Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 2
WYZNACZNIKI
1. Wyznacznik macierzy
Rozpatrzmy macierz kwadratowÄ… A =ð[ðaij ]ð , gdzie n Å‚ð 2 . Symbolem Aij oznaczać bÄ™dziemy
n´ðn
macierz stopnia n -ð 1 powstaÅ‚Ä… z macierzy A przez skreÅ›lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
1 3
éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 1. Niech A =ð . Wówczas A11 =ð [ð5]ð, A12 =ð [ð2]ð.
Ä™ð2 5Å›ð
ëð ûð
1 3 5
éð Å‚ð
7 6 1 5 1 3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð2 Å›ð
PrzykÅ‚ad 2. Niech A =ð 7 6 . Wtedy A11 =ð , A22 =ð .
Ä™ð3 -ð1Å›ð Ä™ð6 -ð1Å›ð, A23 =ð Ä™ð6 3Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Ä™ð
ëð6 3 -ð1Å›ð
ûð
Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę oznaczaną przez det A , która spełnia ( i jest
jednoznacznie wyznaczona przez ) warunki:
1. Jeżeli A =ð [ða ]ð, to det A =ð a .
2. Jeżeli n >ð1 i A =ð[ðaij ]ð , to
n´ðn
det A =ð (-ð1)1+ð1a11 det A11 +ð (-ð1)1+ð2 a12 det A12 +ð ...+ð (-ð1)1+ðn a1n det A1n .
Powyższy wzór nazywamy rozwinięciem Laplace a względem pierwszego wiersza.
a11 a12 Kð a1n a11 a12 Kð a1n
éð Å‚ð
Ä™ða a22 Kð a2n Å›ð
a21 a22 Kð a2n
Å›ð
Zamiast detÄ™ð 21 pisać bÄ™dziemy .
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð Mð Mð Oð Mð
Ä™ð Å›ð
an2 Kð ann ûð an1 an2 Kð ann
ëðan1
2. Wyprowadzenie wzoru na obliczanie wyznaczników macierzy stopnia drugiego
a11 a12
éð Å‚ð
Niech A =ð . Na podstawie definicji wyznacznika, stosujÄ…c rozwiniÄ™cie Laplace a
Ä™ða a22 Å›ð
ëð 21 ûð
względem pierwszego wiersza otrzymamy:
det A =ð (-ð1)1+ð1a11 det A11 +ð (-ð1)1+ð2 a12 det A12 =ð a11 det[ða22]ð-ð a12 det[ða21]ð=ð a11a22 -ð a12a21 .
Wzór ten łatwo zapamiętać w postaci schematu:
a11 a12
=ð a11a22 -ð a12a21
a21 a22 .
-ð +ð
Uwaga. Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia 2 należy od iloczynu elementów stojących na
głównej przekątnej odjąć iloczyn pozostałych elementów.
Wykład 2. Wyznaczniki
2
x y
1 -ð3
Przykład 3. Obliczyć wyznaczniki: a) , b) .
2 4
x2 y2
Rozwiązanie. Na podstawie powyższego schematu mamy:
x y
1 -ð3
a) =ð1×ð 4 -ð (-ð3) ×ð 2 =ð10 , b) =ð xy2 -ð yx2 =ð xy(y -ð x) .
2 4
x2 y2
3. Wyprowadzenie wzoru na obliczanie wyznaczników macierzy stopnia trzeciego
a11 a12 a13
éð Å‚ð
Ä™ða
Niech A =ð a22 a23 Å›ð . StosujÄ…c rozwiniÄ™cie Laplace a wzglÄ™dem pierwszego wiersza mamy
21
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
a32 a33 ûð
ëða31
det A =ð (-ð1)1+ð1a11 det A11 +ð (-ð1)1+ð2 a12 det A12 +ð (-ð1)1+ð3 a13 det A13 =ð
a22 a23 a21 a23 a21 a22
=ð a11 -ð a12 +ð a13 .
a32 a33 a31 a33 a31 a32
Korzystając z wyprowadzonego wyżej wzoru na wyznacznik stopnia drugiego otrzymujemy:
det A =ð a11(a22a33 -ð a32a23 ) -ð a12 (a21a33 -ð a31a23 ) +ð a13 (a21a32 -ð a31a22 ) =ð
=ð a11a22a33 +ð a12a31a23 +ð a13a21a32 -ð a11a32a23 -ð a12a21a33 -ð a13a22a31 .
Wzór ten można zapamiętać w postaci następującego tzw. schematu Sarrusa:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
-ð a11 a12 a13 +ð
-ð a21 a22 a23 +ð
-ð +ð
Uwaga. Aby obliczyć wyznacznik stopnia 3 należy pomocniczo pod trzecim wierszem
wyznacznika dopisać dwa pierwsze. Następnie obliczyć sześć iloczynów ( w każdym po trzy
czynniki ), przy czym iloczyny utworzone zgodnie ze strzałkami skierowanymi w prawo dodać,
a iloczyny utworzone zgodnie ze strzałkami skierowanymi w lewo - odjąć.
1 2 -ð3
Przykład 4. Obliczyć wyznacznik 0 2 1 .
4 3 2
RozwiÄ…zanie. Na podstawie schematu Sarrusa mamy
1 2 -ð3
0 2 1 =ð1×ð 2 ×ð 2 +ð 0 ×ð3×ð (-ð3) +ð 4 ×ð 2 ×ð1-ð (-ð3) ×ð 2 ×ð 4 -ð1×ð3×ð1-ð 2 ×ð 2 ×ð 0 =ð 4 +ð 8 +ð 24 -ð 3 =ð 33
4 3 2
 1 2 -ð 3
+
0 2 1

+

+
Wykład 2. Wyznaczniki
3
4. Własności wyznaczników
1. Jeżeli jeden z wierszy macierzy A składa się z samych zer, to wyznacznik jest równy zeru.
2. Jeżeli elementy pewnego wiersza macierzy są proporcjonalne do elementów innego wiersza,
to wyznacznik macierzy jest równy zeru.
3. Jeżeli elementy pewnego wiersza pomnożymy przez liczbę k , to wyznacznik tej macierzy zostanie
pomnożony przez k.
4. Jeżeli do pewnego wiersza macierzy dodamy inny wiersz pomnożony przez pewną liczbę, to
wyznacznik nie zmieni siÄ™.
5. Wyznacznik macierzy i macierzy transponowanej do niej są sobie równe.
Na podstawie własności 5. podobne własności jak 1.- 4. można sformułować dla kolumn.
6. Jeżeli jedna z kolumn macierzy A składa się z samych zer, to wyznacznik równy jest zeru.
7. Jeżeli elementy pewnej kolumny macierzy są proporcjonalne do elementów innej kolumny, to
wyznacznik macierzy jest równy zeru.
8. Jeżeli elementy pewnej kolumny pomnożymy przez liczbę k , to wyznacznik tej macierzy zostanie
pomnożony przez k.
9. Jeżeli do pewnej kolumny macierzy dodamy inną kolumnę pomnożoną przez pewną liczbę, to
wyznacznik nie zmieni siÄ™.
5. Obliczanie wyznaczników wyższych stopni
2 -ð3 1 0
0 1 5 2
Przykład 5. Obliczyć wyznacznik stosując definicję (rozwinięcie Laplace a
1 3 -ð1 1
2 0 4 1
względem pierwszego wiersza).
RozwiÄ…zanie.
2 -ð3 1 0
1 5 2 0 5 2
0 1 5 2
=ð (-ð1)1+ð1 ×ð ×ð 3 -ð1 1 +ð (-ð1)1+ð2 ×ð( 3 ×ð 1 -ð1 1 +ð
1ð 3ð1ð4ð 4ð)
4ð2ð4ð2 4ð2ð4ð-ð3ð
1 3 -ð1 1
23
0 4 1 2 4 1
2 0 4 1
0 1 2 0 1 5
+ð(-ð1)1+ð3 ×ð 1 3 1 +ð (-ð1)1+ð4 ×ð ×ð 1 3 -ð1 =ð
1ð 3ð1ð 3ð
4ð2ð4ð1×ð 4ð2ð4ð0
10
2 0 1 2 0 4
1ð4ð4ð4ð 3ð
4ð2ð4ð4ð4ð4ð
0
=ð 2(-ð1+ð 24 -ð 4 -ð15) +ð 3(8 +ð10 +ð 4 -ð 5) +ð (2 -ð12 -ð1) +ð 0 =ð 8 +ð 51-ð11 =ð 48
Z powyższego przykładu wynika, że obliczanie wyznaczników wyższych stopni może być
uciążliwe. Obliczenia stają się mniej kłopotliwe, jeżeli w pierwszym wierszu występują zera.
Jedną z metod obliczania wyznaczników wyższych stopni jest tzw. metoda obniżania stopnia.
Polega ona na tym, że przez wykonanie na kolumnach odpowiednich operacji, macierz doprowadza
się do postaci, w której wszystkie elementy pierwszego wiersza, z wyjątkiem jednego, są równe zeru.
Wówczas zastosowane do obliczenia wyznacznika takiej macierzy rozwinięcie Laplace a względem
pierwszego wiersza sprowadzi się do jednego tylko składnika zawierającego wyznacznik stopnia
niższego o jeden niż wyjściowy.
Wykład 2. Wyznaczniki
4
3 -ð 2 -ð1 0
2 1 0 1
Przykład 6. Obliczyć wyznacznik .
-ð1 0 1 2
0 -ð1 2 1
RozwiÄ…zanie. TrzeciÄ… kolumnÄ™
mnożymy przez 3 i dodajemy do pierwszej,
mnożymy przez (-ð2) i dodajemy do drugiej.
Po tych operacjach wartość otrzymanego wyznacznika nie zmieni się. Mamy zatem
×ð3 ×ð(-ð2)
3 -ð2 -ð1 0 3 +ð 3×ð (-ð1) -ð2 +ð (-ð2) ×ð (-ð1) -ð1 0 0 0 -ð1 0
2 1 0 1 2 +ð 3×ð 0 1+ð (-ð2) ×ð 0 0 1 2 1 0 1
=ð=ð
-ð1 0 1 2 -ð1+ð 3×ð1 0 +ð (-ð2) ×ð1 1 2 2 -ð2 1 2
0 -ð1 2 1 0 +ð 3×ð 2 -ð1+ð (-ð2) ×ð 2 2 1 6 -ð5 2 1
Rozwijając wyznacznik względem pierwszego wiersza mamy:
0 0 -ð1 0
2 1 1
2 1 0 1
=ð (-ð1)1+ð3(-ð1) 2 -ð2 2 =ð
2 -ð2 1 2
6 -ð5 1
6 -ð5 2 1
2 1 1
=ð -ð 2 -ð2 2 =ð-ð(-ð4 +ð12 -ð10 +ð12 +ð 20 -ð 2) =ð-ð28 .
6 -ð5 1
6. Twierdzenie Cauchy ego
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia oraz C = AB, to spełniony jest
warunek:
det C =ð det A×ð det B .
PrzykÅ‚ad 7. Sprawdzić, że macierze A, B speÅ‚niajÄ… warunek det(AB) =ð det A×ð det B , jeżeli
2 1 1 -ð2
éð Å‚ð éð Å‚ð
A =ð , B =ð .
Ä™ð5 4Å›ð Ä™ð3 4 Å›ð
ëð ûð ëð ûð
RozwiÄ…zanie:
det A =ð 8 -ð 5 =ð 3, det B =ð 4 -ð (-ð6) =ð10 ,
1 -ð2
éð Å‚ð
B
Ä™ð3 4 Å›ð
A
ëð ûð
2 1 5 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
det(AB) =ð 30 -ð 0 =ð 30
Ä™ð5 4Å›ð Ä™ð17 6Å›ð
= AB
ëð ûð ëð ûð
Warunek det(AB) =ð det A×ð det B jest speÅ‚niony, ponieważ 30 =ð 3×ð10 .