
6 6
czają to samo. Na przykład =� j =�1 +� 2 +� 3 +� 4 +� 5 +� 6 =� 21.
��k ��
k =�1 j=�1
Jeżeli ( an ) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się
a1 +� an
wzorem: Sn =� �� n .
2
Wykład 6. Ciągi i sumy.
7
Przykład 11. Sumę 2 +� 6 +� 10 +� ... +� 122 zapisać używając symbolu , a następnie obliczyć wartość
��
tej sumy.
Rozwiązanie. Jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego, dla którego a1 =� 2, r =� 4 . Wyraz ogólny ciągu
ma więc postać: an =� 2 +� (n -�1) �� 4 =� 4n -� 2 . Ponieważ 4n -� 2 =�122 �� n =� 31, to dana suma zawiera 31 wy-
31
razów. Mamy zatem 2 +� 6 +� 10 +� ... +� 122 =� -� 2) =� ��
��(4k a1 +� a31 �� 31 =� 2 +� 122 31 =�1922 .
2 2
k =�1
Jeżeli ( an ) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q, to suma n początko-
wych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem:
na1 gdy q =�1,
��
��
Sn =�
�� 1-� qn
gdy q ą� 1.
1
��a q
1-�
��
1 1 1
Przykład 12. Sumę 2 +� 1 +� +� +� ... +� zapisać używając symbolu , a następnie obliczyć war-
��
2 4 1024
tość tej sumy.
1
Rozwiązanie. Jest to suma wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a1 =� 2, q =� . Wyraz ogólny ciągu
2
1 1 1 1
ma więc postać: an =� 2 �� ( )n-�1 =� ( )n-�2 . Ponieważ =� ( )n-�2 �� n =�12 , to dana suma zawiera 12 wy-
2 2 1024 2
1
1 -� ( )12
12
1 1 1 1 4095
k -�2 2
razów. Tym samym 2 +� 1 +� +� +� ... +� =� =� 2 �� =� 4 �� (1 -� ) =� .
��(1) =� a1 1 -� qn
1
2 4 1024 2 1 -� q 4096 1024
k =�1
1 -�
2
n q
W analogiczny sposób jak sumy określamy sumy ogólniejsze: =� a +� a +� a +� ... +� aq ,
k k p p+�1 p+�2
��a ��a
k =�1 k =� p
gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, q - liczbą całkowitą nie mniejszą niż p.
3 8 4
1 2k +� 1
Przykład 13. Obliczyć sumy: a) +� 1) , b) , c) .
��(k �� ��
k -� 3 k +� 1
k =�-�2 k =�4 k =�0
3 8
1 1 1 1 1 137
Rozwiązanie. a) +� 1) =� -�1 +� 0 +� 1 +� 2 +� 3 +� 4 =� 9 , b) =�1 +� +� +� +� =� ,
��(k ��
k -� 3 2 3 4 5 60
k =�-�2 k =�4
4
2k +� 1 3 5 7 9 463
c) =�1 +� +� +� +� =� .
��
k +� 1 2 3 4 5 60
k =�0
Własności sum skończonych
Dla dowolnych liczb całkowitych n, p, q takich, że p Ł� q Ł� n oraz dowolnej liczby c zachodzą wzory:
q
n n n n n nn
1. 2. =� +� ak .
k k k k k
��ca =� c ����a . ��(a +� bk ) =� ��a +� ��b . 3. ��ak ��ak ��
k =� p k =� p k =� p k =� p k =� p k =� p k =� p k =�q+�1
Wykład 6. Ciągi i sumy.
8
5. Szeregi (sumy nieskończone)
Ą�
Sumę postaci =� a1 +� a2 +� a3 +�...+�an +� ... nazywamy szeregiem o wyrazie ogólnym an .
n
��a
n=�1
Jeżeli suma ta jest liczbą skończoną, to szereg nazywamy zbieżnym , w przeciwnym wypadku szereg na-
zywamy rozbieżnym.
Uwaga. Aby wyznaczyć sumę szeregu należy obliczyć najpierw tzw. sumę częściową:
n
Sn =� a1 +� a2 +� a3 +� ... +� an =� , a następnie obliczyć granicę lim Sn .
k
��a
n��Ą�
k =�1
Ą�
1 1 1 1 1
Przykład 14. Zbadać zbieżność szeregu =� +� +� +� ... +� +� ... .
��
n(n +�1) 2 6 12 n(n +�1)
n=�1
n
1 1 1 1
Rozwiązanie. Obliczmy najpierw sumę częściową Sn =� . Ponieważ =� -� , to
��
k(k +�1) k(k +�1) k k +�1
k =�1
n
1 1 1 1 1 1
Sn =� -� ) =� (1 -� ) +� ( -� ) +� ( -� ) +� ... +� ( -� ) +� ( -� ) =�1 -� .
��( k k 1 1 1 1 1 1
+� 1 2 2 3 3 4 n -�1 n n n +� 1 n -�1
k =�1
(Wynik ten uzyskujemy po opuszczeniu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów).
1
Mamy zatem lim Sn =� lim(1 -� ) =�1. Badany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa S =� 1 .
n��Ą� n��Ą�
n +� 1
Ą�
Szereg postaci: qn-�1 =� a1 +� a1q +� a1q2 +� a1q3 +� ... +� a1qn-�1 +� ... nazywamy szeregiem geometrycz-
1
��a
n=�1
nym o ilorazie q i początkowym wyrazie a1 ą� 0 .
Ą�
Szereg geometryczny qn-�1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy -�1 <� q <�1.
1
��a
n=�1
a1
Jego suma jest wtedy równa S =� .
1 -� q
Przykład 17. Który z podanych szeregów geometrycznych jest zbieżny? Obliczyć jego sumę.
Ą� Ą� Ą�
2
a) �� ( )n , b) 2)n , c) �� (-� )n .
��4 1 ��( ��5 5
3
n=�1 n=�1 n=�1
1 4
Rozwiązanie. a) Jest to szereg geometryczny o ilorazie q =� . Szereg jest więc zbieżny. Ponieważ a1 =� ,
3 3
4 4
a1 3 3
to S =� =� =� =� 2 . b) Szereg jest rozbieżny, ponieważ jego iloraz q =� 2 .
1 2
1 -� q
1 -�
3 3
2 a1 -� 2 -� 2 10
c) Iloraz szeregu jest równy q =� -� . Szereg jest zbieżny i jego suma wynosi S =� =� =� =� -� .
2 7
5 1 -� q 7
1 +�
5 5